专题07 函数、方程、不等式及函数的应用（4个考点梳理，11题型解读+提升训练）（期中知识清单）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题07 函数、方程、不等式及函数的应用 【清单01】函数的零点 1.函数零点的定义：使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2.三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点 3.拓广：（）1若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点． （2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 【清单02】二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根（函数零点）的个数 2 1 0 ax2＋bx＋c>0（a>0） 的解集 （-ꝏ，x1)∪(x2,+ꝏ) （-ꝏ，x0)∪(x0,+ꝏ) R （注：a<0的情况，类似可以给出） 2.拓广：穿根法（根轴法）解不等式： （1）整理不等式，一端化为因式积，且各因式中x系数为正； （2）求相应方程的根； （3）将上述根标在数轴上； （4）从最右边的根开始，自上而下穿过数轴，其它各根依次穿过（二重根穿而不过）； （5）位于数轴上方的曲线对应区间使不等式大于0，其它对应区间使不等式小于0成立. 类似如图所示： 【清单03】零点存在性定理及其近似值的求法 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 2.二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【清单4】常见函数模型 1.常见函数模型 （1）一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； （2）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （3）分式函数模型 （4）分段函数模型 （5）拓广：函数f (x)＝x＋(a>0)的性质及最值： (1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x>0时，x＝ 时取最小值2， 当x<0时，x＝－ 时取最大值－2. 2.函数应用问题解法 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 【考点题型一】求函数的零点 【例1】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A．30 B．14 C．12 D．6 【变式1-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的零点是（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课前预习）函数中，若，则的值为 ． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的零点是 . 【变式1-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点． (1)； (2)． 【考点题型二】函数零点所在区间的判断 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点是和2，判断函数的零点所在的大致区间． 【变式2-1】（23-24高一上·江西景德镇·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列区间中存在方程的根的是（　　） A． B． C． D． （23-24高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高一上·上海·课后作业）若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①若，则不存在实数使得； ②若，则有且只有一个实数使得； ③若，则可能存在实数使得； ④若，则可能不存在实数使得． 【考点题型三】函数零点个数的判断 【例3】（23-24高一下·全国·课后作业）若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少有 个. 【变式3-1】（22-23高一上·北京·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数，，，，设，则关于的方程的实根个数最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-3】（多选）（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A．0 B． C．3 D．1 【变式3-4】（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且时，. (1)求的解析式； (2)在给定坐标系中画出函数的图象，并讨论方程（为常数）根的个数（写出结果即可）. 【考点题型四】函数零点、方程的根与不等式的解 【例4】（23-24高一上·广东清远·期中）已知函数的两个零点为，且，则下列说法正确的序号为 . ①； ②不等式的解集为； ③； ④不等式的解集为. 【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【变式4-2】（2023·全国·高一课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【变式4-3】（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （为实数）在的范围内有解，则 的取值范围是 ．    【变式4-4】（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是 ． 【考点题型五】已知函数零点或方程根的个数，求参数取值范围 【例5】（2023高一·全国·课后作业）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ． 【变式5-1】（20-21高一上·广东佛山·期中）“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）函数仅有一个零点且该零点为负零点，则的取值范围是 . 【变式5-4】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【考点题型六】根据函数零点所在区间，求参数取值范围 【例6】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围； (2)若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围． 【变式6-1】（23-24高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）方程在区间和各有一个根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 【变式6-4】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知（）． (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有实数解，求a的范围． 【考点题型七】“二分法”与零点的近似解 【例7】（24-25高一上·上海·随堂练习）求方程的零点（精确到0.1）． 【变式7-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（    ） A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 【变式7-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1） 【变式7-4】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数零点的近似值 【考点题型八】函数零点相关综合问题 【例8】（23-24高一上·福建福州·期中）定义：对于定义域为D的函数，若，有，则称为的不动点．己知函数． (1)当时，求函数的不动点； (2)若，函数恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； (3)设且的两个不动点为，且，求实数b的最小值． 【变式8-1】（23-24高一上·福建南平·期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-2】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知二次函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【变式8-3】（23-24高一上·江西宜春·期中）已知关于的一元二次方程. (1)若方程两根之差的绝对值为，试求的值； (2)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围. 【变式8-4】（22-23高一上·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【考点题型九】用函数图象刻画变化过程 【例9】（23-24高一上·全国·课后作业）下图是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．    (1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系； (2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析． 【变式9-1】(2022·广东广州检测)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f (t)的图象大致是( 　) 【变式9-2】（23-24高一上·贵州安顺·期末）为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图（四个选项）所示，其中运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的选项是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式9-3】（2023高一上·上海·专题练习）如下图所示，向高为的水瓶 A，B，C，D 同时以等速注水，注满为止；若水深 与注水时间 的函数图象如图，则水瓶的形状是（    ）    A．    B．  C．   D．   【变式9-4】（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】已知函数模型解决实际问题 【例10】（23-24高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 【变式10-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入营运，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y（万元）与营运年数x的关系为，则下列判断正确的是（    ） A．车辆营运年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 【变式10-2】（23-24高一上·陕西·期中）某厂每年生产某种产品万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为10万元，浮动成本若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡. (1)设年利润为（万元），试求与的关系式; (2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大?并求出最大利润. 【变式10-3】（23-24高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【变式10-4】（22-23高一下·江西宜春·开学考试）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源耗损，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为万元，该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消费费用为万元，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和. (1)请写出的表达式； (2)隔热层多厚时，达到最小，并求出其最小值. 【考点题型十一】构建函数模型解决实际问题 【例11】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知长方形休闲区的面积为，人行道的宽分别为4m和10m. (1)设长方形休闲区的长，求长方形公园ABCD所占面积关于的函数的解析式； (2)要使长方形公园所占总面积最小，长方形休闲区的长和宽该如何设计? 【变式11-1】（多选）（22-23高一上·河北保定·期末）在大草原放牧的老杨要建个羊圈，羊圈既需要四周都用铁丝网围成长方形又要达到平均每一头羊占地不小于6平方米．他买了100m固定高为2m的铁丝网，建造羊圈时铁丝网高度2m不能改变，请问老杨养的羊数可为（    ） A．80 B．90 C．100 D．140 【变式11-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，把边长为1的正方形沿轴正方向平移，设平移的起点为边与轴重合之处且，把此正方形与图中的三角形的公共部分的面积表示为的函数. 【变式11-3】（24-25高一上·辽宁·开学考试）如图，在矩形中，，.动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为. (1)当点P与点B重合时，x的值为______. (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. (3)当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度. 【变式11-4】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为. (1)试用表示，并求的取值范围； (2)用表示广告牌的面积； (3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数、方程、不等式及函数的应用 【清单01】函数的零点 1.函数零点的定义：使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点． 2.三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点 3.拓广：（）1若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点． （2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 【清单02】二次函数的零点与其对应方程、不等式解集之间的关系 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的关系 函数图象 判别式符号 (设判别式 Δ＝b2－4ac) Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 与x轴交 点个数 2 1 0 方程的根（函数零点）的个数 2 1 0 ax2＋bx＋c>0（a>0） 的解集 （-ꝏ，x1)∪(x2,+ꝏ) （-ꝏ，x0)∪(x0,+ꝏ) R （注：a<0的情况，类似可以给出） 2.拓广：穿根法（根轴法）解不等式： （1）整理不等式，一端化为因式积，且各因式中x系数为正； （2）求相应方程的根； （3）将上述根标在数轴上； （4）从最右边的根开始，自上而下穿过数轴，其它各根依次穿过（二重根穿而不过）； （5）位于数轴上方的曲线对应区间使不等式大于0，其它对应区间使不等式小于0成立. 类似如图所示： 【清单03】零点存在性定理及其近似值的求法 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解． 2.二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【清单4】常见函数模型 1.常见函数模型 （1）一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； （2）二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （3）分式函数模型 （4）分段函数模型 （5）拓广：函数f (x)＝x＋(a>0)的性质及最值： (1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x>0时，x＝ 时取最小值2， 当x<0时，x＝－ 时取最大值－2. 2.函数应用问题解法 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 【考点题型一】求函数的零点 【例1】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A．30 B．14 C．12 D．6 【答案】A 【知识点】求零点的和、函数对称性的应用、函数周期性的应用 【分析】先根据题干求出函数的最小正周期，在画出函数的大致图像即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以，且又因为， 所以即且函数关于对称， 令得，所以，即函数的最小正周期， 再由函数在上单调递减，方程在有实根可知方程在有且仅有一个实根，函数的大致图像如图所示：    由图可知函数与在区间有个交点，且两两对称 所以. 故选：A 【变式1-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数的零点是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数的零点 【分析】解方程求出的解，即可求得函数的零点. 【详解】令， 即函数的零点是， 故选：C 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课前预习）函数中，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】已知函数值，代入求解即可. 【详解】即，即，则. 故答案为： 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）函数的零点是 . 【答案】 【知识点】求函数的零点 【分析】令解得，从而即为的零点. 【详解】由题意可知的定义域为， 令，可得，解得（舍去）或，所以. 故答案为：. 【变式1-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的零点． (1)； (2)． 【答案】(1)和2． (2)答案见解析． 【知识点】求函数的零点 【分析】（1）解一元二次方程求零点即可； （2）分类讨论函数的零点即可. 【详解】（1）由得， ∴或． 所以函数 的零点为和2． （2）①当时，，由得， 所以函数的零点为． ②当时，由得， 当，即时，相应的方程无实数根，函数无零点； 当，即时，，函数有唯一的零点． 当，即且时， 由得或， 函数有两个零点和． 综上，当时，函数的零点为； 当时，函数无零点； 当时，函数的零点为； 当且时，函数有两个零点和． 【考点题型二】函数零点所在区间的判断 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点是和2，判断函数的零点所在的大致区间． 【答案】 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据给定条件，求出，再探讨函数的单调性，结合零点存在性定理即可得解. 【详解】由和2是函数的零点，得和2是方程的两个实根， 则，解得，于是，函数在R上是单调递减， 而，因此函数在内有零点， 所以函数的零点所在的大致区间为. 【变式2-1】（23-24高一上·江西景德镇·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据函数零点存在性定理即可求解. 【详解】由题可知，为增函数，再由， 所以，根据零点存在定理知，零点在范围内． 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列区间中存在方程的根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在定理即可求解. 【详解】因为当时， 当时，根据零点存在定理可得存在方程的根. 故选：B （23-24高一上·陕西商洛·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断零点所在的区间、零点存在性定理的应用 【分析】直接得到函数的单调性，计算出，并结合零点存在性定理得到答案. 【详解】因为函数与在上单调递增，所以在上单调递增． 又因为，，所以， 根据零点存在定理，得的零点所在区间为． 故选：B 【变式2-3】（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】由所给的函数值表知， 由零点存在定理可知：在区间内各至少有一个零点， 故选：BCD. 【变式2-4】（24-25高一上·上海·课后作业）若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的有 ．（填序号） ①若，则不存在实数使得； ②若，则有且只有一个实数使得； ③若，则可能存在实数使得； ④若，则可能不存在实数使得． 【答案】③ 【知识点】零点存在性定理的应用 【分析】由零点存在定理逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于①③，若，则在上，满足： ，故①错③对； 对于④，若，则由零点存在定理可知，一定存在实数使得，故④错误； 对于②，若，且在上不单调，则可能有多个零点， 事实上，我们可以举出如下反例： 若，则在上，满足： ，故②错误. 故答案为：③. 【考点题型三】函数零点个数的判断 【例3】（23-24高一下·全国·课后作业）若定义域为的奇函数满足，则在上的零点个数至少有 个. 【答案】7 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、求函数零点或方程根的个数 【分析】运用奇函数性质，结合周期函数性质，赋值即可求解. 【详解】由是定义域为的奇函数可得， 再由可得函数周期为1， 所以， 所以 ， 因为为奇函数，所以， 所以，故， 所以，，， 所以在上的零点个数至少为7． 故答案为：7． 【变式3-1】（22-23高一上·北京·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】分解因式求解方程的根即可. 【详解】函数的零点，即方程的实数根. 由解得，或. 故函数的零点个数是. 故选：D 【变式3-2】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数，，，，设，则关于的方程的实根个数最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据题意写出函数的解析式并画出图象，利用换元法设，解关于的方程；然后根据方程根的个数转化为函数图象交点的个数，结合图象确定实根的个数. 【详解】由题意可知，，图象如图所示： 设，由得，解得或， 即或， 当时，由图可知有两个实根， 当时， 当时，没有实根，当时，有一个实根，当时，有两个实根， 综上，有两个实根或三个实根或四个实根， 所以实根个数的最小值为2. 故选：. 【变式3-3】（多选）（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A．0 B． C．3 D．1 【答案】BC 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用、分段函数的性质及应用 【分析】把问题转化为有四个根，即和有四个交点，再分讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出的取值范围. 【详解】因为函数恰有4个零点， 所以有四个根， 即和有四个交点. 当时，与图像如下： 两图像有2个交点，不符合题意； 当时，与x轴交于两点. 图像如下： 当时，函数的函数值为，函数的函数值为. 两图像有4个交点，符合题意； 当时，与轴交于两点， 在内函数图像有两个交点. 要使两图像有4个交点，只需与在内有两个交点即可， 即在还有两个根， 就是在内有两个根， 函数（当且仅当时等号成立）. 所以且， 解得：. 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 所以A，D不符合，B，C符合. 故选:BC 【变式3-4】（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且时，. (1)求的解析式； (2)在给定坐标系中画出函数的图象，并讨论方程（为常数）根的个数（写出结果即可）. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意利用函数的奇偶性求函数在上的解析式，结合奇函数的性质可得函数的解析式. （2）根据函数的解析式，画出函数的图象；数形结合即可写出方程（为常数）根的个数的情况. 【详解】（1）函数是定义域为的奇函数 ， 当时， 当时，有 ，则 （2）函数的图象如图所示： 方程（为常数）根的个数即为函数与的图象交点的个数. 由图象可得：当或时，方程（为常数）根的个数为1个； 当或时，方程（为常数）根的个数为2个； 当时，方程（为常数）根的个数为3个. 【考点题型四】函数零点、方程的根与不等式的解 【例4】（23-24高一上·广东清远·期中）已知函数的两个零点为，且，则下列说法正确的序号为 . ①； ②不等式的解集为； ③； ④不等式的解集为. 【答案】②③④ 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据零点求函数解析式中的参数、二次函数的图象分析与判断 【分析】根据题意得到和是的两根，得到，再由，得到，结合二次函数的性质和不等式的解法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得，和是方程的两根， 可得，解得， 对于①中，因为，结合二次函数的性质，可得，所以①错误； 对于②中，由不等式，即为，解得，所以②正确； 对于③中，由，所以③正确； 对于④中，由不等式，可得化为，解得，所以④正确. 故答案为：②③④. 【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期中）若不等式的解集为，则函数的零点为（    ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【答案】D 【知识点】求函数的零点、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解，然后根据零点的定义求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和2，且， 则，解得， 故函数， 则与轴的交点坐标为和，所以零点为和. 故选：D. 【变式4-2】（2023·全国·高一课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】A 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 【变式4-3】（22-23高一上·湖北咸宁·自主招生）二次函数 的图象如图，对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （为实数）在的范围内有解，则 的取值范围是 ．    【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、函数 【分析】根据对称轴求出的值，从而得到时的函数值，再根据一元二次方程（为实数）在的范围内有解相当于与在内有交点，依此求解即可得出结论. 【详解】∵对称轴为直线， ∴， ∴二次函数解析式为. 当时，；当时，；当时，. 因为方程的根为图象与直线的交点的横坐标， ∴当时，在的范围内有解. 故答案为：. 【变式4-4】（23-24高一上·福建莆田·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】先求解出、、、时的解析式，然后作出与的图象，根据图象的交点横坐标确定出符合条件的的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 且， 作出的大致图象如下图所示： 由图象可知：若，对于任意都有显然不成立，所以， 由图象可知，当时，令，则有，解得或， 结合图象可知，若对于任意都有成立，则有， 故答案为：. 【考点题型五】已知函数零点或方程根的个数，求参数取值范围 【例5】（2023高一·全国·课后作业）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析函数的性质，作出图象，数形结合即可求解作答. 【详解】当时，函数是增函数，函数值集合是， 当时，是减函数，函数值集合是， 关于的方程有两个不同的实根， 即函数的图象与直线有两个交点， 在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，    观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点， 即方程有两个不同的实根， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-1】（20-21高一上·广东佛山·期中）“”是“方程只有一个解”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】利用充分性，必要性的定义判定即可. 【详解】若，则方程为， 即，则其只有一个解； 若方程只有一个解，则或，所以或， 所以“”是“方程只有一个解”的充分不必要条件. 故选：B 【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】法一：转化成一元二次方程在上有两个不同的解的问题；法二：分离参数，转化成两个函数图像在上有两个交点的问题. 【详解】法一：因为，且有两个零点， 所以方程在上有两个不同的解， 所以解得． 法二：由得， 因为有两个零点，所以直线与函数的图像有两个交点． 函数的图像如图，由图可知． 故选：D． 【变式5-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）函数仅有一个零点且该零点为负零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、判断零点所在的区间 【分析】利用数形结合思想来求函数的零点问题. 【详解】在平面直角坐标系中作出函数和的图像如图， 结合图像可以看出：当时，两函数的图像只有一个轴左侧的交点， 即函数仅有一个负零点. 故答案为：. 【变式5-4】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意问题转化为方程有4个不相等的实数根，作出函数与函数的图象，数形结合可得解. 【详解】原方程等价于，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示： 可得当时，两图象有4个不同的公共点，即方程有4个不相等的实数根， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【考点题型六】根据函数零点所在区间，求参数取值范围 【例6】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围； (2)若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）由函数零点个数，结合二次函数性质列不等式组求参数范围； （2）由题意易知，法一：讨论函数开口方向列不等式组求参数范围；法二：根据的零点和的零点的等价性，列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由题意，可得，则或. （2）由的两个零点一个在内，另一个在内，故， 法一：当的图象开口向上时，，所以， 解得. 当的图象开口向下时，，所以，解得； 综上，的取值范围为. 法二：的零点和的零点相同，则， 所以，解得. 综上，的取值范围为. 【变式6-1】（23-24高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故选：B． 【变式6-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）方程在区间和各有一个根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围. 【详解】因为一元二次方程在区间和各有一个根， 令，则由题意可得，即，解得， 则方程在区间和各有一个根的充要条件是. 故选：B. 【变式6-3】（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据零点所在的区间求参数范围、零点存在性定理的应用 【分析】分类讨论和两种情况，再利用判别式和零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，，令得，符合题意； 当时，是二次函数，对于方程， 只需，即，解得，且， 当时，，此时，得或，符合题意， 当时，，此时，得或，符合题意， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式6-4】（23-24高一上·山东青岛·期中）已知（）． (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有实数解，求a的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）将代入得，再代入不等式移项通分，进而解分式不等式得到答案. （2）由题意得，令，进而利用单调性和不等式的性质求的值域，于是得到a的范围. 【详解】（1）当时，. 代入原不等式：，即， 移项通分，解得. ∴原不等式的解集为 （2）由于在上有解， 所以， 即求在值域， 由于在单调递增，所以， 于是，即. 所以． 【考点题型七】“二分法”与零点的近似解 【例7】（24-25高一上·上海·随堂练习）求方程的零点（精确到0.1）． 【答案】2.1 【知识点】二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间 【分析】令，设函数的零点为，因为，，所以，再由精确度为0.1时，利用二分法确定. 【详解】令，设函数的零点为， 因为，，所以， 由二分法得到下表， 中点 所在区间 2.5 2.25 2.125 2.1875 2.15625 2.140625 2.1484375 因为在精确度为0.1时，，， 所以在精确度为0.1时， ． 【变式7-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）用二分法求函数的零点可以取的初始区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】根据所取的初始区间的端点值对应的函数值异号进行逐项判断即可. 【详解】因为，且在定义域上递增， 所以，函数在上有零点. 故可以取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（    ） A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程、二分法求函数零点的过程、判断零点所在的区间 【分析】利用二分法可得出结果. 【详解】已知，则函数的零点的初始区间为， 又因为，且， 所以零点在区间上， 又， 所以所求近似值可以为. 故选：C. 【变式7-3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数在区间上有且仅有一个零点，用二分法求该零点的近似值.（结果精确到0.1） 【答案】 【知识点】二分法求函数零点的过程 【分析】结合零点存在性定理，用二分法逐次计算，直到满足题意的区间即可求解零点近似值. 【详解】令函数，， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 又，，则在内存在零点， 由于，故函数的零点区间为， 因为，，又，且零点结果精确到0.1. 所以在区间内的零点近似为. 【变式7-4】（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数零点的近似值 【答案】1.4375（答案不唯一，符合题意即可） 【知识点】二分法求方程近似解的过程、二分法求函数零点的过程 【分析】根据题意结合二分法即可求解. 【详解】由于函数为单调递增函数，且，， 因此可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下： 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 1.5 0.375 1.25 1.375 1.4375 当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精确，显然，这可能是一个无休止的过程， 实际上，如果我们一开始给一个误差范围的话，只要满足了给出的误差范围，我们就可以停止计算， 比如，该问题中，我们给出误差不超过0.1． 由于，所以原函数的一个正实数零点可取为1.4375． 【考点题型八】函数零点相关综合问题 【例8】（23-24高一上·福建福州·期中）定义：对于定义域为D的函数，若，有，则称为的不动点．己知函数． (1)当时，求函数的不动点； (2)若，函数恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围； (3)设且的两个不动点为，且，求实数b的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用不动点的定义，得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用一元二次方程有两个不等实根列式，结合一元二次不等式恒成立即可得解； （3）利用定义结合韦达定理得到关于的表达式，再利用均值不等式即可得解. 【详解】（1）当时，， 令，即，解得或， 所以的不动点为或. （2）令，即，则，， 于是得方程有两个不等实根， 即，则， 由题意知，，不等式恒成立， 所以，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（2）知，当时，，， 又，于是得，则， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以实数的最小值为. 【变式8-1】（23-24高一上·福建南平·期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、求零点的和 【分析】根据的定义域为，且是奇函数，得到的图象关于对称，且，再根据的图象也关于对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数， 所以，则的图象关于对称，且， 当时，， 又因为函数， 所以的图象关于对称， 所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和， 和的图象，如图所示：    由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称， 所以5个交点的横坐标之和为， 故选：C 【变式8-2】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知二次函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据题意，转化为方程与直线的图象有3个不同的交点，画出函数的图象，结合图象和二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解. 【详解】由方程有三个不同的实数根， 等价于方程与直线的图象有3个不同的交点， 当时，显然不符合题意，所以， 令， 直线过定点且斜率为 （1）当时，如图所示，要使得与有3个交点， 则满足，即， 由，整理得， 因为直线与抛物线相交，所以，解得， 所以； （2）当时，如图所示，要使得与有3个交点， 则满足，即， 由，整理得， 因为直线与抛物线相交，所以，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围为, 故答案为：. 【变式8-3】（23-24高一上·江西宜春·期中）已知关于的一元二次方程. (1)若方程两根之差的绝对值为，试求的值； (2)若方程两不等实根都小于5，试求的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、二次函数的图象分析与判断 【分析】（1）利用根与系数关系，将方程两根之差的绝对值用含m的代数式表示出来，再列方程解出m即可. （2）将方程转化为二次函数，利用二次函数的图形与性质，根据限制条件列不等式组即可求解. 【详解】（1）若方程两根为，，则，且，， 所以，即， 所以或，经检验满足，故或. （2）令，若方程两不等实根都小于5，则，可得或. 【变式8-4】（22-23高一上·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）将，恒成立，转化为，恒成立求解. （2）由，分，，，， 讨论求解. （3）由时，得到，令，将问题转化为存在，有两个不等正根求解. 【详解】（1）因为，恒成立， 所以，恒成立； 时，恒成立，满足题意； 时，只需，，即； 综上，实数的取值范围是； （2）即， 当时，即，解得：，所以不等式的解集为：； 当时，即，，不等式的解集为：； 当时，即， 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为. 综上：当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）时，令， 则存在，有四个不等实根， 即有四个不等实根， 令，时一个对应两个；时一个对应一个；时无与之对应； 则存在，有两个不等正根， 则，存在，， 即存在，， 即，且存在，， 时，时最大值为， 则， 由可得， 所以实数的取值范围是. 【考点题型九】用函数图象刻画变化过程 【例9】（23-24高一上·全国·课后作业）下图是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．    (1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系； (2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）以测试序号为横坐标，成绩为纵坐标描点即可的函数图象； （2）根据各人成绩与平均成绩比较分析即可. 【详解】（1）不宜用解析法表示，用图象法表示为宜． 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：    （2）王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀． 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大． 赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高． 【变式9-1】(2022·广东广州检测)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f (t)的图象大致是( 　) 【答案】　B 【解析】水位由高变低，排除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B． 【变式9-2】（23-24高一上·贵州安顺·期末）为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图（四个选项）所示，其中运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的选项是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意可得运输效率逐步提高则函数增长逐渐加快判断即可. 【详解】由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足. 故选：B 【变式9-3】（2023高一上·上海·专题练习）如下图所示，向高为的水瓶 A，B，C，D 同时以等速注水，注满为止；若水深 与注水时间 的函数图象如图，则水瓶的形状是（    ）    A．    B．  C．   D．   【答案】D 【分析】依据水瓶的形状来决定水面的高度上升的速率，由此得出结论． 【详解】A中的水瓶水面上升的速率越来越慢，不符合题意； B中的水瓶水面上升的速率越来越快，不符合题意； C中的水瓶的水面上升是均匀的，图象是一条直线，不符合题意； D中的水瓶的水面上升的速率先变慢再变快，和给出的图象相符， 故选：D． 【变式9-4】（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断. 【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误； 对于A：由等边三角形可知：线段的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误； 对于D：由圆可知：线段的长度不会是线性变化，故D错误； 对于C：由正方形可知：线段的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确； 故选：B. 【考点题型十】已知函数模型解决实际问题 【例10】（23-24高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)年产量为吨时，最低平均成本为万元 (2)年产量为吨时，最大利润为万元 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意写出生产每吨产品的平均成本的解析式，由基本不等式求解可得； （2）写出利润的解析式，由二次函数最值可求. 【详解】（1）由题意可得，， 因为， 当且仅当时，即时等号成立，符合题意. 所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元． （2）设利润为，则， 又， 当时，． 所以当年产量为吨时，最大利润为万元． 【变式10-1】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入营运，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y（万元）与营运年数x的关系为，则下列判断正确的是（    ） A．车辆营运年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 【答案】BC 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】由题可知二次函数开口向下，对称轴为6，根据二次函数的图象和性质可以判断；平均收入为，利用基本不等式即可求最大值，由此判断C. 【详解】由题意，，是开口向下的二次函数，故A错误； 对称轴，故B正确； 平均收入， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 当x＝1时，y＝－14，故D错误． 故选：BC 【变式10-2】（23-24高一上·陕西·期中）某厂每年生产某种产品万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为10万元，浮动成本若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡. (1)设年利润为（万元），试求与的关系式; (2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为90万元. 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用 【分析】（1）依题意得，即可得到分段函数； （2）分别求分段函数每一段的最大值即可求解． 【详解】（1） （2）当时，， 当时，， 故当时，取得最大值90. 当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为90万元. 【变式10-3】（23-24高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)第18天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元； (3) 【知识点】待定系数法、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得； （3）根据前20天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数的性质和即可. 【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数， 设一次函数为，把和代入， 解得， ∴； 把代入检验，，符合题意， ∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为； （2）设销售利润为W元， ①当时，， ∴当时，W有最大值450， ②当时，， ∴当时，W随x增大而减小， ∴时，， ∵， ∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元； （3）由题意知 二次函数开口向下，对称轴是， 要使日销售利润随时间x的增大而增大，则， ∴， 又， ∴． 【变式10-4】（22-23高一下·江西宜春·开学考试）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源耗损，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为万元，该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消费费用为万元，设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和. (1)请写出的表达式； (2)隔热层多厚时，达到最小，并求出其最小值. 【答案】(1) (2)当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元． 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出的解析式； （2）利用基本不等式得出的最小值及对应的x的值. 【详解】（1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为. 再由，得，因此. 而建造费用为 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 （2）， 当，即时取等号， 所以当隔热层厚度为时总费用最小万元. 【考点题型十一】构建函数模型解决实际问题 【例11】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）如图所示，某房地产开发公司计划在一楼区内建一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成.已知长方形休闲区的面积为，人行道的宽分别为4m和10m. (1)设长方形休闲区的长，求长方形公园ABCD所占面积关于的函数的解析式； (2)要使长方形公园所占总面积最小，长方形休闲区的长和宽该如何设计? 【答案】(1) (2)长为100米，宽为40米 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由题意列式求解； （2）由（1）结合基本不等式求解. 【详解】（1）由m，得m， 故（） （2）由（） 当且仅当即时等号成立， 故长方形休闲区的长为100米，宽为40米时，长方形公园所占总面积最小. 【变式11-1】（多选）（22-23高一上·河北保定·期末）在大草原放牧的老杨要建个羊圈，羊圈既需要四周都用铁丝网围成长方形又要达到平均每一头羊占地不小于6平方米．他买了100m固定高为2m的铁丝网，建造羊圈时铁丝网高度2m不能改变，请问老杨养的羊数可为（    ） A．80 B．90 C．100 D．140 【答案】ABC 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】设长方形的一边长为m，则另一边长为()m,求出长方形面积的最大值即可得答案. 【详解】解：设长方形的一边长为m，则另一边长为()m, 则长方形的面积， 所以当时，取最大值为. 所以可养羊的只数，又， 所以. 故选：ABC. 【变式11-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，把边长为1的正方形沿轴正方向平移，设平移的起点为边与轴重合之处且，把此正方形与图中的三角形的公共部分的面积表示为的函数. 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数模型的应用 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式，进而得到函数的解析式. 【详解】根据题意，设平移的起点为边与轴重合之处且， 当时，可得； 当时，如图所示，因为，可得， 在等腰直角和中，可得， 又由，且， 所以 ； 当时，可得； 当时，可得， 所以公共部分的面积表示为的函数. 【变式11-3】（24-25高一上·辽宁·开学考试）如图，在矩形中，，.动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为. (1)当点P与点B重合时，x的值为______. (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. (3)当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度. 【答案】(1)1 (2) (3)， 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】（1）当点与点重合时，即，再计算出的值即可； （2）分类讨论：当时，当时和当时，分别画出图形，再根据三角形面积公式计算即可，注意当时利用矩形面积减去三个小三角形面积计算； （3）由题意可知当点在上运动或点在上运动时长度一定发生变化，即讨论 即可，此时点在上运动，点在上运动，过点作于.根据矩形的性质结合勾股定理求解即可. 【详解】（1）当点P与点B重合时，，且点P速度为， 所以点P的运动时间. （2）分类讨论：当时，如图， 所以， 所以； 当时，如图， ∴，的高即为长， ∴； 当时，如图， 所以，，， ∴. 综上可知：. （3）由题意可知当点在上运动或点在上运动时长度一定发生变化， 所以讨论 即可，此时点在上运动，点在上运动，如图， 过点作于. 所以，，， 所以，， 所以当长度不变时，，且. 【变式11-4】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为. (1)试用表示，并求的取值范围； (2)用表示广告牌的面积； (3)广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？ 【答案】(1) (2) (3)140cm 【知识点】分式型函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）运用面积之和得到等式，再写成函数表达式即可； （2）矩形面积公式写函数表达式； （3）运用换元，结合基本不等式解题即可. 【详解】（1）每栏的高和宽分别为，其中两栏面积之和为：， 整理得，. （2）； （3）令， 则； 当时，取最小值为24500，此时； 答：当广告牌的高取140cm时，可使广告的面积S最小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$