第3章 函数概念清单速记表（知识清单）数学人教B版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了第3章函数内容，涵盖函数的概念及表示方法、单调性、奇偶性、函数与方程不等式的关系、函数应用及数学建模活动，搭建了从基础概念到性质分析再到实际应用的递进式学习支架。 清单采用“概念-定义-相关概念”三栏结构呈现知识体系，如“函数的三要素”明确定义域、值域、对应关系及核心地位，“单调性的充要条件”关联平均变化率与判定方法，培养数学思维。设计“分段函数应用实例”“数学建模步骤”等实用模块，如苹果最佳出售时间收益模型，帮助学生用数学语言解决实际问题，既便于学生自主系统复习，也为教师精准教学提供有力支持。

第3章 函数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 3.1.1 函数及其表示方法 函数的概念 一般地，给定两个非空实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与对应，则称为定义在集合上的一个函数，记作，，其中称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围（数集）称为函数的定义域。 定义域、值域、对应关系、自变量、因变量 函数的三要素 函数的定义域、值域与对应关系称为函数的三要素。定义域是自变量取值的范围，值域是所有函数值组成的集合，对应关系确定自变量与因变量的对应方式，其中对应关系是核心。 定义域、值域、对应关系 函数值 f(a) 如果自变量取值，则由对应关系确定的值称为函数在处的函数值，记作或。对应关系也可用其他小写英文字母如，等表示。 函数记号、自变量、对应关系 同一函数的判定 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的是同一个函数。 定义域、对应关系、函数值 定义域的约定与求法 表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时约定：函数的定义域就是使这个函数有意义的所有实数组成的集合。求定义域常用的依据：分式中分母不能为零；二次根式中的被开方数要大于或等于零。 定义域、分式、二次根式 解析法 用代数式（或解析式）来表示函数的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法，例如。 函数的表示方法、解析式 列表法 用列表的形式给出函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法。 函数的表示方法、对应关系 图象法 将函数，中的自变量和对应的函数值分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点组成的集合称为函数的图象；用函数的图象表示函数的方法称为图象法。作图时常先描出一些有代表性的点，再根据有关性质作图，称为描点作图法。 函数图象、描点作图法、平面直角坐标系 分段函数 如果一个函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数。 解析式、定义域 取整函数（高斯函数） 设为任意实数，是不超过的最大整数，这种对应关系是函数，称为取整函数，记作，其定义域是，值域是。该函数由高斯提出，也称高斯取整函数。 常数函数、定义域、值域 常数函数 值域只有一个元素的函数称为常数函数，即常数函数中所有自变量对应的函数值都相等，例如，，其图象是一条垂直于轴的直线。 值域、函数图象、取整函数 待定系数法求解析式 在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程组的知识，先设出含有待定系数的解析式，再利用已知条件列出方程（组）求出待定系数的值，这种方法称为待定系数法。 函数解析式、方程、二次函数 3.1.2 函数的单调性 增函数的定义 设函数的定义域为，且区间，如果对任意，当时，都有，则称在区间上是增函数（也称在区间上单调递增）。 减函数、单调性、单调区间 减函数的定义 设函数的定义域为，且区间，如果对任意，当时，都有，则称在区间上是减函数（也称在区间上单调递减）。 增函数、单调性、单调区间 单调性与单调区间 如果函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在区间上具有单调性，区间称为函数的单调区间，可分别称为单调递增区间或单调递减区间。 增函数、减函数、单调区间 单调性的证明方法 从解析式证明函数的单调性，可利用函数单调性的定义和不等式的证明方法：任取且，作差并判断其符号，或利用平均变化率的符号来判断。 作差法、不等式、平均变化率 函数的最大值与最小值 设函数的定义域为，且：如果对任意，都有，则称的最大值为，称为最大值点；如果对任意，都有，则称的最小值为，称为最小值点。最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。如果函数有最值且单调性容易求出，则可利用单调性求最值点和最值。 最大值点、最小值点、单调性 直线的斜率 给定平面直角坐标系中的任意两点，，当时，称为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在。若记，，则当时，斜率可记为。斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度。 平均变化率、单调性 函数的平均变化率 当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率。 直线斜率、变化率、单调性 单调性的充要条件（平均变化率判别法） 设区间是函数定义域的子集，则在区间上是增函数的充要条件是在区间上恒成立；在区间上是减函数的充要条件是在区间上恒成立。 平均变化率、增函数、减函数 一次函数的单调性 一次函数（）的单调性取决于的符号：当时，一次函数在上是增函数；当时，一次函数在上是减函数。一次函数图象上任意两点连线的斜率均为，且，即与成正比，比例系数为，因此一次函数也称线性函数。 线性函数、斜率、增函数、减函数 二次函数的单调性 二次函数（）的对称轴为：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数没有最大值但有最小值；当时，在上单调递增，在上单调递减，函数没有最小值但有最大值。 对称轴、抛物线、最值、单调区间 3.1.3 函数的奇偶性 偶函数的定义 设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为偶函数。 奇函数、奇偶性、图象对称性 奇函数的定义 设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为奇函数。 偶函数、奇偶性、图象对称性 奇偶函数的图象特征 偶函数的图象关于轴对称，且图象关于轴对称的函数一定是偶函数；奇函数的图象关于原点对称，且图象关于原点对称的函数一定是奇函数。如果一个函数是偶函数或奇函数，则称这个函数具有奇偶性。 偶函数、奇函数、对称性 具有奇偶性函数的定义域特征 如果函数具有奇偶性，则其定义域关于原点对称。若存在但，即函数的定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数（称为非奇非偶函数）。 定义域、奇函数、偶函数 奇函数的重要性质 f(0)=0 如果奇函数的定义域为且，则。 奇函数、函数值 奇偶性与单调性的关系 如果是偶函数，那么其在与时的单调性相反；如果是奇函数，那么其在与时的单调性相同。利用奇偶性，可由函数在其中一部分上的性质和图象得出它在另一部分上的性质和图象。 偶函数、奇函数、单调性 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 函数的零点 如果函数在实数处的函数值等于零，即，则称为函数的零点。是函数零点的充要条件是是函数图象与轴的公共点。求函数的零点，实质上就是要解方程。 方程的根、函数图象、x轴交点 函数值符号与定义域的划分 根据函数值的符号可以把函数的定义域分成三个两两不相交的集合：，，，且。据此可由函数图象写出方程的解集及不等式、等的解集。 零点、不等式解集、定义域 二次函数的零点与判别式的关系 对于二次函数（），判别式：当时，方程有两个不相等的实根，它们是的两个零点，图象与轴有两个公共点；当时，方程有一个实根，有唯一零点，图象与轴有一个公共点；当时，方程无实根，无零点，图象与轴没有公共点。借助二次函数的图象可以得到对应一元二次不等式的解集。 一元二次方程、一元二次不等式、判别式、抛物线 零点存在定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的，并且（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数在区间中至少有一个零点，即存在，使得。一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的，而反比例函数的图象不是连续不断的。 零点、连续函数、二分法 二分法求零点近似值 在零点存在定理的条件满足时，给定精确度，通过不断计算区间中点对应的函数值来缩小零点所在区间，从而得到零点的近似值（使），这种求函数零点近似值的方法称为二分法。 零点存在定理、零点、近似值 3.3 函数的应用(一) 分段函数在实际问题中的应用 现实生活中的阶梯水价、阶梯电价等问题，往往可以用分段函数来描述，即按自变量的不同取值范围建立不同的函数解析式，再结合函数值求实际问题（如应缴水费）。 分段函数、函数模型 利用函数模型解决实际问题 在解决实际问题时，先根据问题情境选择或建立适当的函数模型（一次函数、二次函数、分段函数等），再利用函数的性质（如单调性、最值、均值不等式等）求解，从而得到实际问题的答案，如求租金总收入最大、场地面积最大、平均成本最小等最值问题。 函数模型、最值、一次函数、二次函数 3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 数学建模的定义 对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题，就是数学建模。数学建模是连接数学和现实世界的桥梁。 数学模型、函数模型 数学建模的基本步骤 数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题。建模结果通常需整理成数学建模论文的形式。 数学建模、建立模型、计算求解、验证结果 决定苹果最佳出售时间的收益模型 设市面上苹果的量为万吨、单价为元，记，它是减函数；设保鲜存储时间为天、单位存储成本为元，记，它是增函数，且，则第天出售苹果时单位数量苹果所获收益为。对关于的函数求最大值，即可确定最佳出售时间点。 函数模型、最值、减函数、增函数、待定系数法 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $