专题02 反比例函数的图像与性质核心考点分类精练-2026-2027学年苏科版九年级上册数学重难考点突破

**基本信息** 以十大类考点为框架，系统整合反比例函数图像性质的核心方法，从基础作图到综合应用形成完整知识链，突出K值核心、分象限讨论等可迁移技巧，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像绘制|3题|列表描点连线，平滑曲线|从图像生成理解反比例函数几何特征| |解析式判断|4题|K的绝对值是核心|由图像特征逆向推导函数表达式| |增减性|4题|提到增减，先分象限|结合象限分析函数单调性，强化分类讨论| |函数比大小|4题|三线四区要记牢|通过图像分区直观比较函数值，培养数形结合| |面积问题|8题|改斜归正，巧用点线式|从特殊图形到复杂面积，构建K值与面积关系模型| |函数融合|8题|解题关键在交点|综合一次函数与反比例函数，提升综合应用能力|

1.2 反比例函数的图像与性质 核心考点分类精讲练（十大类） 考点目录 一、画出反比例函数图像（列表、描点、连线），牢记：平滑曲线。 1 二、已知反比例函数的图象，判断其解析式（K的绝对值是核心） 3 三、利用反比例函数的中心对称性求点的坐标 4 四、根据函数图像所在象限求参数的取值范围 4 五、函数图像的增减性（提到增减，先分象限） 5 六、一次函数与反比例函数图象在同一坐标系的存在性 5 七、一次函数与反比例函数比大小——三线四区要记牢 7 八、特殊图形的面积与K的关系。 8 九、改斜归正，巧用点线式，妙解较难面积问题。 9 十、难点：反比例函数与一次函数的融合（解题——交点） 10 综合提升 12 一、画出反比例函数图像（列表、描点、连线），牢记：平滑曲线。 1．填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 2．（）画出函数的图象． ①列表： ②描点并连线． （）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 3．画出函数的图象． (1)由分式有意义可知，函数中自变量的取值范围为___________，列如下表，请你填剩余的空． -6 -4 -3 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 3 4 6 6 4 3 2 1.5 1 (2)在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象． 二、已知反比例函数的图象，判断其解析式（K的绝对值是核心） 4．函数和（且）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 6．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是______． 7．如图是三个反比例函数的图象的分支，其中k1，k2，k3的大小关系是______．    三、利用反比例函数的中心对称性求点的坐标 8．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 9．如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．一次函数和反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 11．已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它们的另一个交点的坐标是（　　） A．（ 2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 四、根据函数图像所在象限求参数的取值范围 12．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是______． 13．如图，符合图像的解析式是_____．（填序号） ①②③和④． 14．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 五、函数图像的增减性（提到增减，先分象限） 17．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．y的值随x值的增大而减小 C．图象在第一、三象限内 D．若，则 18．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 19．反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而______．（选填“增大”或“减小”） 20．已知：点，，都在反比例函数图象上，用“＜”表示、、的大小关系是_____． 六、一次函数与反比例函数图象在同一坐标系的存在性 21．函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 22．在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 23．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A．B． C． D． 24．已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A．B． C． D． 七、一次函数与反比例函数比大小——三线四区要记牢 25．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 26．如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 27．在平面直角坐标系中，反比例函数图象与一次函数图象的一个交点为P，且点P的横坐标为1．则该反比例函数的表达式为________． 28．已知如图，一次函数图象与反比例函数图象交于，两点，则时x的取值范围是________． 八、特殊图形的面积与K的关系。 29．过反比例函数图象上任意一点，作坐标轴的垂线，围成矩形的面积为_______ 30．如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 31．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 32．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，若点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为________． 九、改斜归正，巧用点线式，妙解较难面积问题。 33．如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为8，，则的值为________． 34．已知直线交y轴于点，交轴于点，交双曲线于点，轴，垂足为，且，则_______． 35．如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线在第二象限交于点，与轴交于点，点是双曲线上的点，线段轴，点在点下方． (1)求，的值； (2)若的面积为，求的值． 36．如图，矩形的面积为，其顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上．反比例函数的图像与、分别交于点、，．连结、、． (1)若的面积为3，求：的面积； (2)若，求反比例函数解析式． 十、难点：反比例函数与一次函数的融合（解题——交点） 37．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围； (3)将一次函数的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数图象交于点P，求的面积． 38．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．    (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． (3)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，在反比例函数的图象上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍．若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，点的坐标为，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数图象上，且的面积等于，求点的坐标． (3)当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出的取值范围． 40．如图，反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数和正比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 综合提升 十二、单选题 41．已知反比例函数图像上三点的坐标分别是，，，若，则下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 42．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（     ）    A． B．或 C． D．或 43．下列关于函数的说法正确的是（     ） A．函数图象位于第一、第三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．点和点都在函数图象上 44．如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 45．如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且B、C的纵坐标分别为4、1，则k的值是（   ） A． B． C． D． 46．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 十三、填空题 47．如图，点分别在轴、轴的正半轴上，点绕着点顺时针旋转得到点恰好落在反比例函数的图像上，若点，则点的坐标为_________． 48．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 49．如图，菱形的顶点，在同一双曲线上．若点，则，两点间的距离为________． 50．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上的点作轴的垂线，垂足为，交一次函数的图象于点，其中点的横坐标为1．若为一次函数的图象上的一点，且，则点的坐标为________． 51．如图所示是反比例函数和（）在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，连接、，若，则____． 52．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 十四、解答题 53．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)根据函数图像，当时，直接写出的取值范围； (3)已知点在函数的图象上，将线段OC绕点O旋转，当点C落在反比例函数图象上的处时，请写出m和n之间的数量关系． 54．已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交y轴于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点A关于x轴对称的点为，求的面积． (3)请直接写出不等式的解集． 55．如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)分别求直线和双曲线对应的函数解析式； (2)直接写出当时的取值范围． 56．已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 57．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集________ (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 58．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 反比例函数的图像与性质 核心考点分类精讲练（十大类） 考点目录 一、画出反比例函数图像（列表、描点、连线），牢记：平滑曲线。 1 二、已知反比例函数的图象，判断其解析式（K的绝对值是核心） 4 三、利用反比例函数的中心对称性求点的坐标 7 四、根据函数图像所在象限求参数的取值范围 9 五、函数图像的增减性（提到增减，先分象限） 11 六、一次函数与反比例函数图象在同一坐标系的存在性 12 七、一次函数与反比例函数比大小——三线四区要记牢 15 八、特殊图形的面积与K的关系。 17 九、改斜归正，巧用点线式，妙解较难面积问题。 19 十、难点：反比例函数与一次函数的融合（解题——交点） 25 综合提升训练 32 一、画出反比例函数图像（列表、描点、连线），牢记：平滑曲线。 1．填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 【答案】 1 2 4 2 1 ，见解析 【详解】本题考查了反比例函数图象的画法，解题的关键是准确计算函数值、规范进行描点和连线操作． 先将的值代入反比例函数求出对应的值完成表格，再依据表格中的坐标进行描点、连线，画出函数图象 【详解】解： 1 2 4 2 1 2．（）画出函数的图象． ①列表： ②描点并连线． （）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（）①见解析，②见解析；（）上升，变大． 【详解】（）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （）根据反比例函数的图象即可求解； 本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质，正确画出反比例函数的图象是解题的关键． 解：（）①列表： ②描点并连线： （）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当由小变大时随之变大． 故答案为：上升，变大． 3．画出函数的图象． (1)由分式有意义可知，函数中自变量的取值范围为___________，列如下表，请你填剩余的空． -6 -4 -3 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 3 4 6 6 4 3 2 1.5 1 (2)在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象． 【答案】(1)或，表格中的剩余的空见详解 (2)大致图象见详解 【详解】本题考查了反比例函数的图象和对应自变量，画出反比例函数图象是解答本题的关键． （1）①根据分母不等于0进行填空即可；②根据反比例函数图象上点的坐标特征填表即可，最后画出反比例函数在第一、三象限的图象即可． 【详解】（1）解：由分式有意义可知，函数中自变量x取除0以外的全体实数，即或．表格中剩余的空如下表所示： 1 1.5 2 3 4 6 6 4 3 2 1.5 1 （2）解：如图所示为所求： 二、已知反比例函数的图象，判断其解析式（K的绝对值是核心） 4．函数和（且）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据反比例函数图象、正比例函数图象分析解答． 【详解】由条件可知，， 当时的图像经过第二、四象限， 当时的图像经过第一、三象限，故选B． 【点睛】本题考查反比例函数图象、正比例函数图象的特征，熟记图象与比例系数k的关系． 5．反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】 【详解】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是______． 【答案】3（答案不唯一） 【详解】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点B的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 7．如图是三个反比例函数的图象的分支，其中k1，k2，k3的大小关系是______．    【答案】k1＜k3＜k2. 【详解】由反比例函数图像性质可知，函数在一三象限时，k＞0，图像在二十四象限时，k＜0.在第一象限内取同一x值（作垂直于x轴的虚线辅助理解），y越大，则k越大.据此进行解答即可. 【详解】解：由图可知，k1＜0，k2＞0，k3＞0.如下图，作虚线辅助理解，    当取同一x值时，由图可知y2＞y3，则k2＞k3, 故答案为k1＜k3＜k2. 【点睛】由本题解题过程可知，|k|越大，图像开口越大. 三、利用反比例函数的中心对称性求点的坐标 8．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点和点，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得m，能够根据中心对称的性质，求得另一个交点B的坐标． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于点和点， ∴点和点关于原点对称， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用到了过原点的直线与反比例函数图象的两个交点坐标关于原点对称的知识． 9．如图，直线与双曲线交于A，B两点，若，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据反比例函数的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， ∴点A和点B关于原点对称， 把代入到中得：， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的对称性，反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到点A和点B关于原点对称是解题的关键． 10．一次函数和反比例函数的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】 【详解】根据正比例函数与反比例函数交点关于原点对称即可求解． 【详解】解：一次函数和反比例函数的一个交点坐标为， ∴另一个交点坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查正比例函数与反比例函数图像的交点的特点，掌握两个交点关于原点对称是解题关键． 11．已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它们的另一个交点的坐标是（　　） A．（ 2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【答案】D 【详解】根据反比例函数图象的对称性得到反比例函数图象与正比例函数图象的两个交点关于原点对称，所以写出点（﹣2，﹣1）关于原点对称的点的坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， 而一个交点的坐标为（﹣2，﹣1）， ∴它们的另一个交点的坐标是（2，1）． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，掌握反比例函数与正比例函数的交点一定关于原点对称，是解题的关键． 四、根据函数图像所在象限求参数的取值范围 【答案】12．若反比例函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是______． 【详解】根据图象在坐标平面内的位置：不经过第一象限，则，解之即可求得的取值范围，从而求解． 【详解】解：反比例函数的图象不经过第一象限， 则经过二十四象限， ∴． 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 13．如图，符合图像的解析式是_____．（填序号） ①②③和④． 【答案】④ 【详解】根据题干图像为双曲线，且图像再第一象限和第二象限，得到，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：双曲线图像在第一象限和第二象限， ， 应选④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了反比例函数图像，解题关键是掌握反比例函数的图像是双曲线，当时，图像位于第一、三象限；当时，图像位于第二、四象限． 14．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数的符号是解题的关键． 根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：D ． 15．若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】此题主要考查反比例函数的图像与性质；先根据反比例函数的性质得出，再解不等式即可得出结果． 【详解】∵反比例函数 (为常数)的图象在第二、四象限， ∴， 解得． 故选：D． 16．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图像位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随值的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，中的符号对图象位置和增减性的影响． （1）根据反比例函数图象位于第二、四象限时，列不等式求解； （2）根据时随增大而减小，可知，列不等式求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， 则比例系数， 解不等式得， 即； （2）解：当时，随值的增大而减小， 则比例系数， 解不等式得， 即． 五、函数图像的增减性（提到增减，先分象限） 17．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（　　） A．图象必经过点 B．y的值随x值的增大而减小 C．图象在第一、三象限内 D．若，则 【答案】B 【详解】根据反比例函数的性质用排除法解答． 【详解】解：A、把点代入反比例函数，得，故正确，该选项不符合题意； B、∵，∴在每一象限内y的值随x的增大而减小，故不正确，该选项符合题意； C、∵，∴图象在第一、三象限内，故正确，该选项不符合题意； D、若，则，故正确，该选项不符合题意． 18．对于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．当时，随的增大而减小 C．图象经过点 D．若点都在图象上，且，则 【答案】B 【详解】本题考查了反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，对每个选项逐一进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ∵A选项表述图象位于第二、四象限，与上述结论矛盾，∴A错误， ∵当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，∴B正确， ∵将代入，得∴图象不经过点，C错误． ∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出∴D错误． 故选：B． 19．反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而______．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【详解】此题考查反比例函数的性质．由，根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小， 在第三象限，y随x增大而减小， 故答案为：减小． 20．已知：点，，都在反比例函数图象上，用“＜”表示、、的大小关系是_____． 【答案】 【详解】由，可知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，再根据反比例函数的性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ， ∴点位于第三象限， ， ， ∴点，位于第一象限， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 六、一次函数与反比例函数图象在同一坐标系的存在性 21．函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查一次函数及反比例函数结合问题，一次函数和反比例函数图象及性质等．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、由函数的图象得：，由函数的图象得：，符合，故本选项符合题意； B、由函数的图象得：，由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； D、由函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：A 22．在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 23．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 24．已知函数中，在每个象限内，随的增大而减小，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，掌握k对正比例函数和反比例函数图象的影响成为解答本题的关键． 先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限即可解答． 【详解】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴函数的图象在第一、三象限，函数的图象经过第一、三象限， ∴D选项满足题意． 故选：D． 七、一次函数与反比例函数比大小——三线四区要记牢 25．如图，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，其横坐标分别为1和3，则关于的不等式的解集是______． 【答案】或 【详解】找到直线在双曲线下方时的自变量的范围，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是或． 26．如图，若反比例函数与一次函数的图象交于、两点，则不等式的解集为______． 【答案】或 【详解】直接利用图象法进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数在第一象限， ∴的图象过一、三象限， 观察可知，不等式的解集为或. 27．在平面直角坐标系中，反比例函数图象与一次函数图象的一个交点为P，且点P的横坐标为1．则该反比例函数的表达式为________． 【答案】 【详解】将点P的横坐标代入一次函数解析式，求出点P的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的系数，即可得到反比例函数表达式． 【详解】解：把代入得， 点的坐标为， 把代入得， 该反比例函数的表达式为． 28．已知如图，一次函数图象与反比例函数图象交于，两点，则时x的取值范围是________． 【答案】或. 【详解】本题考查一次函数与反比例函数的图象与性质，灵活运用数形结合思想是解题关键． 当一次函数的图象高于反比例函数的图象时，满足，根据图象判断x的取值范围． 【详解】解：若要满足，则需一次函数的图象高于反比例函数的图象． 由图象可知，当或时，． 故答案为：或． 八、特殊图形的面积与K的关系。 29．过反比例函数图象上任意一点，作坐标轴的垂线，围成矩形的面积为_______ 【答案】 【详解】本题考查反比例函数系数的几何意义，设出反比例函数图象上点的坐标，利用反比例函数解析式得到横纵坐标的乘积，再计算矩形面积即可． 【详解】解：设过反比例函数图象上任意一点坐标为， 因为点在反比例函数图象上，所以满足解析式，即． 过作坐标轴的垂线，围成矩形的两条邻边的长度分别为，， 因此矩形的面积 ． 30．如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 【答案】 【详解】利用反比例函数的“”的几何意义求出的面积，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点P，Q分别在反比例函数和的图象上， 且轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得． 31．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 【答案】 【详解】连接，可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 32．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，若点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为________． 【答案】1 【详解】根据反比例函数的几何意义求解即可； 【详解】解：点P在上，轴于点A，交于点B，且是，是， ，， ． 九、改斜归正，巧用点线式，妙解较难面积问题。 33．如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为8，，则的值为________． 【答案】 【详解】设点，可得，，从而得到，再得出轴，可得点，从而得到，然后根据四边形的面积为8，列出方程，即可求解． 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ，轴， 轴， 点， ， ∵四边形的面积为8， ， 解得：． 34．已知直线交y轴于点，交轴于点，交双曲线于点，轴，垂足为，且，则_______． 【答案】6 【详解】先确定直线与坐标轴的交点坐标，则可计算出的面积，于是得到的面积，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义即可得到的值． 【解答】解：把代入， 解得：， 把代入得， 解得：， ∴坐标为，点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴． 35．如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线在第二象限交于点，与轴交于点，点是双曲线上的点，线段轴，点在点下方． (1)求，的值； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，根据围成图形面积求比例系数问题， （1）将代入，求出，即，再代入即可求出b； （2）求出，，结合，根据列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意将代入，得，解得， ∴， 将代入得，解得； （2）解：∵， ∴ ， ∵线段轴，点在点下方， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴即， 解得． 36．如图，矩形的面积为，其顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上．反比例函数的图像与、分别交于点、，．连结、、． (1)若的面积为3，求：的面积； (2)若，求反比例函数解析式． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）设反比例函数的解析式为，，根据的面积为3，可求得，由此可得出，再求出，然后利用的面积为；求解； （2）当时，作，交延长线于点M，作，交延长线于N，构造等腰直角三角形，先求出的解析式，再用表示出的坐标，从而可求出反比例函数解析式． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，， ， ， ， ∵矩形的面积为， ∴，，， ∴， ∴， 的面积为3， ∴， ∴，解得：， ∴， 又点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式 又在反比例函数的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， ，， ， ， 的面积为； ； （2）∵矩形的面积为，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， 当时，作，交延长线于点M，作，交延长线于N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴M的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为, ∵点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的解析式为, 又点在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），反比例函数与几何综合，全等的性质和（）综合（或者），根据矩形的性质求面积，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 十、难点：反比例函数与一次函数的融合（解题——交点） 37．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围； (3)将一次函数的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数图象交于点P，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【详解】（1）将 点的坐标代入反比例函数中求出 的值即可求反比例函数的解析式，通过反比例函数解析式求出 点的坐标，将 和 代入一次函数中联立方程组即可求出一次函数的解析式． （2）根据两交点的纵坐标值相等，观察图象即可求出时x的取值范围． （3）根据函数平移的性质求出平移后的两直线平行，设其交轴于点，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为． ， ， ， ． 将和代入 中联立方程组得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：当时，即在第二象限时， 是一次函数和反比例函数的交点， 时，， 欲使， 观察图象可知，． 当 时，即在第四象限时， 是一次函数和反比例函数的交点， 时，， 欲使， 观察图象可知，． ． 综上所述，时x的取值范围是或 ． （3）解：如图， 设一次函数 的图象向上平移5个单位长度后得到直线，设与轴交于点，则 ∵， ． 38．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．    (1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． (3)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，在反比例函数的图象上是否存在点C，使得的面积等于面积的2倍．若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，或 【详解】（1）运用待定系数法，即可求出函数表达式； （2）反比例函数的图象分两部分，结合两个交点，分情况讨论，时，点Q右侧，；时，点P右侧，； （3）根据（1）中函数的表达式，先求出点A，点B的坐标，与都以为底，要满足要求，的高必须是的两倍，即点C纵坐标的绝对值是点B纵坐标绝对值的两倍，得到纵坐标后，代入反比例函数表达式，即可求出结果． 【详解】（1）解： 过点， ， ，即． 过点， ，即，点， 过点，点， ∴ 解得， 即． （2）解：反比例函数的图象分两部分，结合两个交点，点，点，分情况讨论如下：     时，点Q右侧，即，满足； 时，点P右侧，即，满足； 综上所述或时，． （3）解： ， 与都以为底，要满足要求，的高必须是的两倍， 即点C纵坐标的绝对值是点B纵坐标绝对值的两倍， 设点C纵坐标为，点B纵坐标为，   ，即， ，即， 分别代入反比例函数，得或 所以点C的坐标为或． 39．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，点的坐标为，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数图象上，且的面积等于，求点的坐标． (3)当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标是或 (3)或 【详解】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解； （2）先设点的坐标为，（），再得出，最后根据三角形面积公式即可求解； （3）根据图象求出的解集即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入得，， ， ∴反比例函数的关系式为． ∵点在反比例函数的图象上，轴于点，且， ∴当时，即， 解得，， ∴点的坐标为， 根据题意，将，分别代入得， ， 解得，， ∴一次函数的关系式为． （2）解：根据题意，设点的坐标为，（）， 把代入，解得，即， ． ∵的面积等于， ∴，即， 解得，， ∴当时，； 当时，， ∴点的坐标是或． （3）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且，， 由图象可知，当或时，， 当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是或． 40．如图，反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数和正比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)12 (3)或 【详解】（1）把点代入可得k的值，求得反比例函数的解析式，再把点代入可得m的值，求得正比例函数的解析式； （2）根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解； （3）根据图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把点代入（）得 ∴反比例函数的解析式为     把点代入（）得， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B， ， ∵点C与点A关于y轴对称， ， ，     ； （3）解：根据图象得不等式的解集为或． 十一、综合提升训练 十二、单选题 41．已知反比例函数图像上三点的坐标分别是，，，若，则下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用已知点代入反比例函数，求出的值，确定的符号，进而判断反比例函数图像所在的象限，明确不同象限内点的横、纵坐标的符号特征即可． 【详解】解：将代入反比例函数得， ∴函数图象在二、四象限， 当时，时， ． 42．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于，两点．当时，自变量的取值范围是（     ）    A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】根据一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象下方，结合图象即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：观察图象可知，当或时，直线在双曲线的下方， 因此，当时，自变量x的取值范围是或， 故选：． 43．下列关于函数的说法正确的是（     ） A．函数图象位于第一、第三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．点和点都在函数图象上 【答案】D 【详解】根据反比例函数的图象与性质，结合点在函数图象上的判断方法，逐一判断各选项即可. 【详解】解：对于函数，， 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大； 对A，函数图象位于第二、四象限，不在第一、三象限，A错误； 对B，当时，随的增大而增大，不是减小，B错误； 对C，当时，包含，此时，因此不成立，C错误； 对D，将代入解析式，得， 点在函数图象上； 将代入解析式，得， 点在函数图象上，D正确. 44．如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】作轴于点，于点，可证得，从而将转化为，再利用反比例函数几何意义列式求出k的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 轴，轴， ， 与互为对顶角， ， 又， ， ， 点在反比例函数图象上， 由反比例函数几何意义可得， ， ，， ， ， ， ， ， 点在第一象限内反比例函数的图象上， ， ， ， 解得． 45．如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，且B、C的纵坐标分别为4、1，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，利用旋转性质证明，得出对应边相等，结合反比例函数坐标特征建立关于的方程求解. 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 由旋转知，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点、在反比例函数图象上，且纵坐标分别为、， ，， ，， ，， 设点坐标为， ， ， 由图可知点在点左侧，点在点右侧， ，， 两式相加得， 解得. 46．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数所在的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断直线的走向、与坐标轴的交点与图形中直线的走向是否符合． 【详解】解：反比例函数在一、三象限， ， 当时，， 直线与轴的交点坐标是， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 故A选项错误； 反比例函数在二、四象限， ， 一次函数中随的增大而减小， 故B选项错误； 反比例函数在二、四象限， ， 一次函数中随的增大而减小， 故C选项错误； 反比例函数在一、三象限， ， 一次函数中随的增大而增大， 当时，， 直线与轴的交点坐标是， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 故D选项正确． 故选：D． 十三、填空题 47．如图，点分别在轴、轴的正半轴上，点绕着点顺时针旋转得到点恰好落在反比例函数的图像上，若点，则点的坐标为_________． 【答案】 【详解】设，如图：过点C作轴于点D，根据旋转的性质可得，，利用同角的余角相等证明，进而证明，进而用含a的代数式表示出点C的坐标，代入反比例函数解析式求出a的值即可． 【详解】解：设，如图：过点C作轴于点D， ∵点B的坐标为， ∴， 设，则， ∵点B绕着点A顺时针旋转得到点C， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图像上， ∴，解得或（不合题意舍去）． ∴点A的坐标为． 48．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 【答案】 【详解】根据题意阴影矩形的一边长都为，将面积为的矩形向左平移到下方，则有：，最后利用计算即可． 【详解】解：等点，它们的横坐标依次为，，，…，n，， 阴影矩形的一边长都为，如图： 由题意得：轴，轴，轴，交于点， 将面积为的矩形向左平移到下方， ∴， 当时，，即， ， 根据反比例函数值的几何意义得：， ． 49．如图，菱形的顶点，在同一双曲线上．若点，则，两点间的距离为________． 【答案】 【详解】利用菱形对角线互相平分，得与中点相同；借助中点纵坐标列式，求出a； 根据B点坐标，勾股定理算出长度． 【详解】解：连接，． 四边形是菱形， 对角线、互相平分，设交点为，则既是线段的中点，也是线段的中点． ，点，为中点， 点坐标为． ，，是中点， 根据中点坐标公式： ， 解得， ． 由勾股定理： ． 50．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上的点作轴的垂线，垂足为，交一次函数的图象于点，其中点的横坐标为1．若为一次函数的图象上的一点，且，则点的坐标为________． 【答案】 或 【详解】根据点在反比例函数的图象上，横坐标为1， 轴，点在一次函数的图象上，可求出点、点坐标，利用即可求出点的横坐标，问题可解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，横坐标为1， ． 轴，点在一次函数的图象上， ， ． ， ， ， 或， 点的坐标为或． 51．如图所示是反比例函数和（）在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，连接、，若，则____． 【答案】 【详解】设直线交轴于点，根据反比例函数系数的几何意义，分别表示出和的面积，利用建立等式求解即可． 【详解】解：设直线交轴于点 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限 ， 根据反比例函数系数的几何意义可知：， 轴 ． 52．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边交该反比例函数的图象于点，连接，若，则的面积为___________． 【答案】4 【详解】过点作轴于点，利用反比例函数系数的几何意义可知，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 四边形是平行四边形， 点到的距离相等， ． 十四、解答题 53．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)根据函数图像，当时，直接写出的取值范围； (3)已知点在函数的图象上，将线段OC绕点O旋转，当点C落在反比例函数图象上的处时，请写出m和n之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【详解】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）求出图象的交点，根据图象的位置即可求出答案； （3）分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与函数的图象交于点，与轴交于点． ∴ ∴， 把代入得到， 解得； （2）由（1）可知，直线，设直线与函数在第三象限相交于点D， 联立得到，解得或 ∴， 根据图象可知，当时，或； （3）①当点与点关于轴对称时， ∴， ②当点绕点旋转时，得到，在上，作轴，轴，则， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 综上所述，满足条件的的关系是或． 54．已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交y轴于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点A关于x轴对称的点为，求的面积． (3)请直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)24 (3)或 【详解】本题考查待定系数法求解析式，对称点坐标的特征，函数与不等式，能够熟练掌握函数的基础知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求解； （2）根据对称点坐标的特征可得，则，根据题意可知点到的距离为8，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据（2）可知，，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ，则 将代入得， ，解得， 则； （2）解：由（1）可知，， ∵点A关于x轴对称的点为， ∴， ∴， 将代入得， ，则， 点到的距离为， ∴； （3）解：由（2）问可知，一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，结合图象可知，此时或． 55．如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)分别求直线和双曲线对应的函数解析式； (2)直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）运用待定系数法，先求出的函数解析式，再求出点坐标，再利用A，B点坐标，代入，即可求出的函数解析式； （2）观察两个函数的图像，即可得到时，的取值范围． 【详解】（1）解：将点A坐标代入，得 解得， ， 过点B， 将点B坐标代入，得， 点B坐标为， 过点A，点B， 将点A，点B坐标，代入，联立得二元一次方程组 解得 ． （2）解：由（1）作出，的图象，如下 观察图像可知，当或时，． 56．已知：如图，点、是双曲线在第一象限分支上的两点，点在轴正半轴上，为等腰直角三角形，，垂直于轴． (1)求点的坐标； (2)点为轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【详解】（1）过点B作于点H，易得，设，求出，进而得到，设，代入双曲线，即可求解； （2）设，求出，分或或，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵点B在第一象限， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∵轴， ∴设， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或或， 当时，则，即， ∴， 解得或（与点重合，舍去）， ∴； 当时，则，即， ∴， 解得或， ∴或； 当时，则，即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 57．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集________ (3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) (3)存在， 【详解】（1）将代入中，求出，得到反比例函数的表达式，再求出点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）观察图象即可求解； （3）根据正方形的性质得到，，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点，设点，通过证明得到，，进而列出关于、的方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入，可得， 反比例函数的表达式为， 将代入，得， ， 将，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点， 关于的不等式的解集为， 故答案为：； （3）存在，理由如下： 四边形为正方形， ，， 是等腰直角三角形， 如图，在直线的右上方作为斜边的等腰直角三角形，过点作轴，分别过点，作于点，于点， 则， ， ， ， ， 设点， ， ，，，， 在和中， ， ， ，， ， 解得， ． 58．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质． 【操作发现】 (1)当时，下表是该函数部分，的对应值，请在直角坐标系中画出函数的图像． … … 结合函数图象，下列说法错误的是________；（填写序号） ①函数有最小值，没有最大值； ②当时，随的增大而减小； ③当时，图像为轴对称图形； ④直线与图像有两个交点． 【尝试应用】 (2)在（1）的条件下，当函数值时，自变量的值为________； 【拓展提高】 (3)①当关于的方程有三个不同的解时，请求出的取值范围． ②将函数图像进行平移后得到新函数，则当直线与新函数有三个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，② (2)或或 (3)①；② 【详解】（1）用描点法画出函数图像，结合函数性质判断各个说法，找出错误选项； （2）分和两种情况分别解方程，得到所有符合条件的自变量的值； （3）①将方程解的个数问题转化为直线与分段函数图像交点个数问题，画出对应直线临界位置，结合图像确定参数取值范围；②先判断直线过定点，再确定分段函数平移规则，找出分段函数图像上的临界交点，代入直线解析式求出临界值，结合图像得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格描点连线画出函数图像略， 由图可得函数最小值为0，没有最大值，故①正确； 当时，，随的增大而增大即当时，随的增大而增大，故②错误； 当时，图像为轴对称图形，故③正确； 直线与图像有两个交点，故④正确． （2）解：分两种情况解方程： 当时，令，解得，满足条件； 当时，令，解得或，均满足； 因此自变量的值为或或． （3）解：①∵关于的方程有三个不同的解， ∴直线与分段函数的图象有三个交点， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得． ②直线恒过定点， ∵将函数图像进行平移后得到新函数， ∴平移规律为函数向右平移3个单位长度， ∴点向右平移3个单位得，点向右平移3个单位得， 当直线过点时，有，此时， 当直线过点时，有，此时， 如图， 由图可得，直线与新函数有三个交点时，． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共54页 学科网（北京）股份有限公司 $