第4章 指数与对数（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第一册

第4章 指数与对数（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 根式与分数指数幂的互化 1．（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海奉贤·阶段练习）已知，将化为分数指数幂形式，则 . 4．（24-25高一·全国·随堂练习）用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)； (3)． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 题型2 根式的化简求值 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 题型3 指数幂的运算 1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．（24-25高一上·天津滨海新·期中） . 4．（24-25高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 5．（24-25高一上·山西太原·期中）计算下列各式的值 (1)； (2). 题型4 指数式与对数式的互化 1．（24-25高一·全国·课后作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（24-25高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型5 对数的运算性质的应用 1．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（    ） A． B． C．4 D．5 2．（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）计算 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 5．（24-25高一上·天津宁河·期中） 求下列各式的值 (1) (2) 题型6 运用换底公式化简计算 1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·阶段练习）化简 . 4．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）（1）； （2）已知，用表示. 5．（24-25高一上·河北邯郸·阶段练习）阅读下面材料： 由于， 设，，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，，③ 由②得④， 把③代入④得. (1)仿照上述过程，证明：； (2)已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 题型7 指、对数方程的求解 1．（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一上·全国·课后作业）方程， ． 4．（2025高一·上海·专题练习）已知方程的两个实根分别为、，求的值. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）解关于的方程. （1）； （2）. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 指数与对数（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 根式与分数指数幂的互化 1．（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【解答过程】. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用分数指数幂的运算法则求解. 【解答过程】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 3．（24-25高三上·上海奉贤·阶段练习）已知，将化为分数指数幂形式，则 . 【答案】 【解题思路】利用根式转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可. 【解答过程】. 故答案为：. 4．（24-25高一·全国·随堂练习）用分数指数幂表示下列各式（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）根据分数指数幂和根式的关系进行求解；（3）根据分数指数幂和根式的关系和分数指数幂的运算法则计算出答案. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）将根式化为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 题型2 根式的化简求值 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【解答过程】由，得， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【解答过程】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简 . 【答案】4 【解题思路】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【解答过程】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解题思路】利用根式的性质逐一对（1）（2）（3）（4）中各式化简即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）；    （4）. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可； （2）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可. 【解答过程】（1）， 当为偶数时，；当为奇数时，； 综上所述，. （2）， 当是奇数时，原式； 当是偶数时，原式； 综上所述，. 题型3 指数幂的运算 1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由指数幂的运算性质逐个判断即可. 【解答过程】，A错； ，B正确； ，C错误； ，D错误 故选:B. 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】根据指数的运算性质化简运算得解. 【解答过程】，， 又，则， 所以，，解得. 故选：C. 3．（24-25高一上·天津滨海新·期中） . 【答案】 【解题思路】根据指数幂的运算性质计算即可. 【解答过程】 故答案为：. 4．（24-25高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)6. 【解题思路】（1）（2）利用指数运算法则计算得解. 【解答过程】（1）. （2）. 5．（24-25高一上·山西太原·期中）计算下列各式的值 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】利用指数幂的运算法则计算即可. 【解答过程】（1）； （2）. 题型4 指数式与对数式的互化 1．（24-25高一·全国·课后作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据指数式与对数式互化公式直接得到答案. 【解答过程】由，可得，C不正确， 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数的定义将指数化为对数. 【解答过程】因为（且），所以. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】；；；. 【解题思路】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【解答过程】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 5．（24-25高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解题思路】可化为，由此化简各个小问。 【解答过程】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以. 题型5 对数的运算性质的应用 1．（24-25高一上·重庆黔江·期末）计算（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据对数运算法则即可得到答案. 【解答过程】. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海·期中）设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【解答过程】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：例如， 则， 此时，故D错误； 故选：D. 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）计算 . 【答案】 【解题思路】根据对数运算的性质即可求解． 【解答过程】 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）利用对数运算性质化简求解即可． 【解答过程】（1）原式 ． （2）原式 ． 5．（24-25高一上·天津宁河·期中） 求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1)7 (2)1 【解题思路】根据对数的运算性质分别计算即可求解. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. 题型6 运用换底公式化简计算 1．（24-25高一上·甘肃武威·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解. 【解答过程】由题意，. 故选：B． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据换底公式结合对数的定义运算求解. 【解答过程】由题意可得： . 故选：B. 3．（24-25高一上·重庆·阶段练习）化简 . 【答案】 【解题思路】根据指数、对数运算法则，先分别化简每一项，再将化简后的结果相加. 【解答过程】化简. 化简，根据换底公式，则，即 . 同理，所以. 化简. 将上述各项化简结果相加：. 故答案为：. 4．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）（1）； （2）已知，用表示. 【答案】（1）4；（2） 【解题思路】（1）根据对数恒等式，对数的换底公式的推论及对数运算法则化简求值； （2）由条件，结合指数与对数的关系可得，再结合换底公式由表示. 【解答过程】（1） ； （2）因为，故， 故. 5．（24-25高一上·河北邯郸·阶段练习）阅读下面材料： 由于， 设，，① 于是.② 根据对数的定义，由①得，，③ 由②得④， 把③代入④得. (1)仿照上述过程，证明：； (2)已知，求的值. （提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论） 【答案】(1)证明见解析； (2)2. 【解题思路】（1）根据，结合材料即可证结论； （2）应用换底公式写出，，再由对数运算性质求结果. 【解答过程】（1）由①知：， 将③代入上式，有，得证. （2）由题设，，， 所以. 题型7 指、对数方程的求解 1．（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先将方程化为同底数幂的形式后，再求解即可. 【解答过程】由，得， 所以，， 解得. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】将原方程变形为，根据题意结合韦达定理求出，，进而求解方程即可. 【解答过程】原方程两边同时乘以，可变形为， ∵甲写错了b，得到两根为及，∴， 又∵乙写错了常数c，得到两根为及64，∴， ∴原方程为，即， ∴或，∴或8. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）方程， ． 【答案】或 【解题思路】原方程可变成，然后可解出，进而得出的值． 【解答过程】因为， 所以或8，解得或． 故答案为：或． 4．（2025高一·上海·专题练习）已知方程的两个实根分别为、，求的值. 【答案】 【解题思路】设，可得方程的两根为、，进而结合韦达定理及对数的运算法则求解即可. 【解答过程】设，则方程的两根为、， 由韦达定理得，， 即. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）解关于的方程. （1）； （2）. 【答案】（1）2； （2）8 【解题思路】（1）先求得应满足的条件,再将对数方程转化为一元二次方程,解方程即可得解. （2）根据对数的运算性质,将方程化简,即可求解. 【解答过程】（1） 所以应满足 由对数的运算性质可将方程化为 或. 因为 （2） 所以应满足 根据对数的运算性质, 则原方程可化为 经检验,符合题意. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$