3.3.2抛物线的简单几何性质 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 聚焦抛物线几何性质，以"基础认知-技能应用-综合探究"分层设计，通过北京同步考题强化概念理解与运算推理，培养几何直观与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|标准方程、焦点准线等概念|单选题1-3题考查定义辨析，填空题11题结合图形计算面积，强化几何直观| |技能应用|直线与抛物线位置关系、弦长计算|单选题4-8题涉及最值、条件判断，填空题12-14题训练运算能力，体现推理意识| |综合探究|面积与方程综合应用|解答题15题融合焦点、弦长与面积，需构建方程模型，发展应用意识|

3.2.2抛物线的简单几何性质同步练（北京专用） 教材知识梳理 抛物线的简单几何性质 标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图象 范围 对称轴 ____轴 ____轴 顶点 离心率 【答案】 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（2026·北京房山·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的焦点，设， 由，得，解得，因此轴， 由对称性得，所以. 2．（2026·北京大兴·三模）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点为坐标原点，的面积为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由抛物线：，可得焦点，准线方程为， 设，则，得， 又，可得， 所以. 3．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与抛物线的位置关系，再结合充分，必要条件，即可判断. 【详解】若直线与抛物线相切，则直线与只有一个公共点， 若直线与只有一个公共点，则直线与抛物线相切或直线与对称轴平行， 所以“与相切”是“与只有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 4．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知点在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式，结合的取值范围，即可求解. 【详解】设，， ， 当时，取得最小值2. 故选：A 5．（24-25高三上·北京海淀·阶段检测）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示：    则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 6．（2025·北京通州·一模）已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（   ） A．16 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求得． 【详解】由题意可得，抛物线的焦点， 由直线的斜角为，可知直线AB的斜率为， ∴直线AB的方程为， 设， 联立方程，可得，解得， 由抛物线的定义可知，. 故选：C. 7．（24-25高二上·北京东城·期末）设坐标原点为O，抛物线的焦点为F，M为线段的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D，若的周长为8，则p的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用抛物线的方程及已知条件可以求得点的横坐标为及，再利用抛物线的定义，得到的长度，最后利用的周长列出关于的方程，从而求解. 【详解】 抛物线的方程为， ，， M为线段的中点，， 过点且垂直于轴的直线为，点的横坐标为， 点在抛物线上，根据抛物线的定义，， 由题意可知，， 的周长为8，，即， . 故选：B. 8．（2026·北京昌平·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且与准线交于点. 若点为线段的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线的准线与轴的交点为，过点分别作，，垂足分别为，进而根据几何关系求得即可求得答案. 【详解】如图，记抛物线的准线为，设抛物线的准线与轴的交点为， 过点分别作，，垂足分别为，则 因为点为线段的中点，， 所以点为线段的中点，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即，解得， 所以，根据抛物线的定义，. 9．（25-26高二上·北京·期末）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，如果，那么的值为（   ） A．1 B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合抛物线的定义，数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由对称性不妨令点在第四象限， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为和，作于，    则，由，得，， 因此，而，则， 即，于是，所以. 故选：A 10．（25-26高三上·北京石景山·期末）设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，则以为直径的圆（    ） A．必过原点 B．必与轴相切 C．必与轴相切 D．必与抛物线的准线相切 【答案】C 【分析】利用中位线性质与抛物线的定义化简计算可得以为直径的圆与轴相切. 【详解】如图，取中点，以为圆心，为直径作圆，与轴相切于点， 证明如下：不妨取抛物线开口向右，则 若分别为，中点，抛物线的准线于，交轴于， 连接，所以，且， 所以， 由抛物线定义可知， 所以为圆的半径，即以为直径的圆与轴相切. 故选：C 二、填空题 11．（25-26高二上·北京东城·期末）已知抛物线：的顶点为，焦点为，准线为，点在抛物线上.若点到准线的距离为2，则的面积为______. 【答案】1 【分析】根据抛物线定义和到准线的距离为2求点的坐标，再根据三角形面积公式计算面积. 【详解】由：可得,则, 如图所示，不妨设点位于第一象限，过点向准线作垂线交准线于， 则，解得,则垂直于轴， 代入：，解得，则， 所以的面积为. 故答案为：1.    12．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线的焦点为，则的标准方程为________；设点，点在上，则的最小值为__________. 【答案】 4 【分析】利用抛物线的性质可得抛物线方程；利用抛物线的性质可求得的最小值. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，开口向轴正方向， 所以的标准方程为； 抛物线的准线为，过向准线作于， 由抛物线的性质可得，所以， 当在一直线上时，的值最小， 最小值即为点到直线的距离. 故答案为：；. 13．（25-26高二下·北京·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则____________. 【答案】5 【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的纵坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程，， 由消去得，则，由，得， 联立解得或，因此，所以. 故答案为：5 14．（2026·北京·三模）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则______． 【答案】6 【分析】将抛物线化为标准形式，得到焦点和准线方程，由焦点弦弦长公式求出答案. 【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为， 设弦中点纵坐标为， 故． 故答案为：6 三、解答题 15．（25-26高二上·北京·期末）已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用抛物线定义来求焦半径即可； （2）利用直线与抛物线联立方程组，结合韦达定理和面积公式即可求解. 【详解】（1）将代入，得，其中， 所以； （2）直线的斜率显然存在，设直线，、， 由得：， ，，， 由于 所以， 解得， 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得， 所以直线方程为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $3.2.2抛物线的简单几何性质同步练（北京专用） 教材知识梳理 抛物线的简单几何性质 标准方 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0 程 卫的几何意义：焦点F到准线1的距离 图象 范围 x≤0，y∈R x∈R,y≤0 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(2026·北京房山一模)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交 于M,N两点，若MFI=2,则MN=() A.4 B.5 C.6 D.7 2.(2026北京大兴，三模)已知抛物线C:X=4y的焦点为F,点M在抛物线C上，且 MF=4,点O为坐标原点，△MOF的面积为() A.3 B.2 c.23 D.4 3.(25-26高二上·北京延庆期末)已知直线l和抛物线C,那么“l与C相切”是“l与C只 有一个公共点”的() 试卷第1页，共3页 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(25-26高二上北京延庆期末)已知点P在抛物线x2=-5y上，且A0,-2,则PA 的最小值为() 9V15 V35 15 A.2 B. C. 2 D.4 5.(24-25高三上·北京海淀·阶段检测)设抛物线y=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线 上的一点P作l的垂线，垂足为Q,若∠PQF=30°，则PQ=() 1 3 4 A.3 B.3 C.3 D.3 6。(2025北京通州一模)已知点P为抛物线y=4x的焦点，过点P且倾料角为号的直线 与抛物线交于A、B两点，则AB等于() 16 A.16 B.6 C. 3 D.4 7.(24-25商二上北京东城期末)设坐标原点为0，抛物线C:y=2px(D>0)的焦点为 F,M为线段OF的中点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线C的一个公共点为D,若 △ODF的周长为8，则p的值为() A.2 B.4 C.6 D.8 8.(2026北京昌平二模)已知抛物线C:yY=2pxp>0的焦点为p过点F的直线卢 抛物线C交于不同的两点A,B,且与准线交于点D.若点B为线段AD的中点，|BF引=2， 则p的值为() B.2 a.g D.4 9.(25-26高二上北京期末)过抛物线y=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B 点，点O是原点，如果BF=3,∠BF0=3,那么AF的值为( 试卷第2页，共3页 A.1 C.3 D.6 10.(25-26高三上·北京石景山期末)设抛物线y=2mx的焦点为F,点P为抛物线上一 点，则以PF为直径的圆() A.必过原点 B.必与X轴相切 C.必与y轴相切 D.必与抛物线的准线相切 二、填空题 11.(25-26高二上·北京东城期末)已知抛物线C:y=4x的顶点为O,焦点为F,准线 为l,点P在抛物线C上.若点P到准线的距离为2，则△POF的面积为 12.(24-25高二上·北京期末)已知抛物线C的焦点为F(0,1),则C的标准方程为 ;设点Q(2,3),点P在C上，则PF+PQ的最小值为 13.(25-26高二下·北京·期末)己知抛物线x=4y的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A、 B两点，若AF=4BF,则AF= 14.(2026北京·三模)过抛物线y= X的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，若弦AB 中点纵坐标为2，则AB= 三、解答题 15.(25:26高二上北京期末)已知抛物线C:X=2y其焦点为F:M2,y,是C上的 一点。 (1)求MF: (2)直线l交C于A,B两点，koA·koB=-2且△OAB的面积为16，求直线l的方程， 试卷第3页，共3页