高中数学单元测试——第4章指数与对数（较易版01）

**基本信息** 高中数学指数与对数单元复习较易卷，以基础运算为主，融入臭氧保护、放射性碳定年法等真实情境，适配单元知识巩固与数学应用意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|指数函数求值、对数方程求解|基础概念辨析，如指数函数值计算| |多选题|2/12|指数对数运算性质|运算正误判断，考查推理能力| |填空题|2/10|指数幂化简、对数方程|符号转化，如根式化指数幂| |解答题|3/48|综合运算、实际应用|结合放射性碳定年法，体现模型意识与应用能力|

高中数学单元测试 —— 第4章 指数与对数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 2．（本题5分）若，则x的值为（    ） A．2 B．2或4 C．4 D．或 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 4．（本题5分）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 6．（本题5分）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 三、填空题 9．（本题5分）已知，将化为有理数指数幂形式，则________. 10．（本题5分）方程的解集为__________． 四、解答题 11．（本题14分）（1）已知，求的值. （2）化简：. 12．（本题16分）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 13．（本题18分）放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 指数与对数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】代值计算即可求解. 【详解】函数，则; 故选：B 2．（本题5分）若，则x的值为（    ） A．2 B．2或4 C．4 D．或 【答案】C 【分析】先对等式两边平方，消去根式，再解一次方程并验证． 【详解】， ，解得， 将代入原方程左边：，左边等于右边，故是原方程的解， ． 故选：C． 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数的运算性质可得答案. 【详解】． 故选：C. 4．（本题5分）计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将根数转化为分数指数幂，再由指数的运算求解即可. 【详解】 故选：C 5．（本题5分）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【分析】将对数式化成指数式，运算得解. 【详解】由题知，解得. 故选：B. 6．（本题5分）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为， 已知经过年臭氧含量剩下一半，即， 两边同时取对数得：，所以， 要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即， 由，，得， 代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 二、多选题 7．（本题6分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据根式的定义与分数指数幂的定义、运算法则判断． 【详解】，故A错； ，故B正确； 与不同，故C错； ，故D正确. 故选：BD. 8．（本题6分）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，利用换底公式得到，故；对于B，C，即可判断；对于D，，解方程即可判断. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 一题多解  多方法解题 利用换底公式的一个推论：，可得若， 则，． A（√）若，则． B（√）． C（√）若，则． D（×）若，则，则或． 故选:ABC. 三、填空题 9．（本题5分）已知，将化为有理数指数幂形式，则________. 【答案】 【分析】将根式化成分数指数幂即可. 【详解】. 故答案为： 10．（本题5分）方程的解集为__________． 【答案】 【分析】运用对数换底公式，将不同底数的对数统一转化为常用对数，然后利用对数的运算法则对式子进行化简整理，最后求解的值即可. 【详解】已知：，根据换底公式可得：， 化简得：，约分整理得：，即：， 因此可得：或，即：或. 故方程的解集为. 故答案为： 四、解答题 11．（本题14分）（1）已知，求的值. （2）化简：. 【答案】（1）7；（2）5 【分析】（1）对已知条件平方可得答案； （2）利用对数的运算公式可求答案. 【详解】（1）因为，所以； （2）原式. 12．（本题16分）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【详解】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 13．（本题18分）放射性碳定年法是1949年由威拉德·利比发明的一种考古断代方法，该方法基于生物体内碳14含量的衰减规律来测定文物年代，利比因此获得1960年诺贝尔化学奖. 设碳14的初始含量为，经过时间t（）后的含量为N，满足为关于t（）的指数函数.已知碳14的半衰期为5730年，即每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半. (1)某化石样品中碳14含量是活生物体内含量的25%，请问根据放射性碳定年法推测，该化石距今约有多少年历史？ (2)在实际考古测定中，由于测量误差的存在，碳14含量的测量结果可能存在的误差.不考虑其他误差，则用此法测得的化石真实年代的误差最大为多少年？（四舍五入到整数） 【答案】(1)11460 (2)83 【分析】（1）设，根据题意得到，即，令，再解方程即可； （2）设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为，无误差时对应衰减时间为，再分别计算出，比较即可． 【详解】（1）根据题意，设， 又每经过5730年，碳14含量会衰减为原来的一半，所以， 解得，则， 当，解得， 所以该化石距今约有年历史； （2）由于碳14含量的测量结果可能存在的误差， 设测量误差为对应衰减时间为，测量误差为对应衰减时间为， 无误差时对应衰减时间为， 则①，②，③， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， ，两边同时取以2为底的对数，， （年）， 所以误差最大为83年． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $