高中数学单元测试——第三章函数（较易版01）

**基本信息** 高中数学第三章函数单元复习较易版测试，覆盖函数定义、定义域、奇偶性等基础知识点，通过基础巩固与能力梯度设计，适配单元复习检测，培养数学抽象与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定义、定义域、奇偶性|基础概念辨析，强化数学抽象| |多选题|3/18|函数图像、最值、周期性|多选项设计，考查推理严谨性| |填空题|3/15|值域、零点近似解|结合数据表格，培养数据意识| |解答题|5/67|零点证明、实际应用（注意力指数）、单调性、“优美区间”|情境化问题（如注意力模型），体现模型意识与创新探究|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 5．（本题5分）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 6．（本题5分）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知，函数的最小值为，则满足条件的a的值是（   ） A． B． C． D． 11．（本题6分）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则的值域为______． 13．（本题5分）下列是函数在区间上一些点的函数值． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程的一个近似解为___________（精确度0.1）． 14．（本题5分）已知函数为奇函数，，若函数与图象的交点为，，，则________． 四、解答题 15．（本题13分）设函数. (1)证明：在区间（-1,0）内有一个零点； (2)借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1） 16．（本题15分）注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. (1)求关于的解析式； (2)如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 17．（本题15分）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求关于x的不等式的解集. 19．（本题17分）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直接代入，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：C. 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域. 【详解】由题可知且，所以函数的定义域为． 故选：D． 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，函数的定义域、值域均为R，A不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为R，B不是同一函数； 对于C，函数与的定义域均为，且，C是同一函数； 对于D，函数的定义域、值域均为R，的定义域为R，值域为，D不是同一函数. 故选：C 4．（本题5分）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 【答案】D 【分析】分析函数的性质，再根据给定等式求出，代入求出函数值. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递增， 由，知，因此，解得， 所以. 故选：D 5．（本题5分）若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以，所以，所以， 所以，故. 故选：D 6．（本题5分）函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 7．（本题5分）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 8．（本题5分）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 二、多选题 9．（本题6分）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数定义，结合函数图象的性质逐一判断即可. 【详解】由函数的定义可知，只有选项C中，当时，有二个函数值与对应，不符合函数定义， 故选：ABD 10．（本题6分）已知，函数的最小值为，则满足条件的a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分三种情况讨论，化简函数的解析式，分析函数的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】分以下三种情况讨论： ①若时，即当时，， 所以，函数在上单调递减，且， 当时，，所以，解得； ②若时，即当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以，整理可得， 因为，解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以， 整理可得，，解得或（舍去）． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：AD． 11．（本题6分）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（     ） A． B． C．是周期为的周期函数 D． 【答案】CD 【分析】先根据题意推导出是周期为的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周期性依次计算选项A，B，D即可. 【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且， 因为，代入 得，整理得， 即知，故是周期为的周期函数，C正确； 选项A，B，，由是周期为的周期函数可知，， 同理，故A，B都错误； 选项D，因为，，，， 所以一个周期内， 所以，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，则的值域为______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求值域. 【详解】因为的对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以的值域为， 故答案为: . 13．（本题5分）下列是函数在区间上一些点的函数值． x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程的一个近似解为___________（精确度0.1）． 【答案】1.4 【分析】本题是通过列表法给出部分函数值，进一步利用零点存在定理判断方程的解所在区间并求方程的符合条件的近似解. 【详解】，且，且题目要求精确度为。 的一个近似解为． 故答案为：． 14．（本题5分）已知函数为奇函数，，若函数与图象的交点为，，，则________． 【答案】 【分析】根据函数的对称性直接计算. 【详解】由已知函数为奇函数， 则函数关于点中心对称， 又当时，，， 所以此时， 即函数关于点中心对称， 所以两函数的交点也关于点中心对称， 即，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）设函数. (1)证明：在区间（-1,0）内有一个零点； (2)借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1） 【答案】(1)令， 则， 令， 在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：    因为，即， 所以在区间（-1,0）内有零点， 再由图象知在区间（-1,0）内有一个零点. (2) 【分析】（1）令，转化为函数的交点问题，利用数形结合法证明； （2）利用函数零点存在定理，根据（1）的建立求解. 【详解】（1）略 （2）由； 由； 由； 由， 所以. 16．（本题15分）注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.针对不同年龄阶段、一天的不同时段、不同性别、不同地区的人群，科学界有很多种不同的算法模型.有一种算法模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大，集中程度越高，越有利于学习.数据显示在上午第三节40分钟的课中，高中学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响.开始上课时学生的注意力集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过实验分析，得出学生的注意力集中指数与时间（分钟）的关系为：当时，是的一次函数，其中1分钟时注意力集中指数为70，5分钟时注意力集中指数为78；当时，是的二次函数，其中20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. (1)求关于的解析式； (2)如果学生的注意力集中程度不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）（参考数据：） 【答案】(1) (2)分钟 【分析】（1）利用待定系数法来求得关于的解析式； （2）根据已知条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）当时，设， 依题意解得，所以， 当时，， 当时，设， 将代入上式得， 所以. 综上所述，. （2）由解得， 由， 得，， 所以. 综上所述，，共分钟. 17．（本题15分）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）合理赋值即可证明是奇函数； （2）结合（1），先说明的单调性，再求出其最大值，最后对于关于的一次函数恒成立问题，列不等式求解即可. 【详解】（1）令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 在区间上单调递增. 设任意，，且， 则， ∵，，且，∴，，， 若，则；若，则； 若，显然有. 所以，，时，，， ∴，即，即， 故在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）将已知条件代入，结合函数的奇偶性求解即可，若用特殊值，则需要检验； （2）定义法证明函数单调性的步骤为：设值，作差，变形，定号，写结论；要注意变形要变为可以判断正负的几个因式乘积的形式； （3）移项，根据奇偶性和单调性得出不等式组，求解即可. 【详解】（1）由题意可知，即，解得， ∴，是奇函数，符合题意， 所以，. （2）略 （3）∵是定义域为的奇函数， 则，不等式可化为， 由（2）可得， ，解得， ∴不等式的解集为. 19．（本题17分）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （2）分析的单调性，假设存在“优美区间”，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （3）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，可得为二次方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得， 所以函数的一个“优美区间”为. （2）函数不存在“优美区间”，理由如下: 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”. （3），定义域为， 且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则， 整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则， 所以当时，即时，有最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $