1.1.1 空间向量及其线性运算 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量及其线性运算，通过先回顾平面向量的定义、表示及线性运算作为学习支架，再类比引出空间向量的概念、特殊向量及线性运算，构建从平面到空间的知识迁移脉络。 其亮点在于以类比学习与探究活动为核心，通过“探究1-5”引导学生用数学眼光观察空间与平面向量的联系，结合平行六面体实例培养数学思维的推理能力，借助符号表示和运算律推导强化数学语言表达。小试牛刀和例题助力学生巩固，教师可通过结构化资源提升教学效率。

1.1.1 空间向量及其线性运算 选择性必修一第一章 更多模板请关注：https://haosc.taobao.com 知识回顾∙平面向量 一.向量的定义：在平面中，既有大小又有方向的量叫向量. 二.向量的表示：(1)用有向线段(带有方向的线段)来表示; (2)以A为起点，B为终点的向量表示为：或 . A B 三.向量的有关概念： 1.零向量： 长度为0的向量叫做零向量，记作 0（或 ）. 2.单位向量：模为1的向量称为单位向量. 3.相反向量： 与向量长度相等而方向相反的向量，称为向量的相反向量, 4.相等向量： 方向相同且模长相等的向量称为相等向量。 5.共线向量（平行向量）：方向相同或者相反的向量称为共线向量。 记 2026/8/18 2 知识回顾∙平面向量 四.平面向量的线性运算 + + 加法： 减法： 三角形法则： 首尾连，起指终。 平行四边形法则： 共起点，对角线。 三角形法则： 共起点。指向前 数乘： ① ②当时，与同向； 当时，； 当时，与向. 2026/8/18 3 新知探索∙类比学习 探究1 你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。 表示：①符号表示法：或 . ②几何表示法：有向线段 A B 长度（模）空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，记作 2026/8/18 4 新知探索∙类比学习 几个特殊向量 1.零向量：与平面向量一样，我们规定，模为0的向量叫做零向量。记为 2.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。 注： ① 的模为0，即 ； ② 的方向是任意的，即它的方向可以看作任意方向； ③当有向线段的起点 与终点重合时， 通常用 表示，即 注：任何一个非零向量 都有它的单位向量，且 2026/8/18 5 新知探索∙类比学习 几个特殊向量 3.相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量 注： ①向量 的相反向量为，且 ； ②向量 的相反向量为，且 ； ③规定： 的相反向量为 ，记作 . 相反向量 2026/8/18 6 新知探索∙类比学习 几个特殊向量 4.相等向量：方向相同而且模相等的向量叫做相等向量。 如图 向量为相等向量，记作 . 注： ①任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关（向量可以移动）； ② 同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量或相等向量， 因为向量完全由它的模和方向确定. ③因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线的向量可以确定一个平面。即任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面向量。 2026/8/18 7 1.在空间中，共线向量就是表示这些空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．(    √    ) 2. 在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(    √   ) 3.在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(    √        ) 4.空间向量就是空间中的一条有向线段；(   ×     ) 5.不相等的两个空间向量的模必不相等；(       ×  ) 6.任一向量与它的相反向量不相等；(    ×     ) 小试牛刀 新知探索∙类比学习 探究2 你能类比平面向量线性运算给出空间向量线性运算吗？ 1.加法运算： 注：①对于零向量与任意向量，我们规定： ②推广：__________. ③模长： 首尾连，起指终。 反向 同向 2026/8/18 9 新知探索∙类比学习 探究2 你能类比平面向量线性运算给出空间向量线性运算吗？ 2、减法运算： 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 模长： 同向 向 3、数乘运算： 当时，； 当时，； 当时， 模长：； 2026/8/18 10 新知探索∙类比学习 探究3 如图，在平行六面体ABCD−A’B’C’D’中，分别标出，表示的向量。从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 显然 2026/8/18 11 新知探索∙类比学习 运算律： 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）： 交换律： 结合律： 分配律： 利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到： 有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 2026/8/18 12 概念辨析 思考：如何证明空间向量的加法结合律呢？ a c b 在平行六面体 ABCD－A'B'C'D'中，记 则 所以有：. 小试牛刀 2.已知平行六面体ABCD-A’B’C’D’，化简下列向量表达式 （1） （2） （3） （1） （2） （3）= 解： 2026/8/18 14 新知探索∙类比学习 探究4 对任意两个空间向量，如果 ， 有什么位置关系？反过来，有什么位置关系时，？ 共线向量定理：对任意两个空间向量， 的充要条件是： 存在唯一一个实数，使得 思考：为什么要求 分析：当时，不存在 成立。 2026/8/18 15 新知探索∙类比学习 直线的方向向量： 如图, 是直线 上一点，在直线 上取非零向量，则对于直线 上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在唯一一个实数，使得 我们把与向量 平行的非零向量称为直线 的方向向量。 因此,直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说， 直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 P 注意： 1.与直线平行的任意非零向量 都叫做直线的方向向量； 2.因为的方向是任意的，所以 不能作为直线的方向向量. 2026/8/18 16 新知探索∙类比学习 (1)向量与直线平行： 如图 ，如果表示向量 的有向线段 所在的直线与直线 平行或重合，那么称向量 平行于直线 (2)向量与平面平行： 如果直线平行于平面 或在平面内，那么称向量 平行于平面 。 共面向量：平行于同一个平面的向量， 叫做共面向量. 2026/8/18 17 新知探索∙类比学习 探究5 对平面内任意两个不共线的向量 ，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量可以写成，其中是唯一确定的有序数对。对两个不共线的空间向量，如果线的空间向量 如果，那么向量与向量 有什么位置关系？反过来，向量与向量有什么位置关系时，。 向量共面定理： 如果空间中两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 2026/8/18 18 例题讲解 例1：如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使 习题练习 练习1：如图，E,F分别是长方体ABCD-A’B’C’D’的棱AB，CD的中点。化简下列表达式，并在图中标出化简结果： 感谢您的观看 【分析】（1）可画出图形，根据便可得到，从而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF＝HG，这便可判断四边形EFGH为平行四边形，从而得出四点E，F，G，H共面； 解：（1）证明：如图， ∵；∴； EF∥AB，且EF＝|k|AB； 同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC； ∴EF∥HG，且EF＝HG； ∴四边形EFGH为平行四边形； ∴四点E，F，G，H共面； 解　－＝－＝＋＝. (2)＋＋′. 解　＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示. (1)′－； $