精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

哈师大青冈实验中学校2023-2024学年度期末考试 高二学年数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义知， 故选：D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可. 【详解】因为命题是全称量词命题，则命题为存在量词命题， 由全称量词命题的否定得，命题：. 故选：D. 3. 设，则（    ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数计算规则计算即可. 【详解】由题可知，，. 故选：A. 4. 为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ） 参考数据：,， A. 0.135％ B. 0.27％ C. 2.275％ D. 3.173％ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出，将所求问题转化为求,利用正态曲线的对称性计算即得. 【详解】依题意，而， 所以测试成绩不小于86的学生所占的百分比为： 故选：C． 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间. 【详解】∵，∴， 令，解得， 即函数的单调递减区间为， 故选：B. 6. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，如， 则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项错误. C选项，若，则， 所以由两边乘以得，所以C选项正确. D选项，若，， 则，所以D选项错误. 故选：C 7. 若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解. 【详解】已知，由题意知在内有变号零点， 显然在单调递增， 故原条件等价于，解得， 故实数a的取值范围是. 故选：C. 8. 已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先构造新函数并确定单调性，然后结合函数的奇偶性和函数的单调性整理计算即可求得最终结果． 【详解】不妨设：，由题意可得： ，即， 同理，当时，有， 据此可得函数在区间上单调递减，且函数是偶函数， 因此， ， ， 即， 故本题选A. 【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小和使用中间值法比较大小，考查构造函数的方法运用，需一定的逻辑推理能力和计算能力，属中档题. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知随机变量的分布列为 4 9 10 0.3 0.1 0.2 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分布列的性质和期望的公式，求得的值，再结合期望的性质，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 因为，可得，解得， 则，且. 故选：BCD. 10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 (例如10 100)，其中的各位数中，出现的概率为，出现的概率为，记，则当程序运行一次时，下列选项正确的是（ ） A. 服从二项分布 B. C. 的均值 D. 的方差 【答案】AC 【解析】 【分析】分别写出的可能取值，并计算其概率，推导出，再根据二项分布的性质求出结果即可． 【详解】由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填，，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的位数中后位的所有结果有类： ①后个数位出现4个0，，记其概率为； ②后个数位出现1个1，，记其概率为； ③后个数位出现2个1，，记其概率为， ④后个数位出现3个1，，记其概率为， ⑤后4个数位出现4个1，，记其概率为， 所以，故A正确； 又，故B错误； ，，故C正确； ，的方差，故D错误． 故选：AC． 11. 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】使用整体排除法和分类法计算出即可. 【详解】使用整体排除法，每位同学任选一天有种结果，其中有一天无人参加的有2种，故周六、周日都有同学参加公益活动的安排方法种数为种，故B正确； 使用分类法，若一天1人参加，另一天3人参加，则有种，若一天2人参加，另一天2人参加，则有种，故周六、周日都有同学参加公益活动的安排方法种数为种，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数在处的切线方程为，求_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解，根据切点在曲线也在直线上求解． 【详解】因为函数在处的切线斜率为，又在处的切线方程为， 所以，因为函数在处的切点为，且切点也在切线上， 所以． . 故答案为：5 13. 的展开式中含项的系数是__________． 【答案】13 【解析】 【分析】先求出的二项展开式的通项公式，即可求出含项的系数. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 所以含的项为. 故答案为：13. 14. 已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，参变分离，结合函数单调性求出答案. 【详解】当时，， 故， 令，由对勾函数的性质可得在上单调递减， 故，所以，解得， 当时，， 故，其中， 所以， 综上，. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 销售单价 销售量 （1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程； （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？ 参考公式：回归直线方程，其中. 参考数据：，. 【答案】（1）；（2）是. 【解析】 【分析】（1）先由表中的数据求出，再利用已知的数据和公式求出，从而可求出关于的回归直线方程； （2）当时，求出的值，再与15比较即可得结论 【详解】（1）因为，， 所以， 得， 于是关于的回归直线方程为； （2）当时，， 则， 故可以认为所得到的回归直线方程是理想的. 16. 甲箱中有3件正品，2件次品，乙箱中有1件正品，3件次品，先从甲箱中任取一件放入乙箱中，再从乙箱中任取一件. （1）已知从甲箱中取出的是正品的条件下，求从乙箱中也取出的是正品的概率； （2）求从乙箱中取出正品的概率， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式以及条件概率公式，可得答案； （2）利用全概率公式，可得答案. 【小问1详解】 设“从甲箱中取出正品”，“从乙箱中取出正品”， 先从甲箱中取出一件正品放入乙箱，此时乙箱中由2件正品，3件次品， 所求概率为. 【小问2详解】 设“从甲箱中取出正品”，“从乙箱中取出正品”， 易知，，，，故由全概率公式， 得. 17. 为探究药物A对疾病B的治疗效果，将40名患者均分为两组，分别为对照组（未服药）和实验组（服药）．测得40名患者血液中的某个指标数据如下（单位：mg）：（已按从小到大排好） 对照组：18.3     19.4     20.1    21.4    22.6    23.4    24.4    24.9    25.3     25.9 26.2     26.7    26.8    26.8    26.9    27.3    27.4    27.5    27.6    35.3 实验组：4.4      5.3     5.8     6.9      7.3     8.1      8.4      9.0     10.4    13.2 13.4    16.3    18.2    19.3    23.6    24.1    24.5    24.7    25.2    25.3 （1）求40名患者血液中的某个指标数据的中位数m，并完成下面2×2列联表： 药物A 疾病B 合计 对照组 实验组 合计 （2）依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为药物A对治疗疾病B有效呢？ 附：， ． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1），填表见解析 （2）不能 【解析】 【分析】（1）将两组数据合在一起，从小到大排序后的第20位与第21位数据的平均数，可得第20位数据；根据已知数据可完成列联表； （2）零假设：药物A对治疗疾病B无效，求出与临界值比较可得答案. 【小问1详解】 依题意，这40个数据的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序， 4.4，5.3，5.8，6.9，7.3，8.1，8.4，9.0，10.4，13.2，13.4， 16.3，18.2，18.3，19.3，19.4，20.1，21.4，22.6，23.4，23.6， 24.1，24.4，24.5，24.7，24.9，25.2，25.3，25.3，25.9，26.2， 26.7，26.8，26.8，26.9，27.3，27.4，27.5，27.6，35.3， 可得第20位数据为：23.4，第21位数据为：23.6， 所以． 故列联表为： 药物A 疾病B 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 【小问2详解】 零假设：药物A对治疗疾病B无效，即药物A与治疗疾病B相互独立． 由题意：． 所以依据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立， 故可认为药物A对治疗疾病B无效． 18. 甲、乙、丙三人进行飞碟射击比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 乙 8 11 10 7 12 8 8 10 10 13 丙 12 10 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系（直接写出结果）. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据三人投篮得分统计数据，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量所有可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）根据题意，得到每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，结合甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，求得相依的方程，即可求解. 【小问1详解】 解：根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜5场， 设A表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. 【小问2详解】 解：根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，所以X的所有可能取值为， 可得，，， 所以变量的分布列为 X 0 1 2 P 所以，期望为. 【小问3详解】 解：由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为， 还需要进行6场比赛，而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布， 所以，， ，则. 19. 已知函数． （1）当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若的有三个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果； （2）求导并对导函数整理变形，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性； （3）分别讨论出函数的单调性，并根据零点个数限定出极值的符号，解不等式即可得出a的取值范围． 【小问1详解】 当a＝1时，，得， ，则， 所以切线方程为：， 即； 【小问2详解】 由题，可得， 当时，当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 当时，的解为，， ①当，即时，恒成立，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，满足，在区间上，满足， 此时在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时， 在区间，上，满足，在区间上，满足， 即在，上单调递增；在上单调递减； 综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 则最多两个零点，不合题意； ②当时，，知在上单调递增，在上单调递减，上单调递增； 可得在处取得极大值，在处取得极小值； 且时，，时，，要使得有三个零点， 则必有，即，此时可得a无解； ③当时，，则在上单调递增；则最多一个零点，不合题意； ④当时，，知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 可得在处取得极小值，在处取得极大值； 且时，，时，，要使得有三个零点， 则必有，即，解得且； 综上得a的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于分类讨论出函数的单调性后，并结合函数图象根据零点个数限定出极值点的符号，解不等式可求得a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学校2023-2024学年度期末考试 高二学年数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（    ） A. B. 0 C. D. 4. 为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ） 参考数据：,， A. 0.135％ B. 0.27％ C. 2.275％ D. 3.173％ 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 7. 若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知随机变量的分布列为 4 9 10 0.3 0.1 0.2 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 (例如10 100)，其中的各位数中，出现的概率为，出现的概率为，记，则当程序运行一次时，下列选项正确的是（ ） A. 服从二项分布 B. C. 的均值 D. 的方差 11. 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数在处的切线方程为，求_______． 13. 的展开式中含项的系数是__________． 14. 已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 销售单价 销售量 （1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程； （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？ 参考公式：回归直线方程，其中. 参考数据：，. 16. 甲箱中有3件正品，2件次品，乙箱中有1件正品，3件次品，先从甲箱中任取一件放入乙箱中，再从乙箱中任取一件. （1）已知从甲箱中取出的是正品的条件下，求从乙箱中也取出的是正品的概率； （2）求从乙箱中取出正品的概率， 17. 为探究药物A对疾病B的治疗效果，将40名患者均分为两组，分别为对照组（未服药）和实验组（服药）．测得40名患者血液中的某个指标数据如下（单位：mg）：（已按从小到大排好） 对照组：18.3     19.4     20.1    21.4    22.6    23.4    24.4    24.9    25.3     25.9 26.2     26.7    26.8    26.8    26.9    27.3    27.4    27.5    27.6    35.3 实验组：4.4      5.3     5.8     6.9      7.3     8.1      8.4      9.0     10.4    13.2 13.4    16.3    18.2    19.3    23.6    24.1    24.5    24.7    25.2    25.3 （1）求40名患者血液中的某个指标数据的中位数m，并完成下面2×2列联表： 药物A 疾病B 合计 对照组 实验组 合计 （2）依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为药物A对治疗疾病B有效呢？ 附：， ． 0.10 0.010 0.001 2.706 6.635 10.828 18. 甲、乙、丙三人进行飞碟射击比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 乙 8 11 10 7 12 8 8 10 10 13 丙 12 10 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分的场数，求X的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系（直接写出结果）. 19. 已知函数． （1）当a＝1时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若的有三个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $