第2章 等式与不等式 章末整合-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

059 章末整合 知识结构 理脉络 等式的性质与方程的解集 求根公式：x=-b±√B-4a 2a 元二次方程：a.x2+bx+c=0(a≠0)》 等式 根与系数的关系：x1+无=-么 二元一次方程组 方程组的解集 三元一次方程组 二元二次方程组 不等式的概念 ra-b<Oa<b 依据a-b=0a=b 不等关系与不等式实数（代数式）大小的比较 la-b>0曰a>b 基本方法：作差法、作商法 等式与不等式 不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性 概念 「因式分解法、配方法 解法 元二次不等式及其解法 含参不等式的解法 不等式 解分式不等式—化归为整式不等式 应用 从实际问题中建立一元二次不等式模型 内容： ≥√a(a>0,b>0),当且仅当a=b时，等号成立 「几何证明 证明 代数证明 均值不等式 比较大小 证明不等式 应用 求最值 积定和最小1具备条件一正、二定、三相等 和定积最大 解决实际问题 要点梳理 晰精华 1.不等式基本性质中注意问题 (2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各 (1)不等式的基本性质中性质2、3要注意符号，另不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说， 外还有一些常用的结论，同学们也要掌握.如：“a>b且 每条性质是否具有可逆性.运用不等式的基本性质解答 b>0,则片<分，a>6e<d,则a-e>h-r,a>0 不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出 现一些错误. >0,c>d>0,则日>名.在使用这些性质时，要注意上 述各不等式成立的条件 060 2.一元二次不等式的解法 :不等式解集的交集 判别式A= (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式 4>0 4=0 △<0 b2-4ac (整式不等式组)求解 (3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求 二次函数y 解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解。 =ax2+bx+ 5.均值不等式及有关结论 c(a>0)的 2 图像 O() (1)均值不等式：如果a>0,b>0,那么ab≥ 2 有两相异实数根 ab,当且仅当a=b时，等号成立，即正数a与b的算 一元二次方 -b-√公 有两相等实数 x1= 没 术平均数不小于它们的几何平均数 程ax2+bx+ 2a 根1=2 有 实 (2)几个常用的重要结论 c=0(a>0) -b+公 x2= 6 的根 2a 2a 根 ①。+公≥2(a与b同号，当且仅当a=b时取等 (x1<x2) 号) ax2+bx +c x|x<x1,或x x∈R,x ②a+。≥2(a>0,当且仅当a=1时取等号)，a+ >0(a>0) R >x2 的解集 2aS ≤-2(a<0,当且仅当a=-1时取等号). a ax?bx +c <0(a>0) x|x,<x<x,} 0 ⑦ ③≤((ab=k,当且仅当a=b时取等号》， 的解集 (3)利用均值不等式求最值 3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 已知x>0,y>0,则 x名=，若C=0时，关系式仍 ①如果积y是定值P,那么当且仅当x=y时，x+y 七2，则无+x2=- b e 有最小值2√p(简记：积定和最小)， 然成立 ②如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时，xy有 4.不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的 解法 最大值（简记：和定税最大。 (1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个 素养突破 提技能 专题一不等式的性质及其应用 归纳提升：不等式性质的应 用方法 例 1.(1)(2024·济南高一检测)已知1<x<5,2<y<6,则2x-y的取值范围 是 () (1)作差法比较大小的关键 A.(0,4) B.(-4,8) 是对差式进行变形，变形的 C.(0,8) D.(-4,0) 方法一般是通分、分解因 式、配方等. (2)(2024·烟台高一检测)已知下列四个命题： ①若a>b,c>d,则a-d>b-c; (2)不等式真假的判断，要 依靠其适用范围和条件来确 ②若a2x>a2y,则x>y; 定，举反例是判街命题为假 ③若a>b,则1>1， a-b>a 的一个好方法，用特例法验 证时要注意，适合的不一定 ④若日<名<0，则b< 对，不适合的一定错，故特例 其中正确命题的个数是 只能否定选择项. A.1 B.2 C.3 D.4 [归纳提升] ●061 ●专题二解方程与方程组 例2(2024·潍坊高-检测)求下列方程组的解集： 3x+y+z=3, 1)2x-y+2=-4,(2+y5,.3)2-y-1=0, 1x2-y2=-5; x2+2y2=3. x-3y-5z=5; 归纳提升：1.一元二 次方程的解法 (1)直接开平方法； (2)配方法：(3)因式 分解法；(4)公式法. 2.一元二次方程中求 参裁的值 求参数的值是一元二 次方程根与系数的关 例3〔24：沈阳商检测)已知关于的元二次方程+(2m-1)+m-3=0 系的常见应用，解题 步骤是列方程组，解 有实数根. 方程组. (1)求实数m的取值范围； (2)当m=2时，方程的根为x1,x2,求代数式(x+2x1)(x2+4x2+2)的值. 归纳提升：在解答含 参数的一元二次型不 ●[归纳提升] 等式时，为了微到分 提醒：一元二次方程要保证二次项系数不为零，一元二次方程有根要保证△≥0. 类不重不漏，常从以 专题三一元二次不等式的解法 下三个方面考虑：一 例4(2024：沈阳商-枪测)已不等式a2-3+2>0的解集为1x<1或>6， 是二次项系裁分为正 (1)求实数a,b的值； 数，0与负数；二是 (2)解关于x的不等式cx2-(ac+b)x+ab>0(其中c为实数). 关于不等式对应的方 程的根的讨论，从判 别式大于0，等于0， 小于0进行分类；三 是关于不等式对应的 方程的根的讨论，对 两根之间的大小进行 讨论. P[归纳提升] 062 归纳提升：利用均值 ●专题四 均值不等式及其应用 不等式求最值的关 注点 例 5.()已知实数a,6>0,a+196=1,则。+9的最小值为 () (1)注意寻求已知条 A.100 B.300 C.800 D.400 件与目标函数之间的 联系 (2)已知x>0,求+3x+6的最小值 x+1 (2)利用添项和拆项 的配凑方法，使积（或 和)产生定值.特别注 意“1“的代换 归纳提升：解决不等 式恒成立问题，往往 使用分离参数法将参 [归纳提升] 裁分离出来，将“恒 成立问题”转化为 ●专题五 利用均值不等式求解不等式恒成立问题 “最值问题”求解. 即y≥m恒成立台ym 例6设，ye(0,+),若不等式+5≤a:中7恒成立，求a的最小值 ≥m:y≤m恒成立曰 思路探究：根据条件分离出4，再求式子匠+正的范国，最后确定a的最小值 Vx+y ymax≤m. 但要注意分离参裁法 不是万能的，如果分 离参数后，得出的式 子较为复杂，性质很 难研究，就不要使用 分离参数法 [归纳提升] 素养等级测评 请同学们认真完成考案（二）恒成立，则a≤（仕+）因为+手-（任+号）水x+) 章末整合 素养突破提技能 例1：(1)B(2)C(1)因为1<x<5,2<y<6,所以2<2x< 等号成立，所以片+4的最小值为9，即a≤9，故实数a的取值 10,-6<-y<-2, x Y 范围是(-∞，9]. 故2x-y∈（-4,8)： (2)对于①，由a>b,c>d,得-d>-c, 5.-2因为a+b=2, 由不等式的性质知，a-d>b-c,故命题①正确； 所+会品+号治+女 对于②，由a2x>a2y知，a2>0,由不等式的性质知，x>y,故 命题②正确； 品+品+品+2√品品+1 /b lal 对于③.6。-a2 b 当a>0时，最小值为子，当a<0时，最小值为子 若a,b同号，由a-b>0得6 35 'a(a-6)>0, 4<4当a<0时，取得最小值， 匿a,b异号，由a-b>0得。么b<0,放命题3错误 当组仪当品会时等号成立 对于④.由片<分<0，得6<a<0,则>6，故命题④ 又a+b=2,b>0, 正确 所以当6=-2，a=-2时：2+分取得最小值 例2：(1)由第一个式子可得z=3-3x-y, 代人第二个、第三个式子可得： 6(L)当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：0 ×60+1000+2×50=1244(元). j8x+6y-20=0两个式子作差可得y=2,x=1, L8x+y-10=0, (2)设汽车行驶的速度为x千米/小时，由题意可得： 代人z=3-3x-y可得z=-2, 120x60+1000+2x≤1260，化简得-130x+3600≤0，解 故方程组的解集为{(1,2，-2)} (2)由第一个式子可得y=5-x, 得40≤x≤90 代入第二个式子可得x2-(5-x)2=-5, 故运输的总费用不超过1260元时，汽车行驶速度的范围为： 解得x=2, [40,90]. 代入y=5-x,可得y=3, (3)设汽车行驶的速度为x千米/小时，则运输的总费用： 故方程组的解集为{(2,3) 120×60+1000+2x=2x+7200+1000 (3)由第一个式子可得y=2x-1, 代入第二个式子可得x2+2(2x-1)2=3, ≥2√2x.720+1000=1240. 即9x2-8x-1=0, 当2x=720,即x=60时取得等号，故若要使运输的总费用 解得=1，=g, 最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶 代人y=2x-1可得为=1，=-号 C组创新拓展 故方程组的解集为{(1，).(-g,-号)} D根据题意，由a+6=1,得一名名=（六号a+ 例3：(1)4=(2m-1)2-4×1×(m2-3)=4m2-4m+1-4m2 )(会+)是 +12=-4m+13, 因为原方程有实根，所以4=-4m+13≥0， 因为a>0,b>0 解得m≤是.所以实数m的取值范围为(-，早】 所以哈+≥2√会-2.当且仅当会--2a= (2)当m=2时，方程为x2+3x+1=0,所以x1+x2=-3, 子时，等号成立， x1x2=1, 因为方程的根为x1,x2,所以x+3x1+1=0,号+3x2+1 因此-（会+台）弓≤-2-号号，根据定义知，六 =0, 所以(x+2x1)(x5+4x2+2) 名的上确界为-号 =(x号+2x1+x1-x1)(x号+3x2+x2+2) -195 =(-1-x1)(-1+x2+2) 第三章函数 =(-1-x1)(x2+1)=-x2-x1x2-1- =-x2-x1-2=3-2=1. 3.1函数的概念与性质 例4：(1)不等式ax2-3x+2>0的解集为xlx<1或x>b}, 所以1和b是方程ax2-3x+2=0的解， 3.1.1函数及其表示方法 所以a-3+2=0,解得a=1; 由根与系数的关系知1×b=2,解得b=2:所以a=1,b 第1课时函数的概念 a =2 必备知识探新知 (2)由(1)知，不等式cx2-(ac+b)x+ab>0为cx2-(c+ 知识点1：1.非空实数集每一个唯一确定3.定义域 2)x+2>0, 对应关系 即(x-1)(cx-2)>0, 对应练习 当c=0时，不等式化为-2(x-1)>0,解得x<1; 1.(1)×(2)V(3)×(1)集合A,B应为非空数集. 当c<0时，解不等式得2<x<1: (2)符合函数的定义 (3)值域是集合B的子集 当c>0时，若2>1，即0<c<2时，解不等式得x<1或 2.C爱使函数)=反+有意义，只需产0 r-2≠0.解得x >2,若子1即c=2时解不等式得1，若是<1， ≥0且x≠2， d 所以函数f(x)的定义域为[0,2)U(2,+) c>2,解不等式得x<2或x>1. c 3)g 1 综上所述，当c=0时，不等式的解集为xlx<1}: 知识点2：相同相同 当c<0时，不等式的解集为{2<x<1 对应练习 当0<c<2时，不等式的解集为<1或x>2} 1.(1)V(2)×(3)×(1)两个函数定义域相同，对应关系 也相同 当c=2时，不等式的解集为xlx≠1}； (2)两个函数的对应关系不同. 当c>2时，不等式的解集为：x<名或x> .2 (3)两个函数的定义域不同. 关键能力攻重难 例5：(D由b>0a+196=1,所以女+只-（合+8例1：B①中，因为在袋合M中当12时，在N中无元 素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个 +196)-62+196,12≥30+2√.要=40m,当且 a Na b 数x,在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x=2 仅当。=6时等号成立，所以片+号的旅个值为40m 对应元素y=3N,所以③不是；④中，当x=1时，在N中 有两个元素与之对应，所以④不是.因此只有②是，故选B. (2)因为x>0,所以心+3+6 (2)①A=R,B=R,对于集合A中的元素x=0,在对应关系 x+1 =x+1)2+(x+)+4=x+1+4 代)=的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所 x+1 *了+1 给对应关系不是定义在A上的函数； 2√x+1)+1=4+1=5. ②由f1)=f(2)=3,f(3)=4,知集合A中的每一个元素 在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之 当组仪当x+1=本即=1时，等号成立 对应，故所给对应关系是定义在A上的函数； ③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且 例6：由题意，可知a≥+正恒成立. Vx+y 集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对 应，故所给对应关系不是定义在A上的函数 x,y∈(0，+∞)， 》 对点训练1：(1)B（2)C(1)A错误，x2+y2=1可化为y= +y =x+y+2國=1+2应≤1++y=2, x+y x+y x+y x+y ±√1-x,显然对任意x∈A,y值不唯一；B正确，符合函数 当且仅当x=y时等号成立 的定义；C错误，2∈A,在B中找不到与之相对应的元素；D错 :E+正≤巨a≥2u的最小值为万. 误，-1∈A,在B中找不到与之相对应的元素. Vx+y (2)由函数的定义知选C. :例2：C①fx)=√-2x=-x√J-2x与g(x)=x√/-2x的对 -196