3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆几何性质，分层设计从概念理解到综合应用，适配新授课知识巩固，培养几何直观与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|标准方程、离心率等单一概念|选择题1-2直接考查定义，填空题12-13强化基础运算| |提升层|焦点与圆、直线与椭圆位置关系等交汇应用|选择题3-7结合图形推理，多选题9-11深化性质理解| |综合层|方程求解与面积、弦长计算等综合问题|解答题15-16需建立方程模型，培养应用意识与逻辑推理|

3.1.1 椭圆及其标准方程 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋y2＝1 D.x2＋＝1 【答案】A 【解析】由题意知，a＝2，a＋c＝3，即a＝2，c＝1，所以b＝＝， 因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程是＋＝1. 2.已知椭圆的两个焦点与短轴的两个端点在同一个圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设椭圆方程为，其焦点坐标为，短轴端点坐标为. 因为两个焦点与短轴两个端点在同一个圆上，所以这四点到圆心距离相等，可得. 把代入可得，即. 将代入得. 故选C. 3.如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，，所以圆的半径为，即 因为过点的直线圆的切线，，又因为，所以． 由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率． 故选：A. 4.如果方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　　) A.3＜m＜4　 B.m> C.3<m<　 D.<m<4 【答案】D 【解析】由题意可得方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，所以且 故答案为：D. 5.设F是椭圆＋＝1的右焦点，点P是椭圆上的动点，点A是直线3x－4y－12＝0上的动点，则|PA|－|PF|的最小值为(　　) A. B.5 C.－1 D.4 【答案】C 【解析】由题可知，a＝2，F(1,0)．设椭圆的左焦点为F1，则F1(－1,0)．由椭圆定义得|PF|＋|PF1|＝4，则|PA|－|PF|＝|PA|－(4－|PF1|)＝|PA|＋|PF1|－4，又将椭圆方程与直线方程联立有消y得7x2－24x＋32＝0，其Δ<0，故直线与椭圆相离．如图，要使|PA|＋|PF1|－4最小，只需保证F1P与直线3x－4y－12＝0垂直即可，此时F1，P，A三点共线，则|PA|＋|PF1|≥|F1A|≥＝3，故|PA|－|PF|＝|PA|＋|PF1|－4≥3－4＝－1.故|PA|－|PF|的最小值为－1. 6.过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　) A.2 B.－2 C. D.－ 【答案】D 【解析】设P(x0，y0)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． 过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)， 代入椭圆的方程化简得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0， ∴x1＋x2＝， ∴点P的横坐标x0＝＝， 纵坐标为y0=k1(x0＋2)＝， 即P， 直线OP的斜率k2＝＝. ∴k1k2＝－. 7.已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】B 【解析】方法一　如图，由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1B中，由余弦定理的推论得cos∠F1AB＝＝.在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4，解得n＝，∴2a＝4n＝2，即a＝，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1. 方法二　由已知可设|F2B|＝n，则|AF2|＝2n，|BF1|＝|AB|＝3n，由椭圆的定义有2a＝|BF1|＋|BF2|＝4n，∴|AF1|＝2a－|AF2|＝2n.在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得 又∠AF2F1＋∠BF2F1＝π，∴cos∠AF2F1＋cos∠BF2F1＝0，两式消去cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，得3n2＋6＝11n2，解得n＝，∴2a＝4n＝2，即a＝，∴b2＝a2－c2＝3－1＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1. 8.已知点(1,1)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的斜率是(　　) A.－ B. C.－ D. 【答案】C 【解析】设直线l被椭圆＋＝1所截得的线段为AB， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 线段AB中点为(1,1)， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 又∵A，B是椭圆上的点， ∴ 两式相减得＋＝0， 化简得＝－， 即l的斜率是－. 二、多选题（共3小题） 9.若直线与椭圆＝1相切，则斜率k的值是(　　) A.　 B.－　 C.－　 D. 【答案】AB 【解析】由得 由题意知，解得. 故答案为：AB. 10.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】AD 【解析】由题意可知， 解得a＝3，b＝2，c＝1， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 11.已知椭圆，则下列说法正确的是（） A. 是椭圆C的一个顶点 B. 是椭圆C的一个焦点 C. 椭圆C的离心率 D. 椭圆C的短轴长为 【答案】BCD 【解析】由椭圆方程可知，焦点在y轴上，且，，故，， ，则。A 选项：椭圆顶点为、，不是顶点，故 A 错误； B 选项：焦点坐标为，是焦点，故 B 正确； C 选项：离心率，故 C 正确； D 选项：短轴长为，故 D 正确。 故答案为：BCD 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·北京丰台高二上期中）已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为                   . 【答案】 【解析】由椭圆:的焦点,得;因椭圆中,且,故,即;因此离心率. 13.（2024-2025·江西抚州高二上期中）若椭圆的离心率为，则                   . 【答案】2 【解析】已知椭圆，其长半轴，短半轴. 可得. 已知离心率，且，则，平方得. 即，化简得. 因为，所以. 14.已知点(a，b)在椭圆＋＝1上，2a＋3b＋4的最大值与最小值的和为                  ． 【答案】8 【解析】由题意可设a＝2cos α，b＝sin α， 则2a＋3b＋4＝4cos α＋3sin α＋4 ＝sin(α＋φ)＋4∈[4－，4＋]， 其中tan φ＝， 则2a+3b+4的最大值为4+，最小值为4， 所以2a＋3b＋4的最大值与最小值的和为8. 四、解答题（共2小题） 15.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－. (1)求椭圆C的方程； (2)求△F1PF2的面积． 【答案】解　(1)由椭圆的定义得，2a＝|PF1|＋|PF2|＝4， ∴a＝2， 在△PF1F2中，由余弦定理可得， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°， ∴4c2＝15，∴c＝，b2＝a2－c2＝4－＝， 故椭圆C的方程为＋4y2＝1. (2)＝|PF1||PF2|sin 120°＝×(2＋)×(2－)×＝. 16.已知椭圆的右焦点为，且经过点. （1）求椭圆C的标准方程： （2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长． 【答案】解：（1）由题意得，， 将代入椭圆方程可得， 将上述两式化简后联立方程可得，解得， 故椭圆的标准方程为． （2）由题意可知直线过且斜率为，故可设直线的方程为， 与椭圆方程联立可得 将①代入②可得，化简可得， 设，，由韦达定理可得， 故, 所以线段MN的长为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点距离为3的椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋y2＝1 D.x2＋＝1 2.已知椭圆的两个焦点与短轴的两个端点在同一个圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3.如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4.如果方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是(　　) A.3＜m＜4　 B.m> C.3<m<　 D.<m<4 5.设F是椭圆＋＝1的右焦点，点P是椭圆上的动点，点A是直线3x－4y－12＝0上的动点，则|PA|－|PF|的最小值为(　　) A. B.5 C.－1 D.4 6.过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　) A.2 B.－2 C. D.－ 7.已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 8.已知点(1,1)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的斜率是(　　) A.－ B. C.－ D. 二、多选题（共3小题） 9.若直线与椭圆＝1相切，则斜率k的值是(　　) A.　 B.－　 C.－　 D. 10.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 11.已知椭圆，则下列说法正确的是（） A. 是椭圆C的一个顶点 B. 是椭圆C的一个焦点 C. 椭圆C的离心率 D. 椭圆C的短轴长为 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·北京丰台高二上期中）已知椭圆：的一个焦点为，则椭圆的离心率为                   . 13.（2024-2025·江西抚州高二上期中）若椭圆的离心率为，则                   . 14.已知点(a，b)在椭圆＋＝1上，2a＋3b＋4的最大值与最小值的和为                  ． 四、解答题（共2小题） 15.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝120°，|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－. (1)求椭圆C的方程； (2)求△F1PF2的面积． 16.已知椭圆的右焦点为，且经过点. （1）求椭圆C的标准方程： （2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长． 学科网（北京）股份有限公司 $