第1章 集合与常用逻辑用语 章末整合-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

029 章末整合 知识结构理脉络 元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合及其表示 集合的分类：有限集、无限集 集合的表示：列举法、描述法、图示法和区间法 包含：子集、真子集 集 集合的基本关系 性质 相等 交集 并集 数轴、维恩图 集合的基本运算 补集 命题 全称量词 全称量词命题 命题与量词 量词 存在量词 存在量词命题 全称量词命题的否定 命题的真假判断 辑 全称量词命题与存在 量词命题的否定 语 存在量词命题的否定 充分条件 判定定理 充分条件、必要条件 必要条件 性质定理 充要条件 数学定义 要点梳理 晰精华 1.集合中元素的三个特性 对于一个给定的集合，集合中 特性 含义 示例 集合{x,x2 的元素一定是不同的（或者说 作为一个集合的元素，必须是 x中的x应满 是互异的)，这就是说，集合中 确定的，不能确定的对象就不 互异性 的任何两个元素都是不同的 足x≠x2-x, 集合A={1, 能构成集合，也就是说，给定 确定性 2,3},则1∈A, 对象，相同的对象归人同一集 即x≠0且龙 一个集合，任何一个对象是不 ≠2 4A 合时只能算集合的一个元素 是这个集合的元素也就确 定了 030 词；第二步，将结论加以否定.含有全称量词的命题的否 集合{1,0和 构成集合的元素间无先后顺 定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定 无序性 序之分 0,1}是同一 个集合 是含有全称量词的命题.如： ①“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在 2.集合描述法的两种形式 个正方形不是矩形”，其中，把全称量词“所有的”变 (1)符号描述法：用符号把元素的共同属性描述出为存在量词“至少存在一个”。 来，其一般形式为xlP(x)或xEllP(x)},其中x为 ②“存在一个实数x,使得|x|≤0”的否定为“对所 代表元素，I是x的取值集合，P(x)是集合中元素x的有的实数x,都有1x|>0”,其中，把存在量词“存在一 共同属性，竖线不可省略，如大于1且小于4的实数构个”变为全称量词“所有的”。 成的集合可以表示为x∈RI1<x<4}.在不会产生误 4.条件关系判定的常用结论 解的情况下，x的取值集合可以省略不写，如在实数集 条件p与结论g的关系 结论 R中取值，“∈R”常省略不写，于是上述集合可表示为 {xl1<x<4}. p→9，且g台p P是g的充分不必要条件 (2)文字描述法：用文字把元素的共同属性叙述出 9→p,且p台g P是q的必要不充分条件 来，并写在花括号内，如{参加平昌冬奥会的运动员}， 但花括号内不能出现“所有”“全体”“全部”等字样. p→q,且9→P,即p9 p是g的充要条件 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 p≠q,且9台p P是q的既不充分也不必要条件 对含有全称（存在）量词的命题进行否定需两步操 作：第一步，将全称（存在）量词改写成存在（全称）量 素养突破 提技能 ●专题一 集合的交集、并集、补集运算 1.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A=x∈NI1<x≤4}，B=x∈R1x2-3x +2=0. 归纳提升：集合的运 (1)用列举法表示集合A与B; 算主要包括交集、并 (2)求AnB及C(AUB). 集和补集运算.这也 是高考对集合部分的 主要考查点.有些题 目比较简单，直接根 据集合运算的定义可 得：有些题目与解不 等式或方程相结合， 需要先正确求解不等 式或方程，再进行集 合运算；还有的集合 问题比较抽象，解題 时需借助维恩图进行 数形分析或利用裁轴 等，采用数形结合思 想方法，可使问题直 P[归纳提升] 观化、形象化，进而 ●专题二集合关系与运算中的求参数问题 能使问题简洁、准确 2.已知集合A={xlx<-1或x≥1}，B={x2a<x≤a+1,a<1},BCA,则实数a 地获解。 的取值范围为 031 [归纳提升] 归纳提升：已知两集 合间的关系求参数 ●专题三充分条件与必要条件的判断与探求 时，关键是将两集合 例3已集合M=<-3或>5引，P=1a≤≤8 间的关系转化为元素 间的关系，进而转化 (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P={x5<x≤8}的充要条件； 为参裁满足的关系 (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P={xl5<x≤8}的一个充分但不必要 解决这类问题常常需 条件； 要合理利用裁轴、维 恩图帮助分析.同时 (3)求一个实数a的取值范围，使它成为M∩P={xI5<x≤8}的一个必要但不还要注意“空集”这 充分条件. 一“陷阱”，尤其是 集合中含有宇母参戴 思路探究：由M∩P={xI5<x≤8}，求得-3≤a≤5.(1)充要条件即-3≤a≤ 时，要分类讨论，讨 5.(2)寻找充分但不必要条件，a可取满足-3≤a≤5的任意一个值.(3)寻找论时要不重不漏. 必要但不充分条件，此时a的取值集合应真包含a|-3≤a≤5{， 归纳提升：已知条件 P,结论q对应的集合 分别为A,B.用集合 观点来理解充分、女 要条件，有如下三 类：一是两个集合相 等，那么P,q互为充 要条件：二是两个集 合有包含关系，若A 吴B,则p是q的必要 不充分条件，若A军 B,则p是q的充分不 必要条件；三是两个 集合没有包含关系， 那么p是g的既不充 [归纳提升] 分也不必要条件 ●专题四全称量词命题与存在量词命题 归纳提升：“一般命题 例41)下列语句不是全称量词命题的是 () 的否定”与“含有一个 A.任何一个实数乘以零都等于零 量词的命题的否定” 的区别与联系 B.自然数都是正整数 (1)一般命题的否定 C.高一(1)班绝大多数同学是团员 通常是在条件成立的 D.每一个实数都有大小 前提下否定其结论， 得到真假性完全相反 (2)命题p:“VxeR,x2>0”,则 () 的两个命题；含有一 A.p是假命题；7p:3x∈R,x2<0 个量词的命题的否 定，是在否定其结论 B.p是假命题；7p:3xeR,x2≤0 的同时，改变量词的 C.p是真命题；p:Hx∈R,x2<0 属性，即将全称量词 D.p是真命题；p:Hx∈R,x2≤0 玫为存在量词，存在 量词玫为全称量词. [归纳提升] (2)与一般命题的否 素养等级测评 定相同，含有一个量 词的命题的否定的关 请同学们认真完成考案（一） 键也是对关键词的否 定-m≤2或-m<2, l1+m>10,11+m≥10. ②当3a+1-2,即a=写时，4=⑦，不符合题意 解得m≥9， ③当3a+1<2,即a<兮时，A=x13a+1<x<2, 即实数m的取值范围是m≥9. B组素养提升 「a≤3a+1, 由ACB得 1a2+2≥2 1.A因为甲是乙的必要条件，所以乙→甲.又因为丙是乙的充 分条件，但不是乙的必要条件，所以丙→乙，但乙≠丙，如图. 解得≤a< 综上，有丙一甲，但甲≠丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲 综上所述，实数a的取值范围是 的必要条件.故选A 分 [(33,1] :C组创新拓展 充要条件是xy>0,证明如下： 丙 必要性：由<知号>0，又>y,则x-y>0,所以 2.A由22-a≥0，得a≤2x2, >0. 函数y=2x2在[1,2]上的最小值为2. 充分性：因为x>y,所以y-x<0. 若对Hxe[1,2],2x2-a≥0成立，则a≤2. 所以由a≤1，得a≤2成立，反之不成立， 因为xy>0,所以1>0， 则a≤1是“Hxe[1,2],2x2-a≥0”为真命题的一个充分不 必要条件； 所以'<0，即上<L xy < a≤2是“Vxe[1,2],2x2-a≥0”为真命题的一个充分必要 条件： 综上所述，对于非零实数x,,当x>y时，士<的充要条件 a≤3与a≤4是“Hxe[1,2],2x2-a≥0”为真命题的不充分 是xy>0. 条件，故选A 章末整合 3.ABD△≥0=方程ax2+bx+c=0有实根，A对： △=0→方程ax2+bx+c=0有实根，B对； 素养突破提技能 4>0→方程a2+bx+c=0有实根，但ax2+br+c=0有实根例1：(1)由题知，A=2,3,4,B=x∈R1(x-1)(x-2)=0 推不出△>0，C错； =1,2. △<0台方程ax2+bx+c=0无实根，D对，故选ABD. (2)由题知，A∩B=2},AUB=1,2,3,4}, 4.(-0,8)因为p:x<8,q:x<a,且q是p的充分而不必要条 所以C(AUB)=0,5,6}. 件，所以a<8. 例2：a<-2或7≤a<1 因为a<1,所以2a<a+1, 5.{ala≥3或a≤-3}因为x∈A是x∈B的充分不必要条件， 所以A至B, 所以B≠O. 又A={xla<x<a+2},B={xlx<-1或x>3. 画数轴如图所示， 因此a+2≤-1或a≥3， 所以实数a的取值范围是{ala≥3或a≤-3. 2aa+1-1012aa+1 6(1)当a=2时， 由BCA知，a+1<-1,或2a≥1. 1 4={2<}={2<<号} 即a<-2,或a≥2 CB={s或≥} 由已知a<1,所以a<-2,或号≤a<1, (GBn={✉≤<} 9 即所求a的取值范围是a<-2或≤a<1. (2)a2+2>a, 例3：(1)由MnP=xl5<x≤8}，得-3≤a≤5， .B=xla<x<a2+2}. 因此MnP={xl5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5， 即a的取值范围为a-3≤a≤5}. ①当3a+1>2,即a>写时，A=x2<x<3a+1. (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P=xl5<x≤8}的 9是p的必要条件，.A二B. 一个充分但不必要条件，就是在集合al-3≤a≤5}中取 「a≤2， l3a+1≤a2+ 2解得<a≤3,5 一个值，如取a=0,此时必有M∩P={xl5<x≤8}；反之， 2 MnP=xl5<x≤8}未必有a=0,故a=0是所求的一个 -172 充分但不必要条件.（答案不唯一） “■”.故选A。 (3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P=x5<x≤8} (2)等式的性质中两边同除以一个不为0的数，等式成立， 的一个必要但不充分条件，就是另求一个集合O,使{a1 应找不为0的式子，而A,B中字母都可取0，而D中a2+1 -3≤a≤5}是集合Q的一个真子集.易知当a≤5时，未必 >0,故D正确.故选D. 有M∩P={x15<x≤8}，但是M∩P={xI5<x≤8}时，必对点训练1：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成 有a≤5，故ala≤5}是所求的一个取值范围.（答案不唯一） 立a=0第一步的依据是等式的性质1.第二步得出错误 例4：(1)C(2)B(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以 的结论，其原因是a=0. 零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任：例2：(1)因为 意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题：C中命题可 改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，C不是全称量词 命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 1×2+1×1=3 是全称量词命题.故选C. 所以x2+3x+2=(x+1)(x+2). (2)由于0>0不成立，故“Hx∈R,x2>0”为假命题，根据 全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“Hx∈R,x2> (2)因为 0”的否定是“]x∈R,x2≤0”，故选B. 第二章等式与不等式 2×(-5)+3×1=-7 所以6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5). 2.1等式 (3)因为 2.1.1等式的性质与方程的解集 5-4y 必备知识探新知 1×(-4y)+5×(2y)=6y 知识点1：a+c=b+cac=bc 所以5x2+6y-8y2=(x+2y)(5x-4y). 对应练习 对点训练2：(1)因为 (1)×(2)×(3)×(4)V(1)中，由等式的性质1可 得a-c=b-c,而不是a-c=c-b,故(1)错误 (2)中，根据等式的性质2，只有当a≠0时，等式两边才能同 1×4+1×9=13 时除以a,从而得到a=b,故(2)错误. 所以x2+13x+36=(x+4)(x+9). (3)中，根据等式的性质2，只有当c≠0时，等式两边才能同时 (2)因为 除以，从而得到？=。，放(3)错误 (4)中，由分式的分母不为0可知c≠0，根据等式的性质2，等 式两边同时乘以c,可得a=b,故(4)正确. 1×(-5)+1×3=-2 知识点2：1.任意实数2.(1)a2+2ab+b2a2+b2+c2+ 所以x2-2x-15=(x-5)(x+3). 2ab+2bc+2ac(2)(a+b)(a-b)(3)(a-b)(a2+ab+b2) (3)因为 3.(1)(x+a)(x+b)C 对应练习 (1)×(2)×(3)×(1)(2a+5)(2a-5)=(2a)2-25 3×y+4×(-2y)=-5y =4a2-25. 所以12x2-5y-2y2=(3x-2y)(4x+y）. (2)x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4y). (3)若(x+2)(x-3)=0,可化为x+2=0或x-3=0. (4)(x2+x)2-8(x2+x)+12=(x2+x-6)(x2+x-2)= (x+3)(x-2)(x+2)(x-1). 知识点3： 对应练习 例3：1)2-之=分x+1,即宁+号=1，x=号，解集 1.-3}2.3x+y2 关键能力攻重难 为{} 例1：(1)A(2)D(1)设“●”“■”“▲”的质量分别为x,y,2, (2)x2+4x-5=0,(x+5)(x-1)=0,x1=-5,2=1. 由题图可知，2x=y+z①，x+y=z②，②两边都加上y,得x 解集为-5,1}. +2y=y+z③，由①③，得2x=x+2y,所以x=2y,代人②， (3)(x2-4x)2-2(x2-4x)-15=0, 得z=3y,因为x+z=2y+3y=5y,所以“？处应放5个 [(x2-4x)-5][(x2-4x)+3]=0, -173