1.1.1　第1课时　空间向量及其线性运算课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念及线性运算，通过滑翔伞运动受力情境导入，类比平面向量自然推广到空间向量，搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以问题驱动类比迁移，结合正方体、平行六面体等模型，通过例题和跟踪训练培养学生空间观念（数学眼光）与推理能力（数学思维），用向量符号与图形结合表达（数学语言）。课堂小结梳理知识与方法，助力学生构建体系，教师可高效教学提升学生数学素养。

空间向量及其线性运算 第一章　1.1.1　第1课时 学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，理解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.(重难点) 3.掌握空间向量的线性运算. 你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？ 导语 3 内容索引 01 02 05 03 空间向量的加减运算 空间向量的数乘运算 随堂演练 空间向量的有关概念 04 课时对点练 01 空间向量的有关概念 问题 1 提示　平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，类比平面向量的定义，我们可以得到，空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致. 平面向量是什么？你能类比平面向量的概念给出空间向量的概念吗？ 1.在空间，把具有　　　和　　　的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的　　　或　　. 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的____ 表示空间向量的模，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为 或 . 知识梳理 大小 方向 长度 模 长度 |a| || 2.几类特殊的空间向量 (1)零向量：规定长度为0的向量叫做　　　　，记为0. (2)单位向量：　　　的向量叫做单位向量. (3)相反向量：与向量a长度　　　而方向　　　的向量，叫做a的相反向量，记为　　. (4)共线(平行)向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_____ 　　　　　　，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量　　　，即对于任意向量a，都有0　　a. (5)相等向量：方向　　　且模　　　的向量叫做相等向量.在空间，____ 且　　　的有向线段表示同一向量或相等向量. 零向量 模为1 相等 相反 -a 互相 平行或重合 平行 ∥ 相同 相等 同向 等长 (1)平面向量是一种特殊的空间向量. (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同. (3)空间向量不能比较大小. (4)已知向量a，b，c，其中b≠0，若a∥b，b∥c，则a∥c. 注意点 9 　 (1)下列命题是真命题的是 A.与非零向量a平行的单位向量只有一个 B.空间中任意两个单位向量必相等 C.任一向量与它的相反向量不相等 D.零向量与任何向量都共线 例1 √ 10 解析： 对于A，与非零向量a平行的单位向量的方向可以与a相同，也可以与a相反，故A错误； 对于B，空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，零向量与任意向量共线，故D正确. 11 (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有= C.若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p D.空间中，若a∥b，b∥c，则a∥c √ √ 12 解析： A为假命题，根据向量相等的定义知， 两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与的方向相同，模也相等，故=； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，向量平行不一定具有传递性，当b=0时，a与c不一定平行. 13 (3)(多选)下列说法错误的是 A.空间任意两个向量的模能比较大小 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 √ √ √ 14 解析： 对于选项A，向量的模即向量的长度，是一个实数，所以任意两个向量的模可以比较大小； 对于选项B，其终点构成一个球面； 对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但空间向量不是有向线段； 对于选项D，两个向量不相等，它们的模可能相等. 15 空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念. 反思感悟 16 02 空间向量的加减运算 问题 2 提示　共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致. 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？由此，对空间向量的运算有什么启发呢？ 1.空间向量的加法运算 (1)三角形法则：首尾顺次相接，　　　　　为和，如图1. (2)平行四边形法则：共起点的两边为邻边作平行四边形，____________ 为和，如图2. 2.空间向量减法运算的几何意义 共起点，连终点，方向指向　　　向量，如图3. 知识梳理 首指向尾 共起点对角线 图1　　　　 图2　　　　 图3 被减 3.空间向量的运算律 (1)交换律：a+b=　　　. (2)结合律：(a+b)+c=　　　　. b+a a+(b+c) 注意点 (1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，必须共起点. (2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即+++…+=. 21 注意点 (3)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即+++…+=0. (4)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 22 　(1)(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是 A.-+ B.++ C.-+ D.++ 例2 √ √ √ 23 解析： -+=++=++=+=≠，故A错误； ++=+=，故B正确； -+=++=++=，故C正确； ++=++=，故D正确. 24 (2)对于空间中的非零向量，，，其中一定不成立的是 A.+= B.-= C.||+||=|| D.||-||=|| √ 25 解析： 根据空间向量的加减法运算， 对于A，+=恒成立； 对于C，当，方向相同时， 有||+||=||； 对于D，当，方向相同且||≥||时，有||-||=||； 对于B，由向量减法可知-=， 又为非零向量，所以B一定不成立. 26 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果. 反思感悟 27 　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (1)+-； 跟踪训练 解： +-=++=+=，如图中向量. 28 　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (2)--. 跟踪训练 解： 如图，连接GF， 因为E，F，G分别是BC，CD，DB的中点， 所以=，=， 所以--=++=++=， 如图中向量. 29 03 空间向量的数乘运算 1.空间向量的数乘运算 (1)定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘. (2)几何意义(a≠0) ①当λ>0时，λa与向量a的方向　　　； ②当λ<0时，λa与向量a的方向　　　； ③当λ=0时，λa=0，其方向是任意的； ④λa的长度是a的长度的　　倍. 相同 相反 |λ| 2.运算律 (1)结合律：λ(μa)=　　　； (2)分配律：(λ+μ)a=　　　　，λ(a+b)=　　　　. (λμ)a λa+μa λa+λb (1)当λ=0或a=0时，λa=0，反之，当λa=0时，λ=0或a=0. (2)对于给定的向量a，λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 注意点 33 　　　 (1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确的是 A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb，则a=b D.若ma=na，则m=n 例3 √ √ 解析： m(a-b)=ma-mb，A对； (m-n)a=ma-na，B对； 若m=0，则a，b不一定相等，C错； 若a=0，则m，n不一定相等，D错. 34 (2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ①； 解： ∵P是C1D1的中点， ∴=++=a++ =a+c+=a+b+c. 35 (2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ②； 解： ∵N是BC的中点， ∴=++=-a+b+ =-a+b+=-a+b+c. 37 (2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： ③. 解： ∵M是AA1的中点， ∴=+=+ =-a+=a+b+c. 38 　　　　　若把本例(2)中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且=”，其他条件不变，如何表示？ 延伸探究1 =+=++ =a+b+c. 解： 39 　　　　　在本例(2)的条件下，化简a-b-c，并将化简得到的向量用图形中的点来表示. 延伸探究2 a-b-c=-- =- =-(+)=-=. 解： 40 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点或其他分点的性质. 反思感悟 41 课堂小结 1.知识清单： (1)向量的相关概念. (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘). (3)向量的线性运算的运算律. 2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想. 3.常见误区：非零向量共线具有传递性，但当出现零向量时，向量共线不一定能传递，因为零向量与任意向量都是共线向量. 42 04 随堂演练 1 2 3 4 1.(多选)下列命题中，真命题是 A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 √ 解析： 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. √ √ 2.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是 A.+2+2+ B.2+2+3+3+ C.++ D.-+- √ 1 2 3 4 1 2 3 4 解析： 对于A，+2+2+=(+)+(+)+(+)=+； 对于B，2+2+3+3+=2(+)+3(+)+=3+3=0； 对于C，++=++=+=0； 对于D，-+-=(-)+(-)=+=0. 1 2 3 4 3.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则-+等于 A. B.3 C.3 D.2 √ 解析： -+=-(-)=-=+=+2=3. 1 2 3 4 4.如图，在三棱柱ABC-DEF中，G，H分别是棱BE，AC的中点，则等于 A.+- B.--+ C.-+- D.-+ √ 解析： =++=-++=--+. 05 课时对点练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C ABC A B B (1)　(2) 题号 8 9 11 12 答案 BCD C B 7. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，设=2， 则=+=++2； 设=2，=-，则=+2-=+ +=，所以点C1即为Q点； 设=3，=-4，则=+3-4=++=，所以点C2即为R点； 设=-，=-3，则=--3=++=，所以点C3即为S点. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F=2FC1，连接EF， 则++=++=. (2)=+=+ =+)++) =++， 所以α=，β=，γ=. 10. 1.下列说法中正确的是 A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.=的充要条件是A与C重合，B与D重合 C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D.在四边形ABCD中，一定有+= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 基础巩固 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误； 对于B，=的充要条件是||=||，且，同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B错误； 对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确； 对于D，满足+=的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误. 2.(多选)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中 A.单位向量有8个 B.与相等的向量(不包括)有3个 C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 由题可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A正确； 与相等的向量(不包括)有，，，共3个，故B正确； 向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确； 模为的向量分别为，，，，，，，，共8个，故D错误. 3.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且+=+，则四边形ABCD是 A.平行四边形 B.空间四边形 C.等腰梯形 D.矩形 √ 解析： ∵+=+， ∴=. ∴∥且||=||. ∴四边形ABCD为平行四边形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.如图，在四面体ABCD中，E，F分别为BC，AE的中点，G为△ACD的重心，则等于 A.-++ B.-++ C.-+ D.+- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 因为E，F分别为BC，AE的中点，所以==. 因为G为△ACD的重心，所以=， 所以=-=-=-++. 5.如图，在正四面体ABCD中，E，F分别为BD，CD的中点，G为线段EF上一动点，设=x+y+z(x，y，z∈R)，则x等于 A.1 B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 设=λ(λ∈R)， 因为=+=+λ =+λ=+λ=++λ， 故x=. 6.如图，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)化简：--+++=　　　 ； 解析： --+++ =+++++=++0=+=. (2)化简：++++=　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： ++++ =++++ =++=0+=. 7.如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点，且平面ABC中的小方格均为单位正方形，在图中标出点P，Q，R，S，使得=++2， =+2-，=+3-4，=--3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解： 如图，设=2， 则=+=++2； 设=2，=-，则=+2-=+ +=，所以点C1即为Q点； 7.如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点，且平面ABC中的小方格均为单位正方形，在图中标出点P，Q，R，S，使得=++2， =+2-，=+3-4，=--3. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解： 设=3，=-4，则=+3-4= ++=，所以点C2即为R点； 设=-，=-3，则=--3= ++=，所以点C3即为S点. 8.(多选)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的中心为O，则在下列各结论中正确的有 A.+与+是一对相等向量 B.-与-是一对相等向量 C.+++与+++是一对相反向量 D.-与-是一对相反向量 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 综合运用 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 如图所示，=-，=-， 所以+=-(+)，是一对相反向量，A错误； -=，-=，而=，故是一对相等向量，B正确； 又=-，=-， 所以+++ =-(+++)， 是一对相反向量，C正确； -=，-==-，所以是一对相反向量，D正确. 9.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M满足=λ，=+ +，则实数λ的值为 A.1 B. C.2 D.3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 因为=-=++-=+- =+-)=-) ==+)， 所以=2，即λ=2. 10.如图所示，已知几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体. (1)化简++，结果用表示并在图上标出该结果(点明E，F的具体位置)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解： 取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F=2FC1，连接EF， 则++=++=. 10.如图所示，已知几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体. (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1 上的点，且C1N=C1B，设=α+β+γ，试求实 数α，β，γ的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解： =+=+ =+)++) =++， 所以α=，β=，γ=. 11.如图，在正四棱台ABCD-EFGH中，上底边长与下底边长之比为=，则++=　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拓广探究 解析： 延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则=，=， 且=， ∴++=++=++= +=+=. 12.如图，在四棱锥S-ABCD中，若=x+y+z，则实数组(x，y，z)可能是 A.(1，1，1) B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 对于A，取BC的中点E，连接SE，DE，取DE的中点F， 连接SF，若=，则=++=2+=++=+2≠， 故A错误； 对于B，若底面是平行四边形，设AC∩BD=O，连接SO，则+=2=+，因此=-+，此时=(1，-1，1)，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析： 对于C，若=，则x+y+z =-=≠，故C错误； 对于D，若=，则x+y+ z=--=-，又=-=+，所以 ≠--，故D错误. THANKS 本课结束 $