精品解析：黑龙江佳木斯市第二中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学 考试说明：本试卷由选择题和非选择题两部分组成，满分150分，考试时间120分钟． 1．答题前，考生务必将姓名、考号写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码． 2．选择题部分，每小题选出答案后，考生必须用2B铅笔涂卡，如需改动，用橡皮擦干净后，再另涂其它选项． 3．非选择题必须答题卡规定的区域内书写，规定区域外答题不得分． 4．保持答题卡清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题p：，使得，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 3. 若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（   ） A. 72 B. 60 C. 48 D. 12 4. 已知函数，则单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数（ ） A. 是奇函数，且在上单增 B. 是奇函数，且在上单减 C. 是偶函数，且在上单增 D. 是偶函数，且在上单减 6. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 线性回归方程中 C. 当时，残差为- D. 可以预测当时能耗约为2.2吨 8. 是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得部分分，错选不得分，全对得6分．3题共18分） 9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 不含常数项 B. 二项式系数之和为32 C. 系数最大项是 D. 各项系数之和为 10. 若随机变量，下列说法中正确的是（ ） A. B. 期望 C. 期望 D. 方差 11. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则（ ） A. 是函数的一个对称中心 B. 函数的一个周期是4 C. D. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（每题5分，3题共15分） 12. 随机变量X服从正态分布，，______． 13. 已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有________种． 14. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______. 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 已知关于的不等式的解集为. （1）求的值； （2）解关于的不等式. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 17. 近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表： 购买AI手机 购买不带AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ （2）为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围． 19. 2026年央视春晚的舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演．某实验室为了检测机器人在目标位置定位的稳定性，设置了以下测试程序：机器人从图中的0号位置出发，每次右移2格或左移1格，共移动了n次，其中每次右移的概率为p（），左移的概率为． … 0 1 2 3 4 5 6 … （1）当，时，求机器人最终回到0号位置的概率； （2）当，时，记机器人最终位于X号位置，求X的分布列； （3）当时，机器人最终位于4号位置的概率为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学 考试说明：本试卷由选择题和非选择题两部分组成，满分150分，考试时间120分钟． 1．答题前，考生务必将姓名、考号写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码． 2．选择题部分，每小题选出答案后，考生必须用2B铅笔涂卡，如需改动，用橡皮擦干净后，再另涂其它选项． 3．非选择题必须答题卡规定的区域内书写，规定区域外答题不得分． 4．保持答题卡清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答. 【详解】解不等式，得或，即或，而， 所以. 故选：D 2. 设命题p：，使得，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 【答案】C 【解析】 【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】为，都有. 故选：C 3. 若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（   ） A. 72 B. 60 C. 48 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先排列男生；再在男生之间及两端的空隙中选择位置排列女生；最后根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】分两步进行： 第一步：先安排3个男生，不同的排法有种； 第二步：利用插空法安排2个女生，不同的排法有种； 则女生不相邻的排法数有种. 故选：A. 4. 已知函数，则单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 故选：B 5. 已知函数，则函数（ ） A. 是奇函数，且在上单增 B. 是奇函数，且在上单减 C. 是偶函数，且在上单增 D. 是偶函数，且在上单减 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性的定义，得到函数为奇函数，再结合指数函数的图象与性质，得到函数是增函数，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 因为，所以函数为奇函数， 又由， 根据指数函数的图象与性质，可得函数和都是增函数， 所以函数是增函数. 故选：A 6. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 7. 某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 线性回归方程中 C. 当时，残差为- D. 可以预测当时能耗约为2.2吨 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由回归方程可判断变量y与x的负相关；对于B，利用回归方程过可判断选项正误；对于C，由回归方程及残差定义可判断选项正误；对于D，由回归方程可得预测值. 【详解】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D 8. 是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求导，根据，得到在上递增，再根据是定义在R上的奇函数，得到在上的单调递增求解. 【详解】解：令， 则， 因为， 所以， 则在上递增， 又是偶函数，且是定义在R上的奇函数， 所以是定义在R上的奇函数， 则在上单调递增， 所以，即，故A错误； ，即，故B错误； ，即，故C正确； ，即，故错误， 故选：C 二、多选题：（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得部分分，错选不得分，全对得6分．3题共18分） 9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ） A. 不含常数项 B. 二项式系数之和为32 C. 系数最大项是 D. 各项系数之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：写出展开式的通项公式，然后令的次数为即可求解；对于B：直接根据二项式定理求解；对于C：求出系数为正的正数，即可求最大值；对于D：令计算可得答案. 【详解】对于A：的展开式的通项为 . 令，得（不符题意），A正确； 对于B：二项式系数之和，B正确； 对于C：系数为正依次是，故系数最大项是，C正确； 对于D：令，得各项系数之和为，D错误. 故选：ABC. 10. 若随机变量，下列说法中正确的是（ ） A. B. 期望 C. 期望 D. 方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项分布有关知识，，，可得. 【详解】A选项：因，所以，故A错误. B选项：，故B正确. C选项：，故C正确. D选项：，，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则（ ） A. 是函数的一个对称中心 B. 函数的一个周期是4 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据奇偶性和周期性，逐一判断即可. 【详解】①由知，故关于轴对称，故A选项错误； ②是上的奇函数，即，又故， 所以，，故周期为4，故B选项正确； ③周期为4，且，得，故C选项正确； ④周期为4，，得，，故，故D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性的综合，属于中档题. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：（每题5分，3题共15分） 12. 随机变量X服从正态分布，，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为随机变量服从正态分布且， 则， 所以. 故答案为：. 13. 已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有________种． 【答案】 【解析】 【分析】分甲学校有2名师范生实习和1名师范生实习两种情况求解，结合分类加法计数原理计算即可. 【详解】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习， 所以有一所学校必然有2名师范生实习. 若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 综上，不同的安排方法有种. 故答案为：. 14. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，由分离参数的方法得到，求出在给定区间的最大值，进而可求出结果. 【详解】因为，所以由得， 因为关于的不等式在区间上有解， 所以只需小于等于的最大值， 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1， 所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 已知关于的不等式的解集为. （1）求的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 (1)利用二次不等式的解的端点即相应的二次方程的根，易得的值; (2)分类讨论解二次不等式. 【详解】（1）由题意知不等式对应的方程的两个实数根为和，且，由根与系数的关系，得 解得. （2）由知不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类讨论． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值点求出a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【小问1详解】 由题意得，由题意得，即，解得， 故，定义域为R， ，令得或，令得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，. 又，， 故的最大值为2，最小值为. 17. 近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表： 购买AI手机 购买不带AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ （2）为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为购买AI手机与顾客的性别有关； （2）的分布列为 的期望.【解析】 【分析】（1）将表格数据代入计算卡方，将卡方的值与10.828比较即可； （2）由题可知根据题意可能取值为：分别求出、 、、、的值，即可列出分布列，再将数值代入期望公式计算即可. 【小问1详解】 ，所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关. 【小问2详解】 根据题意可能取值为： ； ； ； ； ； 的分布列为 的期望. 18. 已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上为增函数；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，然后分，以及讨论，即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，将函数极值问题转化为方程至少有两个不同实数根，再转化为函数图像交点问题，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，的定义域为，， 当时，恒成立，在上为增函数； 当时，，， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． 综上所述，当时，在上为增函数； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， 【小问2详解】 因为，所以， 若既有极大值又有极小值，则至少存在两个变号零点， 即至少有两个不同实数根， 记，则， 当时，，当时，， 所以在时，取得极大值， 又趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， 所以，的图像如图所示， 由图可知，当，即时，有两个变号零点， 且分别为极大值点和极小值点，所以的取值范围为． 19. 2026年央视春晚的舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演．某实验室为了检测机器人在目标位置定位的稳定性，设置了以下测试程序：机器人从图中的0号位置出发，每次右移2格或左移1格，共移动了n次，其中每次右移的概率为p（），左移的概率为． … 0 1 2 3 4 5 6 … （1）当，时，求机器人最终回到0号位置的概率； （2）当，时，记机器人最终位于X号位置，求X的分布列； （3）当时，机器人最终位于4号位置的概率为，求的最大值． 【答案】（1） （2）X的分布列为 X 0 3 6 P （3）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）设右移次，可知机器人最终位于号位置，且.根据题意可得机器人最终回到0号位置，则右移2次，结合二项分布运算求解即可； （2）可知，结合二项分布求分布列即可； （3）分析可知机器人最终位于4号位置，则右移3次，结合二项分布可得，，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 移动了n次，设右移次，则左移次， 所以机器人最终位于号位置，且. 当，时， 令，可得， 即机器人最终回到0号位置，则右移2次， 所以机器人最终回到0号位置的概率. 【小问2详解】 当，时，则，， 可得； ； ； ； 所以X的分布列为 X 0 3 6 P 【小问3详解】 当时，令，解得， 机器人最终位于4号位置，则右移3次， 则，， 可得， 因为，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $