2.5.1 直线与圆的位置关系 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 聚焦直线与圆的位置关系，通过“概念梳理-基础应用-综合提升”三层设计，实现从知识记忆到问题解决的递进，适配新授课巩固需求，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念梳理层|位置关系判定（几何法/代数法）|表格填空+判断正误强化概念辨析，夯实抽象能力| |基础应用层|基础位置关系判断与简单计算|单选题（1-5题）直接应用判定方法，提升运算能力| |综合提升层|综合应用（切线/弦长/中点弦等）|解答题（17-18题）结合切线方程与弦长计算，发展模型观念与应用意识|

2.5.1直线与圆的位置关系同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _____ _____ _____ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 _____ _____ _____ 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ _____ _____ _____ 【答案】 两个 一个 零个 2．判断正误 （1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( ) （2）若直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．( ) （3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( ) 【答案】 × √ √ 【详解】（1）直线与圆有公共点，则直线和圆相交或相切，错误； （2）直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切，正确； （3）圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交且过圆心 C．相离 D．相交且不过圆心 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：C. 2．（2025高三上·北京·专题练习）直线与圆（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 【答案】C 【分析】求出直线所过的定点，再判断该定点与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 直线，由，解得， 即直线过定点，由， 则位于圆的内部，所以直线与圆相交. 故选：C 3．（25-26高三上·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先把圆的一般方程化成标准方程，求出圆心和半径，再结合点到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系，可求弦长. 【详解】由 ， 可得圆的圆心为，半径为. 因圆心到直线的距离为：，则直线经过圆心. 所以直线被圆所截得的弦长为圆的直径，为. 故选：C 4．（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 5．（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. 6．（25-26高三下·北京·阶段检测）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（    ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】由已知两条直线是平行线，因此圆心到它们的距离相等，从而可得结论. 【详解】易知直线，平行，则两条直线截圆所得的弦为矩形的一组对边. 因为矩形的四个顶点都在圆上，所以矩形对角线交点即为圆心， 即圆心到它们的距离相等，且， 所以，所以， 即或，所以. 7．（2026·北京通州·一模）已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以当取最大值时，最小. 因为直线过定点，所以的最大值为， 所以的最小值为. 8．（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再分别讨论切线的斜率不存在和存在两种情况求解.在斜率存在的情况下，先设切线方程为点斜式，整理成一般式，再利用圆心到直线的距离等于半径，列出斜率的等式，计算求出，从而得到切线方程. 【详解】，圆心，半径， 过点且与圆相切， 当此切线不存在斜率时，切线方程为，满足此直线与圆相切； 当此切线存在斜率时，设此切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 则切线方程为，即； 综上，所求的切线方程为或. 故选：D. 9．（24-25高二上·北京通州·期中）过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设切点为、，求出圆的半径，根据锐角三角函数可得，进而可得 . 【详解】过点作圆的两条切线，设切点为、， 而圆，即，则圆的半径为2，圆心, , 故，故，进而可得， 故选：C． 10．（22-23高三下·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心坐标排除AB，再由相切性质得半径可得选项. 【详解】由题意，圆心坐标为，可知AB错误； 设圆心半径为，且圆心到轴的距离为， 则由圆与轴相切可得， 故圆的方程为：. 故选：C. 11．（25-26高二上·北京平谷·期末）已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，结合弦长最短时直线，求解即可. 【详解】圆：，配方得. 圆心，半径. 直线：，整理为，故直线恒过点. 经验证，点在圆内，当直线时，弦长最短. 又，所以. 此时直线的方程为，即. 故选：B. 12．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】由题意可得，线段的中点的轨迹为圆，因此可将求线段的中点到直线距离的最大值转化为求圆上的点到直线距离的最大值，转化为圆心到直线的距离加半径，即可得解. 【详解】设，则，即. 记线段的中点为点，设点的坐标为，则. 所以，即. 所以点的轨迹为以原点为圆心，半径的圆. 点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：D. 二、填空题 13．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 14．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 【答案】 【分析】作图，结合图象利用两点间距离公式得，由勾股定理得，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】结合题意，作图如下： 圆的圆心，半径，， 则，， 由圆的对称性可知， 则，解得. 故答案为：. 15．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知圆内有一点、经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为______． 【答案】 【分析】由已知结合直线与圆相交的性质及直线垂直的斜率关系即可求解． 【详解】圆整理得， 即圆的圆心为点，半径为， 由题可知点 是弦的中点，则， 由题意得，， 则， 所以经过点的直线的方程为，即． 故答案为：． 16．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知直线：与圆：交于A，两点，当最短时的值为_________． 【答案】1 【分析】分析可知直线过定点，结合圆的性质可知当时，取到最短，即可得结果. 【详解】因为直线：，即，可知直线过定点， 圆：的圆心为，半径， 可知当时，取到最短，此时. 故答案为：. 三、解答题 17．（25-26高二上·北京昌平·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)直线与圆相交，所截得的弦长为2 (2)或 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，将之与圆的半径比较，若，则圆与直线相交，此时直线被圆截得的弦长为，即可求解； （2）先判断点在圆外，过该点并与圆相切的直线有两条，当直线斜率存在时，圆心到直线的距离等于半径，即可求得切线方程，并考虑直线斜率不存在时即时是否满足条件即可. 【详解】（1）由题意得圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所截得的弦长为， 故直线与圆相交，所截得的弦长为2. （2）因为圆心到的距离为， 所以点在圆外，此时有两条切线， ①当直线斜率存在时，由题意设直线，即， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为； ②当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心到的距离为3， 故也满足条件，此时切线方程为， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 18．（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）已知直线与圆相交于不同两点. (1)求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦若存在，求出的值，并求出此时线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，的长 【分析】（1）利用圆心到直线的距离小于半径，列式求解； （2）由的垂直平分线过圆心，得直线与直线垂直，由此能求出值和. 【详解】（1）圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， ∵直线与圆相交于不同两点， ∴，即，解得或. 所以实数的取值范围为. （2）∵为圆上的点，∴的垂直平分线过圆心，∴直线与直线垂直， 又，∴，解得，符合（1）中的取值范围， ∴存在，使得过的直线垂直平分弦， 此时直线的方程为， 圆心到直线的距离，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1直线与圆的位置关系同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 _____ _____ _____ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 _____ _____ _____ 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ _____ _____ _____ 2．判断正误 （1）若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( ) （2）若直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．( ) （3）若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( ) 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交且过圆心 C．相离 D．相交且不过圆心 2．（2025高三上·北京·专题练习）直线与圆（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 3．（25-26高三上·北京·开学考试）直线被圆所截得的弦长为（　　） A． B．2 C． D．4 4．（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 5．（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 6．（25-26高三下·北京·阶段检测）若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（    ） A．0 B．1 C． D．4 7．（2026·北京通州·一模）已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 8．（25-26高三上·北京平谷·阶段检测）过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 9．（24-25高二上·北京通州·期中）过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（   ） A． B． C． D． 10．（22-23高三下·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·北京平谷·期末）已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．6 二、填空题 13．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 14．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）过圆外一点作圆的切线，切点分别为、，则_________． 15．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知圆内有一点、经过点的直线与圆交于两点，当弦恰被点平分时，直线的方程为______． 16．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知直线：与圆：交于A，两点，当最短时的值为_________． 三、解答题 17．（25-26高二上·北京昌平·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 18．（25-26高二上·北京顺义·阶段检测）已知直线与圆相交于不同两点. (1)求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦若存在，求出的值，并求出此时线段的长；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $