精品解析：黑龙江哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

哈师大青冈实验中学校2025-2026学年度期末考试 高二学年数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，则 2. ，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 显然当成立时，不一定成立，例如， 当成立时，显然一定成立， 所以，是的必要不充分条件. 3. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于ABD，不妨设，满足， A选项，，故，A错误； B选项，，故，B错误； D选项，，故，D错误； 对于C，，则，，C正确. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 5. 已知，则函数的解析式为（    ） A. B. C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 6. 求的展开式中第6项系数为（ ） A. 1120 B. C. D. 448 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 7. 某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1名医生的选法共有（ ） A. 15 种 B. 18 种 C. 21 种 D. 25 种 【答案】B 【解析】 【分析】采用直接法或间接法，结合组合知识求解即可. 【详解】方法一：总选法，全护士，故至少有1名医生的选法. 方法二：至少有1名医生的选法. 8. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处切线方程，再设出切点坐标，利用导数几何意义用表示并建立函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】函数，求导得，则，而， 曲线在处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以的最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，令，求出，写出通项公式，得到答案；B选项，设出事件，利用条件概率公式进行求解；C选项，由正态分布的对称性进行求解；D选项，先利用二项分布求方差公式得到，再利用方差的性质进行计算. 【详解】对于选项A：令，则， 的系数为，A正确； 对于选项B：设“第一次取得红球”为事件，“第二次取得白球”为事件， ，B错误； 对于选项C：由题意知，， ，C正确； 对于选项D：，D正确. 故选：ACD 10. 已知定义在上函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后即可判断出每个答案正确与否． 【详解】解：由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增， 所以，故A对， 若，则，得，故B错， 若，则或，因为， 所以或，故C正确， 因为定义在上函数的图像是连续不断的，且在上单调递增， 所以，所以对，只需即可，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数无最小值 C. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 D. 函数有5个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】对函数求导，即可得到函数的单调区间，然后得到函数的极值点，结合函数解析式画出函数大致图象，从而判断A、B、C；令解得的值，结合函数的极值点及函数图象得到零点个数，从而判断D. 【详解】， 当时，；当时，， 所以在，上为增函数，在上为减函数， 当时，函数有极大值，当时，函数有极小值. 由，即，得或， 所以当时函数的图象在x轴上方，画出函数图象，如图 由图知，A正确，B错误； 若函数在上是减函数，实数a的取值范围是，故C错误； 由得或. 因为，， 所以与，的图象共有5个交点， 所以函数有5个零点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 13. 某工厂有A，B两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是A，B两个车间生产的，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式和条件概率公式求解. 【详解】设事件表示“产品来自 车间”；事件表示“产品来自 车间”，事件表示“产品不合格”， ,,, 由全概率公式得, 所以从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为. 14. 已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求： （1）所取的2道题都是甲类题的概率； （2）设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为【解析】 【分析】（1）利用组合数以及古典概型进行计算求解. （2）利用超几何分布、古典概型的概率计算公式以及离散型随机变量的分布列及期望公式进行计算. 【小问1详解】 法1：设所取的2道题都是甲类题为事件A，则 ， 所取的2道题都是甲类题的概率为； 法2：列举法也可以 将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道一类题依次编号为5，6，任取2道题， 基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个， 而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“都是甲类题”这一事件， 则A包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个 所以 = 【小问2详解】 X取值为0，1，2， ， ， ， 则分布列为 X 0 1 2 P （或代超几何期望公式） 法2：由（1）得基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个 则分布列为 X 0 1 2 P . 16. 春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解高中学生的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某中学的高中学生进行了随机抽样，得到列联表． 性别 患病情况 合计 感冒 不感冒 男 6 14 20 女 4 26 30 合计 10 40 50 （1）从样本男生中抽2人，求恰有1人感冒的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为高中学生的体质健康与性别有关． 参考数据及公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）依据小概率值的独立性检验，不能认为高中学生的体质健康与性别有关。 【解析】 【小问1详解】 由题可知，样本中男生共20人，其中感冒6人，不感冒14人. 从20名男生中随机抽取2人，总基本事件数为； 抽取的人中恰有1人感冒包含的基本事件数为. 根据古典概型概率式可得. 【小问2详解】 提出零假设：高中学生的体质健康与性别无关. 代入卡方统计量公式得 小概率值对应的临界值为. 由于，没有充分证据拒绝零假设. 因此依据小概率值的独立性检验，不能认为高中学生体质健康与性别有关. 17. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）; （2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩 （参考数据:， 附：） 【答案】（1）0.996 （2），140.5分 【解析】 【分析】（1）先算出的平均值，代入相关系数公式求解； （2）相关系数越靠近1，线性相关性越强，适合线性回归;用最小二乘法算斜率，再算截距得到回归直线，把代入方程做预测. 【小问1详解】 ，，， 所以数学成绩y与学习时间x的相关系数; 【小问2详解】 由（1）知r＝0.996接近1，故y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合； 由， 故得，当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分. 18. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计．具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币． 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得200元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得400元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊正方体骰子（六个面中有两个面标记为，两个面标记为，另外两个面标记为的正方体骰子）． 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是3，1，3，5（不计顺序）则获胜，得900元奖金． （1）求游戏Ⅰ第3局获胜的概率； （2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设为前两局均未获胜的人数，求的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3）应该参加游戏Ⅰ，理由如下： 记，分别为一次参加游戏Ⅰ，Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为，第3局获胜的概率为， 所以， 游戏Ⅱ第1局获胜的概率为，第2局获胜的概率为， 第3局获胜的概率为， 所以， 因为，所以从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅰ． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式，即可求解； （2）确定X的可能取值，求出第1局和第2局均未获胜的概率，可确定，即可求解； （3）记，分别为一次参加游戏Ⅰ，Ⅱ所获奖金总额，分别求出，比较大小，即可得结论. 【小问1详解】 由题意知，抛掷四枚质地均匀的相同硬币，向上的图案的情况共有种，图案相同共2种情况， 故游戏Ⅰ第3局获胜的概率． 【小问2详解】 由题意知，1，2，3，游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， 则第1局和第2局均未获胜的概率为， 因此可知，所以，， ，， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以的期望或． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，对恒有，求实数的取值范围． （3）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，按分情况讨论，利用导数分析函数单调性； （2）根据的单调性，结合已知条件转化不等式为，进而求出实数的取值范围； （3）转化不等式为，分离参数得，构造函数，把问题转化为求最小值的问题，进而求出实数的取值范围． 【小问1详解】 函数定义域为，求导得， 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 已知，由（1）知，在上单调递增， 不妨设，则等价于， 整理得， 则在单调递减，即在上恒成立； 求导得，即对任意恒成立， 在上单调递减，最大值为1， ，解得， 综上，． 【小问3详解】 不等式整理得， 分离参数得：， 令，则， 令，求导得，令，解得， 当且仅当时等号成立，故在上单调递增， 则，即，则， 移项得， ，当且仅当时等号成立， 令，求导得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 是极小值，也是最小值，最小值为， 当时，，故，结合在上单调递减， ，由零点存在定理，内有一个零点， 故， 综上可知，，故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学校2025-2026学年度期末考试 高二学年数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. ，是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 5. 已知，则函数的解析式为（    ） A. B. C. （） D. （） 6. 求的展开式中第6项系数为（ ） A. 1120 B. C. D. 448 7. 某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1名医生的选法共有（ ） A. 15 种 B. 18 种 C. 21 种 D. 25 种 8. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 10. 已知定义在上函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数无最小值 C. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 D. 函数有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 13. 某工厂有A，B两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是A，B两个车间生产的，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为__________. 14. 已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求： （1）所取的2道题都是甲类题的概率； （2）设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列和数学期望. 16. 春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解高中学生的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某中学的高中学生进行了随机抽样，得到列联表． 性别 患病情况 合计 感冒 不感冒 男 6 14 20 女 4 26 30 合计 10 40 50 （1）从样本男生中抽2人，求恰有1人感冒的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为高中学生的体质健康与性别有关． 参考数据及公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 编号 1 2 3 4 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 65 78 85 99 108 （1）求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）; （2）请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩 （参考数据:， 附：） 18. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计．具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币． 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得200元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得400元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊正方体骰子（六个面中有两个面标记为，两个面标记为，另外两个面标记为的正方体骰子）． 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是3，1，3，5（不计顺序）则获胜，得900元奖金． （1）求游戏Ⅰ第3局获胜的概率； （2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设为前两局均未获胜的人数，求的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，对恒有，求实数的取值范围． （3）若，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $