3.2.2　双曲线的简单几何性质课后练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到创新拓展，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|双曲线定义、离心率、渐近线等基本概念|选择填空为主，基础题型巩固公式应用，如等轴双曲线焦点到渐近线距离计算| |B级|焦点三角形、向量垂直等几何关系综合|含多选题和解答题，深化逻辑推理，如BF₁⊥BF₂结合双曲线定义求渐近线斜率| |C级|圆与渐近线的存在性问题|创设跨知识情境，发展创新意识，如圆上点满足中点在渐近线上的离心率范围求解|

3.2.2　双曲线的简单几何性质 A级　必备知识基础练 1.(2026福建福州期中)等轴双曲线经过点(3,-1),则其焦点到渐近线的距离为(　　) A.3 B.2 C.2 D. 2.若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分,则该双曲线的离心率为(　　) A.3 B. C.2 D. 3.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,实轴长为2a=2,且焦点在x轴上,则该双曲线的标准方程为(　　) A.x2-=1或-x2=1 B.-x2=1 C.x2-=1 D.-y2=1 4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,则它的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 5.设双曲线C1:x2-y2=1,C2:=1(b>0)的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则b=(　　) A.1 B.2 C. D. 6.(2026山东临沂期中)双曲线=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为60°,则该双曲线的离心率e为(　　) A. B.2 C. D. 7.(多选题)已知曲线C1:4x2+3y2=48,C2:x2-=1,则下列说法正确的有(　　) A.曲线C1的长轴长为4 B.曲线C2的渐近线方程为y=±x C.曲线C1与曲线C2的焦点坐标相同 D.曲线C1与曲线C2的离心率互为倒数 8.(2026广西高二期中)双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距是虚轴长的2倍,则双曲线C的离心率为　　　　　.  9.(2026重庆高二期中)若双曲线=1的离心率为3,则实数k=　　　　　.  B级　关键能力提升练 10.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于(　　) A.-1 B. C.+1 D.+2 11.如图所示,F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C的右支上存在一点B满足BF1⊥BF2,BF1与双曲线C的左支的交点A平分线段BF1,则双曲线C的渐近线的斜率为(　　) A.±3 B.±2 C.± D.± 12.(多选题)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且=0,则下列结论正确的是(　　) A.双曲线C的渐近线方程为y=±x B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1 C.点F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D.△PF1F2的面积为1 13.已知F为双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若|OF|=|FB|,则双曲线E的离心率是　　　　. C级　学科素养创新练 14.(2026重庆高二期中)双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0),若在圆M: (x+2)2+(y-5)2=4上存在点P,使得PF2的中点在C的渐近线上,则双曲线C的离心率的取值范围是　　　　　.  答案 1.C　设等轴双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),则λ=32-(-1)2=8,双曲线x2-y2=8,即=1的渐近线方程为x±y=0,半焦距c==4,所以焦点(4,0)到渐近线x±y=0的距离d==2.故选C. 2.A　已知双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分,则2a=×2c,即=3,则该双曲线的离心率为3.故选A. 3.C　设双曲线的标准方程为=1,则由题可得解得所以双曲线的标准方程为x2-=1. 故选C. 4.A　由=1得双曲线的渐近线方程为y=±x. ∵双曲线的离心率为2, ∴=2,解得, ∴双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A. 5.A　由双曲线C1:x2-y2=1,可得其离心率为e1=. 由双曲线C2:=1(b>0),可得其离心率为e2=. 因为e2=e1,所以,得b=1. 故选A. 6.C　=1的渐近线方程为y=±x,a>b>0,结合条件两条渐近线的夹角为60°,则,解得a=b. 又c2=a2+b2,∴c2=+b2=4b2,∴c=2b,e=.故选C. 7.BD　曲线C1:4x2+3y2=48整理得=1,则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆,其中=16,=12,所以=4,离心率e1=,故曲线C1的长轴长2a1=8,故A错误;曲线C2:x2-=1是焦点在x轴上的双曲线,其中=1,=3,所以=4,离心率e2==2,故曲线C2与曲线C1的焦点位置不同,故C错误;曲线C2:x2-=1的渐近线方程为y=±x,故B正确;又e1e2=×2=1,所以曲线C1与曲线C2的离心率互为倒数,故D正确.故选BD. 8.　由题意可得2c=4b⇒c=2b, 又c2=a2+b2,可得a=b, 所以e=. 9.3　若双曲线的焦点在x轴上,则a2=k-2>0,b2=11-k>0,得2<k<11,则e2==1+=1+=9,得k=3,满足题意;若双曲线的焦点在y轴上,则a2=k-11>0,b2=2-k>0,无解.综上,k=3. 10.C　不妨设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=.因为∠PF1Q=,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=+1或e=1-(舍去).故选C. 11.B　设|AB|=|AF1|=x(x>0),则|BF1|=2x, 由双曲线的定义得|BF2|=2x-2a,|AF2|=x+2a. 又由BF1⊥BF2得|AF2|2=|AB|2+|BF2|2,即(x+2a)2=x2+(2x-2a)2,得x=3a, 所以|BF1|=6a,|BF2|=4a. 在直角三角形BF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2,即(2c)2=(6a)2+(4a)2,整理得c2=13a2,则b2=c2-a2=12a2,双曲线C的渐近线的斜率为±=±2.故选B. 12.ACD　易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,故A正确;由a=b=1得c=,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;易知F1(-,0),则F1到双曲线的一条渐近线的距离d==1,故C正确; 由=0得,PF1⊥PF2,因此点P在圆x2+y2=2上,由得y2=,故|y|=,因此,|F1F2|·|y|=×2=1,故D正确. 故选ACD. 13.　如图所示,过F向另一条渐近线引垂线,垂足为D. 由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±x, 则F(c,0)到渐近线的距离d==b, 即|FA|=|FD|=b. 又|OF|=|FB|=c,∴|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c. ∵△OFB为等腰三角形,∴D为OB的中点,∴|OB|=2a. ∵AB⊥OA,∴|OB|2=|OA|2+|AB|2, 即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,∴c=2b. 则2a=c,∴e=. 14.[,+∞)　由双曲线C:=1的右焦点为F2(2,0),则c=2. 由圆M:(x+2)2+(y-5)2=4的圆心为M(-2,5),半径r=2, 设圆M上的一点P(m,n),可得PF2的中点坐标为(). 由双曲线C的渐近线方程为y=±x, 可得=±),即n=±(m+2). 又因为直线n=±(m+2)与圆M存在公共点, 所以圆心M(-2,5)到直线y=±(x+2)的距离d=≤2,即4[(±)2+1]≥25, 可得()2≥, 所以e2==1+()2≥1+,得e≥, 所以双曲线的离心率的取值范围为[,+∞). 4 学科网（北京）股份有限公司 $