3.2.2双曲线的简单几何性质 第2课时同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第2课时　直线与双曲线的位置关系

基础练习

题型一　直线与双曲线的位置关系

1.(2026北京丰台期中)已知直线l:y=k(x-1),“k=或k=-”是“直线l与双曲线-=1有且仅有一个公共点”的(　　)

A.充分不必要条件　　

B.必要不充分条件

C.充要条件　　

D.既不充分也不必要条件

2.(2026广东佛山期中)设双曲线C经过点(2,2),且与双曲线-x2=1具有相同的渐近线,则经过点(,0)并与双曲线C有且只有一个公共点的直线的条数为(　　)

A.0　　B.1　　C.2　　D.3

3.(2026上海四校联考)已知x1,x2是关于x的方程x2-2x+(2m-1)=0(m∈Z)的两个不同的实数根,则经过A(,x1),B(,x2)两点的直线与双曲线-y2=1的交点个数为(　　)

A.0　　B.1　　

C.2　　D.需根据m的值确定

4.(2026陕西榆林期中)双曲线-=1与直线l:y=-x+m(m∈R)的公共点的个数为　　　　. 

5.(2026广东广州段考)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=1的左、右两支各有一个公共点,则实数k的取值范围是　　　　. 

6.(2025河南驻马店期中)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的离心率为,焦点F到渐近线的距离为1.

(1)求双曲线E的标准方程;

(2)若直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于不同的两点,求实数k的取值范围.

7.(2025浙江金华期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,点M(,)在双曲线上,O为坐标原点.

(1)求双曲线C的方程;

(2)如图,若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q,P,且·=0,求证:+是定值.

 

 

 

 

 

 

题型二　直线与双曲线的相交弦问题

8.(教材习题改编)如图,一拱桥的形状恰为某等轴双曲线的一支,此时拱顶离水面5 m,水面宽30 m,即|AB|=30.若水面下降5 m,则水面宽约是(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈2.24,≈2.65)(　　)

A.43.8 m　　B.44.8 m　　

C.52.3 m　　D.53.0 m

9.(2026江苏泰州中学期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的左支交于A,B两点,且=5,∠ABF2=90°,则C的渐近线方程为(　　)

A.y=±x　　B.y=±x

C.y=±x　　D.y=±x

10.(多选题)(2026湖北宜昌葛洲坝中学月考)过双曲线C:-=1的右焦点作直线l与该双曲线交于A,B两点,则(　　)

A.存在四条这样的直线l,使|AB|=6

B.存在直线l,使弦AB的中点为M(4,1)

C.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为-=1

D.若A,B都在该双曲线的右支上,且直线l的斜率存在,则斜率的取值范围是∪

11.(2026陕西西安期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作C的两条渐近线的平行线,与C分别交于点A,B,若|AB|=2b,则C的离心率为　　　　. 

12.(2026河北沧州期中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1有相同的渐近线,且经过点M(,-).

(1)求双曲线C的方程;

(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=20上,求实数m的值.

 

 

 

13.(2026山东济南期中)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F2(3,0),渐近线方程为y=±x.

(1)求双曲线的标准方程;

(2)过F2的直线l交双曲线于A,B两点,且|AB|=4,求l的方程.

 

 

能力提升练