重难点专训05 立体几何中的范围与最值问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“目标量-变量分析-函数构建-最值求解”为主线，系统整合5大核心策略与7类题型通法，实现立体几何动态问题的结构化突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1|函数法、几何临界法、基本不等式法、等体积法、截面投影法|从目标量识别到变量约束，建立“几何关系→代数模型→最值求解”的完整链条| |7类题型通法|每题型含典例2+变式2|针对长度、面积、体积等7类问题提炼参数化、距离平方化等高分技巧|按“静态几何量→动态空间角”递进，结合正方体、球内接体等载体深化应用| |分层过关练|巩固5题+创新5题|融合导数、三角函数有界性等工具，强化易错点（变量范围、几何约束）|从基础模型到复杂组合体，适配一轮复习从通法到综合应用的提升需求|

重难点专训05 立体几何中的范围与最值问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 长度范围与最值 3 题型2 表面积范围与最值 10 题型3 体积范围与最值 14 题型4 点面距的范围与最值 18 题型5 异面直线所成角的范围与最值 23 题型6 线面角的范围与最值 29 题型7 面面角的范围与最值 37 重难专题分层过关练 48 巩固过关 48 创新提升 53 解题方法及技巧提炼 1、立体几何中范围与最值问题的基本思路是： （1）明确所求目标量——可能是线段长度、周长、面积、体积，也可能是空间角（线线角、线面角、二面角）或空间距离（点面距、异面直线距）； （2）分析目标量依赖于哪些几何变量（如动点位置、翻折角度、旋转角、截面位置等），并根据题目条件确定这些变量的可行范围（如点在线段上运动、点在平面上运动、二面角在一定范围内变化等）； （3）通过几何关系或向量坐标建立目标量关于自变量的函数表达式或不等式关系； （4）运用函数单调性、导数、基本不等式、三角函数有界性等数学工具，结合可行域求出目标量的最大值、最小值或取值范围，并验证最值是否在可行域内取得。 2、求解范围与最值的核心策略： （1）函数法（最常用）：设动点位置参数（如，）或几何角度参数（如翻折角），利用空间向量或几何关系将目标量表示为参数的函数，然后利用求导、二次函数配方法或三角函数有界性确定值域。这是处理复杂动态问题最稳定的方法，适用于解答题。 （2）几何临界法（快速判断）：利用几何直观，最值往往出现在动点运动到特殊位置——如中点、端点、垂足、对称点，或出现在线面平行、线面垂直的临界状态。这种策略在选择题、填空题中可大幅提高解题速度，但需注意临界位置并不总是最值点，需结合具体问题验证。 （3）基本不等式法：当目标量可表示为两正数之和、积或平方和的形式时，直接使用均值不等式（如，）求最值。常用于求边长和、面积积的最值，但必须注意等号成立的条件是否符合几何约束（如能否取到等号对应的三角形形状）。 （4）等体积法转化：当求点到平面的距离最值时，可通过换顶点、换底面，利用体积相等将距离表示为其他几何量的函数，再求最值。此法避免直接作垂线，尤其适用于高不易直接求出的锥体问题。 （5）截面法与投影法：对于空间几何体中截面面积、截面周长等问题，通过作截面将空间问题降维为平面几何问题，在平面内利用解析几何或三角函数求最值。投影法则常用于求线面角、二面角的最值，将角度转化为线段长度的比值进行分析。 3、常见题型及解题要点： （1）线段长度或周长的最值：设动点参数，用两点间距离公式或余弦定理表示目标线段，再求最值。注意若动点在空间中沿直线运动，距离公式可化为二次函数；若动点在球面上运动，则考虑球面距离的特殊性。 （2）面积或体积的最值：面积常用形式，体积常用形式，将底面积和高分别用参数表示，然后利用函数法或不等式法。需特别注意高与底面的垂直关系是否正确建立。 （3）空间角的最值：线线角、线面角、二面角的范围固定（线线角、线面角在，二面角在）。通过向量法将角的余弦值或正弦值表示为参数的函数，再利用单调性求范围。注意线面角的正弦值随角增大而增大，可用正弦值直接比较；二面角的余弦值在上单调递减，比较余弦值即可判断角的大小。 （4）空间距离的最值：点面距常用向量公式或等体积法；异面直线距常转化为线面距或利用公垂线段。最值通常出现在动点运动到使垂足位置最优时，也可用函数法求导。 4、实用技巧与答题规范： （1）设参数时一定要注明参数的范围，如、等，这是后续求最值时定义域的依据，遗漏会导致结果错误； （2）利用基本不等式时，必须验证等号成立的条件是否满足题目给定的几何约束，若不满足，则最值应在端点处取得； （3）导数法求最值时，需检查极值点是否在可行域内，并比较极值与端点值的大小，得出最终结论； （4）在解答题中，应完整呈现“设参→列式→求最值→验证”的步骤，即使数值计算复杂，步骤分也能获得。 5、易错点与关键提醒： （1）变量范围不完整：如动点在线段上运动，参数范围为闭区间；在射线上运动为半开区间；在平面内运动为二维区域，边界需单独讨论。忽略范围会导致最值点落在不可达位置。 （2）忽略几何约束的相互作用：多个变量之间可能存在关联（如三角形内角和、勾股关系），不能独立取值，需要联立约束消元后再求最值。 （3）角度最值的单调性判断：线面角在上正弦单调递增，但余弦单调递减，用余弦求最值时需注意转化；二面角在上余弦单调递减，不能直接比较正弦值。 （4）组合体中的重叠与空隙：求表面积最值时，组合体的接合面不计入；求体积最值时，注意挖去部分的体积要减去，不可遗漏。 （5）最值存在性的确认：若目标函数在开区间上单调，则最值可能以极限形式存在，但实际不可取到，需在结论中说明“趋近于”或“无最大值/最小值”。 题型通法及变式提升 题型1 长度范围与最值 【典例1-1】如图，在棱长为2的正方体中，M是棱的中点． （1）三棱锥的体积是______； （2）点P是侧面内（含边界）的动点，且MP∥平面，则线段MP长度的取值范围是______ 【答案】 【分析】（1）由直接计算求解即可； （2）取的中点为，的中点为，的中点为，证明平面平面，平面，线段扫过的图形为，通过证明，说明为直角，得线段长度的取值范围为即可得解． 【详解】（1）； （2）取的中点为，的中点为，的中点为，作图如下： 由图可知，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为， 所以， 因为， 故平面平面， 因为平面， 所以平面，线段MP扫过的图形为， 由知，， 在中，， 即，所以， 所以，即为直角， 故线段长度的取值范围为，即， 故答案为：；． 核心口诀：动点设参表距离，二次函数配最值；根号内看二次型，端点极值都要比。 高分技巧： 参数化动点：设动点在线段上运动，参数 ，用坐标表示动点位置； 距离平方化：求 长度，先算 （二次函数），避免根号求导。二次函数开口向上时最小值在对称轴处，最大值在端点处； 多动点问题：若有多个动点，先固定一个求最值，再对另一个求最值（嵌套最值）； 几何法：利用“两点间线段最短”“垂线段最短”直接得最值，再验证取等条件； 选填速判：取动点在线段端点、中点或某特殊位置分别计算长度，比较后直接选答案； 易错警示：开方后最值位置不变，但要注意 ；对称轴若不在定义域内，最值在端点取得；勾股定理求空间距离时注意坐标差平方和。 【典例1-2】（25-26高三上·北京·开学考试）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱上的中点，有以下结论：    ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是__________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【分析】根据正方体的结构特征以及空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于①，过点向引垂线，交于点，连接， 由正方体的性质可知，在平面上的投影图形为， 当在上底面运动时，的面积保持不变，其面积为，故①正确；    对于②，取的中点，连接，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 由正方体性质可知，，且，所以，且，即四边形ABMF为平行四边形，所以， 因为分别为中点，所以，即有， 所以四点共面， 所以平面截该正方体所得的截面图形是梯形， 因为，， ，故梯形不是等腰梯形，故②不正确；    对于③，延长使得，则由对称性可知：， 所以， 当三点共线时，取到最小值， 因为， 所以,即的最小值是，故③不正确；    对于④，取中点，连接，由正方体性质可知，， 因为，， 所以由可得， 所以点在上底面内运动路径是在正方形内以为圆心，2为半径的一段圆弧， 如图，由，可得，同理 所以圆弧的长度为，故④正确； 故答案为：①④. 【变式1-1】已知正三棱锥，底面边长为，二面角的正切值为，则正三棱锥的外接球半径为_____，分别为正三棱锥内切球，外接球球面上的动点，则线段长度的最大值为_____． 【答案】 【分析】过作面，利用正三棱锥的性质，知是的中心，再利用几何关系和条件，可得，由正三棱锥的性质知外接球球心在上，再利用勾股定理，即可求出外接球的半径，再利用等体积法，求出内切球的半径，根据条件转化成求两球心距和内切球、外接球半径之和，即可求解. 【详解】如图，过作面，因为是正三棱锥，则是的中心， 连接并延长交于，则是的中点，连接， 因为，，所以为二面角的平面角， 又，是中心，则，， 在中，由，得到， 因为是正三棱锥，则的外接球球心在上，设球心为，半径为，连接， 如图，由，得到，解得. 因为，所以， 则，又，， 设正三棱锥内切球的圆心为，半径为，易知在上， 由，得到，所以， 又，， 则线段长度的最大值为， 故答案为：，. 【变式1-2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（   ）    A．三棱锥体积的最大值为 B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C．当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】D 【分析】显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，求出正四面体体积可判断A；利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求出其周长可判断B；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，求出其轨迹长度可判断C；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，可判断为直角三角形，易知长度的最大值为，计算可判断D. 【详解】A，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点P到平面的距离最大， 易知点C是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，A正确； B，取中点中点K，连接，    因为分别为中点， 所以，又， 所以，则， 因为，所以， 即，又平面， 所以平面，因为， 所以点P的轨迹为，所以动点P的轨迹长度为，故B正确； C：连接以B为圆心，为半径画，如图1所示，    当点P在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 长度，故点P的轨迹长度为，故C正确； D，取的中点分别为， 连接，如图2所示，      易知面平面， 故平面平面平面， 故平面，又平面， 故平面平面，又， 故平面与平面是同一个平面， 则点P的轨迹为线段， 在三角形中，； ； 则， 故三角形是以为直角的直角三角形， 故，故长度的最大值为，故D错误． 故选：D 题型2 表面积范围与最值 【典例2-1】已知球的半径为1，圆柱的上､下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径以及高，根据题意列出方程，根据基本不等式求解即可. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，已知球半径. 因为圆柱上下底面圆周都在球面上，球心在圆柱的轴线的中点， 由勾股定理得：， 所以，即，当且仅当. 则该圆柱侧面积为，故其最大值为. 核心口诀：侧面积与底面积分开看，均化为单变量函数；均值不等式与导数并用，注意取等条件验证。 高分技巧： 变量选择：常见变量为底面半径 、高 、母线 或二面角 。利用题设约束（如体积固定、母线固定）消元为单变量； 旋转体表面积： 或 ，代入约束后化为关于 的函数； 多面体表面积：逐面计算后求和，通常为关于边长的一次或二次齐次式，利用均值不等式求最值； 均值不等式适用：若表达式形如 （三次型），用导数；若为 ，用均值不等式； 选填速判：正多面体（正方体、正四面体、正三棱锥）中，表面积最值常在对称位置取得； 易错警示：表面积最值的定义域需由几何体存在条件确定（如 ，三角形两边之和大于第三边等）；均值不等式取等条件必须验证是否在可行域内。 【典例2-2】在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________． 【答案】 【分析】先算固定面面积，再通过二面角表示可变面面积，利用二次函数求其最值，相加可得表面积的最大值. 【详解】 已知，即、均为边长为的等边三角形， 根据等边三角形面积公式（为边长）：， 因此，两个固定面的面积和为：； 取的中点，连接、， 由等边三角形“三线合一”的性质：，（三线合一）， 因此是二面角的平面角，记（）， 在中，，， 由勾股定理： 连接，在中，由余弦定理可得 在中，已知，，， 再由，得 ， 因此： 化简得： 由对称性可知，因此两个可变面的面积和为： 令，由得， 则需最大化二次函数： 该二次函数的二次项系数，开口向下，对称轴为： 对称轴 ，代入得 的最大值： 因此，可变面面积和的最大值为： 三棱锥表面积 ，代入最大值得： 三棱锥表面积的最大值为. 故答案为：. 【变式2-1】如图，圆台的上底面圆周在半球的球面上，圆台的下底面为半球的底面，若半球的体积为，则圆台侧面积的最大值为_______．    【答案】 【分析】根据条件先求解出球的半径，然后将圆台的侧面积表示为关于圆台上底面半径的函数，利用导数思想可求解出侧面积的最大值. 【详解】设半球的半径为，所以，解得．    设圆台的上底面半径为，高为，母线为，则，， 圆台的侧面积，， 令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以当时，有最大值，此时侧面积的最大值为． 故答案为：. 【变式2-2】已知球O与圆台的上、下底面和侧面都相切．若圆台上下底面半径分别为，且．若球和圆台的表面积分别为和，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】因为球O与圆台的上、下底面和侧面都相切，做轴截面的平面图，为等腰梯形内切一个圆，梯形的上、下底是圆台的上、下底面直径，梯形的高是内切球直径，作图，根据数量关系，列出方程，写出表面积的比值代数式，求出最大值. 【详解】 因为球O与圆台的上、下底面和侧面都相切， 圆台上下底面半径分别为，且， 由切线长定理有圆台的母线长为， 设球O的半径为R，几何体轴截面上右端点为A，下右端点为B， 过点A作于，则圆台的高， 则由勾股定理有，化简得， 因为球O与圆台的表面积分别为和， 所以， 因为，所以， 令，由对勾函数可知，时，y随t的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为． 所以的最大值为． 故答案为：. 题型3 体积范围与最值 【典例3-1】（2026·北京房山·二模）我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为____． 【答案】 【分析】设圆柱底面直径为，高为，由题意得，将容积表示为单变量函数，利用导数法找极值点，再判断极值是否为最值. 【详解】设圆柱底面直径为，高为，由题意得，即， 圆柱容积：， 求导得：， 令，在内得临界点： 当时，单调递增； 当时，单调递减； 因此时取得最大值，代入得：. 核心口诀：体积公式 ，底面积高同时变时，消元化单变量；均值导数双工具，选填特殊位置判断。 高分技巧： 锥体体积：，其中底面积和高都可能随参数变化。先利用约束关系将 和 均表示为同一变量； 旋转体体积：圆柱 ，圆锥 。给定母线长时，消元得 关于 或 的函数； 内接体最值：如球内接圆柱，利用 消元，再求 的最值； 导数法：三次函数 求导，令 得驻点； 选填速判：若几何体可变为正多面体，体积最值常在对称时取到；取极端位置（ 或 ）判断体积是否趋向0； 易错警示：体积最值中 对应退化情形（高为0或底面积为0），需排除；定义域端点若对应退化几何体，该端点值不可取，需用极限判断。 【典例3-2】（25-26高三下·北京·开学考试）如图，正方形中，，点为中点，现将沿折起形成四棱锥，设点为中点，则下列命题中为假命题的是___________． ①为棱上一点，若，则在折起过程中，四点可能共面； ②设与交于点，则在折起过程中与可能垂直； ③四棱锥体积的最大值为． 【答案】①② 【分析】根据异面直线的判断方法可得为异面直线，故可判断①的正误.假设与垂直，则可得，矛盾，从而可判断②的正误.当平面平面时，四棱锥体积取得最大，据此可求体积的最大值. 【详解】平面即为平面，又平面，故为异面直线， 从而不可能在同一平面内，故①错误. 与垂直，因为，，且两直线在平面内，则平面， 而平面，故，而为的中点， 故，但，矛盾，故②错误. 当平面平面时，四棱锥体积取得最大， 此时P到CE的距离即为四棱锥的高. 故在中，由，可得， 故，故③正确. 故答案为：①②. 【变式3-1】在体积为32π，高为4的直圆锥内部放一个完全位于其内部的圆锥，要求圆锥的尖头朝下（和原来的圆锥尖头方向要相反），则该圆锥体积的最大值为__________ 【答案】 【分析】本题主要考查圆锥内接几何体的体积最值问题.设原圆锥底面半径，高，由体积求；内接倒置圆锥顶点在原圆锥底面中心，底面平行于原底面，设其高为，底面半径为，利用相似关系建立与的关系，写出体积函数，求导确定最大值. 【详解】设原圆锥底面半径为，高. 由体积，得. 设内接倒置圆锥体积最大时，需满足顶点在原圆锥底面中心，高为（），底面半径为. 由相似关系，在高度处原圆锥截面半径为，内接圆锥底面与原圆锥相切， 故. 内接圆锥体积为 令，则，且. , 令，. 令，得（舍去）.当时，，单调递增， 当时，单调递减， 此时, 故最大体积为 【变式3-2】（2026·北京东城·二模）在三棱锥中，，，. （1）若平面，，则三棱锥的体积为_____； （2）若该三棱锥的某两条侧棱的长度之和为12，则三棱锥体积的最大值为_____. 【答案】 【分析】利用等体积法，结合余弦定理和三角形的面积求解. 【详解】（1）因为， 所以是的直角三角形，所以， 因为平面，所以三棱锥的体积为； （2）若，则到平面的距离的最大值为点到直线的距离，为， 设，， 所以， 所以， 所以当时，的面积最大，为， 此时三棱锥的体积为， 若，则到平面的距离的最大值为， 设，， 所以， 所以， 所以当时，的面积最大，为， 此时三棱锥的体积为， 若，则到平面的距离的最大值为， 设，， 所以， 所以， 所以当时，的面积最大，为， 此时三棱锥的体积为， 因为， 所以三棱锥体积的最大值为 题型4 点面距的范围与最值 【典例4-1】在正三棱柱中，所有棱长都为2，是侧棱上一动点，则到平面的距离之和的最大值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式表示距离，最后结合换元法和基本不等式求解最大值即可. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，， 以，，的方向分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，. 因为，， 所以，令， 解得，得到. 设到平面的距离分别为， 因为，， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以到平面的距离之和的最大值为. 故选：B. 核心口诀：点面距 = 点到平面垂线段长；动点参数化代入公式，函数最值定范围；等体积法更快捷。 高分技巧： 向量法（通法） ：设动点 ，平面 法向量为 ，面内一点 ，则 。 关于 线性，分子为一次函数的绝对值，在区间端点或零点处取最值； 等体积法：若动点在一个锥体的顶点上运动，体积 固定（或为常量），底面积固定，则高（即点面距）为定值；若体积变化，则高随体积线性变化； 几何法：点到平面距离的最小值为0（点在平面上）；最大值为点到平面最远点的距离； 选填速判：取动点在特殊位置（端点、中点、垂足位置）分别计算点面距，比较得范围； 易错警示：点面距公式中分子带绝对值，去掉绝对值时需判断符号；若点在平面内则距离为0，检查参数是否可取到该位置。 【典例4-2】《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动.下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．点到平面距离的最大值为 D．当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AB；利用空间向量求出点到平面距离判断C；确定体积关系判断D. 【详解】依题意，直线两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 令，， 对于A，，若，则，必有， 此时与不共线，矛盾，A错误； 对于B，， ，则不成立，即不垂直，B错误； 对于C，设平面的法向量，而， 则，令，得， 点到平面距离，当且仅当，即与重合时取等号，C正确； 对于D，当时，，点到平面与平面的距离都为， 而，则，D错误. 故选：C 【变式4-1】在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，由题意得，接着建立空间直角坐标系求出向量和平面的法向量即可根据向量法的点到平面距离公式求解. 【详解】连接交于点O， 由题意，得，， ， 如图，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以，       设平面的一个法向量为，则， 所以，取， 则， 设顶点B到平面距离为d， 则， 当时， 当时，， 所以当即时点B到平面距离最大为. 故选：A. 【变式4-2】在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________． 【答案】1 【分析】利用体积法求出三棱锥内切球半径，再建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标，利用向量法求出球心到平面的距离即可. 【详解】在三棱锥中，底面，，设三棱锥内切球的球心为，半径为， ，，， 中边上的高为，则， 三棱锥的体积，解得， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 因此点到平面的距离， 所以点到平面的距离的最大值为． 题型5 异面直线所成角的范围与最值 【典例5-1】已知空间四边形，，，，.则对角线与所成角的余弦值的取值范围是______. 【答案】 【分析】通过三角形算出线段长，作，求得长，然后建立空间直角坐标系，设出点的坐标并得到参数之间的关系，利用空间向量间求得异面直线的夹角的余弦值可得. 【详解】在中，因为，所以， 过点在平面中作于点，则和相似， 所以，所以，， 取中点，连接，在三角形中，因为，所以， 如图，以为坐标原点，为轴，为轴，过作直线垂直于平面，这条直线为轴，建立空间直角坐标系，    因为，，所以，所以， 设，且， 所以，， 设直线与直线的夹角为， 则 ， 因为，所以当时，， 所以当时，， 所以对角线与所成角的余弦值的取值范围是. 故答案为：. 核心口诀：方向向量夹角余弦绝对值，角随参数变化单调或凸；分子线性分母二次型，求导或判别式定最值。 高分技巧： 向量法：设两异面直线方向向量为 ，则 ，。求 的最值即可确定 的范围； 结构分析：分子通常为关于 的一次或二次函数，分母为根号下二次函数，可平方后求导； 特殊位置：异面直线所成角的最大值通常出现在动点运动到端点或某对称位置；最小值为两直线平行时（角为0，但异面直线不可能平行，所以最小值可能趋近0）； 选填速判：取动点在端点、中点等特殊位置分别计算异面直线所成角，比较得范围； 几何法：通过平移将异面直线转化为相交直线，角的变化直观可见； 易错警示：异面直线所成角范围为 ，最大不超过 ； 单调递减，求 最小值即得角最大值，反之亦然。 【典例5-2】在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部（不含边界）的一点，且 ，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据椭圆的定义的动点的轨迹方程，根据异面直线所成角空间向量法得其表达式，利用换元法结合二次函数性质计算可得取值范围. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，在平面内，由，符合椭圆的定义． 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为， 由题意可知， 所以椭圆方程为：， 显然， 又，则， 直线与所成角的余弦值 又，代入得， 当时，令，， 由二次函数性质可知，在上单调递增，所以， 所以. 【变式5-1】棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为__________． 【答案】 【分析】依题意建立空间直角坐标系，利用正四面体性质求出点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，再利用重心性质以及异面直线夹角的向量求法即可求出结果. 【详解】根据题意，记在底面内的摄影为，则平面， 又平面，故，； 利用正四棱锥性质可得，所以， 又因为，则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，在平面内过作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 设， 易知， 又点为的重心，可得， 因此， 设直线与直线所成的角为， 则可得 当时，取得最大值. 因此直线与直线所成角的余弦值的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解异面直线夹角的方法： 平移法：作出异面直线夹角的平面角求解； 向量法：利用空间向量以及夹角公式计算. 【变式5-2】如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为__________；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为__________. 【答案】 / 【分析】分析点的轨迹，可求点的轨迹长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线与直线所成角的余弦值的取值范围（或者用三余弦定理求直线与直线所成角的余弦值的取值范围）. 【详解】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为. 建系如图，设，则. . 令， . 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. （法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大， 由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大， 则P在点M处时，取得最小值，此时， 则P在点N处时，取得最大值，此时， 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 题型6 线面角的范围与最值 【典例6-1】如图，在直三棱柱中，． (1)证明：； (2)已知的中点是D，，，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用直三棱柱的性质和线面垂直的判定定理，证明平面，从而得到结果； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到平面的距离；（ⅱ）先求平面的法向量，再根据和P是矩形上的条件，转化为向量夹角问题求解. 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以，    又因为，平面，平面，， 所以平面，   因为平面，所以； （2）（ⅰ）设，依题设以A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 因为，所以，即，解得，     则，， 得，， 设平面的法向量为， 由，得，令，所以，     又，所以点到平面的距离； （ⅱ）设平面的法向量为，又，， 由，得，令，所以， 取中点Q，则，连接，， 因为，，所以， 在中，，所以，， 平面，平面，所以， 平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以点P的轨迹是以Q为圆心，为半径的半圆， 设，则，，， 因为，，所以，整理得：， 设与平面的夹角为， 则， 因为，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围为． 核心口诀：，分子线性分母根号二次；平方后化分式求最值，注意 。 高分技巧： 向量法：设直线方向向量 ，平面法向量 （固定），则 。求 的最值等价于求线面角的最值； 几何法：线面角的正弦 = 点到面的距离 ÷ 斜线长度。若动点在直线上移动，距离和斜线长度均随参数变化，需构造函数； 特殊情况：直线平行于平面时线面角为0；直线垂直于平面时线面角为 。最大值 对应直线与法向量平行； 选填速判：取动点在特殊位置（如端点、中点）分别计算线面角，比较得范围； 易错警示：线面角范围 ， 单调递增，求 最值即可；方向向量与法向量夹角可能为钝角，计算正弦时需取绝对值；若直线在平面内则线面角为0（但直线在面内时方向向量与法向量垂直，）。 【典例6-2】如图，在几何体中，四边形为正方形，平面，，，. (1)求证：平面平面； (2)若点在平面内，且. （i）求点的轨迹的长度； （ii）设直线与平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】(1) 证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由题意求得，， 所以，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先证平面，得到，利用勾股定理可得，再由线面垂直的判定得到平面，进而可证平面平面； （2）（i）以为原点建立空间直角坐标系，设，根据垂直向量的坐标表示求解即可； （ii）利用空间向量法求线面夹角即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，直线，，两两垂直，以直线，，分别为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系， 则，，，，. （i）设，则，， 因为，所以， 即， 所以点的轨迹是以棱为直径的圆，其长度为. （ii）由（i）知，，， 设平面的一个法向量，则 即 令，得，，所以， 则. 由（i）知，所以， 因为，得， 所以，所以的取值范围是. 【变式6-1】如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，平面 平面 ， . (1)证明: 平面 ； (2)若， 为 中点，，点 在平面 上，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)因为在四棱锥 中，四边形 是正方形，所以， 又平面 平面 ，且平面，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 又，平面 ， 所以 平面 . (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直可得； （2）利用空间向量先求出平面的法向量进而求出点的坐标，再利用空间向量法求正弦值可得. 【详解】（1）略 （2） 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因，则有， 因为 为 中点，，则， ，即得. 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因平面过点，设， 则，， 所以， ， 设平面 的法向量为， 则，故可取， 设直线 与平面 所成的角为，因， 则， 可得当时取得最大值为； 所以直线 与平面 所成角的正弦值范围是. 【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，O、G分别为，中点. (1)求证：平面平面； (2)若点为中点，点P关于平面的对称点为点Q，在棱上运动，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由矩形的性质可得，从而可得平面，由面面垂直的判定定理即可得证明； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系,先求得，再利用直线与平面所成角的向量法求解即可. 【详解】（1）证明：因为为正三角形，O为中点， 所以， 又因为G为中点，四边形为矩形， 所以， 因为平面且， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知， 又因为平面平面,平面平面, 所以平面, 又因为平面, 所以， 所以两两垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系： 由，，，，，，，， 所以,, 设平面的法向量为， 则，得， 取， 设， 由题意可得， 所以， 所以中点在平面内， 则 所以， 解得， 所以， 设，， 则， 因为平面， 所以取平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 要使最大，所以最小， 又因为， 所以时，最小，为， 此时最大，为. 题型7 面面角的范围与最值 【典例7-1】如图，在四棱锥中，，，，四棱锥的体积为. (1)若，证明：平面平面； (2)若平面平面，求平面与平面夹角余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】 （1）取中点,连接，通过几何法分别证明，，则有面，从而得到平面平面. （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系,由平面平面，可得的投影在线段上，列出点坐标，分别计算出平面与平面的法向量即可求解. 【详解】（1） ，，     且 又，且， 在中， ， 在中，，即. 取中点O，连接， ，且 又底面为直角梯形，， 解得，即为四棱锥的高，面， 面， 又，面，面 又面，平面平面 （2） 以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 平面平面，的投影在线段上， 结合（1）可设，，， 则，， 设面的一个法向量为， 则，即， 令，则 由（1）知，是面的一个法向量， 所以 ，当时， 有最大值为. 即平面与平面夹角余弦值的最大值为. 核心口诀：二面角看法向量夹角，；符号由锐钝定，最值常用判别式或导数求。 高分技巧： 向量法：设两平面法向量分别为 ，二面角 ， 的绝对值由两法向量夹角决定。根据图形判断 是锐角还是钝角，确定正负号； 转化为线面角：二面角的平面角等于一个平面内的直线与另一个平面所成线面角的余角（特定构造下）； 面积射影法：若一个平面上的图形在另一个平面上的射影面积 与原面积 之比等于 ，选填中利用面积比快速求二面角范围； 几何法：在棱上取动点，作两半平面的垂线，平面角随动点位置变化，构造函数求最值； 选填速判：二面角范围为 ，若两平面可旋转至重合则最小为0，旋转至反向则最大为 ；取特殊位置（棱上特殊点）计算判断； 易错警示：二面角范围 ， 在 上单调递减，求 的最大值得锐角最值，最小值得钝角最值；法向量方向的选择影响夹角符号，必须结合图形判断；二面角为0时两平面重合（退化情形），为 时两平面共面反向，需根据题意判断是否可取。 【典例7-2】如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)由已知，得； 又因为底面，底面，故； 因为，，，平面， 所以平面，平面，故. (2) (3)或不存在 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的定义可得； （2）建立空间直角坐标系，通过解三角形得，再分别求两个平面的法向量，并用向量法求两个平面的夹角可得； （3）先设，再由向量法求得线面角，若时，，，此时的值不存在；若时，由同角三角函数关系得，再分和两种情况讨论，并结合函数，的单调性可得的取值范围. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以， 又因为，所以，因此两两垂直. 因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：    则. 在中，，，所以为等边三角形，所以. 又因为，，所以. 在中，，，， 所以，. 因此，因为是中点，故. 设平面的法向量为，，， 则，，令，得， 所以平面的法向量. 设平面的法向量为，，， 则，，令，则， 所以平面的法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设在上，设，且， 得，， 设平面的法向量为，，， 则，， 令，则，所以. 因为，平面的法向量为， 所以， 因为，所以，所以，因此， 若，则，得，，解得. 当时，，此时，所以的值不存在； 当时，，此时，所以， 所以， 得， ①时，， 因为函数在单调递减，且，，    所以，因此得； ②时，， 因为函数在单调递增，且，，    所以，因此得. 综上所述，当时，的值不存在；当时，. 因此的取值范围是或不存在. 【变式7-1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)因为底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 在中，，为的中点，所以， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系后，将用两种不同的方式表示，列方程组求解； （3）先求平面的一个法向量，再表示平面的一个法向量，接着表示出夹角的余弦值，从而求出最大值. 【详解】（1）略 （2）    以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，则，则得， 则，，，， 设， 若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得 即，得方程组： ，解得 即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处). （3）由（2）可知 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 设平面的一个法向量为， 则故可取， 设平面与平面夹角为，则 ， 当时，取得最大值， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 . 【变式7-2】如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点. (1)证明： （i）面； （ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变. (2)求二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1) （i）是等边三角形，且的外接圆为圆，为的中心， 为圆的直径，， 四边形为正方形，， 平面与圆所在的平面交于，平面与圆所在的平面垂直， 圆所在的平面， 圆所在的平面，，，平面， 平面. （ii）的外接圆为圆，平面， 三棱锥的外接球的球心在上， 设球心为，球的半径为，则，， ，，，， ，， 为的中点，，，， 不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变. (2). 【分析】（1）（i）由是等边三角形，且的外接圆为圆得到为的中心，由为圆的直径得到，由圆柱的性质得到圆所在的平面，从而得到，利用线面垂直的判定定理得到平面.（ii）由题意得到平面，从而得到三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，球的半径为，可以得到，即为的中点，从而可以求出的值，得证. （2）利用空间向量法求解，求出平面和平面的一个法向量，设二面角的平面角为，利用向量的数量积求出，通过换元法求出的范围，即为二面角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）以为原点，过作的平行线作为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，，，设， ，， 设平面的法向量为， 则，即，解得， ，， 平面的一个法向量为，， 二面角的平面角为，由两个平面的法向量均指向二面角内部， 则， 设， ，，， ， 当时，， 当时，， ，，，，，， ，； 当，， ，，，，，， ，； 综上可知，， 则二面角的余弦值的取值范围为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为1，且，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得和平面的法向量，结合向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，且， 以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，即 当时，；当或时，， 所以. 故选：D. 2．在四棱锥中，底面为矩形，，且，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入空间平面夹角向量公式，利用基本不等式求解范围即可. 【详解】以点A为坐标原点，分别为轴，过点A垂直平面的线为z轴，建立空间直角坐标系，如图： 则．设，因为，． 所以，所以，．易知平面的一个法向量为， 设是平面的法向量， 则即，取，则， 所以平面的一个法向量为． 设平面与平面夹角为， 所以. 令，则， 所以， 当且仅当即，即时，等号成立，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围是. 故选：B 3．如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，表示关于坐标的函数，再求函数的值域. 【详解】连接，在中，易得，． 以点为坐标原点，以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，． 设平面平面，因为，平面，平面， 所以平面，又因为平面平面，所以， 当时，可得点在平面内，可得，， 又，所以，，所以即为平面与平面所成角的平面角， 又因为平面平面，所以，所以，． 又因为，，即．， 当时，，其中； 当时，，其中； 的取值范围为， 故选：A． 4．如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】D 【分析】求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解判断B；用极限的思想求出的范围，再利用，求得的范围判断C；利用图形展开及两点之间线段最短判断D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，B错误； 对于C，在中，，又，则， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又与不重合，则，又，得，C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图知， 由， 得， 所以，D正确. 故选：D 5．在梯形ABCD中，，，，，把梯形ABCD沿对角线AC折起，使D到达P的位置，当二面角的取值范围为时，三棱锥的体积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用线面垂直，作出能表示该二面角的角。根据梯形边长，求出△ABC的面积，根据三棱锥体积公式（S是底面积，h是高），结合二面角的取值范围，求出体积的取值范围 。 【详解】 ，在中，作于点E， 由旋转不变形可得， 又，,，连接,， 由折叠得，，故为的平面角， 也是的平面角的补角，故， 又因，，则， 又因,则， 在平面内，过作，垂足为， 因为，平面， 故，设点P到平面ABC的距离为h，则， 则三棱锥的体积， 易知当二面角等于时，h取最大值，此时，则； 当二面角等于时，h取最小值，此时，则， 故三棱锥的体积的取值范围为． 故选：D. 创新提升 6．如图，在正三棱柱 中， ，点 在线段 上 (不含端点).    (1)当 时，求证 平面 ； (2)求三棱锥 与三棱锥 的体积之和； (3)求 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1) 设的中点为，是等边三角形，则， 由于底面，所以，因此，平面， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系。 则，，，，，，    设，则， 因为，所以。 因此，的坐标为： 所以，，即， 所以，，即， 因为，且平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）要证明，我们通过建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量垂直数量积为零，分别验证和； （2）采用等体积转换法，将转化为，将转化为，通过求解各自底面的法向量并计算点到相应底面的距离； （3）首先求出平面的法向量，然后利用线面角的正弦公式，建立关于参数的函数，通过变量代换将问题转化为求函数在区间上的值域进而求 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）三棱锥的体积为：， 其中，为点到平面的距离， 已知点在线段上，则， ， 平面上两个不共线向量：， 设平面法向量，满足：， ，点到平面的距离：平面上取点，， 距离公式：，， ，， 所以：， 平面上两个不共线向量：， 设平面法向量，满足：， 底面的面积：，， 点到平面的距离：平面上取点，， 距离公式：，， ，， 所以：， 故， （3），，， 设平面的一个法向量为， 由， 取，得，， 设与平面所成角为，， ， 则， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ，，， 故，则， ， 故． 7．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，.    (1)证明：平面； (2)若，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1) 延长，交于点，连接， 因为平面，，平面， 所以，， 即，. 因为为等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 又，平面， 所以平面，即平面. (2) (3) 【分析】（1）依题意，延长，交于点，连接，证明，推得平面，即可证平面. （2）根据（1）中的结论，建立空间直角坐标系，由球心到的距离相同，且为球半径，列方程即可求出球心坐标和球的半径，即得球的表面积. （3）根据（2）中的坐标系，求出平面与平面的法向量，然后计算夹角的余弦值，化简后利用基本不等式即得其取值范围. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，两两垂直， 故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，      由（1）易得， 又，所以， 所以，，，，. 设，球的半径为， 则，， ，， ， 联立解得，， 则球的表面积为. （3）由（2）可知， 设，则易得，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面与平面的夹角为， 则 ， 令，则， 所以， 则， 故平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 8．如图，在长方体中，底面是边长为1的正方形， (1)若，过点作平面与平面平行，求平面截长方体所得截面的面积； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取的中点分别为，连接，由已知可得截面为六边形，即可求解； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面角； （3）利用向量法求解线面角的正弦值，然后利用导数求解函数的最值. 【详解】（1） 取的中点分别为， 连接， 在长方体中可得六边形， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，同理可证平面，因为平面， 所以平面平面， 所以平面截长方体所得截面为六边形， 因为底面是边长为1的正方形，所以， 因为在直角三角形中，，所以， 所以，所以，所以，， 所以在六边形中， ， 所以六边形的面积为等腰梯形面积的倍， 设等腰梯形的高为，所以， 所以等腰梯形的面积为， 所以六边形的面积为； （2） 如图以为坐标原点建立空间直角坐标系， 若，则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设直线与平面所成角为， 所以 ， 设，， 所以， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 9．如图，柱体上下底面是椭圆面，、分别是上下底面椭圆的长轴，、分别是上下底面椭圆的短轴，四边形和为矩形，、分别为上下底面椭圆的长短轴的交点，．、是下底面椭圆上两动点，不与平行或重合．    (1)证明：平面； (2)若面积为定值，求的长度； (3)在（2）的条件下，当平面平面时，求点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1) 因为四边形为矩形，则，， 由题意得，、分别为和的中点，所以，，， 所以，四边形为平行四边形， 因为，则，同理可证，， 因为，、平面，故平面． (2) (3) 【分析】（1）证明出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，，则，求出点到直线的距离，结合三角形的面积公式以及为定值，求出的值，即可得解； （3）设、，利用空间向量法可得出，设直线在平面内的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，代入，可得出，进而可求出点到直线的距离的取值范围． 【详解】（1）略 （2）如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    设，，则， 所以，，． 则点到直线的距离． 所以．（*） 因为底面椭圆焦点在轴上，，即长轴长为，短轴长为， 所以点的坐标满足，即， 代入（*）式得，． 由已知面积为定值，所以，则， 由（1）知，故的长度为． （3）设、，， 则，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，即． 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，则平面的一个法向量为． 因为平面平面，所以，得， 在平面内，椭圆的方程为， 设直线在平面内的方程为． 代入椭圆方程得， 由，得． 由韦达定理得， 所以， 即，化简得． 所以点到直线的距离为， 则，所以． 故点到直线的距离的取值范围为． 10．如图，四棱锥的底面为矩形，，是等边三角形，平面平面，O，F分别是，的中点，与交于点E，平面与直线交于点Q. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)设S为平行四边形内部一点. （ⅰ）求的面积的取值范围. （ⅱ）当取得最小值时，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明：∵是等边三角形，O是的中点，. 又∵平面平面，平面平面，平面， 平面. 又∵平面，. 由题可知：， ，即. 又∵，平面，平面， ∴平面. (2) (3)（ⅰ） ；（ⅱ） 【分析】（1）由题意易证，，利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，利用线面角的向量法求解即可； （3）根据点S为平行四边形内部一点，可设，其中，，则可求出的坐标. （ⅰ）根据向量法求出点到直线的距离，根据及三角形面积公式即可求解的面积的取值范围； （ⅱ）用，表示出，可知当取得最小值时，点与坐标原点重合.利用（1）中结论易证平面平面，进而即可求解. 【详解】（1）略 （2）∵O，E分别是，的中点，，. 由（1）知，平面，又平面，. 故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，. ∵平面与直线交于点Q，∴平面平面. ∵，平面，平面，平面. ∵平面，平面平面，，. ∵点F是的中点，∴点Q是的中点，∴. ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，. ∴平面的一个法向量为， ， ∴与平面所成角的正弦值为. （3）∵S为平行四边形内部一点， ，其中，. . （ⅰ）， ∴点到直线的距离为 . ，. ， 即的面积的取值范围为. （ⅱ），. ∵，，∴当，时，取得最小值， 此时，即点与坐标原点重合. 由（1）知平面，又平面，. 又∵，，平面，平面， 平面，即平面. 又∵，平面. 平面，∴平面平面. ∴当取得最小值时，点与坐标原点重合， 二面角的平面角为直二面角，其正弦值为. 【点睛】本题第（3）问的解题关键为：根据点S为平行四边形内部一点，可设，其中，，则可求出的坐标，从而求解题目. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训05 立体几何中的范围与最值问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 长度范围与最值 3 题型2 表面积范围与最值 5 题型3 体积范围与最值 5 题型4 点面距的范围与最值 6 题型5 异面直线所成角的范围与最值 8 题型6 线面角的范围与最值 9 题型7 面面角的范围与最值 11 重难专题分层过关练 13 巩固过关 13 创新提升 14 解题方法及技巧提炼 1、立体几何中范围与最值问题的基本思路是： （1）明确所求目标量——可能是线段长度、周长、面积、体积，也可能是空间角（线线角、线面角、二面角）或空间距离（点面距、异面直线距）； （2）分析目标量依赖于哪些几何变量（如动点位置、翻折角度、旋转角、截面位置等），并根据题目条件确定这些变量的可行范围（如点在线段上运动、点在平面上运动、二面角在一定范围内变化等）； （3）通过几何关系或向量坐标建立目标量关于自变量的函数表达式或不等式关系； （4）运用函数单调性、导数、基本不等式、三角函数有界性等数学工具，结合可行域求出目标量的最大值、最小值或取值范围，并验证最值是否在可行域内取得。 2、求解范围与最值的核心策略： （1）函数法（最常用）：设动点位置参数（如，）或几何角度参数（如翻折角），利用空间向量或几何关系将目标量表示为参数的函数，然后利用求导、二次函数配方法或三角函数有界性确定值域。这是处理复杂动态问题最稳定的方法，适用于解答题。 （2）几何临界法（快速判断）：利用几何直观，最值往往出现在动点运动到特殊位置——如中点、端点、垂足、对称点，或出现在线面平行、线面垂直的临界状态。这种策略在选择题、填空题中可大幅提高解题速度，但需注意临界位置并不总是最值点，需结合具体问题验证。 （3）基本不等式法：当目标量可表示为两正数之和、积或平方和的形式时，直接使用均值不等式（如，）求最值。常用于求边长和、面积积的最值，但必须注意等号成立的条件是否符合几何约束（如能否取到等号对应的三角形形状）。 （4）等体积法转化：当求点到平面的距离最值时，可通过换顶点、换底面，利用体积相等将距离表示为其他几何量的函数，再求最值。此法避免直接作垂线，尤其适用于高不易直接求出的锥体问题。 （5）截面法与投影法：对于空间几何体中截面面积、截面周长等问题，通过作截面将空间问题降维为平面几何问题，在平面内利用解析几何或三角函数求最值。投影法则常用于求线面角、二面角的最值，将角度转化为线段长度的比值进行分析。 3、常见题型及解题要点： （1）线段长度或周长的最值：设动点参数，用两点间距离公式或余弦定理表示目标线段，再求最值。注意若动点在空间中沿直线运动，距离公式可化为二次函数；若动点在球面上运动，则考虑球面距离的特殊性。 （2）面积或体积的最值：面积常用形式，体积常用形式，将底面积和高分别用参数表示，然后利用函数法或不等式法。需特别注意高与底面的垂直关系是否正确建立。 （3）空间角的最值：线线角、线面角、二面角的范围固定（线线角、线面角在，二面角在）。通过向量法将角的余弦值或正弦值表示为参数的函数，再利用单调性求范围。注意线面角的正弦值随角增大而增大，可用正弦值直接比较；二面角的余弦值在上单调递减，比较余弦值即可判断角的大小。 （4）空间距离的最值：点面距常用向量公式或等体积法；异面直线距常转化为线面距或利用公垂线段。最值通常出现在动点运动到使垂足位置最优时，也可用函数法求导。 4、实用技巧与答题规范： （1）设参数时一定要注明参数的范围，如、等，这是后续求最值时定义域的依据，遗漏会导致结果错误； （2）利用基本不等式时，必须验证等号成立的条件是否满足题目给定的几何约束，若不满足，则最值应在端点处取得； （3）导数法求最值时，需检查极值点是否在可行域内，并比较极值与端点值的大小，得出最终结论； （4）在解答题中，应完整呈现“设参→列式→求最值→验证”的步骤，即使数值计算复杂，步骤分也能获得。 5、易错点与关键提醒： （1）变量范围不完整：如动点在线段上运动，参数范围为闭区间；在射线上运动为半开区间；在平面内运动为二维区域，边界需单独讨论。忽略范围会导致最值点落在不可达位置。 （2）忽略几何约束的相互作用：多个变量之间可能存在关联（如三角形内角和、勾股关系），不能独立取值，需要联立约束消元后再求最值。 （3）角度最值的单调性判断：线面角在上正弦单调递增，但余弦单调递减，用余弦求最值时需注意转化；二面角在上余弦单调递减，不能直接比较正弦值。 （4）组合体中的重叠与空隙：求表面积最值时，组合体的接合面不计入；求体积最值时，注意挖去部分的体积要减去，不可遗漏。 （5）最值存在性的确认：若目标函数在开区间上单调，则最值可能以极限形式存在，但实际不可取到，需在结论中说明“趋近于”或“无最大值/最小值”。 题型通法及变式提升 题型1 长度范围与最值 【典例1-1】如图，在棱长为2的正方体中，M是棱的中点． （1）三棱锥的体积是______； （2）点P是侧面内（含边界）的动点，且MP∥平面，则线段MP长度的取值范围是______ 核心口诀：动点设参表距离，二次函数配最值；根号内看二次型，端点极值都要比。 高分技巧： 参数化动点：设动点在线段上运动，参数 ，用坐标表示动点位置； 距离平方化：求 长度，先算 （二次函数），避免根号求导。二次函数开口向上时最小值在对称轴处，最大值在端点处； 多动点问题：若有多个动点，先固定一个求最值，再对另一个求最值（嵌套最值）； 几何法：利用“两点间线段最短”“垂线段最短”直接得最值，再验证取等条件； 选填速判：取动点在线段端点、中点或某特殊位置分别计算长度，比较后直接选答案； 易错警示：开方后最值位置不变，但要注意 ；对称轴若不在定义域内，最值在端点取得；勾股定理求空间距离时注意坐标差平方和。 【典例1-2】（25-26高三上·北京·开学考试）如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱上的中点，有以下结论：    ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是__________．（填写所有正确结论的序号） 【变式1-1】已知正三棱锥，底面边长为，二面角的正切值为，则正三棱锥的外接球半径为_____，分别为正三棱锥内切球，外接球球面上的动点，则线段长度的最大值为_____． 【变式1-2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（   ）    A．三棱锥体积的最大值为 B．若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C．当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D．当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 题型2 表面积范围与最值 【典例2-1】已知球的半径为1，圆柱的上､下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 核心口诀：侧面积与底面积分开看，均化为单变量函数；均值不等式与导数并用，注意取等条件验证。 高分技巧： 变量选择：常见变量为底面半径 、高 、母线 或二面角 。利用题设约束（如体积固定、母线固定）消元为单变量； 旋转体表面积： 或 ，代入约束后化为关于 的函数； 多面体表面积：逐面计算后求和，通常为关于边长的一次或二次齐次式，利用均值不等式求最值； 均值不等式适用：若表达式形如 （三次型），用导数；若为 ，用均值不等式； 选填速判：正多面体（正方体、正四面体、正三棱锥）中，表面积最值常在对称位置取得； 易错警示：表面积最值的定义域需由几何体存在条件确定（如 ，三角形两边之和大于第三边等）；均值不等式取等条件必须验证是否在可行域内。 【典例2-2】在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________． 【变式2-1】如图，圆台的上底面圆周在半球的球面上，圆台的下底面为半球的底面，若半球的体积为，则圆台侧面积的最大值为_______．    【变式2-2】已知球O与圆台的上、下底面和侧面都相切．若圆台上下底面半径分别为，且．若球和圆台的表面积分别为和，则的最大值为___________． 题型3 体积范围与最值 【典例3-1】（2026·北京房山·二模）我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为____． 核心口诀：体积公式 ，底面积高同时变时，消元化单变量；均值导数双工具，选填特殊位置判断。 高分技巧： 锥体体积：，其中底面积和高都可能随参数变化。先利用约束关系将 和 均表示为同一变量； 旋转体体积：圆柱 ，圆锥 。给定母线长时，消元得 关于 或 的函数； 内接体最值：如球内接圆柱，利用 消元，再求 的最值； 导数法：三次函数 求导，令 得驻点； 选填速判：若几何体可变为正多面体，体积最值常在对称时取到；取极端位置（ 或 ）判断体积是否趋向0； 易错警示：体积最值中 对应退化情形（高为0或底面积为0），需排除；定义域端点若对应退化几何体，该端点值不可取，需用极限判断。 【典例3-2】（25-26高三下·北京·开学考试）如图，正方形中，，点为中点，现将沿折起形成四棱锥，设点为中点，则下列命题中为假命题的是___________． ①为棱上一点，若，则在折起过程中，四点可能共面； ②设与交于点，则在折起过程中与可能垂直； ③四棱锥体积的最大值为． 【变式3-1】在体积为32π，高为4的直圆锥内部放一个完全位于其内部的圆锥，要求圆锥的尖头朝下（和原来的圆锥尖头方向要相反），则该圆锥体积的最大值为__________ 【变式3-2】（2026·北京东城·二模）在三棱锥中，，，. （1）若平面，，则三棱锥的体积为_____； （2）若该三棱锥的某两条侧棱的长度之和为12，则三棱锥体积的最大值为_____. 题型4 点面距的范围与最值 【典例4-1】在正三棱柱中，所有棱长都为2，是侧棱上一动点，则到平面的距离之和的最大值为（    ） A． B． C． D．7 核心口诀：点面距 = 点到平面垂线段长；动点参数化代入公式，函数最值定范围；等体积法更快捷。 高分技巧： 向量法（通法） ：设动点 ，平面 法向量为 ，面内一点 ，则 。 关于 线性，分子为一次函数的绝对值，在区间端点或零点处取最值； 等体积法：若动点在一个锥体的顶点上运动，体积 固定（或为常量），底面积固定，则高（即点面距）为定值；若体积变化，则高随体积线性变化； 几何法：点到平面距离的最小值为0（点在平面上）；最大值为点到平面最远点的距离； 选填速判：取动点在特殊位置（端点、中点、垂足位置）分别计算点面距，比较得范围； 易错警示：点面距公式中分子带绝对值，去掉绝对值时需判断符号；若点在平面内则距离为0，检查参数是否可取到该位置。 【典例4-2】《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有“阳马”如下图所示，其中平面，，点在棱上运动.下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．点到平面距离的最大值为 D．当时，三棱锥的体积是四棱锥体积的 【变式4-1】在下图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________． 题型5 异面直线所成角的范围与最值 【典例5-1】已知空间四边形，，，，.则对角线与所成角的余弦值的取值范围是______. 核心口诀：方向向量夹角余弦绝对值，角随参数变化单调或凸；分子线性分母二次型，求导或判别式定最值。 高分技巧： 向量法：设两异面直线方向向量为 ，则 ，。求 的最值即可确定 的范围； 结构分析：分子通常为关于 的一次或二次函数，分母为根号下二次函数，可平方后求导； 特殊位置：异面直线所成角的最大值通常出现在动点运动到端点或某对称位置；最小值为两直线平行时（角为0，但异面直线不可能平行，所以最小值可能趋近0）； 选填速判：取动点在端点、中点等特殊位置分别计算异面直线所成角，比较得范围； 几何法：通过平移将异面直线转化为相交直线，角的变化直观可见； 易错警示：异面直线所成角范围为 ，最大不超过 ； 单调递减，求 最小值即得角最大值，反之亦然。 【典例5-2】在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部（不含边界）的一点，且 ，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，点为的重心，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为__________． 【变式5-2】如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为__________；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为__________. 题型6 线面角的范围与最值 【典例6-1】如图，在直三棱柱中，． (1)证明：； (2)已知的中点是D，，，． （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 核心口诀：，分子线性分母根号二次；平方后化分式求最值，注意 。 高分技巧： 向量法：设直线方向向量 ，平面法向量 （固定），则 。求 的最值等价于求线面角的最值； 几何法：线面角的正弦 = 点到面的距离 ÷ 斜线长度。若动点在直线上移动，距离和斜线长度均随参数变化，需构造函数； 特殊情况：直线平行于平面时线面角为0；直线垂直于平面时线面角为 。最大值 对应直线与法向量平行； 选填速判：取动点在特殊位置（如端点、中点）分别计算线面角，比较得范围； 易错警示：线面角范围 ， 单调递增，求 最值即可；方向向量与法向量夹角可能为钝角，计算正弦时需取绝对值；若直线在平面内则线面角为0（但直线在面内时方向向量与法向量垂直，）。 【典例6-2】如图，在几何体中，四边形为正方形，平面，，，. (1)求证：平面平面； (2)若点在平面内，且. （i）求点的轨迹的长度； （ii）设直线与平面所成的角为，求的取值范围． 【变式6-1】如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，平面 平面 ， . (1)证明: 平面 ； (2)若， 为 中点，，点 在平面 上，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，O、G分别为，中点. (1)求证：平面平面； (2)若点为中点，点P关于平面的对称点为点Q，在棱上运动，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 题型7 面面角的范围与最值 【典例7-1】如图，在四棱锥中，，，，四棱锥的体积为. (1)若，证明：平面平面； (2)若平面平面，求平面与平面夹角余弦值的最大值. 核心口诀：二面角看法向量夹角，；符号由锐钝定，最值常用判别式或导数求。 高分技巧： 向量法：设两平面法向量分别为 ，二面角 ， 的绝对值由两法向量夹角决定。根据图形判断 是锐角还是钝角，确定正负号； 转化为线面角：二面角的平面角等于一个平面内的直线与另一个平面所成线面角的余角（特定构造下）； 面积射影法：若一个平面上的图形在另一个平面上的射影面积 与原面积 之比等于 ，选填中利用面积比快速求二面角范围； 几何法：在棱上取动点，作两半平面的垂线，平面角随动点位置变化，构造函数求最值； 选填速判：二面角范围为 ，若两平面可旋转至重合则最小为0，旋转至反向则最大为 ；取特殊位置（棱上特殊点）计算判断； 易错警示：二面角范围 ， 在 上单调递减，求 的最大值得锐角最值，最小值得钝角最值；法向量方向的选择影响夹角符号，必须结合图形判断；二面角为0时两平面重合（退化情形），为 时两平面共面反向，需根据题意判断是否可取。 【典例7-2】如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.    (1)证明：； (2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； (3)设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【变式7-1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．    (1)证明：平面平面； (2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【变式7-2】如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点E，F为下底面圆周上的点，且是正三角形，点P是上底面圆周上一动点，G为直线与的交点. (1)证明： （i）面； （ii）不论点P在何位置，三棱锥的外接球半径大小不变. (2)求二面角的余弦值的取值范围. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 2．在四棱锥中，底面为矩形，，且，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 5．在梯形ABCD中，，，，，把梯形ABCD沿对角线AC折起，使D到达P的位置，当二面角的取值范围为时，三棱锥的体积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 创新提升 6．如图，在正三棱柱 中， ，点 在线段 上 (不含端点).    (1)当 时，求证 平面 ； (2)求三棱锥 与三棱锥 的体积之和； (3)求 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 7．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，.    (1)证明：平面； (2)若，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，求球的表面积； (3)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 8．如图，在长方体中，底面是边长为1的正方形， (1)若，过点作平面与平面平行，求平面截长方体所得截面的面积； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 9．如图，柱体上下底面是椭圆面，、分别是上下底面椭圆的长轴，、分别是上下底面椭圆的短轴，四边形和为矩形，、分别为上下底面椭圆的长短轴的交点，．、是下底面椭圆上两动点，不与平行或重合．    (1)证明：平面； (2)若面积为定值，求的长度； (3)在（2）的条件下，当平面平面时，求点到直线的距离的取值范围． 10．如图，四棱锥的底面为矩形，，是等边三角形，平面平面，O，F分别是，的中点，与交于点E，平面与直线交于点Q. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)设S为平行四边形内部一点. （ⅰ）求的面积的取值范围. （ⅱ）当取得最小值时，求二面角的正弦值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $