3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程（一）同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦双曲线定义与标准方程，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，适配新授课知识内化与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|双曲线定义、标准方程条件、基本量计算|单选直接考查概念辨析，填空强化运算能力，解答巩固方程构建| |中档层|双曲线与直线位置关系、椭圆综合、离心率应用|单选结合椭圆焦点，多选辨析曲线类型，填空深化定义应用，解答提升分类讨论意识| |提升层|参数范围讨论、充要条件、多情境综合|单选考查逻辑推理，多选拓展参数分析，解答综合离心率与方程求法，发展创新意识|

第1课时　双曲线及其标准方程（一） 1. (2026·湄潭县校级模拟) 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（　　） A. (-2, -1) B. (-1, +∞) C. (-∞, -2) D. (-∞, -2) ∪ (-1, +∞) 2.(2025·四川模拟) 双曲线两个焦点，焦距为，为曲线上一点，，则=（　　） A. 1 B. 1或9 C. 9 D. 3 3. (2025高二上·江门月考) 已知双曲线C：与直线无交点，则m的取值范围为（ ） A.  B.  C.  D.  4.已知有相同焦点F1，F2的椭圆＋y2＝1（m＞1）和双曲线－y2＝1（n＞0），P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能 5.（多选）(2025高二上·广州月考) 已知曲线，下列说法正确的是（　　） A. 若，则曲线为椭圆 B. 若，则曲线为双曲线 C. 若曲线为椭圆，则其长轴长一定大于 D. 若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于大于 6.（多选）过点（1，1），且＝的双曲线的标准方程可以是（　　） A.－y2＝1 B.－x2＝1 C.x2－＝1 D.y2－＝1 7.已知双曲线方程为2x2－y2＝k（k≠0），焦距为6，则k＝　　　　. 8. (2025高二下·惠州期中) 离心率为，一个焦点坐标为的双曲线的标准方程为　　　　　　. 9. ( 2025秋·海淀区校级月考 ) 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，＝　　　　. 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在y轴上，焦距为10，且经过点（0，4）； （2）a＝4，经过点A（1，－）. 11. (2025秋·龙华区期末) “”是“方程表示的曲线为双曲线”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. （多选）(2025秋·五华区校级期中) 已知曲线C的方程为（，），则（　　） A. 若曲线C表示圆，则 B. 若曲线C表示椭圆，则 C. 若曲线C表示双曲线，则 D. 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则 13.（多选）设θ∈∪，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线可能是（　　） A.焦点在y轴上的双曲线 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在x轴上的椭圆 14. (2025秋·鄄城县校级月考) 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 焦点在轴上，实轴长是，虚轴长是； (2) 焦点在轴上，焦距是，虚轴长是； (3) 离心率，经过点． . 3.2.1　双曲线及其标准方程 第1课时　双曲线及其标准方程（一） 1.D　由题意得，解得或，所以实数的取值范围是. 2.C　由题意可得，则，因为，即，由双曲线的定义可得，解得或，又因为，所以. 3.B　，可得，当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意，当时，即时，，即，解得. 4.B　因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，｜PF1｜－｜PF2｜＝±2，又m－1＝n＋1，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝2（m＋n）＝4（m－1）＝｜F1F2｜2，所以△F1PF2是直角三角形. 5.BCD　 A、为椭圆，则，该选项错误，不合题意； B、若为双曲线，等价于，即或，该选项正确，符合题意； C、当时，椭圆长轴长，当时，椭圆长轴长，该选项正确，符合题意； D、若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，双曲线的离心率为，且双曲线的离心率，该选项正确，符合题意. 6.AB　由于＝，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入（1，1）点，得a2＝，此时双曲线方程为－y2＝1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为－x2＝1. 7.6或－6　解析：若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，即k＝6.若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋（－）＝32，即k＝－6. 8. 　解析：由条件可知，，且，得，，并且双曲线的焦点在轴， 所以双曲线的标准方程为．故答案为：. 9. ．　解析：双曲线，可得，而，则点在该双曲线的左支上，因此所以． 10.解：（1）∵双曲线焦点在y轴上， ∴设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）， 由其焦距为10，得2c＝10，c＝5， 又该双曲线过点（0，4），则a＝4， ∴b2＝c2－a2＝25－16＝9， ∴双曲线的标准方程为－＝1. （2）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1. 11.A　方程表示的曲线为双曲线，则，解得，故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件. 12.AD　对于A，若曲线表示圆，则有，解得，故A正确； 对于B，若曲线表示椭圆，则有，解得且，故B错误； 对于C，若曲线表示双曲线，则有，解得或，故C错误； 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故D正确．. 13.AB　当θ∈时，sin θ＜0，cos θ＞0，此时方程表示焦点在y轴上的双曲线，A正确.当θ∈时，sin θ＞0，cos θ＜0，此时方程表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，B正确.故选A、B. 14.解：(1) 根据题意，要求双曲线的实轴长是，虚轴长是； 即，， 则有，， 又由双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为：； (2) 根据题意，要求双曲线的焦距是，虚轴长是； 即，， 则，，则， 又由双曲线的焦点在轴上，则双曲线的标准方程为； (3) 根据题意，要求双曲线的离心率，即，则有， 则，该双曲线为等轴双曲线，设其方程为， 又由双曲线经过点，则有，则， 则双曲线的标准方程为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $