31.4位似（第2课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律，通过复习位似图形概念、全等与相似变换的坐标规律，类比迁移搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于合作探究环节以线段、三角形坐标变化实验，培养几何直观与空间观念（数学眼光），典例分析结合中考题，通过推理分析坐标规律（数学思维），小结梳理数形结合，帮助学生构建知识体系提升应用意识，教师可直接使用多样化案例提高教学效率。

31.4 位似（第2课时） 第三十一章 相似 人教版九年级下册 学习目标 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系. 一 掌握把一个图形以原点为位似中心，按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化规律. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 位似图形 概念及 相关概念 一般地，如果一个图形上所有的点A，B，C，D，⋯P，⋯与另一个图形上所有的点A'，B′，C′，D'，⋯P'，⋯分别对应，直线AA′，BB′，CC′，DD′，⋯，PP′，⋯相交于一点O，且 ， 那么这两个图形叫作位似图形， 叫作位似中心. 位似 多边形 对于两个多边形，如果 ，并且 ，那么这两个多边形就叫作位似多边形. = = = = ⋯ = = ⋯ 每对对应顶点所确定的直线相交于一点 这点到与其不重合的对应顶点所连线段成比例 点O 概念及相关概念 性质 作图 复习引入 旋转 平移 轴对称 图形变换与坐标 相似变化 全等变化 位似 复习引入 旋转 平移 轴对称 位似 相似变化 全等变化 关于坐标轴对称的点的坐标规律 关于原点对称的点的坐标规律 关于原点位似的点的坐标规律 沿坐标轴方向平移的点的坐标规律 从一般到特殊 数形结合 类比 合作探究 探究 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点的坐标分别为A(6，3)， B(6，0).以原点O为位似中心，按相似比把线段AB缩小.观察对应点坐 标的变化，你有什么发现？ 已知点 A(6，3) B(6，0) 对应点 同侧位似 对应点 异侧位似 A′(2，1) B′(2，0) A′′(−2，−1) B′′(−2，0) 规律 点(x，y)→点(x，y)或(− x，− y) 合作探究 探究 如图，△AOC三个顶点的坐标分别为A(4，4)，O(0，0)，C(5，0).以 点O为位似中心，按相似比2把△AOC放大.观察对应点坐标的变化，你有什么发现？ 已知点 A(4，4) B(0，0) C(5，0) 对应点 同侧位似 对应点 异侧位似 A′(8，8) B′(0，0) A′′(−8，−8) B′′(0，0) C′(10，0) C′′(−10，0) 规律 点(x，y)→点(2x，2y)或(−2x，−2y) 合作探究 关于原点位似 的点的坐标规律 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心画位似图形，新图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(−kx，−ky). 合作探究 信息技术验证 典例分析 例1 已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A(2，1)、点B(2，0)、点O(0，0)，若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为________________． (4，2)或(−4，−2) 分析：由于要画的图形是三角形，因此关键是确定它的各顶点坐标.根据前面总结的规律，点A的对应点A'的坐标为 (−2×，4×)，即(−3，6). 类似地，可以确定其他顶点的坐标. 典例分析 例2 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(−2，4)，B(−2，0)，O(0，0). 以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为 · 解：如图，利用位似中对应点的坐标的 变化规律，分别取点A'(−3，6)，B'(−3，0)，O(0，0).连接A'B′，B'O，OA'，所得△A′B'O就是要画的一个图形. 典例分析 还可以画出其他三角形吗?自己试一试. 例2 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(−2，4)，B(−2，0)，O(0，0). 以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为 · 分析：利用位似中对应点的坐标的变化规律， 分别取点A''(3，−6)，B''(3，0)，O(0，0). 连接A''B'′，B''O，OA''， 所得△A′'B''O就是要画的另一个图形. 典例分析 例2 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(−2，4)，B(−2，0)，O(0，0). 以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为 · 典例分析 例3 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(0，4)，B点坐标为(2，0)，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形A′B′C′D′，使其与正方形 ABCD位似，且OA∶OA′=2∶1，则点C′的 坐标是__________． 巩固练习 解：如图所示，过点C作CE⊥x轴于点E，∴∠CEB=90°，∠EBC+∠ECB=90°； ∵A点坐标为(0，4)，B点坐标为(2，0)，∴OA=4，OB=2， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠OBA+∠EBC=90°，∴∠OBA=∠ECB， 又∵∠AOB=∠BEC=90°，∴△AOB≌△BEC(AAS)， ∴BE=OA=4，CE=OB=2，∴OE=6，∴C(6，2)； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形 A′B′C′D′，使其与正方形ABCD位似， 且OA∶OA′=2∶1，∴位似比为2∶1， 又∵正方形A′B′C′D′在第三象限， ∴点C′的坐标为(− ×6，− ×2)，即(−3，−1)． 巩固练习 1.如图，五边形ABCDE，A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A′的坐标分别为(2，0)，(3，0)．若DE的长为3，则D′E′的长为（   ） A． B．4 C． D．5 C 巩固练习 2.如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（　） A．(2，4) B．(4，2) C．(6，4) D．(5，4) C 巩固练习 3.在直角坐标平面上有A(6，2)、B(2，6)两点，以原点为位似中心把线段AB缩小到原来的一半，得到线段A1B1，那么A1的坐标是（    ） A．(3，1) B．(−1，−3) C．(3，1)或(−1，−3) D．(3，1)或(−3，−1) D 解：∵△AOB与△COD关于原点O位似， 点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(2，0)， ∴ △COD与△AOB的相似比为. 巩固练习 4.如图，把△AOB缩小后得到△COD. 求△COD与△AOB的相似比. 巩固练习 5.如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(4，−5)，B(6，0)，O(0，0).以原点O为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得到△A'B′O. 写 出△A'B′O三个顶点的坐标. 解：△A'B′O三个顶点的坐标为 A'(8，−10)，B′(12，0)，O(0，0) 或A'(−8，10)，B′(−12，0)，O(0，0). 巩固练习 6.如图，在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A(−2，2)，B(−4，1)，C(−1，−1)．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C'，并把△ABC的边长放大为原来的2倍，求点A'的坐标． 巩固练习 解：如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系， 则点A在新坐标系中的坐标为(−1，3)， 即点A向右平移1个单位，向上平移一个单位， ∵△ABC与△A'B'C'以点C为位似中心，在位 似中心异侧把△ABC的边长放大为原来的2倍， ∴点A在新坐标系中的横、纵坐标都乘−2， ∴点A'在新坐标系中的坐标为(2，−6)， 则点A'向左平移1个单位，向下平移一个单位后的坐标为(1，−7)， 即点A'在原坐标系中的坐标为(1，−7)． 归纳总结 关于原点位似的点的坐标规律 一般地，在平面直角坐标系中，如果 画位似图形， 的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为 或 . 以原点为位似中心 新图形与原图形 (kx，ky) (−kx，−ky) 1.（2025年甘肃兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O，已知BC:B′C′=1:2，则B(2，0)的对应点B′的坐标是（    ） A．(3，0) B．(4，0) C．(6，0) D．(8，0) B 感受中考 感受中考 2.（2026年甘肃武威）如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形．若B′(2，0)，B(4，0)，A′B′=，则AB=（     ） A．3 B．2 C．4 D．3 B 感受中考 3.（2023年辽宁盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A(2，6)，B(3，1)，O(0，0)，以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′ 的坐标为___________________． ( ，2)或( ，−2) 解：如图所示，过点C，C′分别作x轴的垂线CD，C′D′垂足分别为D，D′， ∵△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，A(2，0)， ∴AD′=2AD. ∵C(a，b)，∴AD=a−2，CD=b, ∴A′D=2a−4，C′D′=2b， ∴D′坐标为(2−2a+4，0)， ∴C′坐标为(6−2a，−2b). 感受中考 4.（2023年黑龙江绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C=90°.则点C′的坐标为_____________．（结果用含a，b的式子表示） (6−2a，−2b) 感受中考 5.（2025年安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为(−1，−3)和(2，6)． (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D， 并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到 △A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在 所给的网格图中画出△A1B1C1． 感受中考 解：(1)如图所示，点D即为边AB的中点， 点D的坐标为(−2，−1)． (2)如图所示，△A1B1C1即为所求作 的三角形． 小结梳理 位似图形 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 预备定理 判定定理 性质定理 应用 图形的放缩 关于原点位似的点的坐标规律 数形结合 布置作业 必做题：习题31.4 第3，5题. 1 探究性作业：习题31.4 第6题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $null