第1章 集合与常用逻辑用语概念清单速记表（知识清单）数学人教B版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“集合与常用逻辑用语”核心内容，涵盖集合的概念、表示方法、基本关系、基本运算及常用逻辑用语中的命题、量词、充分必要条件等知识范畴，搭建了从基础概念到逻辑推理的递进式学习支架。 清单通过分类呈现概念、定义及相关概念建立知识关联，如“子集”关联“真子集、集合相等”培养数学思维，设计“子集个数公式”“德摩根律性质”等实用技巧，标注“空集是有限集”等易错点，帮助学生高效掌握知识，教师可借助其系统性辅助教学，提升课堂实效。

第1章 集合与常用逻辑用语清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1.1.1 集合及其表示方法 集合 把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。集合通常用英文大写字母 ，，，…表示。 元素、确定性、互异性、无序性 属于与不属于 如果 是集合 的元素，就记作 ，读作“属于”；如果 不是集合 的元素，就记作 ，读作“不属于”。 元素、集合的表示 空集 不含任何元素的集合称为空集，记作 。空集可以看成包含 0 个元素的集合，所以空集是有限集。 有限集、子集 集合元素的性质 集合的元素具有三个特点：确定性（元素必须确定，任何对象是否属于该集合应能明确判断）、互异性（集合中的元素一定是不同的，相同对象归入同一集合只能算作一个元素）、无序性（集合中的元素可以任意排列）。 集合、确定性、互异性、无序性 集合相等 给定两个集合 和 ，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作 。 子集、真子集 有限集与无限集 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。空集可以看成包含 0 个元素的集合，所以空集是有限集。 空集、集合 常见数集 所有非负整数组成的集合称为自然数集，记作 ；在自然数集中去掉元素 0 之后的集合称为正整数集，记作 ；所有整数组成的集合称为整数集，记作 ；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作 ；所有实数组成的集合称为实数集，记作 。 自然数、正整数、整数、有理数、实数 列举法 把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。用列举法表示集合时一般不考虑元素的顺序。 描述法、集合的表示 描述法 如果属于集合 的任意一个元素 都具有性质 ，而不属于集合 的元素都不具有这个性质，则性质 称为集合 的一个特征性质，此时集合 可用它的特征性质表示为 。这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称为描述法。 特征性质、列举法、集合的表示 区间 设 ，集合 可简写为闭区间 ，集合 可简写为开区间 ，集合 和 可简写为半开半闭区间 、。其中 ， 分别称为区间的左、右端点， 称为区间的长度。 开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间 无穷区间 实数集 可表示为区间 ；集合 可表示为 ， 可表示为 ， 可表示为 ， 可表示为 。其中 表示正无穷大， 表示负无穷大。 区间、正无穷大、负无穷大 1.1.2 集合的基本关系 子集 如果集合 的任意一个元素都是集合 的元素，那么集合 称为集合 的子集，记作 （或 ），读作“包含于”。任意集合 都是它自身的子集，即 ；子集关系具有传递性：如果 ，，则 。 真子集、集合相等、维恩图 真子集 如果集合 是集合 的子集，并且 中至少有一个元素不属于 ，那么集合 称为集合 的真子集，记作 。真子集关系具有传递性：如果 ，，则 。 子集、集合相等 空集与子集 因为空集不包含任何元素，所以规定：空集是任意一个集合 的子集，即 。 空集、子集 集合相等与子集的关系 由集合相等以及子集的定义可知：如果 且 ，则 ；反之，如果 ，则 且 。因此当 是 的子集时，要么 是 的真子集，要么 与 相等。 子集、真子集、集合相等 维恩图 用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，由此作出的示意图称为维恩图，可以用来形象地表示集合之间的关系与运算。 子集、交集、并集、补集 子集的个数 如果集合的元素个数为 ，则这个集合共有 个子集，其中真子集有 个。 子集、真子集、元素个数 1.1.3 集合的基本运算 交集 给定两个集合 ，，由既属于 又属于 的所有元素（即 和 的公共元素）组成的集合，称为 与 的交集，记作 ，读作“交”。“交”可以看成集合之间的一种运算，称为交集运算。 并集、补集、公共元素 交集运算的性质 对于任意两个集合 ，，都有 ，，；如果 ，则 ，反之也成立。 交集、并集、空集、子集 并集 给定两个集合 ，，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 ，读作“并”。由 ， 构造出 ，称为并集运算。注意：同时属于 和 的元素，在 中只出现一次。 交集、补集、元素 并集运算的性质 对于任意两个集合 ，，都有 ，，；如果 ，则 ，反之也成立。 并集、交集、空集、子集 全集 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用 表示。 补集、子集 补集 如果集合 是全集 的一个子集，则由 中不属于 的所有元素组成的集合，称为 在 中的补集，记作 ，读作“在中的补集”。由全集 及其子集 得到 ，称为补集运算。 全集、子集、维恩图 补集运算的性质 给定全集 及其任意一个子集 ，补集运算具有如下性质：，，。 补集、全集、交集、并集 德摩根律 设 ， 为全集 的子集，则 ，，即交集的补集等于补集的并集，并集的补集等于补集的交集。 补集、交集、并集、全集 1.2.1 命题与量词 命题 可供真假判断的陈述语句就是命题，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断。 真命题、假命题、全称量词命题、存在量词命题 全称量词与全称量词命题 “任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号 表示。含有全称量词的命题称为全称量词命题，即形如“对集合 中的所有元素 ，”的命题，可简记为 ，。 全称量词、存在量词、命题 存在量词与存在量词命题 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号 表示。含有存在量词的命题称为存在量词命题，即形如“存在集合 中的元素 ，”的命题，可简记为 ，。 存在量词、全称量词、命题 全称量词命题真假的判定 要判定全称量词命题 ， 是真命题，必须对限定集合 中的每个元素 验证 成立；要判定其是假命题，只需举出集合 中的一个元素 ，使 不成立即可（即“举出一个反例”）。 全称量词命题、举反例 存在量词命题真假的判定 要判定存在量词命题 ， 是真命题，只要在限定集合 中找到一个元素 ，使 成立即可（即“举例说明”）；要判定其是假命题，却需要说明集合 中的每个元素 都使 不成立。 存在量词命题、举例说明 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 命题的否定 对命题 加以否定，就得到一个新的命题，记作 ，读作“非”或“的否定”。如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然。 命题、真命题、假命题 全称量词命题的否定 全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”。 全称量词命题、存在量词命题、命题的否定 存在量词命题的否定 存在量词命题“，”的否定是全称量词命题“，”。 存在量词命题、全称量词命题、命题的否定 1.2.3 充分条件、必要条件 充分条件与必要条件 在“如果 ，那么 ”形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论。若“如果 ，那么 ”是真命题，则称由 可以推出 ，记作 ；否则称由 推不出 。当 时，称 是 的充分条件， 是 的必要条件；当 推不出 时，称 不是 的充分条件， 不是 的必要条件。 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件 充分不必要条件 如果 且 推不出 ，则称 是 的充分不必要条件。例如， 是 的充分不必要条件。 充分条件、必要条件、充要条件 必要不充分条件 如果 推不出 且 ，则称 是 的必要不充分条件。例如， 是 的必要不充分条件。 充分条件、必要条件、充要条件 充要条件 如果 且 ，则称 是 的充分必要条件（简称为充要条件），记作 ，此时读作“与等价”或“当且仅当”。 是 的充要条件时， 也是 的充要条件。还存在 既不是 的充分条件、也不是 的必要条件的情形。 充分条件、必要条件、等价、充分不必要条件、必要不充分条件 充分条件与必要条件的集合观点 设 ，。如果 ，则 ，因此 是 的充分条件， 是 的必要条件；如果 ，则 ，即 是 的充要条件。 子集、集合相等、充分条件、必要条件、充要条件 判定定理与性质定理 充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理有关：判定定理实际上是给出了一个充分条件，如“函数是正比例函数”是“函数是一次函数”的充分条件；性质定理实际上给出了一个必要条件，如“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形”的必要条件。 充分条件、必要条件、判定定理、性质定理 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $