3.1.2椭圆的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 高中数学椭圆几何性质同步练，分层覆盖基础概念到综合应用，通过北京同步考题实现知识巩固与能力提升，培养几何直观与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|标准方程、焦点、离心率等单一概念|教材梳理表填空+单选1-4（短轴长、焦点位置判断），夯实概念记忆| |综合应用|范围、对称性、实际情境结合|单选5-8（对称点与焦点关系）、填空12-13（多知识点辨析），提升推理能力| |拓展提升|复杂计算与模型应用|解答题14-15（面积计算）、单选9-10（卫星轨道模型），发展模型观念与创新意识|

3.1.2椭圆的简单几何性质同步练（北京专用） 教材知识梳理 1.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 B2 图形 B B2 B 焦点的 焦点在x轴上 焦点在y轴上 位置 标准 X+上 (a>b>0) 方程 a1a>6>02 范围 对称性 对称轴为，对称中心为 A-a,0A2a,0 A10,-a'A2l0,a 顶点 B10,-bB20,b B1-b,0'B2b,0 轴长 短轴长B,B,=一，长轴长A,A 焦点 焦距 F1F2= 2.椭圆的离心率 试卷第1页，共3页 若椭圆的方程为X+二=1(a>b>0],半焦距为c:则焦距与长轴长的比C叫作椭圆的离 a b2 心率，记为e. (1)e∈ (2)二趋向于1时，椭圆越一：二趋向于0时，椭圆越一 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 26高三上北京期中)椭圆y+x=1的一个焦点为0 则椭圆的短轴长为 () A.2 B.2 c.2V2 D.4 2.(24-25高三上北京海淀期末)己知椭圆C:X+兰-1(b>0)的焦点在x轴上，点 2b2 P(1,1),则() A.P在C外 B.C的长轴长为2 C.P在C内 D.C的焦距为2b 3,（25:26高=上北京期中)过点2,2。且与椭圆广+ 25'16 =1有相同焦点的椭圆的标 准方程为() 189 c.2*3 D.123 4.(25-26高二上北京海淀阶段检测)已知椭圆y+X=1a>b>0的两个焦点分别为 a b2 EF2,左顶点为A,若cos上EAE名，则该椭圆的离心率为() A.5 V10 V15 D. 2V5 B. C. 5 5 5 试卷第2页，共3页 5.(25-26高二上北京朝阳期中)已知椭圆C:丈+上=1la>b>0上有一点A,它关于 a61 原点的对称点为8，点F为椭圆的右焦点，且A亦-航=0，∠ABF-若 则椭圆的离心 率为() 3 2 A.3 B. 2 c.3-1 D.2-1 6.(25-26高二上北京期中)已知椭圆X+y =1的焦距等于4，则其离心率的值为 m12 () 1 B.2 D.2 7,.(25,26商二上北京期中)过椭因￥+y=1焦点且与椭圆长转垂直的直线与椭圆相交 于A、B两点，则AB等于() A.4 B.293 C.1 D.49V3 8.(25-26高二上北京期中)已知A-2,0,B2,0,动点Cx,y,则“AC.BC≥0” 是答苦21a《) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(25-26高二上·北京·阶段检测)2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长 征六号运载火箭，成功将天平三号A(01)、B(01)、B(02)卫星发射升空，卫星顺利进入 预定轨道，发射任务获得圆满成功.如图，假设天平三号A(01)卫星运动的轨道是以地球 的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球 表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号 A(01)卫星运行的轨迹方程可以为() 试卷第3页，共3页 近地点， 球必 远地点 -=1 B. +-1 98 916 C.x2 1.3523.351 D.x 3.3212-1 10,(25.26商二上北京延庆期末)过椭圆+y=1的中心作一条直线交椭圆于P、Q两 4 点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为() A.5 B.6 C.8 D.10 二、填空题 1.(25-26高二上北京东城期中)椭圆C:X+ -=1的焦点坐标为；短轴长为 2 12.(25-26高二上北京期中)已知椭圆恰好经过四个点A 2.32 35 C3,0'D0,V10中的三个点，则符合条件的一个椭圆的标准方程是 13.(25-26高二上·北京·期中)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球 附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点处 第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道I的 中心.设椭圆I与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2,半焦距分别为C1和c2,离心率分别为e1,e2, 则下列结论正确的有 试卷第4页，共3页 ①a1+c1>2a2+c2 ②a1-C1=a2-C2 e2+1 ③e122 ④椭圆Ⅱ比椭圆I更扁 三、解答题 14,(25-26高二上北京西城期末)已知椭圆C:Y+)-1,右焦点和右顶点分别为F, 43 A.倾斜角为的直线1经过F且与椭圆C交于M,N两点. (1)求椭圆C的离心率： (2)求△AMN的面积. 15.(25-26商二上北京期中)已知椭圆G:兰+片=1a>b>0)的右顶点为2,0 a2b21 2 离心率为2 (1)求椭圆G的方程： (2)过点M0,-2的直线l与椭圆G交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为2， 求直线的方程. 试卷第5页，共3页 3.1.2椭圆的简单几何性质同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 （） ________（） 范围 __________ ________ 对称性 对称轴为____，对称中心为_____ 顶点 ， ， ， ， 轴长 短轴长____，长轴长____ 焦点 __________ __________ 焦距 ____ 【答案】 且 且 坐标轴 原点 ， ， 2．椭圆的离心率 若椭圆的方程为，半焦距为，则焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率，记为. （1）____________； （2）趋向于1时，椭圆越___；趋向于0时，椭圆越____； 【答案】 扁 圆 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的一个焦点为，则椭圆的短轴长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求，即可求解. 【详解】由条件可知，椭圆的焦点在轴上，且，，所以， 所以椭圆的短轴长. 故选：C 2．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【分析】根据椭圆方程及焦点位置求出的范围，即可判断. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 3．（25-26高二上·北京·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求椭圆方程为 ，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程. 【详解】椭圆的焦点为或， 设所求椭圆方程为 ， 则，解得，所以椭圆方程为. 故选：D 4．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别为，，左顶点为，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆性质，可得，，，进而可得，，在中，结合余弦定理，可得，即可求得其离心率. 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以在中，，， 又在椭圆中，，所以， 由余弦定理，可得， 即，化简得， 解得，即. 故选：A 5．（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立a、c关系求解离心率． 【详解】设椭圆左焦点为，连接，    由A、B关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率． 故选：C 6．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（    ） A．或 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类求出离心率. 【详解】椭圆的焦距，即， 当焦点在轴上时，其短半轴长，则长半轴长，离心率； 当焦点在轴上时，其长半轴长，此时，则离心率， 所以椭圆的离心率为或. 故选：A 7．（25-26高二上·北京·期中）过椭圆焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A、B两点，则等于（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，联立方程组，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则， 联立方程组，解得， 如图所示，可得，所以. 故选：C.    8．（25-26高二上·北京·期中）已知，，动点，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】列出向量，，然后得到，由条件“”得点与圆的位置关系，由条件“”得点与椭圆的位置关系，数形结合即可得到结论. 【详解】，，则， 当时，，表示点在圆上或圆外， ，表示点在椭圆上或椭圆外， 如图 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（25-26高二上·北京·阶段检测）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 10．（25-26高二上·北京延庆·期末）过椭圆的中心作一条直线交椭圆于、两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据对称性可得到，然后结合椭圆的定义可求得的周长的最小值. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，则根据椭圆的定义可得，. 因为直线过椭圆的中心，所以关于原点对称，那么有. 那么的周长为. 当为椭圆的短轴时，的周长取最小值， 此时的周长为. 故选：B.    二、填空题 11．（25-26高二上·北京东城·期中）椭圆的焦点坐标为_____；短轴长为_____． 【答案】 2 【分析】根据椭圆的基本性质，求出结果即可. 【详解】由题可得焦点在轴上，由，得，所以焦点坐标； 短轴长为. 故答案为：；2 12．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆恰好经过四个点，，，中的三个点，则符合条件的一个椭圆的标准方程是__________. 【答案】或（二选一即可） 【分析】由椭圆的对称性确定椭圆必经过，然后设椭圆方程，由在椭圆上或在椭圆上即可求出椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的对称性可知，必在椭圆上， 设椭圆方程为， 若在椭圆上，则，解得，即椭圆方程为， 若在椭圆上，则，解得，即椭圆方程为， 故答案为：或（二选一即可） 13．（25-26高二上·北京·期中）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，且轨道II的右顶点为轨道I的中心.设椭圆I与II的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，则下列结论正确的有__________.    ① ② ③ ④椭圆II比椭圆I更扁 【答案】①②③ 【分析】根据椭圆的定义及几何性质得，据此对所给结论逐一判断即可. 【详解】由题可得，. 对于①，，所以①正确； 对于②，，所以②正确； 对于③，，所以③正确； 对于④，由③知，，即，所以椭圆I比椭圆II更扁，所以④不正确. 故答案为：①②③. 三、解答题 14．（25-26高二上·北京西城·期末）已知椭圆：，右焦点和右顶点分别为，.倾斜角为的直线经过且与椭圆交于，两点. (1)求椭圆的离心率； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由方程结合离心率定义即可得解. （2）先求出直线方程，接着联立椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式和点到直线距离依次求出和点A到直线的距离即可由面积公式求解. 【详解】（1）因为椭圆：，所以， 所以椭圆的离心率为； （2）由题直线的斜率为， 所以直线的方程为，代入椭圆方程得， 设，则， 所以 又点A到直线的距离为 所以的面积为 15．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再求出，即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得 ，解方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）依题意，所以，则， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 由，解得， 设，，则，， 所以的面积 ， 平方化简得，解得，所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $