31.2.3相似三角形的性质（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“相似三角形的性质”，引导学生掌握对应线段比等于相似比、面积比等于相似比平方等定理。通过复习相似三角形判定定理及思考三角形其他几何量，搭建新旧知识衔接的学习支架，自然引入新知。 以“猜想-证明-总结”的探究模式展开，小组讨论与独立证明结合，培养学生推理能力。典例、巩固练习及中考真题融入，提升应用意识，分层作业设计兼顾不同需求，助力学生通过几何直观理解性质，发展数学思维与表达能力。

31.2.3相似三角形的性质 导学案 一、学习目标 1.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 2.会综合利用相似三角形的判定定理和性质定理进行证明或计算。 学习重点：了解相似三角形的性质定理。 学习难点：综合利用相似三角形的判定定理和性质定理进行证明或计算。 二、学习过程 （一）复习引入 问题1 我们学习了哪些三角形相似的判定定理？ 问题2 根据相似三角形的定义，相似三角形的对应角相等、对应边成比例.在三角形中，除了边的长度和角的度数，还有哪些常见的几何量？ （二）合作探究 探究1 两个相似三角形的相似比为k，它们对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比各是多少？ 猜想： . 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的高AD和A′D'. 求证： . （小组讨论，寻找证明方法.） 证明： 猜想： . 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的中线AD和A′D'. 求证： . （请同学们独立完成证明.） 证明： 猜想： . 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的角平分线AD和A′D'. 求证： . （请同学们独立完成证明.） 证明： 相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 . 总结 相似三角形 的比等于相似比. 探究2 两个相似三角形的相似比为k，它们周长的比、面积的比各是多少？ 猜想： . 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k. 求证： . （请同学们独立完成证明.） 证明： 猜想： . 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k. 求证： . （请同学们独立完成证明.） 证明： 相似三角形的性质定理 相似三角形周长的比等于 ；相似三角形面积的比等于 . （三）典例分析 例1 如图，在矩形中，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 例2 已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是________． 例3 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 若△ABC的边BC上的高为6，它的面积为12，求△DEF的边EF上的高和它的面积. （四）巩固练习 1.判断题. (1)一个三角形各边长分别扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ ） (2)一个三角形各边长分别扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍 .（ ） 2．如图，，，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，复印前后三角形的相似比是多少?这个三角形的面积发生了怎样的变化? 4.如图 ，△ABC∽△A'B'C′，AD，BE是△ABC的高，A'D'，B′E'是△A'B′C′的高 .求证： = . （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年黑龙江绥化）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 2．（2026年四川乐山）如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（      ） A． B． C． D． 第2题图 第3题图 3．（2026年辽宁）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_______． （七）布置作业 1.必做题：习题31.2 第8，11，12题. 2.探究性作业：习题31.2 第15，16题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.2.3相似三角形的性质 导学案 一、学习目标 1.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 2.会综合利用相似三角形的判定定理和性质定理进行证明或计算。 学习重点：了解相似三角形的性质定理。 学习难点：综合利用相似三角形的判定定理和性质定理进行证明或计算。 二、学习过程 （一）复习引入 问题1 我们学习了哪些三角形相似的判定定理？ 问题2 根据相似三角形的定义，相似三角形的对应角相等、对应边成比例.在三角形中，除了边的长度和角的度数，还有哪些常见的几何量？ 本节课，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系. （二）合作探究 探究1 两个相似三角形的相似比为k，它们对应的高、对应的中线、对应的角平分线的比各是多少？ 猜想：相似三角形对应高的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的高AD和A′D'. 求证： = = k. （小组讨论，寻找证明方法.） 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠B=∠B′ . 又 ∠ADB=∠A'D′B′=90°， ∴ △ABD∽△A'B′D'. ∴ = = k. 猜想：相似三角形对应中线的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的中线AD和A′D'. 求证： = = k. （请同学们独立完成证明.） 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠B=∠B′ ， = = k. 又 BD= BC， B′D′= B′C′， ∴ = = . ∴ △ABD∽△A'B′D'. ∴ = = k. 猜想：相似三角形对应角平分线的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k，分别作它们的角平分线AD和A′D'. 求证： = = k. （请同学们独立完成证明.） 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴∠BAC=∠B′A′C′，∠B=∠B′ . 又 ∠BAD= ∠BAC， ∠B′A′D′= ∠B′A′C′， ∴ ∠BAD=∠B′A′D′. ∴ △ABD∽△A'B′D'. ∴ = = k. 相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 总结 相似三角形对应线段的比等于相似比. 探究2 两个相似三角形的相似比为k，它们周长的比、面积的比各是多少？ 猜想：相似三角形周长的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k. 求证： = k. （请同学们独立完成证明.） 证明：∵△ABC∽△A'B'C′， ∴ = = = k. ∴AB=kA'B'，BC=kB'C'，AC=kA'C'， ∴AB+BC+AC=k(A'B'+B'C'+A'C')， ∴ = k. 猜想：相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图，△ABC∽△A'B'C′，相似比为k. 求证： = k2. （请同学们独立完成证明.） 证明：分别作它们的高AD和A′D'. ∵△ABC∽△A'B'C′， ∴ = = k. ∴ = = · = k·k= k2. 相似三角形的性质定理 相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方. （三）典例分析 例1 如图，在矩形中，，点E在对角线上，且，连接并延长交于点F，则等于（ C  ） A． B． C． D． 例2 已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____12____． 解：，、是对应角平分线， 相似比， 又相似三角形周长之比等于相似比， ， 已知周长为16，代入得：， 解得：． 例3 如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 若△ABC的边BC上的高为6，它的面积为12，求△DEF的边EF上的高和它的面积. 分析：两边成比例且夹角相等→△ABC∽△A'B'C′→对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 解：在△ABC和△DEF中 ， ∵ AB=2DE，AC=2DF， ∴ = = . 又 ∠D=∠A， ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 · ∵△ABC的边BC上的高为6，它的面积为12， ∴ △DEF的边EF上的高为 ×6=3，它的面积为( )2×12=3. （四）巩固练习 1.判断题. (1)一个三角形各边长分别扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ √ ） (2)一个三角形各边长分别扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍 .（ × ） 2．如图，，，则下列结论一定成立的是（  D  ） A． B． C． D． 3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，复印前后三角形的相似比是多少?这个三角形的面积发生了怎样的变化? 答：复印前后三角形的相似比是 ，面积变成了原来的9倍. 4.如图 ，△ABC∽△A'B'C′，AD，BE是△ABC的高，A'D'，B′E'是△A'B′C′的高 .求证： = . 解：设△ABC和△A'B'C′的相似比为k. ∴ =k， =k， ∴ = . （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年黑龙江绥化）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（  B  ） A． B． C． D． 2．（2026年四川乐山）如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（  B   ） A． B． C． D． 3．（2026年辽宁）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． （七）布置作业 1.必做题：习题31.2 第8，11，12题. 2.探究性作业：习题31.2 第15，16题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $