第2章 等式与不等式概念清单速记表（知识清单）数学人教B版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“等式与不等式”章节内容，涵盖等式性质、方程（组）解集、不等式性质、一元二次不等式、均值不等式等核心范畴，搭建了从基础概念到解题方法再到实际应用的递进式学习支架。 清单以“概念-定义-相关概念”三维结构呈现知识体系，强化概念间逻辑关联，如将十字相乘法与因式分解、配方法与一元二次方程求解紧密衔接，培养学生数学思维。特别标注“一正二定三相等”等应用条件，设计“方法提示”专栏，助力不同学生高效掌握要点，教师可据此系统复习教学，提升课堂实效。

第2章 等式与不等式清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 2.1.1 等式的性质与方程的解集 等式的性质 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立：如果 ，则对任意 ，都有 ；等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立：如果 ，则对任意不为零的 ，都有 。 等式变形、代数变形、方程求解 恒等式 含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。恒等式是进行代数变形的依据之一。 代数变形、恒等变形、平方差公式、完全平方公式 常用恒等式 平方差公式：；两数和的平方公式：；两数差的平方公式：；一般地 。 平方差公式、完全平方公式、因式分解、代数变形 十字相乘法 对任意 ，都有 。若 能找到 使得 且 ，则 ，这种因式分解的方法称为十字相乘法。 因式分解、恒等式、二次三项式 方程的解集 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值。一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。 方程、根、解集、一元一次方程、一元二次方程 一元一次方程的解集与 ab=0 的结论 利用等式的性质（移项、两边同乘同一个不为零的数）可以得到所有一元一次方程的解集。任意两个非零实数的乘积不可能是零，因此如果 ，则 或 ；若一元二次方程可因式分解化为 的形式，则可方便地得出原方程的解集。 一元一次方程、因式分解法、方程的解集 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一元二次方程 形如 的方程称为一元二次方程，其中 是常数，且 。如不特别声明，本书中所说一元二次方程的解均指实数解。 二次项系数、方程的解集、配方法 x^2=t 型方程的解集 方程 ：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 。形如 的一元二次方程：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 。 一元二次方程、配方法、平方根 配方法 利用配方法，总是可以将一元二次方程 （）化为 的形式（其中 ），从而得到方程的解集。 一元二次方程、解集、完全平方公式 根的判别式 一般地， 称为一元二次方程 （）根的判别式，其符号决定了上述方程的解集情况：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根，解集为空集。一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。 判别式、求根公式、一元二次方程 求根公式 当 时，一元二次方程 （）的根为 。当 时解集为 ；当 时解集为 。 判别式、配方法、一元二次方程 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 当一元二次方程 （）的解集不是空集时，设其两根为 （ 时按初中习惯仍称有两个相等的实数根），则 ，。 韦达定理、一元二次方程、判别式 2.1.3 方程组的解集 方程组的解集 将多个方程联立，就能得到方程组。方程组中，每个方程的解集的交集称为这个方程组的解集，例如 。 方程组、解集、交集 消元法 求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法，包括代入消元与加减消元（如两式相加相减消去一个未知数），把多元方程组转化为一元方程求解。 方程组、代入消元、加减消元 未知数个数多于方程个数的方程组 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素。此时如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来，例如解集可写为 。 方程组、解集、参数、无限集 2.2.1 不等式及其性质 不等式 用数学符号 、、、、 连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子称为不等式。任意给定两个实数 ， 或 ； 或 。 不等关系、不等号、等式 比较两个实数的大小（作差法） 实数与数轴上的点一一对应，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小。要比较两个实数 的大小，只要考察 与 0 的相对大小即可：；；。这种通过判断两式之差的符号来比较两式大小的方法称为作差法。 数轴、作差法、不等关系 不等式的性质（可加性、可乘性） 性质1：如果 ，那么 ；性质2：如果 ，，那么 ；性质3：如果 ，，那么 。上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母。 不等式、可加性、可乘性、等式的性质 不等式的传递性与对称性 性质4（传递性）：如果 ，，那么 ；性质5：。 不等式性质、传递性、对称性 不等式的移项法则 推论1：如果 ，那么 。不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边，这称为不等式的移项法则。 不等式性质、移项法则、推论 同向不等式的相加与相乘 把 和 （或 和 ）这类不等号方向相同的不等式称为同向不等式。推论2：如果 ，，那么 ，几个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；推论3：如果 ，，那么 ，几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。 同向不等式、不等式性质、推论 不等式性质的推论4与推论5 推论4：如果 ，那么 （，）；推论5：如果 ，那么 。 不等式性质、正整数幂、平方根 综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法称为综合法。综合法中最重要的推理形式为 （其中 是已知或已得出的结论），综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论。 证明方法、分析法、反证法 反证法与分析法 反证法是一种间接证明的方法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立。分析法中最重要的推理形式是'要证 ，只需证明 '，分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件。 证明方法、综合法、充分条件 2.2.2 不等式的解集 不等式的解集与不等式组的解集 能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集。对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集。解不等式时要不断地使用不等式的性质。 不等式、不等式组、解集、交集 绝对值不等式 数轴上表示数 的点与原点的距离称为数 的绝对值，记作 ：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式，如 、。 绝对值、不等式、数轴 |x|>m 与 |x|≤m 的解集 当 时，不等式 的解集为数轴上与原点的距离大于 的点对应的所有数组成的集合，即 ；不等式 的解集为 。解这类不等式也可令整体换元（如令 ）转化为基本形式求解。 绝对值不等式、解集、几何意义 数轴上两点间的距离与中点坐标公式 如果实数 在数轴上对应的点分别为 ，则线段 的长为 ，这就是数轴上两点之间的距离公式；若线段 的中点 对应的数为 ，则 ，这就是数轴上的中点坐标公式。 数轴、绝对值、距离公式、中点坐标 2.2.3 一元二次不等式的解法 一元二次不等式 形如 的不等式称为一元二次不等式，其中 是常数，而且 。一元二次不等式中的不等号也可以是 、、 等。 一元二次方程、不等式、解集 因式分解法解一元二次不等式 依据 当且仅当 同号， 当且仅当 异号，将一元二次不等式转化为不等式组求解。若 ，则不等式 的解集是 ，不等式 的解集是 。 因式分解、一元二次不等式、不等式组 配方法解一元二次不等式 一般的一元二次不等式 （）通过配方总是可以化为 或 的形式，然后根据 的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。 配方法、一元二次不等式、完全平方公式 分式不等式的解法 有些分式不等式（分母含有未知数）通过变形之后，可以化为一元二次不等式来求解。例如分母不等于零时，在不等式两边同时乘以分母的平方（其值恒为正），即可化为整式不等式求解，同时注意分母不能为零。 分式不等式、一元二次不等式、变形 2.2.4 均值不等式及其应用 算术平均值与几何平均值 给定两个正数 ，数 称为 的算术平均值，其实质是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标；数 称为 的几何平均值。多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义。 算术平均值、几何平均值、均值不等式 均值不等式（基本不等式） 如果 都是正数，那么 ，当且仅当 时，等号成立。即两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的 还可以为零）。 基本不等式、算术平均值、几何平均值、等号成立条件 均值不等式的变形 由均值不等式可得 （）。对任意实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立；由此还可推出 ，。 基本不等式、完全平方公式、等号成立条件 均值不等式的几何意义 若矩形的长和宽分别为 ，则 可看成与矩形周长相等的正方形的边长， 可看成与矩形面积相等的正方形的边长，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。 几何意义、矩形、正方形面积 均值不等式求最值（一正二定三相等） 应用均值不等式求最值时，需满足'一正二定三相等'，即各项为正、两正数的和或积为定值、等号能够取到。结论：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 最值、一正二定三相等、均值不等式 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $