5.2二次函数的图象(1) 课时练习 2026--2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 该练习围绕二次函数图象，分层设计从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|顶点坐标、开口方向等单一概念|选择2（顶点坐标）、填空9（开口方向）夯实基础| |中档|平移变换、最值判断等综合应用|选择4（平移）、填空10（平移解析式）深化理解| |提升|表格分析、图象绘制等拓展探究|解答15（图象与取值范围）、20（共轭抛物线）培养创新意识|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.2二次函数的图象(1) 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意．故选:B 2．（本题3分）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 解：在中，，， ∴ 顶点坐标为.故选:B 3．（本题3分）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 解：∵二次函数解析式为， ∴，， ∴图象的顶点坐标为．故选:B 4．（本题3分）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 解：， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为．故选:B 5．（本题3分）如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（  ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 解：由A、B的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意； C．∵y=-x2-2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==-1，故C不合题意； D．∵y=-x2+2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，故D符合题意；故选：D． 6．（本题3分）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（  ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值．故选:B 7．（本题3分）二次函数的最大值是（   ） A． B． C．1 D．0 解：，， 当时，取得最大值．故选:D 8．（本题3分）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 解∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大．故选:B 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 10．（本题3分）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 11．（本题3分）将二次函数化为的形式是________． 解：． 12．（本题3分）二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=） 解：将代入得：， 将代入得：， ∵， ∴． 13．（本题3分）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）如图，抛物线经过点． (1)求的值以及此抛物线的顶点坐标． (2)当时，求的取值范围． （1）解：把点代入得， ， 解得， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴当时，有最小值， ∵当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 15．（本题8分）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． (1）解：列表如下： x ... -5 -3 -2 -1 0 1 3 ... y ... 6 0 -2 0 6 ... 画出抛物线，如图所示． （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是； （3）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 综上，当时，的取值范围为． 16．（本题8分）已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： …… 0 1 …… …… 0 3 0 …… (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值． （1）解：依题意，设二次函数的表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 观察表格，函数图象经过点， ∴， 则， ∴ 解得， ∵， ∴． 17．（本题9分）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是___________；交点C的坐标是___________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，y的取值范围是___________． （1）解：，故， ∵点C在y轴上，∴； 故答案为：，； (2)如图： (3) （3）当时，，当时，，当时，， ∵， 由图像可得：. 18．（本题9分）已知二次函数． (1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … 0 1 2 … y … … (2)利用图象写出当时，y的取值范围是______． (1)填表如下： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … （1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 函数图象如图所示： （2）解：由函数图象可得：当时，y的取值范围是． 19．（本题10分）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． （1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 20．（本题11分）已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． （1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称， ∴当时，， 补全表格与画图见答案； ②补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： （2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 将代入中，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为， 画图像如解图所示； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得， ∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.2二次函数的图象(1) 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（  ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 6．（本题3分）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（  ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 7．（本题3分）二次函数的最大值是（   ） A． B． C．1 D．0 8．（本题3分）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 10．（本题3分）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 11．（本题3分）将二次函数化为的形式是________． 12．（本题3分）二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=） 13．（本题3分）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）如图，抛物线经过点． (1)求的值以及此抛物线的顶点坐标． (2)当时，求的取值范围． 15．（本题8分）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 16．（本题8分）已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： …… 0 1 …… …… 0 3 0 …… (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值． 17．（本题9分）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是___________；交点C的坐标是___________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，y的取值范围是___________． 18．（本题9分）已知二次函数． (1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … 0 1 2 … y … … (2)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 19．（本题10分）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 20．（本题11分）已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $