重难点专训03 平面向量中的最值与范围问题 （专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法提炼-题型突破-分层训练”构建平面向量最值问题系统训练，融合坐标化、三角转化等五种方法，实现代数与几何思维的协同提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|5种核心方法|坐标化转化、三角参数法、几何构造法、基本不等式法、向量模/数量积公式法|从通法提炼到具体应用，构建“方法-题型”对应逻辑| |题型通法及变式提升|4类题型（含8典例+8变式）|每种题型匹配2-3种针对性解法，如数量积最值用坐标法与三角法|按“数量积-模-系数代数式-综合问题”递进，覆盖高考核心考法| |重难专题分层过关练|巩固10题+创新6题|分层设计基础巩固与创新拓展，强化方法迁移能力|从基础应用到复杂情境，实现知识从理解到灵活运用的升华|

重难点专训03 平面向量中的最值与范围问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 求向量数量积的最值与范围 2 题型2 求向量模的最值与范围 3 题型3 求向量系数代数式的最值与范围 5 题型4 其他最值与范围问题 6 重难专题分层过关练 7 巩固过关 7 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 与平面向量有关的最值或范围问题,频频出现在高考试卷及各地模拟试卷中.求解此类问题的方法主要有以下几种： 一、建立直角坐标系求最值或范围 坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系.对于平面几何图形有关的一些向量问题,可通过建立适当的直角坐标系,使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果。另外,若题中有互相垂直的单位向量,也可以通过建立坐标系,把向量问题转化为代数问题,再利用函数或不等式等知识来求解. 二、转化为三角函数求最值或范围 若题中有形如的条件，求关于表达式的最值与范围时可以引入角，把含的代数式借助向量用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求最值。 三、构造几何图形求最值或范围 求向量的最值与范围时，有时可以利用向量的几何意义构造图形求解，由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在解决向量问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯． 四、利用基本不等式求最值或范围 求数量积或模的最值时，有时可把数量积或模转化为长度的和或积,再利用,或求最值. 五、利用或求最值或范围 题型通法及变式提升 题型1 求向量数量积的最值与范围 【典例1-1】（2026·北京市朝阳区·高三上期末）在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.因正三角形的边长为1，则， 因分别在边上，不妨设，可得； 设，可得.则， 又，则，则（*） 因， 则， 将（*）代入上式，可得， 由（*）可得，当且仅当时取等， 由可得， 依题意，，设，则， 在上单调递减，故.故选A. 【典例1-2】（2026·海淀区教师进修学校附属实验学校·高三下三模）已知中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，外接圆半径为，如下图，外接圆中连接，可得，，所以， 当反向共线时最小，最小值为；当同向共线时最大，最大值为20，所以.故选D。 求数量积最值或范围的3种常用方法 1.建立坐标系，利用数量积的坐标运算，把向量数量积转化为代数问题，利用函数或不等式知识求最值或范围； 2.引入角作为参数，把数量积转化为三角表达式，利用弦函数的有界性求最值或范围； 3.利用求最值或范围。 【变式1-1】（2026·北京市育才学校·高三下仿真测试）已知矩形中，，．若点为中点，则____；若点满足（），则的取值范围是____． 【变式1-2】（2026·北京一零一中学·高三下学期开学考）已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 题型2 求向量模的最值与范围 【典例2-1】（2026·北京通州区·高三下测试）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取线段的中点，连接、、，如下图所示： 因为，所以，因为四边形为矩形，则， 因为， 所以，当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为.故选C. 【典例2-2】（2026·北京市第十五中学·高三下开学考）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为与的夹角为，所以，所以，由二次函数性质可知，当时，取得最小值， 所以，所以，即的取值范围为.故选D 求向量模的最值的3种常用方法 1.含有参数的向量和与差的模的最值与范围问题，通常利用转化为关于参数的函数求最值； 2.利用求最值； 3.利用数量积的坐标运算把问题转化为代数式或三角函数求最值。 【变式2-1】（2026·北京市顺义区·高三上学期中）已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D．12 【变式2-2】（2026·北京人大附中·高三下5月热身练）已知平面内四个点满足：，，则的最小值为______． 题型3 求向量系数代数式的最值与范围 【典例3-1】（2026·北京人大附中·高三下检测）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________． 【答案】 1 【解析】假设，由已知可得，， ，即， 令，则，代入可得，有，解得，，的最小值为1，最大值为。 【典例3-2】（2026·东城区·高三上期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足：，．若，则_____________；若，则的最大值为_____________． 【答案】 【解析】由题可知，. 所以.所以. ①将代入，可得 ② ，其中，是锐角. 因为，所以，所以 所以当时，取得最大值 ，取得最大值 ，即的最大值为. 【变式3-1】（2025·北京市对外经贸大学附中·高三上12月月考）已知，，，．若，则的最大值为______． 【变式3-2】已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则__________.，的最小值为__________. 题型4 其他最值与范围问题 【典例4-1】（2026·北京海淀区·一模）已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________． 【答案】 ； . 【解析】由题可知，，故，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为；不妨设，满足； 则，，， 设与的夹角为，则， 则， 令，故，根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增，又当时，，当或时，，故，又，故. 【典例4-2】已知O为的重心，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】如图：若O为的重心，则为的中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以当时，取到最大值. 【变式4-1】（2026·江西九江·二模）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·西城区·高三下5月模拟）在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·北京市密云区·高三下阶段练习）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 4．（2026·北京四中·高三下开学考）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·北京中关村中学·高三上12月月考）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·北京顺义牛栏山·高三上期中）已知圆，过点的直线与圆交于两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·北京西城区·高三下4月统测）设平面向量，其中，的最小值为_________． 8．（2026·北京市门头沟区·高三下3月综合练）在平面直角坐标系xOy中，，直线与x轴和y轴分别交于点，，则的最大值为________；的取值范围是________． 9．（2026·北京一零一中学·高三上统考）在边长为2的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为______． 10．（2025·北京十一学校·高三下2月诊断）如下图，在梯形中，，，，，，则______，若是线段上的动点，且，则的最小值为______. 创新提升 1．（2026·北京市丰台区·高三下一模）在平面内，为的中点，动点满足，动点满足，则的最大值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（2026·北京通州区·高三上摸底）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京八中·高三上期中）在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（   ） A．280 B． C．300 D． 5．（2026·北京一零一中学·高三上统练）已知平面向量满足，则的最小值是_________． 6．（2026·北京五十七·高三上10月月考）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为_________. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 平面向量中的最值与范围问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 求向量数量积的最值与范围 2 题型2 求向量模的最值与范围 4 题型3 求向量系数代数式的最值与范围 6 题型4 其他最值与范围问题 8 重难专题分层过关练 10 巩固过关 10 创新提升 13 解题方法及技巧提炼 与平面向量有关的最值或范围问题,频频出现在高考试卷及各地模拟试卷中.求解此类问题的方法主要有以下几种： 一、建立直角坐标系求最值或范围 坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系.对于平面几何图形有关的一些向量问题,可通过建立适当的直角坐标系,使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果。另外,若题中有互相垂直的单位向量,也可以通过建立坐标系,把向量问题转化为代数问题,再利用函数或不等式等知识来求解. 二、转化为三角函数求最值或范围 若题中有形如的条件，求关于表达式的最值与范围时可以引入角，把含的代数式借助向量用三角函数表示，再利用三角函数的有界性求最值。 三、构造几何图形求最值或范围 求向量的最值与范围时，有时可以利用向量的几何意义构造图形求解，由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在解决向量问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯． 四、利用基本不等式求最值或范围 求数量积或模的最值时，有时可把数量积或模转化为长度的和或积,再利用,或求最值. 五、利用或求最值或范围 题型通法及变式提升 题型1 求向量数量积的最值与范围 【典例1-1】（2026·北京市朝阳区·高三上期末）在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.因正三角形的边长为1，则， 因分别在边上，不妨设，可得； 设，可得.则， 又，则，则（*） 因， 则， 将（*）代入上式，可得， 由（*）可得，当且仅当时取等， 由可得， 依题意，，设，则， 在上单调递减，故.故选A. 【典例1-2】（2026·海淀区教师进修学校附属实验学校·高三下三模）已知中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，外接圆半径为，如下图，外接圆中连接，可得，，所以， 当反向共线时最小，最小值为；当同向共线时最大，最大值为20，所以.故选D。 求数量积最值或范围的3种常用方法 1.建立坐标系，利用数量积的坐标运算，把向量数量积转化为代数问题，利用函数或不等式知识求最值或范围； 2.引入角作为参数，把数量积转化为三角表达式，利用弦函数的有界性求最值或范围； 3.利用求最值或范围。 【变式1-1】（2026·北京市育才学校·高三下仿真测试）已知矩形中，，．若点为中点，则____；若点满足（），则的取值范围是____． 【答案】 2 【解析】以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，则，可得：； 因为，则，， ，所以的取值范围是 【变式1-2】（2026·北京一零一中学·高三下学期开学考）已知平面向量满足，且，若点满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】由，且得，， 所以，建立平面直角坐标系，如图所示： 不妨记，得，设点，由，得，由向量模的几何意义得，点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆，则， 得 ，等号成立时，得，即，故的最大值为 题型2 求向量模的最值与范围 【典例2-1】（2026·北京通州区·高三下测试）如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取线段的中点，连接、、，如下图所示： 因为，所以，因为四边形为矩形，则， 因为， 所以，当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为.故选C. 【典例2-2】（2026·北京市第十五中学·高三下开学考）已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为与的夹角为，所以，所以，由二次函数性质可知，当时，取得最小值， 所以，所以，即的取值范围为.故选D 求向量模的最值的3种常用方法 1.含有参数的向量和与差的模的最值与范围问题，通常利用转化为关于参数的函数求最值； 2.利用求最值； 3.利用数量积的坐标运算把问题转化为代数式或三角函数求最值。 【变式2-1】（2026·北京市顺义区·高三上学期中）已知平面直角坐标系中，，，设，则的最大值是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】A 【解析】由已知，， ， 所以， ，其中，为锐角，所以的最大值为， 所以的最大值为，故选A. 【变式2-2】（2026·北京人大附中·高三下5月热身练）已知平面内四个点满足：，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】设，则，设，如图，则： ，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 题型3 求向量系数代数式的最值与范围 【典例3-1】（2026·北京人大附中·高三下检测）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________． 【答案】 1 【解析】假设，由已知可得，， ，即， 令，则，代入可得，有，解得，，的最小值为1，最大值为。 【典例3-2】（2026·东城区·高三上期末）在平面直角坐标系中，已知点，点满足：，．若，则_____________；若，则的最大值为_____________． 【答案】 【解析】由题可知，. 所以.所以. ①将代入，可得 ② ，其中，是锐角. 因为，所以，所以 所以当时，取得最大值 ，取得最大值 ，即的最大值为. 【变式3-1】（2025·北京市对外经贸大学附中·高三上12月月考）已知，，，．若，则的最大值为______． 【答案】3 【解析】因为，所以以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系， 因为，所以，则， 因为，所以，又，即， 所以，因为，即， 平方化简为，设，则， ，所以的最大值为. 【变式3-2】已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则__________.，的最小值为__________. 【答案】 2； 4 【解析】由题可得，因为共线，所以，所以，当且仅当即时等号成立. 题型4 其他最值与范围问题 【典例4-1】（2026·北京海淀区·一模）已知向量，，则的最大值为________；与的夹角的取值范围是________． 【答案】 ； . 【解析】由题可知，，故，当且仅当同向时取得等号，故的最大值为；不妨设，满足； 则，，， 设与的夹角为，则， 则， 令，故，根据对勾函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增，又当时，，当或时，，故，又，故. 【典例4-2】已知O为的重心，若，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】如图：若O为的重心，则为的中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以当时，取到最大值. 【变式4-1】（2026·江西九江·二模）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为，且，所以的最大值为.故选D. 【变式4-2】已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，若对任意模为2的向量，均有， 则，， 平方得到，即，即， 同时， ，即，平方得到，即，即， 综上，即，向量的夹角的取值范围. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，且 ，则，所以， 所以当反向时，取最大值为4. 2．（2026·西城区·高三下5月模拟）在长方形中，，，是边上一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】取的中点，，所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最小值为. 3．（2026·北京市密云区·高三下阶段练习）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】D 【解析】向量，则， 当时，取最小值. 4．（2026·北京四中·高三下开学考）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设，，， 则.故选C 5．（2026·北京中关村中学·高三上12月月考）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即，故选D. 6．（2026·北京顺义牛栏山·高三上期中）已知圆，过点的直线与圆交于两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆：，圆心为，半径.记点为点，因为，所以点在圆内，，当点为的中点时，的夹角最小，此时，， 所以，所以，所以，即夹角的最小值为；当线段是圆的一条直径时，的夹角最大，最大值为.所以，, 所以.故选A. 7．（2026·北京西城区·高三下4月统测）设平面向量，其中，的最小值为_________． 【答案】4 【解析】已知，，其中，， 所以，当时， 8．（2026·北京市门头沟区·高三下3月综合练）在平面直角坐标系xOy中，，直线与x轴和y轴分别交于点，，则的最大值为________；的取值范围是________． 【答案】 4 【解析】设，由题意知，直线分别与轴､轴交于点，则，所以，； 因为， 则 ， 当时，取得最大值，且最大值为 ， 因为，的取值范围是. 9．（2026·北京一零一中学·高三上统考）在边长为2的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点、且交AB于点E．且交AC于点F，则的最小值为______． 【答案】 【解析】设，，因为为边长为2的等边三角形，， 所以，，，，， 因为，所以为等边三角形，，⊥， 故 ， 故当时，取得最小值. 10．（2025·北京十一学校·高三下2月诊断）如下图，在梯形中，，，，，，则______，若是线段上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】因为梯形中，，，所以， 所以，解得. 以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由对称性不妨设点在点左侧，设，，， 则，，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为。 创新提升 1．（2026·北京市丰台区·高三下一模）在平面内，为的中点，动点满足，动点满足，则的最大值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 所以． 因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）,共有两段，由对称性取其中一段研究．设所在圆的圆心为，连接，则，， 则，．以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得，则圆的方程为，设，则，结合，可得，因为A点在圆上运动，则，故当时，取得最大值为. 2．（2026·北京通州区·高三上摸底）已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因为，所以， ，，所以.故选C 3．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可建立如图所示的直角坐标系，且可设，， 则由，故点在以为圆心，半径为1的圆上，如图：取点，则，且，因此，所以，故， 所以， 由于，当三点共线且点在线段上时取等号， 因此.故选D。 4．（2026·北京八中·高三上期中）在平面直角坐标系中，，，，，，则的最大值为（   ） A．280 B． C．300 D． 【答案】C 【解析】因为，，， 由，所以，所以．， 设是中点，，， 因为， 即，当且仅当同向时取等号， 所以故选C. 5．（2026·北京一零一中学·高三上统练）已知平面向量满足，则的最小值是_________． 【答案】1 【解析】已知且， 由点积公式，所以夹角. 设，因为，，设， 则 ，解得 ，不妨取， 设，则，； 由，得 化简得， 即向量对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆； 则，需在圆上求的最小值, 因为圆心横坐标为，半径1，故的最小值为； 因此的最小值为，即为最小值. 6．（2026·北京五十七·高三上10月月考）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】在中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $