3.3.1抛物线及其标准方程课后练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 三级分层设计，从抛物线定义、方程等基础概念到与圆结合的综合应用，再到创新情境问题，适配新授课知识巩固与数学眼光、思维、语言核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|抛物线定义、标准方程、焦点准线、焦半径|基础题占比60%，如焦点坐标（题1）、准线方程（题2），强化概念理解与运算能力| |B级|抛物线与圆综合、最值问题、轨迹方程|提升题占比27%，如圆与抛物线距离最值（题10），培养逻辑推理与空间观念| |C级|含参数抛物线方程求解|创新题占比13%，如教材习题改编（题14），发展数学建模与创新意识|

3.3.1　抛物线及其标准方程 A级　必备知识基础练 1.抛物线y2=-4x的焦点坐标是(　　) A.(1,0) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 2.(2026江苏泰州高二期中)抛物线y=4x2的准线方程为(　　) A.y=- B.x=-1 C.y=-1 D.x=- 3.(2026贵州高二期中)若抛物线y2=4x上有一点P,其横坐标为2,则该点到焦点F的距离为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 4.动点P(x,y)到点F(3,0)的距离比它到直线x+2=0的距离大1,则动点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 5.已知F为抛物线C:y2=8x的焦点,A为抛物线C上一点,点B的坐标为(6,0),若|AF|=|BF|,则△ABF的面积为(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 6.清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状,碗盖深为3 cm,碗盖口直径为8 cm,碗体口直径为10 cm,碗体深6.25 cm,则盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)(　　) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8.25 cm 7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为抛物线C上一点,过点P作抛物线的准线的垂线,垂足为M,且∠MPF=,则|PF|=(　　) A.2 B.4 C.4 D. 8.已知点A(5,2),F为抛物线y2=4x的焦点,点P在抛物线上移动,则|PA|+|PF|的最小值为　　　　　.  9.设F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C.若|AB|=2,|BC|=2,则抛物线的方程为　　　. B级　关键能力提升练 10.已知抛物线E:x2=4y,圆C:x2+(y-3)2=1,P为抛物线E上一点,Q为圆C上一点,则|PQ|的最小值为(　　) A.5 B.2-1 C.2 D.3 11.(2025全国2)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 12.已知点M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y2=2x的焦点为F,Q是抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是　　　　　.  13.在平面直角坐标系中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是　　　　　.  C级　学科素养创新练 14.(人教B版教材习题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),求C的方程. 答案 1.B　由y2=-4x得2p=-4,则p=-2,故焦点坐标为(-1,0).故选B. 2.A　将抛物线方程化为标准形式为x2=y,所以p=. 又抛物线x2=2py的准线方程为y=-,所以该抛物线的准线方程为y=-.故选A. 3.B　因为抛物线的方程为y2=4x,所以2p=4,所以p=2,所以点P到焦点F的距离与点P到其准线的距离相等,即|PF|=2+=2+1=3.故选B. 4.D　∵动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1, ∴点P到点(3,0)的距离等于它到直线x=-3的距离. 因此点P的轨迹是以(3,0)为焦点,直线x=-3为准线的抛物线.故选D. 5.C　由题意得F(2,0),则|AF|=|BF|=4,即点A到准线x=-2的距离为4,所以点A的横坐标为2,当x=2时,y=±4,即|yA|=4, 所以S△ABF=×(6-2)×4=8.故选C. 6.C　以碗体的最低点为原点,向上方向为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 设碗体的抛物线方程为x2=2py(p>0),将点(5,6.25)的坐标代入,得52=2p×6.25,解得p=2,则x2=4y. 设盖上碗盖后,碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm, 则两抛物线在第一象限的交点坐标为(4,h-3),代入x2=4y,得42=4(h-3),解得h=7.故选C. 7.D　由抛物线定义可知|PF|=|PM|,所以△PMF为等腰三角形. 记坐标原点为O,因为∠MPF=,所以∠MFO=,则|MF|==4,所以|PF|=. 故选D. 8.6　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,过点P作直线x=-1的垂线,垂足为点E, 由抛物线的定义,得|PF|=|PE|,|PA|+|PF|=|PA|+|PE|, 当A,P,E三点共线,即AP与直线x=-1垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,且最小值为5+1=6. 9.y2=2x　由题意得|AB|=2,|BC|=2,AB⊥BC, 所以tan∠CAB=, 可得∠CAB=60°. 由抛物线的定义得|AB|=|AF|, 所以△ABF是等边三角形, 所以p=|BF|=|AB|=1, 所以抛物线的方程是y2=2x. 10.B　由题意知圆心C(0,3),半径r=1.设P(x0,y0),则=4y0,所以|PC|=,故当y0=1时,|PC|min=2,所以|PQ|min=|PC|min-r=2-1.故选B. 11.C　由直线BF的方程:y=-2x+2知F(1,0),所以=1,p=2,所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1,所以B(-1,4),所以yA=4,代入抛物线方程得A(4,4), 所以|AF|=|AB|=+xA=1+4=5.故选C. 12.　抛物线的准线方程为x=-,过点Q作QQ'垂直准线于点Q',如图, 则|MQ|-|QF|=|MQ|-|QQ'|,显然,当MQ平行于x轴时,|MQ|-|QF|取得最小值,此时Q(2,2),此时|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+|=. 13.3　设P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示, |PB|==|x|,即|PB|为点P到y轴的距离.抛物线的焦点为F,准线方程为x=-,可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-.过点A作准线的垂线,垂足为K,可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AK|=,即|PA|+|PB|的最小值为3. 14.解 ∵抛物线C的方程为y2=2px(p>0), ∴焦点F(,0).设M(x,y),由抛物线定义可知|MF|=x+=5,可得x=5-. ∵圆心是MF的中点,∴根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为. 由题可得圆的半径为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即M(5-,4), 将点M的坐标代入抛物线方程得p2-10p+16=0, ∴p=2或p=8. ∴抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x. 2 学科网（北京）股份有限公司 $