第3章圆学情自测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦圆的核心概念与性质，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配初中数学圆单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|圆的基本性质（如第1题平分弦的直径）、内切圆（第3题）、圆锥侧面展开（第9题）|结合几何直观（第7题网格找外心）| |填空题|6题/18分|弦心距（第11题）、外接圆圆心坐标（第12题）、内接四边形（第14题）|联系坐标系与文化情境（第16题正八边形旋转）| |解答题|8题/72分|作图与计算（第17题）、切线证明（第22题）、弓形面积（第24题）|综合推理与应用（第23题切线与几何证明）|

第3章圆学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 2．把一个圆形平均分成16份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，（   ） A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了 C．周长变了，面积没变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查圆的面积推导过程中周长与面积的变化，分析转化前后的面积与周长变化是解题关键． 将圆拼成近似长方形时，长方形的长等于圆周长的一半，宽等于半径，据此列式计算后进行比对即可． 【详解】解：设圆半径为，根据圆面积公式推导过程的结论， 圆剪拼成长方形后，长==，宽=， 长方形面积==，与圆面积相等，故面积不变， 长方形周长==，长方形周长比圆周长多，故周长变了． 综上，周长变了，面积没变． 故选：C． 3．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长为： 故选：D． 4．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 5．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 6．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 7．如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 8．下列命题正确的是（     ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．各边相等的圆外切多边形是正多边形 C．各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D．各边相等的圆内接多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的判定，需结合正多边形定义，圆内接、圆外切多边形的性质逐一判断选项. 【详解】正多边形的定义为：各边相等且各内角也相等的多边形. ∵菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴A错误； ∵圆外切菱形各边相等，但内角不一定相等，不是正多边形，∴B错误； ∵圆内接矩形各内角相等，但边不一定相等，不是正多边形，∴C错误； ∵圆内接多边形各边相等，∴各边所对的弧相等，可推得各内角相等，同时满足各边相等，各内角相等，符合正多边形定义，∴D正确． 9．如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分别根据等边三角形的性质求出，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，再利用勾股定理求出 ，最后比较大小即可． 【详解】解： 扇形圆心角为 ，半径为 是等边三角形， ∴， 过点作于点， 设圆锥底面半径为 扇形弧长等于圆锥底面周长 ， 圆锥如图，取底面圆的中点，连接， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ． 10．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，写出的外接圆的圆心坐标为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形外接圆的相关知识点，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；因此此题可分别作出线段的垂直平分线，然后问题可求解． 【详解】解：分别作线段的垂直平分线，如图所示：      ∴由坐标系可知：的外接圆的圆心坐标为； 故答案为． 13．在中，的重心与外心的距离是__________． 【答案】/ 【分析】先由勾股定理求出，再确定重心与外心的位置，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及重心的性质求解． 【详解】∵在中，， ∴， 如图，的外心为的中点，记为点D，三角形的重心G在线段上， ∵，， ∴， ∴， 即的重心与外心的距离是． 【点睛】重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 14．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 15．如图，正方形中，，点在以为直径的圆上，连接，交于，，当经过圆心时，线段的长度为________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质及圆的性质得出，利用勾股定理求出，，根据得出，根据相似三角形的性质得出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，，， ∵点在以为直径的圆上，经过圆心，交于， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 16．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 【答案】 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，在中，，，，P是的中点，用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． (1)以为直径作，与交于点Q，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长度． 【答案】(1)如图所示，即为所求 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点O，再以O为圆心，为半径作圆，与交于点Q，连接； （2）由勾股定理求出，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：由（1）可知，为的直径， ， 在中，，，， ， 是的中点， ， ，， ， ，即， ． 18．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 19．在平面直角坐标系中的位置如图所示，．其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)求出（1）中旋转过程点经过的路径长； (3)连接，的外心坐标是_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式，勾股定理，三角形外心的定义，熟练掌握旋转和三角形外心的定义是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）连接，利用勾股定理求出，再旋转角为，利用弧长公式计算即可； （3）利用网格的特征作的中垂线，交于点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：由题意，得，且旋转角为， 则点经过的路径长为； （3）解：如图所示，作的中垂线，交于点， 则的外心坐标为， 故答案为：． 20．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 21．如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 为的直径， ， 又， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可； （2）由（1）得出的长，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，设的半径为，则，，在中利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 弦，为直径，， ， ，， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ，化简得，解得， 的半径为． 22．如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵、是的切线，是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)5 【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据切线长定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，是的切线， ∴，， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故的长为5． 23．为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． (1)如图1，求证：为圆O切线； (2)如图2，过点A作交于点D，求证； (3)在（2）的条件下，连接，当时，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ， （垂径定理）， ， ， ， ， 切圆O于点C， ， ， 为半径， 为圆O切线； (2) 证明：如图，连接，     为圆O直径， ， ∵， , ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ． (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图，连接， ∵O，F分别是和的中点， （三角形中位线定理） 设，则， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ． 24．如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由切线的性质可得是等腰直角三角形，即得，再根据弧长公式计算即可求解； （）过点作于，解直角三角形可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴劣弧的长； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第3章圆学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列说法正确的是() A.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B.长度相等的弧是等弧 C.对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D.三个点确定一个圆 2.把一个圆形平均分成16份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，( A.周长和面积都没变 B.周长没变，面积变了 C.周长变了，面积没变 D.不能确定 3.如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F且AD=2, BC=5,则△ABC的周长为()· D A.7 B.1 C.10 D.14 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4,则这个三角形的外接圆的直径是 () 4v5 8V3 A.8 B.3 C.3 D.4 5.如图，A,B,C,D四点共圆，BD是OO的直径.若∠ABD=55°，则∠ACB的度数等 于() 试卷第1页，共3页 B D A.35° B.40° C.45o D.50° 6.如图，己知AB是⊙0的直径，AD为⊙0的弦，CO‖AD,连接AC,CD.分别以点 A,C为圆心，以大于24C的长为半径作弧，并使两弧交于一点G.直线OG交4D于点 E,连接CE.若∠BOC=50°，则∠CAE的度数为() B 衣ò A.50° B.40° C.25o D.20° 7.如图，在3×3的正方形网格中，A,B在格点上，在网格中找一个格点C,使△ABC的 外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.下列命题正确的是() A.各边相等的多边形是正多边形 B.各边相等的圆外切多边形是正多边形 C.各内角相等的圆内接多边形是正多边形 D.各边相等的圆内接多边形是正多边形 9.如图，在圆心角为60°，半径为R的扇形纸片OAB中，点O到AB的距离记为d, 试卷第2页，共3页 把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h,下列关于d和h的大小关 系正确的是() A.d<h B.d=h C.d>h D.无法确定 10.如图，⊙0经过五边形0ABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°， BC 则的度数为() O D A.45° B.40° C.35 D.30° 二、填空题（每题3分，共18分） 11.已知O0中，弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为 cm 12.如图，在平面直角坐标系x0中，已知点 (-2).B(Ol.C(.0),写出△MBC的外 接圆的圆心坐标为 432- 13.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,△ABC的重心与外心的距离是 试卷第3页，共3页 14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE,若 ∠BAD=104°，∠DCE=°. A B 15.如图，正方形ABCD中，AB=2,点E在以AD为直径的圆上，连接BE,CE交AD 于M,N,当BE经过圆心时，线段MN的长度为 M O B 16.拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井一一天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角 攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中△OCD是由△OAB绕着点O按逆 时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为 G F H E B 三、解答题（每题9分，共72分) 17.如图，在Rt△BAC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,P是AC的中点，用无刻度直尺 和圆规作图并解答问题. 试卷第4页，共3页 (I)以AP为直径作⊙0，⊙0与BA交于点Q,连接P№，（不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)的条件下，求P2的长度. 18.如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB=6.求这个 管道横截面的半径。 D B 19.△ABC A(-2,4),B(-4,2),C(-3,1) 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 其中每个小 正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： B 0 (1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△AB'C: (2)求出(1)中旋转过程点C经过的路径长： (3)连接BB',△OBB的外心坐标是 20.如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，AC为⊙O的直径，且AB=BC,连接AB, 试卷第5页，共3页 BC,BD,CD,过点A作AE⊥BD,垂足为E. B E D (I)求∠BDC的度数： (2)考BE-2 的长 21.如图，在△ABC中，AC=BC,以BC为直径的OO交AB于点D,弦DF⊥BC,垂足 为E. (1)求证：AD=BD; (2)若AB=10,DF=8,求⊙0的半径 22.如图，AB,AC是⊙0的两条切线，切点分别为B,C,连接C0并延长交O0于点 D,过点D作OO的切线交AB的延长线于点E,EF⊥AC于点F. E (1)求证：四边形CDEF是矩形： 试卷第6页，共3页 @活CD=20,DE=2,求4C的长. 23.AC为圆O直径，BC切圆O于点C,过点C作CM⊥OB交圆O于点M,交OB于点 F,连接BM. M A M 4 E B F 0 B D F C 图1 图2 (1)如图1，求证：BM为圆O切线： (2)如图2，过点A作AD∥BM交OB于点D,求证BC=AD: 6在②的条件下，造接4M,当4D=4C时，MM=25,求BM的长 24.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，连接OC,过点C的切线交BA的延长线于点D, 且OC=CD=2.」 (1)求劣弧AC的长 (2)求阴影部分弓形的面积. 试卷第7页，共3页