3.2.2双曲线的简单几何性质 第2课时同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习按基础与能力分层设计，基础层聚焦直线与双曲线位置关系判断、相交弦计算等核心知识点，能力层深化点差法、面积问题及综合应用，形成从单一到综合的知识巩固路径，适配新授课教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|直线与双曲线位置关系判断、相交弦长度计算、渐近线应用|选择填空结合解答题，融入期中真题，强化概念理解与基本运算| |能力提升练|点差法求中点弦、三角形面积计算、综合证明与探究|综合解答题为主，涉及逻辑推理与模型构建，培养数学思维与创新意识|

第2课时　直线与双曲线的位置关系 基础练习 题型一　直线与双曲线的位置关系 1.(2026北京丰台期中)已知直线l:y=k(x-1),“k=或k=-”是“直线l与双曲线-=1有且仅有一个公共点”的(　　) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　 D.既不充分也不必要条件 2.(2026广东佛山期中)设双曲线C经过点(2,2),且与双曲线-x2=1具有相同的渐近线,则经过点(,0)并与双曲线C有且只有一个公共点的直线的条数为(　　) A.0　　B.1　　C.2　　D.3 3.(2026上海四校联考)已知x1,x2是关于x的方程x2-2x+(2m-1)=0(m∈Z)的两个不同的实数根,则经过A(,x1),B(,x2)两点的直线与双曲线-y2=1的交点个数为(　　) A.0　　B.1　　 C.2　　D.需根据m的值确定 4.(2026陕西榆林期中)双曲线-=1与直线l:y=-x+m(m∈R)的公共点的个数为　　　　.  5.(2026广东广州段考)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=1的左、右两支各有一个公共点,则实数k的取值范围是　　　　.  6.(2025河南驻马店期中)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率为,焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程; (2)若直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于不同的两点,求实数k的取值范围. 7.(2025浙江金华期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,点M(,)在双曲线上,O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程; (2)如图,若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q,P,且·=0,求证:+是定值. 题型二　直线与双曲线的相交弦问题 8.(教材习题改编)如图,一拱桥的形状恰为某等轴双曲线的一支,此时拱顶离水面5 m,水面宽30 m,即|AB|=30.若水面下降5 m,则水面宽约是(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈2.24,≈2.65)(　　) A.43.8 m　　B.44.8 m　　 C.52.3 m　　D.53.0 m 9.(2026江苏泰州中学期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的左支交于A,B两点,且=5,∠ABF2=90°,则C的渐近线方程为(　　) A.y=±x　　B.y=±x C.y=±x　　D.y=±x 10.(多选题)(2026湖北宜昌葛洲坝中学月考)过双曲线C:-=1的右焦点作直线l与该双曲线交于A,B两点,则(　　) A.存在四条这样的直线l,使|AB|=6 B.存在直线l,使弦AB的中点为M(4,1) C.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为-=1 D.若A,B都在该双曲线的右支上,且直线l的斜率存在,则斜率的取值范围是∪ 11.(2026陕西西安期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作C的两条渐近线的平行线,与C分别交于点A,B,若|AB|=2b,则C的离心率为　　　　.  12.(2026河北沧州期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1有相同的渐近线,且经过点M(,-). (1)求双曲线C的方程; (2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=20上,求实数m的值. 13.(2026山东济南期中)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(3,0),渐近线方程为y=±x. (1)求双曲线的标准方程; (2)过F2的直线l交双曲线于A,B两点,且|AB|=4,求l的方程. 能力提升练 题型一　“点差法”在双曲线中的应用 1.(2026福建莆田联考)过双曲线E:-=1(a,b>0)的右焦点F(3,0)的直线l与E交于A,B两点.若AB的中点为M(6,3),则b=(　　) A.3　　B.2　　C.　　D. 2.(易错题)(2026湖南长沙模拟)设A,B为双曲线x2-=1上两点,则下列四个点中,可成为线段AB的中点的是(　　) A.(1,1)　　B.(-1,2)　　C.(2,4)　　D.(-1,-3) 3.(2026浙江G5联盟期中)双曲线C:x2-y2=2的右焦点为F,过F的直线l与C的右支相交于A,B两点,点M为线段AB的中点,若FM的中垂线与x轴交于点P(4,0),则M的横坐标为(　　) A.2　　B.2　　C.3　　D.3 4.(2026广东河源开学考试)已知双曲线C:x2-=1(b>0)的左顶点为M,离心率为3,A,B是C上的两点. (1)求C的标准方程; (2)若线段AB的中点为,求直线AB的方程. 题型二　双曲线中的面积问题 5.(2026福建南平期中)已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　) A.　　B.或6　　C.-6　　D.-6或- 6.(2026山西太原期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,双曲线C上有两点A,B满足+=0,O为坐标原点,且∠F1AF2=,若四边形F1AF2B的周长l与面积S满足l2=80S,则双曲线C的离心率为　　　　.  7.(2026湖北武汉联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点P,且点P到双曲线C的两条渐近线的距离之比为4∶1. (1)求C的方程; (2)过点P作不平行于坐标轴的直线l1交双曲线于另一点Q,作直线l2∥l1分别交C的两条渐近线于点A,B(A在第一象限内),使|AB|=|PQ|,记l1和直线QB的斜率分别为k1,k2. (i)证明:k1·k2是定值; (ii)若四边形ABQP的面积为5,求k1-k2的值. 8.(2026湖南邵阳多校期中联考)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,左焦点为F,点A(2,0)在E上. (1)求E的方程; (2)过点F的直线l与E的左支交于M,N两点,直线AM,AN分别交直线x=-1于点P,Q,PQ的中点为R. (i)求证:RF⊥MN; (ii)记△MPR,△MRN,△NRQ的面积分别为S1,S2,S3,是否存在λ,使得S1+S3=λS2恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 题型三　直线与双曲线的位置关系的综合应用 9.(2026江苏连云港期中)曲线+=1与直线+=1的公共点的个数为(　　) A.3　　B.2　　C.1　　D.0 10.(2026四川达州期中)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F到渐近线的距离为,焦距为4,右顶点为A,P为直线x=a上一点,且直线PF的斜率为. (1)求双曲线的标准方程; (2)过点P的直线与双曲线相切于点B(B与A不重合),求证:PF平分∠AFB. 11.(2025山东济南期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知双曲线C:-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2. (1)过点(0,2)作斜率为k的直线,若该直线与双曲线C有且只有一个公共点,求k的值; (2)过点(3,0)的直线l与双曲线的右支交于P,Q两点,记直线A1P,A2Q的斜率分别为k1,k2,那么是不是定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 答案 第2课时　直线与双曲线的位置关系 基础练习 1.A　联立消去y得(k2-1)x2-2k2x+k2+4=0. 当k=±1时,有-2x+5=0,解得x=, 此时直线l与双曲线-=1有且仅有一个公共点; 当k≠±1时,令Δ=4k4-4(k2-1)(k2+4)=0,化简得3k2=4,即k=±. 综上所述,当k=±1或k=±时,直线l与双曲线-=1有且仅有一个公共点, 故“k=或k=-”是“直线l与双曲线-=1有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 2.D　由题可设双曲线C的方程为-x2=λ(λ≠0,λ≠1), 将(2,2)代入上式,解得λ=-3, 故双曲线C的方程为-=1,显然其右顶点的坐标为(,0),渐近线方程为y=±2x. 当所求直线的斜率不存在时,直线方程为x=,符合题意; 当所求直线与双曲线的渐近线平行,即直线方程为y=±2(x-)时,也符合题意. 综上,这样的直线共有3条. 3.B　对于方程x2-2x+(2m-1)=0,由题意知,Δ=4-4(2m-1)=8(1-m)>0,∴m<1, 由根与系数的关系得x1+x2=2,∴kAB===, 又双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x, ∴直线AB与双曲线的渐近线y=x平行或重合, 若A(,x1)在直线y=x上,则x1的值为0或2,此时2m-1=0,即m=, 又∵m∈Z, ∴不合题意,即直线AB不与双曲线的渐近线重合, ∴直线AB一定与双曲线的渐近线平行,∴经过A,B两点的直线与双曲线有一个交点. 4.答案　0或1 解析　因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x, 所以当m=0时,直线l:y=-x与一条渐近线重合,此时直线l与双曲线无公共点; 当m≠0时,直线l与渐近线y=-x平行,此时直线l与双曲线有一个公共点. 5.答案　(-1,1) 解析　易知直线y=kx+2恒过点(0,2),双曲线x2-y2=1的渐近线方程为y=±x, 当k=±1时,直线与双曲线的其中一支有一个公共点, 结合图形(图略)可知,若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=1的左、右两支各有一个公共点,则k的取值范围为(-1,1). 6.解析　(1)因为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率e=, 所以=,即c=a. 易得双曲线E的焦点为(±c,0),渐近线方程为bx±ay=0, 则焦点到渐近线的距离d==1,又c2=a2+b2, 所以d=b=1,则(a)2=a2+1, 解得a2=1. 所以双曲线E的标准方程为x2-y2=1. (2)将y=kx-1代入x2-y2=1,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0. 不妨设直线l与双曲线E的左支交于(x1,y1),(x2,y2)两点, 则 故 解得-<k<-1, 则实数k的取值范围为(-,-1). 7.解析　(1)因为双曲线C的离心率e==2,所以c=2a,又b2=c2-a2=3a2, 故双曲线C的方程为-=1,即3x2-y2=3a2, 因为点M(,)在双曲线上,所以6-3=3a2,解得a2=1, 则双曲线C的方程为x2-=1. (2)证明:根据题意,设直线OP的方程为y=kx(k>0), 由(1)知双曲线C的渐近线方程为y=±x,则k≠. 因为·=0,所以直线OQ的方程为y=-x, 联立解得x2=,y2=, 则|OP|2=x2+y2=, 同理可得|OQ|2==, 则+===, 故+为定值,定值为. 8.B　设拱顶的对应点为C,AB的中点为D.建立如图所示的平面直角坐标系,设拱桥所在的等轴双曲线的方程为-=1(a>0),则C(0,-a), 因为|AB|=30,|CD|=5,所以B(15,-a-5),将点B的坐标代入双曲线方程,可得-=1,解得a=20, 所以双曲线的方程为-=1. 设当水面下降5 m后,水面到达MN的位置,可得yN=-a-10=-30, 代入双曲线方程可得xN=10,所以|MN|=2xN=20≈44.8,即水面下降5 m后,水面宽约是44.8 m. 9.C　如图, 设|BF1|=x,则|AF1|=5x,|BF2|=2a+x,|AF2|=2a+5x, 在Rt△ABF2中,由勾股定理得=+|AB|2,即(2a+5x)2=(2a+x)2+(6x)2,① 在Rt△F1BF2中,由勾股定理得=+,即(2c)2=(2a+x)2+x2,② 联立①②,可得a2=c2,∴b2=c2-a2=c2,则==, ∴渐近线方程为y=±x=±x. 10.ACD　对于A,易知双曲线的通径长为=5<6,实轴长2a=4<6,故存在四条这样的直线l,使|AB|=6,故A正确. 对于B,假设存在直线l,使弦AB的中点为M(4,1),则其斜率必存在, 设直线l的方程为y-1=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y,可得(5-4k2)x2+(32k2-8k)x-64k2+32k-24=0,则5-4k2≠0,Δ>0恒成立,且x1+x2==8,y1+y2=k(x1-4)+1+k(x2-4)+1=k·-8k+2==2, 所以k=5,所以直线l的方程为y-1=5(x-4),但此时右焦点(3,0)不在直线l上,故不存在这样的直线l,故B错误. 对于C,设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为-=λ(λ≠0且λ≠1), 将(8,10)代入可解得λ=-4,所以所求双曲线的标准方程为-=1,故C正确. 对于D,设直线l的方程为x=my+3(m≠0),A(xA,yA),B(xB,yB), 联立消去x,得(5m2-4)y2+30my+25=0,则5m2-4≠0,Δ>0恒成立,且yA+yB=,yAyB=, 若A,B都在该双曲线的右支上,则yAyB=<0,即5m2-4<0, 解得-<m<,易知直线l的斜率k'=,故k'∈∪,故D正确. 11.答案　+2 解析　不妨设双曲线的左焦点为F1,点A在第一象限内,如图所示, 易知过F且与渐近线y=x平行的直线的方程为y=(x-c),与双曲线方程联立,可得x=,y=-, 因为|AB|=2b,所以2×=2b,即b2=2ac,即c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,解得e=+2(e=-2舍去). 12.解析　(1)根据题意,设双曲线C的方程为-=λ(λ≠0且λ≠-1), 将(,-)代入,得-=λ,解得λ=,因此所求双曲线的方程为x2-=1. (2)由消去y得x2-2mx-m2-2=0, 则Δ=(-2m)2-4(-m2-2)=8m2+8>0恒成立, 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2=2m,所以y1+y2=(x1+x2)+2m=4m, 因此线段AB的中点坐标为,即(m,2m), 因为点(m,2m)在圆x2+y2=20上, 所以m2+(2m)2=20,解得m=±2. 因此实数m的值为±2. 13.解析　(1)因为双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,所以=,即b2=2a2. 因为点F2(3,0)是双曲线的右焦点,所以c=3,则b2+a2=9, 所以b2=6,a2=3, 所以双曲线的标准方程为-=1. (2)当直线l的斜率为0时,显然有|AB|=2≠4,不合题意,舍去(易错点); 当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+3, 联立消去x,得(2m2-1)y2+12my+12=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 且y1+y2=-,y1y2=, 所以|AB|==·=4,即1+m2=|2m2-1|, 解得m2=2或m2=0,即m=±或m=0, 所以l的方程为x±y-3=0或x=3. 能力提升练 1.D　设点A(x1,y1),B(x2,y2),由AB的中点为M(6,3),得x1+x2=12,y1+y2=6, 由A,F,M,B共线,得==1, 因为A,B在双曲线上,所以两式相减,得b2(x1+x2)(x1-x2)-a2(y1+y2)(y1-y2)=0, 则a2=2b2,又双曲线E:-=1(a,b>0)的右焦点为F(3,0),故a2+b2=32, 所以b=. 2.D　由x2-=1知a=1,b=2,则=2. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并化简得·=4,易知直线AB不与双曲线的渐近线平行,则≠±2,所以≠±2. 对于A选项,若(1,1)为中点,则==1,所以=4, 则直线AB的方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3, 由消去y并化简,得12x2-24x+13=0,此时Δ=(-24)2-4×12×13=-48<0,不满足题意,所以A错误; 对于B选项,若(-1,2)为中点,则==-2,与上面分析矛盾,所以B错误; 对于C选项,若(2,4)为中点,则==2,与上面分析矛盾,所以C错误; 对于D选项,若(-1,-3)为中点,则==3,所以=, 则直线AB的方程为y+3=(x+1),即y=x-, 由消去y并化简,得20x2+40x-61=0, 此时Δ=402+4×20×61=6 480>0,满足题意,所以D正确. 3.C　由题意得F(2,0), 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,M(s,t), 则两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2), 因为点M为线段AB的中点, 所以x1+x2=2s,y1+y2=2t, 所以s(x1-x2)=t(y1-y2), 所以kl==, 易得FM的中点为,又P(4,0), 所以FM的中垂线的斜率为=, 由题意知×=-1,即=-1,解得s=3,即M的横坐标为3. 4.解析　(1)因为a=1,e==3,所以c=3a=3,则b2=c2-a2=8, 所以双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知x1≠x2, 则两式相减得--=0,即=, 又x1+x2=,y1+y2=,所以kAB===1,所以直线AB的方程为y-=x-,即y=x+1, 将y=x+1代入双曲线方程x2-=1,整理,得7x2-2x-9=0, 则Δ=4+4×7×9>0,此时直线与双曲线C有两个交点,满足题意,则直线AB的方程为y=x+1. 5.C　易得a=,b=1,c=2,故|F1F2|=4,渐近线的斜率为±,又直线y=x+m的斜率k=1>,所以A,B在双曲线的同一支上. 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线y=x+m与x轴的交点为M,△F1AB的面积为S1,△F2AB的面积为S2,则M(-m,0). 因为△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍,所以×|F1M|×|y1-y2|=×|F2M|×|y1-y2|×2,化简得|F1M|=2|F2M|, 由|F1F2|=4,可得|F1M|=4+|F2M|,解得|F2M|=4,即M(6,0),故-m=6,解得m=-6. 6.答案　 解析　∵+=0,∴A,B两点关于原点对称,直线AB过点O, 如图, 不妨设|AF1|=m,|AF2|=n,m>n>0,由双曲线的定义可知,2a=m-n, 等号两边同时平方,得4a2=m2+n2-2mn①, 在△F1AF2中,由余弦定理,得=+-2|AF1||AF2|·cos∠F1AF2,即4c2=m2+n2+mn②, 由F1,F2关于原点O对称,A,B关于原点O对称知,|BF2|=|AF1|=m,|BF1|=|AF2|=n, ∴四边形F1AF2B的周长l=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2(m+n), 四边形F1AF2B的面积S=2=2×mnsin∠F1AF2=mn, ∵l2=80S,∴4(m+n)2=80×mn,化简得m2+n2=8mn③, 将③代入①,得4a2=6mn,将③代入②,得4c2=9mn, ∴===, ∴双曲线C的离心率e===. 7.解析　(1)将代入双曲线C的方程,得-=1, 双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,取l3:bx+ay=0,l4:bx-ay=0, 则点P到l3的距离d1=,点P到l4的距离d2=. ∵a>0且b>0, ∴|5b+3a|>|5b-3a|,∴d1>d2, 由题意可得d1=4d2,即|5b+3a|=4|5b-3a|, 又-=1>0,∴5b>3a, 故5b+3a=4(5b-3a),解得b=a, ∴-=-==1,解得a2=8, 则双曲线C:-=1. (2)(i)证明:由题可设l1的方程为y=k1x+m,l2的方程为y=k1x+n,其中k1≠0,m≠n,另设Q(xQ,yQ), 将点P的坐标代入直线l1的方程,得=+m,即m=3-5k1, 联立直线l1和双曲线的方程,消去y,得(-1)x2+2k1mx+m2+8=0, 则xP+xQ=-,① 易得双曲线的渐近线方程为y=±x, 联立解得x=y=-, 则A, 联立解得x=-,y=, 则B,∴=, 又l1∥l2,|AB|=|PQ|,∴四边形ABQP是平行四边形,则=,于是xQ-xP=,② ①-②,得--=2xP,又xP=, 故n=-k1m-5(-1)=-k1(3-5k1)-5(-1)=5-3k1, 则k2=====,即k1·k2=1,故k1·k2为定值1. (ii)直线l1与l2之间的距离d===. 由(i)可知四边形ABQP是平行四边形, 而|AB|=·=·, 故四边形ABQP的面积S=|AB|·d=··=5,解得k1=5或k1=, 结合A位于第一象限,可知k1=不成立,应舍去,即k1=5, 又k1k2=1,故k1-k2=. 8.解析　(1)设E的半焦距为c(c>0). 因为A(2,0)在E上,所以a=2, 因为E的离心率e==2,所以c=2a=4,所以b2=c2-a2=12. 故E的方程为-=1. (2)(i)证明:由(1)可得F(-4,0),由题意知直线l不平行于x轴,设其方程为x=my-4, 由得(3m2-1)y2-24my+36=0, 因为l与E的左支交于两点, 所以3m2-1≠0,Δ=(-24m)2-4×(3m2-1)×36=144(m2+1)>0, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则y1+y2=,y1y2=, 易得y1y2<0,所以3m2-1<0,即-<m<, 由A(2,0),M(x1,y1)得直线AM的方程为y=(x-2),令x=-1,得y=-,所以P, 同理得Q. 所以yR=- =-· = ==-3m, 即R(-1,-3m). 当m=0时,直线MN与x轴垂直,R(-1,0)与F(-4,0)都在x轴上,满足RF⊥MN; 当m≠0时,有kRF==-m,kMN=,则kRF·kMN=-1,也满足RF⊥MN. 综上,RF⊥MN. (ii)S1+S3=(-1-x1)+(-1-x2)=[-2-(x1+x2)] =[6-m(y1+y2)] =[6-m(y1+y2)] =··|y1-y2| =··|y1-y2|=(m2+1)|y1-y2|. S2=|MN||RF|=|y1-y2|·=(m2+1)|y1-y2|. 所以S1+S3=S2,即存在λ=,符合条件. 9.B　根据y≥0以及y<0分别得到曲线为椭圆以及双曲线的一部分,然后进行分析. 当y≥0时,曲线+=1即为+=1,为椭圆的上半部分(含与x轴的交点),此时曲线与直线+=1的公共点为(0,3),(4,0),有2个; 当y<0时,曲线+=1即为-=1,为双曲线在x轴下方的部分, 其一条渐近线方程为+=0,故直线+=1与曲线-=1(y<0)无公共点, ∴曲线+=1与直线+=1的公共点的个数为2. 10.解析　(1)由题意得F(-c,0),双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,由点F到直线bx±ay=0的距离为,得==b=,即b=, 又焦距2c=4,即c=2, 所以a2=c2-b2=4-3=1, 所以双曲线的标准方程为x2-=1. (2)证明:结合(1)可知F(-2,0),A(1,0),直线x=a即x=1,设点P(1,t), 由kPF===,得t=1,即P(1,1), 由题可设直线PB的方程为y=kx+m, 将(1,1)代入可得k+m=1, 由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0, 所以3-k2≠0,Δ=(-2km)2-4(3-k2)·(-m2-3)=12(m2-k2+3)=0,即m2-k2+3=0, 又k+m=1,所以k=2,m=-1, 所以直线PB的方程为y=2x-1, 联立解得 所以B(2,3), 所以=(4,3),=(3,1), 又=(3,0), 所以cos∠BFP===,cos∠PFA===,所以cos∠BFP=cos∠PFA, 又∠BFP,∠PFA∈, 所以∠BFP=∠PFA,即PF平分∠AFB. 11.解析　(1)由题得直线方程为y=kx+2, 联立消去y得(1-4k2)x2-16kx-20=0, 当1-4k2=0,即k=±时,方程仅有一个实数解,即直线与双曲线C有且只有一个公共点; 当1-4k2≠0,即k≠±时,令Δ=(-16k)2+80(1-4k2)=0,解得k=±,此时直线与双曲线相切,有且只有一个公共点. 综上所述,k=±或k=±. (2)由题意可设直线l的方程为x=my+3(-2<m<2),P(x1,y1),Q(x2,y2),x1,x2≠±2, 思路探究:由题易得=,故考虑联立直线与双曲线的方程并消去x后结合根与系数的关系来求解 联立消去x得(m2-4)y2+6my+5=0, 则y1+y2=-,y1y2=, 则y1=--y2, 又A1(-2,0),A2(2,0), 所以== == ===-, (注意用y2表示y1,消元后分子和分母可进行约分,这是求解的关键) 所以为定值-. 7 学科网（北京）股份有限公司 $