1.1.2 空间向量的数量积运算 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖定义、性质、运算律、投影向量及垂直与距离应用，通过类比平面向量构建知识支架，明确学习目标与重难点，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合几何直观（如投影向量的向量、直线、平面三种情况）和问题链（思考数量积不可约分等问题），通过分层例题（正方体、正四面体应用）培养数学思维与表达，助力学生系统掌握，辅助教师高效教学。

1.1.2 空间向量的数量积运算 1.了解空间向量的夹角. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点). 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离(难点). 学习目标 空间向量的数量积运算 1：空间向量的数量积 O A B 2.零向量与任意向量的数量积为0： 1.向量的数量积运算结果是一个数； “·”不可省略 3.求模： 4.空间向量的数量积的运算律： (数量积不可约分) (数量积不满足结合律) 如: (数量积不可作商) O A B 2：空间向量的夹角 O A B 1.找角：两向量同起点 2.范围： O A B O A B 2：空间向量的夹角 O A B 3.求角： 1.找角：两向量同起点 2.范围： 4.向量夹角与数量积的关系： 特别提醒（1）数量积的符号与夹角的关系如下： 为锐角时，；时， 为锐角或0（易漏掉0）. 为钝角时，；时， 为钝角或 （易漏掉 ）. （2）一般情况下，数量积运算不满足结合律， ，也不满 足消去律， . . . . . 7 3 空间向量数量积的性质 性质 作用 若,为非零向量，则 . 证明空间中的垂直关系. 或 . 求空间中线段的长度. 若,为非零向量，则, . 求有关空间角的问题. （当且仅当, 共线时等号成立）. 求数量积运算的最值. 8 4 投影向量 （1）向量向向量投影 如图1.1-5（1），在空间，向量向向量 投影，由于它们是自由向量，因此可 以先将它们平移到同一个平面 内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量 共 线的向量，,（,决定了的方向与相同或相反， 是与 方向相同的单位向量）,向量称为向量在向量 上的投影向量. 因此向量，的数量积等于向量在向量上的投影向量与向量 的数量积，即 .（这也可称为空间向量数量积的几何意义） . . 9 图1.1-5 （2）向量向直线投影 如图1.1-5（2），将向量 的起点移到 直线上任意点处，得到向量，过点 向直线引垂线，垂足为，向量 就是 向量在直线上的投影向量.这时，向量 与向量的夹角就是向量所在直线与直线 的夹角. 10 （3）向量向平面投影 如图1.1-5（3），向量向平面 投影，就是分别由向量的起点和终点 作平 面 的垂线，垂足分别为，,得到向量,向量称为向量在平面 上的投 影向量.这时，向量,的夹角就是向量所在直线与平面 所成的角. 图1.1-6 知识剖析 如何理解空间向量的投影？ 对于向量的投影向量,无论它是向量 向另一个向量投影， 还是向量向一条直线投影，或是向量 向一个平面投影，都有向 量与投影向量垂直.此时表示三个向量,, 的有向线段 构成一个直角三角形（如图1.1-6）.这样，通过勾股定理，可以借助几何直观更好地 理解向量投影的本质. 11 (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定. ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. 注 意 点 <<< 12 (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立. 注 意 点 <<< 13 例1 如图，在正方体中，求向量 分别与 向量,, 的夹角. 【解析】连接，,在正方体中, , , . 所以,, , ,, （求向量夹角时，注意向量的方向） , ,, . . . 14 例2 （1）［教材改编P8 T2］(2026·安徽省池州市调研)已知正方体 的棱长为1，若，，，则 ( ) B A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】由题意知，，两两垂直，故 ， 又，所以 . 15 （2）［教材改编P9习题1.1 T4］(2026·北京市大兴区期中)如 图1.1-10，正四面体的棱长为1， ，则 _ _. 【解析】因为点是棱的中点，所以 . 又因为正四面体 的棱长为1，所以 ， 所以 . 16 例3 如图，在棱长为1的正方体 中，向量在向量 上的投影向量 是_ ______，向量在直线 上的投影向量是______， 向量在平面 上的投影向量是 _ ___________________． （答案不唯一） 【解析】（1） 向量与向量 夹角为 ， ，，所以向量在向量 上的投影向量是 , . 17 设 ，如图，由正方体的 性质可得，，向量 在向量 上的投影向量是 . 18 （2）如图，连接,过作,垂足为，则在直线 上的投影 向量就是 , 在中，,,, , . 所以向量 在直线上的投影向量是 . （3）如图，连接,交于点，所以, , 则 平面 , 所以在平面上的投影向量就是，即 . 19 空间向量数量积的应用 提示　(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； 类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质. 问题 (4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立). 例4 如图所示，在长方体中， , ,，为的中点，为 的中点，试计算： （1） ； 【解析】 . 22 （2） ； 【解析】 . （3） . 【解析】 . 【解析】设,,，则,, , . 23 例5 已知是棱长为1的正方体 内（含正方体表面）任意一点，则 的最大值为___. 2 【解析】如图所示， 可转化为在上的投影向量与的数量积，通过观察可知，当点 在棱 上时（此时在上的投影向量为）， 取得最大值， 最大值为 . . . . . 24 例6 如图所示，正方体的棱长为1，,分别是, 的中 点，求 . 25 【答案】 易知,且,, 两两垂直, 因为 , 所以 . 取的中点为,连接，则在平面上的投影向量为 ,由向 量数量积的几何意义（与的数量积就是在平面上的投影向量 与的数量积）知 . 【解析】易知,,, , 所以, . . . . . 26 垂直问题 例7 已知：如图1.1-25，，分别是平面 的垂 线、斜线，是在平面 上的射影， ，且 . 求证： . 28 证明：设直线的方向向量为 . ， ， 又 且 ，， , ， .即证. 29 例8 如图所示,在正方体中,为与的交点,为 的中 点,求证: 平面 . 思路点拨 要证明 平面,只需证明垂直于平面 中的两条相交直线. 易知,而中的，连接后的线段与 垂直的可能性最大,故不妨 尝试证明,由向量的数量积可知只需证明 即可. 30 【解析】连接,设,, , 则,,, . , , , ,【另解】也可用三垂线定理求解， 在平面 上的射影为,,即 ， 31 ,,即, . 又, 平面, 平面 , 平面 . 5.如图，在三棱锥中，，， 两两垂直，且， 为的中点.证明： . 33 【答案】 （向量法） 因为 ， ， （综合法） 因为，为的中点，所以.又， ， 两两垂直，所以 平面，因为 平面,所以 ， ， 平面, 平面,所以 平面.又 平面 ,所以 . （【另解】在平面的射影为，根据三垂线定理，即可得） 所以 ， 所以，即 . 34 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影. (2)空间向量数量积的性质及运算律. (3)空间向量的垂直. 2.方法归纳：化归转化. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0. 课堂小结 随堂演练 题型一 数量积运算 1.（2026安徽阜阳检测）已知正方体的棱长为1，若, , ，则 ( ) B A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】 由题意可知，,, 两两垂直，且其模长均为1，所以 . 37 2. （多选/2026山东烟台检测）已知空间向量,, ,则下列说法正确的是( ) AD A. B.若,则 C. D.若向量,同向共线,则 【解析】 , （交换律）. 注意零向量的特殊性.当时,,但无法得到.当 时, ,,,,,, ,也 无法得到 . ,, 不一定成立. 由于向量,同向共线,所以,,所以 . . . 38 3. （多选/2026广东清远期中）如图所示，在棱长为1的正四 面体中，,分别是, 的中点，则下列计算结果正确的是 ( ) ABC A. B. C. D. 39 【解析】 因为，分别是，的中点，所以 . 由上知， , （模长、夹角已知,考虑直接用公式求解）； ； ， ； （模长已知,夹角未知,不能直接用 公式求解,此时可将 代入,转化为夹角已知,模长已知的数量积问题,也可将 代入求解） , ． . . . . . . 40 题型二 求投影向量 4. （多选/2025辽宁名校期中联考）已知几何体 为长方体,则 ( ) AC A.在方向上的投影向量为 B.在方向上的投影向量为 C.在方向上的投影向量为 D.在方向上的投影向量为 41 【解析】 依题意，画出对应几何体，如图所示. 与共起点,过的终点找垂线:因为 平面, 平面 ，所以（即点在上的投影是点）,所以在 方向上的投影 向量为 ； . . 42 过的终点找垂线:在中, ,所以与不垂直,所以 在方向上的投影向量不是（但与 同向共线）； 与无公共点,先通过平移使它们共面，再找垂线：连接，因为 ， 所以在方向上的投影向量即在方向上的投影向量，过的终点 找垂线， 因为，所以在方向上的投影向量为 ； 由选项C可知，在方向上的投影向量即在方向上的投影向量，过 的终点找垂线：在中，显然不垂直于，所以在 方向上的投影向 量不是（但与 同向共线）. . . . . 5.（2026陕西渭南期中）已知，空间向量为单位向量，, ，则空间向量 在向量 方向上的投影向量为( ) B A. B. C. D. 【解析】 空间向量在向量 方向上的投影向量为 . 44 题型三 垂直问题 6.（2025山东菏泽外国语学校月考）已知,（其中,, 是两 两垂直的单位向量）,则与 的数量积等于( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为,,是两两垂直的单位向量,所以, , 所以 . 45 7.（2025山东潍坊期中）,,,是空间不共面的四点,且满足, , ,为的中点,则 是( ) C A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 【解析】 为的中点, ,则 ,从而,即 ,故 是直角三角形. ,,, ,, 两两互相垂直（联想到“墙角” 模型,显然 平面 ）. ,, 平面, 平面 （线面垂直的判定）. 平面,（线面垂直的性质）,故 为直角三角形. . . . . . . 46 8.（2026上外附中期中）在三棱锥中,“”是“ ” 的( ) B A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 如图,设是的中点,连接, . 47 若，则,则 ,所 以 （平方差公式对向量适用）,即 , 所以,即,所以 ,充分性成立； 若,则 ,所以 ,即 ,必要性成立. 综上,“”是“ ”的充要条件. . . 题型四 夹角问题 9. 已知空间向量,满足,,,则向量, 的夹角为_ __. 【解析】 要求,的夹角,需有,已知向量垂直，通过数量积为0，求出 . 因为,所以,则 , 所以, . 因为, （ 向量夹角范围）,所以, . . . 49 10. （2026江西赣州二十四校期中联考）在正三棱锥 中， ,,分别是,的中点，则, ( ) C A. B. C. D. 【解析】 因为, ，所以 ,，因为,，所以, .如图，在正 三棱锥中，，则是等边三角形，因为,分别是, 的中点，所以，所以，所以, ( 向量与的夹角与 互补，而不是相等). . . 50 11. （2026安徽鼎尖教育期中联考）如图,在平行六面体 中,,, , ,则 ( ) A A. B. C. D. 51 【解析】 在平行六面体 中, （体对角线的向量表示式）,因为 ,所以.因为, 所以 . ,,,所以 , 即,设 ,则 . . 52 题型五 模的问题 12.（2026河北石家庄期中）已知空间向量，，两两夹角为 ，且 ，则 _____. 【解析】 由于两两夹角为 ，且模长均为2，则有 ， ， ， ， 因此 . 53 13.（2026四川成都实验外国语学校检测）如图，二面角 的棱上有两个点,，线段与 分别在这个二 面角的两个面内，并且都垂直于棱.若, , ，二面角 的平面角为，则 _____. 【解析】 由条件知，， ， 又二面角 的平面角为，则,（ 平面 , 平面 , ,则与的夹角即为二面角的平面角），所以，所以 . . . 54 14. （2026山东济宁期中）如图，已知三棱锥中， , ，且 ,,分别是, 的中点.用空间向量 法求解下列问题. 55 （1） 求证： ； 【答案】 设,,，则,, , ,,,分别是， 的中点， ， ， 又, ， ， ,即 . 56 （2） 求 的长； 【答案】 ， ，即的长为 . ， 57 （3） 求异面直线和 所成角的余弦值. 58 【答案】 由题意得, ， 设异面直线和所成角为 ， 则, ， 异面直线和所成角的余弦值为 . ， , ， ， 又 ， 59 (2)a·a＝|a|2或|a|＝＝； (3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝； $