专题05 一次函数章末易错必刷题型专训（51题17个考点）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

**基本信息** 聚焦一次函数17个核心考点，以51道易错题为载体，构建从概念识别到性质应用再到综合拓展的系统化训练，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |识别一次函数|3题|定义辨析题|从一次函数定义出发，强化k≠0等易错点| |正比例函数的图象|3题|图象选择与参数计算题|结合几何直观，建立k与图象走向的关联| |根据定义求参数|3题|参数取值判断题|通过方程思想深化对一次函数表达式的理解| |判断一次函数的图象|3题|象限分析题|构建k,b符号与图象位置的逻辑关系| |一次函数的应用综合|3题|实际问题与几何题|以模型意识连接函数性质与现实情境|

专题05 一次函数章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 识别一次函数】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列函数关系中表示一次函数的有（ ） ①②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）函数（k，b都是常数，且）叫做__________，当时，函数（k是常数，）叫做__________，常数k叫做__________． 3．（25-26八年级下·北京·课前预习）判断下列函数是否为一次函数：①；② ；③． 【易错必刷二 正比例函数的图象】 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）在同一平面直角坐标系中，正比例函数（是常数，且）与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）若正比例函数过点，则___________； 6．（24-25八年级上·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； (2)如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 【易错必刷三 正比例函数的性质】 7．（25-26八年级上·广东清远·月考）点、都在直线 上，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（24-25八年级下·山东聊城·月考）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是_______． 9．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 【易错必刷四 根据一次函数的定义求参数】 10．（24-25八年级上·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，已知点．若直线与线段有交点，则m的值可以是（    ）． A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）若函数是一次函数，则k的值是_______． 12．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知函数为一次函数，求的值． 【易错必刷五 求一次函数自变量或函数值】 13．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列各点中在函数的图像上的点是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·河北唐山·月考）若点在函数的图象上，则的值为______． 15．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知与x成正比例关系，当时，． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若x的取值范围为，求y的取值范围． 【易错必刷六 判断一次函数的图象】 16．（24-25八年级下·重庆江津·期末）平面直角坐标系中点和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·山东日照·期中）一次函数的图象不经过第______象限． 18．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）已知一次函数．    (1)当k等于1，，时，分别写出相应的一次函数的表达式，并在如下直角坐标系中画出相应的图象（三条直线）． (2)观察（1）的图象，三条直线都经过了同一个点（记为点P）．写出点P的坐标；其实，无论k为何实数时，一次函数都经过点P．请说明理由． 【易错必刷七 已知函数经过的象限求参数范围】 19．（25-26八年级上·陕西西安·期末）一次函数的图象如图所示，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如果直线经过第二、三、四象限，那么常数b的取值范围是______． 21．（24-25八年级上·广西梧州·期中）一次函数． (1)当a为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当a为何值时，图象经过第一、二、三象限？ 【易错必刷八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 22．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）将直线（为常数，且）向左平移3个单位长度得到的直线经过点，则得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 23．（25-26八年级下·北京房山·期中）已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是___________． 24．（25-26八年级下·北京房山·期中）一次函数的图象经过和两点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)画出函数图象，并求出两点的坐标． 【易错必刷九 画一次函数图象】 25．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）对于给定实，记是，，三个数中最小的，则在，，，，，，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点向直线作垂线，则垂线的最大长度为_____． 27．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【易错必刷十 一次函数的平移】 28．（25-26七年级上·山东淄博·期末）将直线向上平移2个单位长度后得到的函数表达式是（    ）． A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·重庆·期末）函数的图象竖直向上平移个单位后过点，则的值为________． 30．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； 【易错必刷十一 一次函数的增减性】 31．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，在函数的图象上，如果，那么________．（填“”“”或“”） 33．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的取值范围． 【易错必刷十二 比较一次函数值的大小】 34．（2026·山西忻州·一模）若点，，在一次函数的图象上，且，则，，和0用“”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级下·北京·月考）点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 36．（24-25八年级下·海南儋州·期中）对于函数的图象，回答以下问题： (1)该函数经过哪几个象限？ (2)当取何值时，？ (3)若图象上有两点和，且，试比较和的大小． 【易错必刷十三 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】 37．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是_____________． 39．（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    【易错必刷十四 利用图象法解一元一次方程】 40．（24-25八年级下·山东德州·月考）如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（24-25八年级上·河北张家口·期末）已知函数的部分函数值如表所示，则关于x的方程的解为________． x … 1 … y … 5 3 … 42．（24-25八年级上·广东佛山·月考）小明向学根据学习过的研究函数的经验，对函数的图象和相关性质进行了研究，请你依据小明的探究过程，完成下列问题： (1)列表：完成下表，描点并连线作出函数图象 … 0 1 2 3 … … 5 3 2 1 3 … (2)类比研究一次函数图象时得到的结论，写出该函数图象的两个结论： ①______；②______； (3)请结合的取值范围直接判断方程解的个数． 【易错必刷十五 图象法解二元一次方程组】 43．（24-25八年级下·四川宜宾·月考）如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象， 则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝___． 45．（25-26八年级上·全国·寒假作业）（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 【易错必刷十六 一次函数的应用综合问题】 46．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A、B两种配件．若该配件销售部门计划购进A、B种配件共400件，B配件进货件数不低于A配件件数的3倍．据市场销售分析，A配件利润为40元，B配件的利润为20元．怎样安排A、B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 47．（24-25八年级上·全国·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 甲 印 刷 社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算． 48．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）妈妈骑车从家出发到距家米的超市买菜，同时菲菲也放学从学校步行往家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间）．分钟后菲菲和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了菲菲，妈妈到家分钟后菲菲才到家．如图是两人离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)________；________； (2)请直接写出妈妈离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系式________； (3)求菲菲与妈妈恰好相距米时x的值． 【易错必刷十七 一次函数应用之几何问题】 49．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）已知是一次函数． (1)求这个一次函数的解析式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上； (3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． 50．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴y轴于A，B两点，C是线段上的一点，且横坐标为． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)若M是x轴上的一点，且满足，则点M的坐标______； (3)连接，则直线的表达式______，并直接写出当时，x的取值范围是______； (4)若是的内部（不包含边界）的一点，请直接写出m的取值范围是______． 51．（24-25八年级下·重庆·周测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线分别交x轴，y轴于点D，E，且直线，垂足为点C． (1)求C点坐标． (2)如图1，在y轴上有一长为1的线段（点P在点Q上方），当线段在y轴正半轴移动时，求的最小值． (3)如图2，将沿直线方向平移，将平移后的记作，当为等腰三角形时，请求出此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数章末易错必刷题型专训（51题17个考点） 【易错必刷一 识别一次函数】 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列函数关系中表示一次函数的有（ ） ①②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的识别，根据一次函数的定义（形如）判断每个函数． 【详解】解：①，符合形式（），是一次函数； ②，即，x的指数为，不是一次函数； ③，即，符合形式（），是一次函数； ④，x的指数为，是二次函数，不是一次函数． 综上可知，一次函数有①和③，共2个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）函数（k，b都是常数，且）叫做__________，当时，函数（k是常数，）叫做__________，常数k叫做__________． 【答案】 一次函数 正比例函数 比例系数 【分析】直接根据一次函数和正比例函数的定义作答即可． 【详解】函数（k，b都是常数，且）叫做一次函数，当时，函数（k是常数，）叫做正比例函数，常数k叫做比例系数． 【点睛】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（25-26八年级下·北京·课前预习）判断下列函数是否为一次函数：①；② ；③． 【答案】①是一次函数；②不是（是反比例函数）；③ 不是（是常数函数） 【分析】根据一次函数的定义，一次函数是函数的一种，一般形如． 【详解】解：①，是一次函数； ② ，不是（是反比例函数） ③，不是，（是常数函数） 【易错必刷二 正比例函数的图象】 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）在同一平面直角坐标系中，正比例函数（是常数，且）与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，B选项符合； 当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，无符合选项； 故选：B． 5．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）若正比例函数过点，则___________； 【答案】 【分析】将点代入，再解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：∵正比例函数过点 ∴将点代入得，， 解得． 6．（24-25八年级上·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； (2)如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正比例函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）先画出，的图象，结合，可得的图象位置，从而可得答案； （2）先设设，，，再结合图象与直线的交点位置，利用，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当时，的图象在图象的上方满足， 结合图象可得：； （2）解：设，，． 如图，当时， ， ． 解得：． 如图，当时， ， ． 解得：． 综上：． 【易错必刷三 正比例函数的性质】 7．（25-26八年级上·广东清远·月考）点、都在直线 上，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．根据正比例函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴，故B正确． 故选：B． 8．（24-25八年级下·山东聊城·月考）物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是_______． 【答案】丙 【分析】根据题意，得，故，根据图象，列式比较解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确读懂图形，正确处理信息是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 根据图象，得，, 故即； 同理，即； ，即 故丙的电阻最大， 故答案为：丙． 9．（24-25八年级下·河南周口·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若点，是该正比例函数图象上的两点，试比较、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，解答关键是熟练掌握正比例函数的性质：当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限． （1）根据正比例函数的图象与性质解即可； （2）根据正比例函数图象的增减性作答即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象经过第二、四象限， 解得； （2）解：由（1）知，，则正比例函数中y的值随x的增大而减小， 点，是该正比例函数图象上的两点， ， ． 【易错必刷四 根据一次函数的定义求参数】 10．（24-25八年级上·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，已知点．若直线与线段有交点，则m的值可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的图象及性质，利用数形结合找出m的取值范围是解题的关键．根据题意分别求出当直线过点时m的值，结合直线与线段有交点，可求出m的取值范围，再逐一对照选项即可． 【详解】解：当直线过点时，，即：， 当直线过点时，，即：， ∵直线与线段有交点， ∴或， ∴m的值可以是：， 故选：B． 11．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）若函数是一次函数，则k的值是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 根据一次函数的定义得到且，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：2． 12．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知函数为一次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得：． 【易错必刷五 求一次函数自变量或函数值】 13．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列各点中在函数的图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图像上的点的特征，通过将每个点的横坐标代入函数解析式，计算对应的值，若与点的纵坐标一致，则该点在图像上． 【详解】解：∵函数为， 对于选项A：当时，，∴点不在图像上． 对于选项B：当时，，与纵坐标一致，∴点在图像上． 对于选项C：当时，，∴点不在图像上． 对于选项D：当时，，∴点不在图像上． 故选：B． 14．（25-26八年级下·河北唐山·月考）若点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【分析】将点A的坐标代入一次函数解析式，即可计算得到m的值． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴． 15．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知与x成正比例关系，当时，． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若x的取值范围为，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，． 【分析】本题主要考查了正比例函数的概念，求一次函数值的取值范围： （1）设 ，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 【易错必刷六 判断一次函数的图象】 16．（24-25八年级下·重庆江津·期末）平面直角坐标系中点和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标和一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据平面直角坐标系中点在那个象限，确定是正数还是负数，再根据一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】解：A：∵点在第四象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的负半轴， ∴A选项图象符合； B：∵点在第二象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而减小，当的值为0时，图象交于轴的正半轴， ∴B选项图象不符合； C：∵点在第一象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的正半轴， ∴C选项图象不符合； D：∵点在第四象限， ∴，， ∴一次函数的图象随着的增大而增大，当的值为0时，图象交于轴的负半轴， ∴D选项图象不符合； 故选：A． 17．（24-25八年级下·山东日照·期中）一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】三/3 【分析】根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】∵一次函数，， ， ∴该函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，利用一次函数的性质是解答本题的关键． 18．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）已知一次函数．    (1)当k等于1，，时，分别写出相应的一次函数的表达式，并在如下直角坐标系中画出相应的图象（三条直线）． (2)观察（1）的图象，三条直线都经过了同一个点（记为点P）．写出点P的坐标；其实，无论k为何实数时，一次函数都经过点P．请说明理由． 【答案】(1)，，，图象见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）分别将k等于1，，代入得出相应的解析式，在坐标系中确定两点画出图象即可； （2）将P的坐标是 代入化简，结果与k值无关即可； 【详解】（1）当时，：； 当时，：； 当时，：； 三个图像如图所示:    （2）．理由如下： 理由如下： 一次函数，当时，，与k值无关， ∴直线都经过点 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数解析式的求法通常用两个点的坐标代入求出常量k、b值，代回所设解析式即可． 【易错必刷七 已知函数经过的象限求参数范围】 19．（25-26八年级上·陕西西安·期末）一次函数的图象如图所示，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象．根据图象分布，确定k，b的符号，后确定点所在的象限即可． 【详解】解：∵图象分布在一、二、四象限， ∴， ∴在第二象限； 故选：B． 20．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如果直线经过第二、三、四象限，那么常数b的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 由一次函数图象经过第二、三、四象限得到图象与y轴交于负半轴，即可得到． 【详解】∵直线经过第二、三、四象限， ∴． 故答案为：． 21．（24-25八年级上·广西梧州·期中）一次函数． (1)当a为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当a为何值时，图象经过第一、二、三象限？ 【答案】(1) (2) 【分析】考查了一次函数图象与系数的关系． （1）当y随x的增大而减少时，，解之即可得出结论； （2）图象经过第一、二、三象限时，，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得， 即当时，y随x的增大而减小； （2）解：若图象过第一、二、三象限，则 ， 解得， 故当时，图象能过第一、二、三象限． 【易错必刷八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 22．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）将直线（为常数，且）向左平移3个单位长度得到的直线经过点，则得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，先根据平移规律得到新直线方程，再代入点求参数k，然后求新直线与坐标轴的交点，最后计算三角形面积即可． 【详解】解：∵直线向左平移3个单位，新方程为， 又∵新直线经过点， ∴代入得，即， ∴， 新直线为， 当，得， ∴， 当，得， ∴两交点距原点距离分别为1和2， ∴面积． 故选B． 23．（25-26八年级下·北京房山·期中）已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】先根据一次函数的定义得到一次项系数不为0，再根据图象交点位置列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 是一次函数， ， 解得， 当时，， 即一次函数图象与轴交点的纵坐标为， 该函数图象与轴交点在轴上方， ， 综上所述：且． 24．（25-26八年级下·北京房山·期中）一次函数的图象经过和两点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)画出函数图象，并求出两点的坐标． 【答案】(1) (2)A点坐标为，B点坐标为，图象见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点A和点B的坐标，再画出对应的函数图象即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 由题意得，， ∴， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：在中，当时，；当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 函数图象如下所示： 【易错必刷九 画一次函数图象】 25．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）对于给定实，记是，，三个数中最小的，则在，，，，，，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令、、，画出函数图象，由函数图象即可得到答案． 【详解】解：令、、， 在中，当时，，当时，，解得， 在中，当时，，当时，，解得， 联立， 解得：， 联立， 解得：， 联立， 解得：， 画出函数图象如图所示： 由图象可得，最大，最大值为3， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意构造一次函数、、，画出函数图象，采用数形结合的思想，是解此题的关键． 26．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，过点向直线作垂线，则垂线的最大长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，合理作出辅助线是解题的关键． 由，可得出直线过定点，连接,当直线与垂直时，垂线的长度最大，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴直线过定点， 连接，当直线与垂直时，垂线的长度最大，过点作轴的平行线，过点B作，如图： ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴垂线段的最大长度为； 故答案为：． 27．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知一次函数，并完成下列问题 (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出直线与轴，轴的交点坐标，画出函数图象即可； （2）根据图象，写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴直线与坐标轴的交点坐标为， 画出函数图象如下： （2）解：由图象可知，当时，y的取值范围是． 【易错必刷十 一次函数的平移】 28．（25-26七年级上·山东淄博·期末）将直线向上平移2个单位长度后得到的函数表达式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移规律，熟练掌握一次函数图象平移时“上加下减，左加右减”的规律是解题的关键． 本题可根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，直接在原函数表达式的常数项上进行加减运算，从而得到平移后的函数表达式． 【详解】∵一次函数图象向上平移时，遵循“上加下减”的规律，即给原函数表达式的常数项加上平移的单位长度， ∴将直线向上平移2个单位长度后，得到的函数表达式为， 故选：A． 29．（25-26八年级上·重庆·期末）函数的图象竖直向上平移个单位后过点，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，先根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式为，再把代入平移后的直线解析式中求解即可． 【详解】解：原函数竖直向上平移个单位后，新函数为， 将点代入新函数：， 计算得：， 解得． 故答案为：． 30．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的性质、点与函数图象的关系以及两直线平行的性质． （1）根据已知点在函数图象上，将点的坐标代入函数解析式，即可求出的值． （2）根据两直线平行，斜率相等，即一次项系数相等，由此可求出的值，进而得到一次函数解析式． 【详解】（1）解：点在函数的图象上， ， 解得． （2）解：在函数的图象平行于直线， ， 解得， ， 一次函数解析式为． 【易错必刷十一 一次函数的增减性】 31．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用一次函数的增减性，结合和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论． 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵，，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，， A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 32．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，在函数的图象上，如果，那么________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质．根据函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵函数，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 33．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求一次函数的函数值，一次函数的增减性，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得y随x的增大而增大，再求出时和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 【易错必刷十二 比较一次函数值的大小】 34．（2026·山西忻州·一模）若点，，在一次函数的图象上，且，则，，和0用“”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的符号判断函数增减性，再结合x的取值范围比较y的大小即可． 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴随的增大而增大． 当时，代入得 ， 又∵ ， 根据增减性可得 ． 35．（25-26八年级下·北京·月考）点和都在直线上，则与的关系是________（填或）． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质.，可通过代入横坐标计算函数值直接比较，也可根据一次函数的增减性结合横坐标大小关系判断与的大小． 【详解】解：方法一：代入求值比较 将代入，得， 将代入，得， ， . 方法二：利用一次函数增减性判断 在直线中，， ， ， ． 36．（24-25八年级下·海南儋州·期中）对于函数的图象，回答以下问题： (1)该函数经过哪几个象限？ (2)当取何值时，？ (3)若图象上有两点和，且，试比较和的大小． 【答案】(1)第一，二，三象限 (2) (3) 【分析】（1）一次项系数和常数项的符号可判断该函数经过的象限； （2）求出时，x的值即可得到答案； （3）根据解析式可得增减性，由增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的图象经过第一，二，三象限； （2）解：当时，，解得， ∴当时，； （3）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 【易错必刷十三 已知直线与坐标轴的交点求方程的解】 37．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 38．（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系；理解一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据图象即可求解． 【详解】解：关于的方程的解，就是一次函数的图象与x轴交点的横坐标， 观察图象知，； 故答案为：． 39．（24-25八年级上·安徽阜阳·月考）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解．    【答案】关于x的方程的解为． 【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，，利用待定系数法即可求得m、n的值，从而得到方程，解方程即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴关于x的方程为， ∴， 故关于x的方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程，求得m、n的值是解题的关键． 【易错必刷十四 利用图象法解一元一次方程】 40．（24-25八年级下·山东德州·月考）如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与性质，根据一次函数的性质和一次函数与一元一次方程的关系进行判断即可；准确分析判断是解题的关键． 【详解】∵一次函数＝经过第一、二、四象限， ∴，，故①③正确； ∵直线＝的图象与轴的交点在轴下方， ∴，故②错误； ∵一次函数＝与＝的图象的交点横坐标为3， ∴当时，＝，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 故选：C． 41．（24-25八年级上·河北张家口·期末）已知函数的部分函数值如表所示，则关于x的方程的解为________． x … 1 … y … 5 3 … 【答案】 【分析】根据题意，将方程的解转化为一次函数中时对应的x的即可解答． 【详解】当时，在一次函数中： 即， 此时根据表格可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解此题的关键是掌握一次函数和一元一次方程之间的联系． 42．（24-25八年级上·广东佛山·月考）小明向学根据学习过的研究函数的经验，对函数的图象和相关性质进行了研究，请你依据小明的探究过程，完成下列问题： (1)列表：完成下表，描点并连线作出函数图象 … 0 1 2 3 … … 5 3 2 1 3 … (2)类比研究一次函数图象时得到的结论，写出该函数图象的两个结论： ①______；②______； (3)请结合的取值范围直接判断方程解的个数． 【答案】(1)表格及图象见详解 (2)①该函数关于直线对称；②当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)当时，该方程无解；当时，该方程有一个解；当时，该方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格及题意可直接进行求解； （2）由（1）中函数图象可直接进行求解； （3）由（1）中函数图象可分类进行求解． 【详解】（1）解：当时，则有，当时，则有，所以所列表格如下： … 0 1 2 3 … … 5 4 3 2 1 2 3 … 所得函数图象如下所示： （2）解：由（1）函数图象可知：①该函数关于直线对称；②当时，y随x的增大而增大； 故答案为该函数关于直线对称；当时，y随x的增大而增大； （3）解：由（1）中图象可知： ①当时，该方程无解； ②当时，该方程有一个解； ③当时，该方程有两个不相等的实数根． 【易错必刷十五 图象法解二元一次方程组】 43．（24-25八年级下·四川宜宾·月考）如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象， 则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答． 【详解】解：由题图可知：一次函数与的图象交于(1，2)， 所以方程组的解是：； 故选：D． 【点睛】函数与的交点坐标就是方程组的解，明确此知识点是解题的关键． 44．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝___． 【答案】5 【分析】两直线的交点坐标横坐标为方程x+2＝ax+b的解． 【详解】解：把y＝7代入y＝x+2得，7＝x+2， 解得x＝5， ∴P点的横坐标为5， ∵直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P， ∴方程x+2＝ax+b的解是x＝5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了根据一次函数图像解二元一次方程组，数形结合是解题的关键． 45．（25-26八年级上·全国·寒假作业）（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，考查了函数图象的画法：列表、描点、连线． （1）根据函数图象的画法：描点、连线分别画出两个一次函数的图象． （2）观察图象，两直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：（1）函数，当时，；当时，； 则函数图象经过点，； 函数，当时，； 则图象经过点，． 作图如下： （2）根据图象可得：两直线交点为， 则方程组的解为． 【易错必刷十六 一次函数的应用综合问题】 46．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A、B两种配件．若该配件销售部门计划购进A、B种配件共400件，B配件进货件数不低于A配件件数的3倍．据市场销售分析，A配件利润为40元，B配件的利润为20元．怎样安排A、B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】 当购进100件A配件，300件B配件时，利润最大，最大利润是10000元． 【分析】设购进m件A配件，则购进件B配件，根据题意，得到，求出的范围，设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设购进m件A配件，则购进件B配件， 根据题意得：， 解得：， 设购进的两种配件全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（件）． 答：当购进100件A配件，300件B配件时，才能让本次销售的利润达到最大，最大利润是10000元． 47．（24-25八年级上·全国·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下表所示： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 甲 印 刷 社 0.15元/张 乙印刷社 500张以内（含500张） 0.20元/张 超过500张部分 0.10元/张 (1)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？ (2)若印刷费用为y元，请直接写甲、乙两家印刷社费用与宣传单张数x之间的函数关系式，并说明选择哪家印刷社比较划算． 【答案】(1)在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张 (2)甲印刷社：，乙印刷社：，时选择甲印刷社划算；，选择两家印刷社一样划算；，选择乙印刷社划算． 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的实际应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，找出题目蕴含的数量关系解决问题． （1）通过设未知数，利用数量和费用关系列方程组求解； （2）先分别建立甲、乙的费用函数，再分区间比较函数值大小，确定最优选择． 【详解】（1）解：设甲、乙两家印刷各印了、张宣传单， ，解得， 答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张； （2）甲印刷社：， 乙印刷社：， 当时，，选择甲印刷社； 当时，若，得，即，选择甲印刷社划算； 若，得，即，选择两家印刷社一样划算； 若得，即，选择乙印刷社划算． 综上所述，时选择甲印刷社划算； ，选择两家印刷社一样划算； ，选择乙印刷社划算． 48．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）妈妈骑车从家出发到距家米的超市买菜，同时菲菲也放学从学校步行往家走（其中家、学校、超市在一条笔直的马路上，且学校在家和超市之间）．分钟后菲菲和妈妈相遇，随后两人继续按原速往各自的目的地前进，妈妈到达超市后花分钟买完菜，再按原路原速回家，不一会儿就追上了菲菲，妈妈到家分钟后菲菲才到家．如图是两人离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)________；________； (2)请直接写出妈妈离家的距离y（米）与出发时间x（分）之间的函数关系式________； (3)求菲菲与妈妈恰好相距米时x的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)菲菲与妈妈恰好相距米时x的值为，，． 【分析】（1）由题意直接求出；先求出妈妈的速度，再求出妈妈到超市的时间，再加上购物时间即可求出； （2）分别求出当时， 当时， 当时妈妈离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式即可求解； （3）用待定系数法求出菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式，再根据菲菲与妈妈恰好相距米分段列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解： 由题意可知，； 妈妈的速度为：（米/分）， 妈妈到超市所用时间为：（分钟）， 妈妈到达超市后花分钟买菜， ， 故答案为：，； （2）当时，， 当时，， 当时，设y与x的解析式为， 把和代入解析式得：， 解得：， ， 综上所述，y与x的解析式为； （3）设菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式为， 把和代入解析式得：， 解得：， 因此菲菲离家的距离米与出发时间分之间的函数关系式为； 妈妈在去往超市的过程中：， 解得：或； 妈妈在回家过程中：， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，菲菲与妈妈恰好相距米时x的值为，，． 【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【易错必刷十七 一次函数应用之几何问题】 49．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）已知是一次函数． (1)求这个一次函数的解析式； (2)试判断点是否在这个一次函数的图象上； (3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)不在 (3) 【分析】（1）利用一次函数定义列出方程，解出方程得到，进而可求解； （2）将代入函数解析式求出此时的值，进而可判断； （3）先求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，进而可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）解：当时，， ∴点不在这个一次函数的图象上； （3）解：当时，， 当时，，解得， ∴函数与x轴、y轴的交点分别为：和， ∴此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积为：． 50．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴y轴于A，B两点，C是线段上的一点，且横坐标为． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)若M是x轴上的一点，且满足，则点M的坐标______； (3)连接，则直线的表达式______，并直接写出当时，x的取值范围是______； (4)若是的内部（不包含边界）的一点，请直接写出m的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)或 (3)， (4) 【分析】（1）根据解析式，分别令，即可求解； （2）设，根据，列出方程，解方程即可求解； （3）先出点的坐标为，代入，进而根据函数图象，当时，自变量的取值范围为； （4）将代入，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于、两点， ∴当时，，当时，， ∴，； （2）解：由（1）知，， 则， ∴， ∵， 设， ∴， 解得或， ∴或 （3）解∶∵C是线段上的一点，且横坐标为， ∴点C的纵坐标为， ∴点的坐标为 设直线的解析式为， 则， 解得， ， 如图， 根据函数图象可得，当时，自变量的取值范围为； （4）解：点在直线上， 当时，即，即， ． 51．（24-25八年级下·重庆·周测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，直线分别交x轴，y轴于点D，E，且直线，垂足为点C． (1)求C点坐标． (2)如图1，在y轴上有一长为1的线段（点P在点Q上方），当线段在y轴正半轴移动时，求的最小值． (3)如图2，将沿直线方向平移，将平移后的记作，当为等腰三角形时，请求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【分析】（1）根据题意联立直线与得到二元一次方程组并求解，即可得到点C的坐标； （2）过点Q作的平行线，过点O作与该平行线垂直，垂足为H，过点H作，过点P作，连接，证得四边形是平行四边形，根据已知条件分别求出点A、B、D、E的坐标，利用含30度直角三角形的性质结合平行四边形的性质得到，当C、P、G三点共线时，有最小值，从而分别求得相关线段的长度，进而求得最终结果； （3）先求得，设沿x轴正方向平移t个单位长度，则沿y轴负方向平移个单位长度，分别求得点，，的坐标表达式，从而得出，，，此时分情况讨论：，，，求得不同情况下t的值并代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：由题意知， 联立直线与， 解得， ∴． （2）解：如图，过点Q作的平行线，过点O作与该平行线垂直，垂足为H，过点H作，过点P作，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，令，则，令，则， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当C、P、G三点共线时，有最小值， ∵， ∴， ∴点E与点P重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴有最小值为． （3）解：在中，令，则，令，则， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由（2）知，，， 设沿x轴正方向平移t个单位长度，则沿y轴负方向平移个单位长度， ∴，，， ∴，，， 此时分以下情况讨论： ①当时，， 此时t无解； ②当时，， 解得，， ∴或； ③当时，， 解得， 此时点与点D重合，点与点O重合，不存在为等腰三角形， ∴舍去， 综上所述，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $