5.5 极化恒等式、等和线、线段定比分点专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦极化恒等式、等和线、线段定比分点三大向量工具，通过19道精选试题构建从坐标计算到数量积应用的递进训练体系，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段定比分点|选择1-2,9,12,15|坐标计算、分点位置判断|从基础坐标公式到平面几何分点应用，构建向量线性运算基础| |等和线|选择6-7|向量线性表示系数和范围|结合单位圆、扇形边界，体现参数几何意义与线性规划思想| |极化恒等式|选择4,8,13,17(2)(3)|数量积最值、动态点轨迹|通过矩形、圆、菱形等载体，实现数量积与几何图形性质转化|

5.5 “极化恒等式、等和线、线段定比分点（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北·一模）在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD的中点，若则 A．2 B．1 C． D． 4．（25-26高三上·山东东营·期末）如图，四边形为矩形，其中，，其上方是一个以为直径的半圆，为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，给定两个单位向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧（包含端点）上运动，若，其中，，则的最大值为（     ） A． B． C．2 D． 7．（25-26高三上·全国·阶段检测）如图，在扇形中，，点为的中点，点为阴影区域内的任意一点（含边界），若，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·浙江台州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，点E是边AD上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点E是AD的中点时， B．存在点，使得 C．的最小值为 D．若，，则的取值范围是 11．（25-26高三上·全国·专题训练）如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．存在点，使得 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·上海·期末）已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 13．（25-26高三上·福建福州·期末）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 14．（25-26高一·全国·课后作业）若点是所在平面内一点，且满足则与的面积之比为________；若为的中点，与交于点，设，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）设是线段上的一点，点的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标; (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标; (3)点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么? 16．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 17．（25-26高三上·湖南·期末）如图，是边长为4的等边三角形，以AC为直径作圆O，P为圆O上一动点． (1)用向量表示； (2)求的最大值； (3)若，求的最小值． 18．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）（1）平面内一组不共线的向量，，对任意点，有.求证：三点共线的充要条件是； （2）如图，在平行四边形中，，，.动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，求的取值范围. 19．（25-26高三上·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，，，． (1)用，表示，； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 “极化恒等式、等和线、线段定比分点（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知，点在直线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由得或，利用坐标运算即可求解. 【详解】由题意得：或，设点， 所以， 当时，所以，解得，所以， 当时，所以，解得，所以. 2．（25-26高三上·河北石家庄·阶段检测）已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点， 由点在的延长线上，且，得， 又，， 所以，解得， 所以点的坐标为． 3．（2026·湖北·一模）在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD的中点，若则 A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】画出图像，利用向量的线性运算，表示出 ，由此求得的值，进而求得的值. 【详解】∵,, ∴，又, ∴，解得， 故选D. 【点睛】本小题主要考查向量加法运算，考查平面向量基本定理，属于基础题. 4．（25-26高三上·山东东营·期末）如图，四边形为矩形，其中，，其上方是一个以为直径的半圆，为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，利用向量中点分解与平方差公式将转化为，再结合的取值范围求得最终结果. 【详解】如图，取AB的中点O，则, 则， 由于为半圆弧上的一个动点，故的最小值为， 最大值为，即P点位于圆弧中点时的长， 即，所以，所以， 则的取值范围为. 5．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据平面向量共线定理得到，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：，则，，又P，M，N共线，∴.又， ∴，当且仅当时取等号， 故选：C. 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，给定两个单位向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧（包含端点）上运动，若，其中，，则的最大值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】建系将向量问题坐标化，设动点参数用角度表示，由坐标等式解出系数表达式，代入目标式后用辅助角公式求最值. 【详解】以为坐标原点，所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 由题意，、是单位向量，夹角为，因此，， 设，，则. 已知，代入坐标得， 根据横纵坐标相等，列方程组，解得. 将代入，根据辅助角公式可得 ， 为锐角，且 ，由于，因此可取到. 当时，取得最大值. 7．（25-26高三上·全国·阶段检测）如图，在扇形中，，点为的中点，点为阴影区域内的任意一点（含边界），若，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，由题可得满足的约束条件，结合条件可得，然后利用线性规划的知识，数形结合即得. 【详解】以点为原点，所在的直线为轴，如图建立直角坐标系， 则，，， 所以， 设，则满足的约束条件为， 又， ∴，即， 令，则， 由图可知当直线与圆相切时，最大， 此时，解得(负值舍去)， 即的最大值为. 故选：B. 8．（25-26高三上·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先设，根据题中条件，得到或，分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以， 设，则， 又P是线段的三等分点， 所以或， 即或，解得或， 即点P的坐标是或. 故选：AD. 10．（25-26高三上·浙江台州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，点E是边AD上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点E是AD的中点时， B．存在点，使得 C．的最小值为 D．若，，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对于A，利用向量的线性运算即可；对于B，若存在，则向量数量积为0，然后利用向量数量积的坐标公式列方程，判断方程是否有解即可；对于C，利用向量数量积的坐标公式将转化为一个二次函数即可；对于D，利用向量线性运算的坐标表示，将转化为一个关于t的方程，根据t的范围求解即可. 【详解】对于A，当点E是AD的中点时，，故A正确； 对于B，以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系，   ，,易得：， 点E是边AD上的动点,设， ，, ， ，所以，即不存在点，使得，故B错误； 对于C，，所以， 故当时，取到最小值，故C正确； 对于D，若，即， 所以，， 即， ，，故D正确； 故选：ACD 11．（25-26高三上·全国·专题训练）如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．存在点，使得 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【分析】先建立直角坐标系，对于A，需要将用、表示出来，进而求出的值；对于B，取中点，通过极化恒等式判断；对于C，根据向量数量积的坐标运算求的最大值；对于D，利用坐标进行化简，再根据模的坐标计算公式求出其最小值. 【详解】我们先建立平面直角坐标系，根据正八边形边长为2的性质，得到各顶点坐标： ， ， ， ， ，， ， . 设， 对于A： 由 得 ， 解得 ，故A正确； 对于B：取的中点，，故B错误； 对于C：， 当点在上时，，故C正确； 对于D：则，当横坐标为0时其模取得最小值，等于纵坐标的绝对值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·上海·期末）已知平面上两点，，P为直线AB上一点，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】设，由题设及向量坐标运算可得答案. 【详解】设，因，则， 从而. 13．（25-26高三上·福建福州·期末）已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用极化恒等式得到，求出的最大值，代入取值即可 【详解】圆的半径为2，弦长，故， 所以，故， 取的中点，连接，如图所示：   ，，两式平方后相减可得 ， 由于，故当取得最大值时，取得最大值， 显然当三点共线且在线段上时，取得最大值， 最大值为，此时. 14．（25-26高一·全国·课后作业）若点是所在平面内一点，且满足则与的面积之比为________；若为的中点，与交于点，设，则________. 【答案】 / 【分析】由，可得三点共线，可得，从而可求出与的面积之比；由，可得，再利用共线定理可得答案. 【详解】因为，所以， 所以，所以与共线， 因为与有公共端点， 所以三点共线， 所以， 所以，即与的面积之比为， 因为为的中点，与交于点， 所以， 因为，所以， 因为三点共线和三点共线， 所以，解得， 所以， 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）设是线段上的一点，点的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标; (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标; (3)点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么? 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）直接根据求解； （2）分和两种情况，利用向量的坐标运算求解； （3）设，利用向量的坐标运算列方程求解. 【详解】（1）当是线段的中点时， ， ； （2）①当时， ， ， 得点的坐标为：； ②当时， , ， 得点的坐标为：； （3）设 , 又，, ， 即点的坐标是. 16．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解. （2）利用已知条件和的共线得出关系，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】（1）由题意画出图像， 因为， 所以且， 注意到共线且共线，所以 解得. （2）由（1）和图象可知，结合. 于是，所以. 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 于是的最小值为. 17．（25-26高三上·湖南·期末）如图，是边长为4的等边三角形，以AC为直径作圆O，P为圆O上一动点． (1)用向量表示； (2)求的最大值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】(1)通过向量相加的定义求解. (2)通过基底法拆解求解. (3)通过数量积和均值不等式求解范围. 【详解】（1）因为为中点，所以. （2），. 因为， 所以， 当时， 所以. （3），因为，所以. 令，，. 求，即求. 因为，所以, ，. 所以，解得. ，所以，解得. 所以. 18．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）（1）平面内一组不共线的向量，，对任意点，有.求证：三点共线的充要条件是； （2）如图，在平行四边形中，，，.动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念证明即可. （2）将求转化为点积，利用圆的半径为定值，将动点问题转化为三角函数范围问题即可得解. 【详解】（1）必要性证明， 因为三点共线，设， 则有，整理得， 又，所以，因此，故必要性得证； 充分性证明， 因为，，即， 所以，即， 所以，又与有公共点， 所以三点共线，故充分性得证. 综上，三点共线的充要条件是. （2）根据题意，四边形是平行四边形，，，， 所以在中，有， 所以，所以是直角三角形，则， 即，故圆与相切于点，所以为圆的半径，且. 又，所以， 则， 又，所以， 又，所以， 而点在圆上运动，所以，则，所以， 综上，的取值范围为. 19．（25-26高三上·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，，，． (1)用，表示，； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算计算即可. （2）根据向量数量积的运算律计算即可. （3）根据向量数量积求得，结合图象判断取最值时点位置，结合余弦定理计算即可. 【详解】（1）因，，， 则，，， 则，. （2）由（1）可知，，， 则 . 因为，，则， 则， 故. （3）由题可知，， 则. 由图可知，当与重合时，，此时取得最小值为. 当与重合时，最大，取得最大值， 如图连接，在中，由余弦定理， ， 所以的最大值为， 故的取值范围为. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $