第三章 圆 高频易错题（单元通关检测）-2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦圆的高频易错点，通过选择、填空、解答题全面检测单元知识，适配初中数学圆单元复习，强化数学眼光与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|垂径定理（2）、外接圆半径（3）、切线性质（7）|结合筒车（5）等文化情境，考查图形转化（1）与空间观念| |填空题|8题/24分|内切圆半径（16）、正多边形旋转角（17）|设置坐标系（13）与动态问题（14），培养推理意识| |解答题|7题/46分|阴影面积（19）、切线作图（22）、实际应用（25）|以剪纸（24）、足球奖杯（22）为载体，融合探究性问题（23），发展创新意识与应用能力|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第三章 圆高频易错题（单元通关检测） 参考答案 1．C 【详解】解：通过观察图形可知，把这个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形，这个新图形的两条边之和等于半圆的弧，另外两条边之和等于半圆的直径，所以这个新图形的周长等于半圆的周长． 2．C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 3．D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 4．D 【分析】连接，由题意易得是的中位线，是的中位线，然后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点O是的外心，，， ∴点D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 5．B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 6．D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 7．C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 8．A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 9．B 【分析】过点作于，根据正多边形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据正多边形所有中心角和为，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形的面积为即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于， ∵是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，、是正多边形的相邻顶点，在外接圆上， ， ，和是外接圆的圆心角和圆周角， ， ∴， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为，即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 10．A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明，从而推出这两个三角形的面积相等，即可知道三角形的面积即是扇形的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出，即可知道度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：， ， ， ，， ， ． 阴影部分的面积为． ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 11． 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 12． 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 13． 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       14．/30度 【详解】解：由题意得，， ． 15．9 【分析】先证明点O是的内心，根据三角形的内心到三边距离相等，该距离为的内切圆半径，得出，即可解决问题． 【详解】如图，连接、、、、， 由知O在的垂直平分线上， 又，则平分， 同理平分，故O是的内心， 到的三边距离均与的内切圆的半径相等， 半径， 故所求之和为9． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内切圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 16．2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 17． 【分析】根据正八边形的性质求出中心角的度数，结合旋转的性质确定旋转角为，即可求解． 【详解】解：∵ 俯视图呈正八边形， ∴ 正八边形的中心角为 ， 即 ， ∵ 是由 绕着点按逆时针方向旋转得到的， ∴ 线段 旋转后的对应线段为 ，线段旋转后的对应线段为， ∴ 旋转角为， ∴ 旋转角 ． 18． 【分析】由矩形性质得，，且，故为等腰直角三角形，，由，弧为半径 、圆心角的圆弧，再求出各段长度相加即可． 【详解】四边形是矩形， ，，，． ， 为等腰直角三角形， ，， ， 的长为． 阴影部分的周长为． 19． 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、矩形的基本性质、勾股定理．根据勾股定理可以求出，根据阴影部分的面积以为直径的圆的面积以为直径的圆的面积矩形的面积以为直径的圆的面积计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接， 在 中，， ， ， 阴影部分的面积以为直径的圆的面积以为直径的圆的面积矩形的面积以为直径的圆的面积， ， 答：阴影部分的面积是 ． 20． 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念，等腰三角形的性质，连接，由 ，得到，根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质得到，即可求解，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：连接，   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求解，再利用正切定义求解即可. 【详解】（1）解： 为的直径，， ． 连接，在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， （负根舍去）． （2）解：∵，， ∴， ∵，， 在中：． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）按照作图步骤作图即可； （2）先根据圆的切线的性质可得，然后求出圆心角，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：点O如图所示： （2）解：∵图中，是圆的切线， ∴， ∵ ∴， ∴所对的圆心角为 ∵该圆的半径是 ∴的长． 23．(1) (2)①不变，②， 【分析】（1）由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； （2）①设，则，由对称性质得，由三角形外角的性质得，即可求解； ②点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点作于，交优弧于点，连接，当时，即点位于点时，的面积最大，即可求解． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形， ， ， 边关于对称的线段为， ， ； （2）解：①的大小始终不变，大小为， 设，则， 边关于对称的线段为， ，， ， ， ， ， ； ②由①得， ， 点以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点作于，交优弧于点，连接， 当时，即点位于点时，的面积最大， ， ，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 面积最大值是， 此时，点的位置如图所示，过点作于， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 【点睛】利用圆的基本性质找出点的运动轨迹和取得最值时点的位置是解题的关键． 24．(1) 点C坐标为； (2)半圆的总周长为； (3)第二象限的叶片：将第一片叶片绕原点O逆时针旋转得到； 第三象限的叶片：将第一片叶片绕原点O旋转得到； 第四象限的叶片：将第一片叶片绕原点O顺时针旋转得到． 【分析】（1）根据点A、B的坐标建立直角坐标系即可，再根据三线合一的性质求解即可； （2）根据弧长公式求解即可； （3）根据旋转的性质说明即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， 由题意得，点D为中点，且， 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：根据题意得，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴半圆的直径，即半径， ∴半圆的总周长为 ； （3）略 25．（1）（2）（3）， 【分析】（1）设与的交点为E，连接，根据圆周角定理，得，根据，得到，解答即可． （2）根据（1）证明可得当点E是的外接圆与直线的切点时，最大，设的外接圆圆心为点N，连接并延长交于点O，则，,过点C作于点M，，,根据余弦函数的定义，得． （3）当经过A，B的与相切于点P时，最大；连接，过点T作于点H，交于点Q，设，又，故，解答即可． 本题考查了圆的综合问题，掌握矩形的性质、切线的性质以及判定定理、含的直角三角形的性质、圆周角定理、勾股定理，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的交点为E，连接，根据圆周角定理，得， 又是的一个外角， 故， 故 故答案为：． （2）解：根据（1）证明可得当点E是的外接圆与直线的切点时，最大， 设的外接圆圆心为点N，连接并延长交于点O，则， 由矩形， 故，， 故, ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 过点C作于点M， ∴， ∴， ∴, ∴． （3）解：当经过A，B的与相切于点P时，最大； 连接，过点T作于点H，交于点Q， 根据垂径定理，得； 故， 又， 故，， 故， 设， 又， 故， 又， 故， 整理，得 ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第三章 圆高频易错题（单元通关检测） 一、选择题 1．小明把一个半圆平均分成12份，拼成一个新的图形（如图）．这个新图形的周长与半圆周长相比（     ） A．半圆周长更长 B．新图形的周长更长 C．一样长 D．无法比较． 2．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 3．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 4．如图，点O是的外心，，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则的长是（   ） A．9 B．4 C．7 D．8 5．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 7．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 9．如图，一个正多边形中心点为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 12．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 14．如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______． 15．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 16．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 17．拙政园的天泉亭因亭内正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制为重檐八角攒尖亭，从亭子正上方俯瞰，呈正八边形（如图），图中是由绕着点按逆时针方向旋转一定角度得到，则旋转角的度数为________． 18．如图，在矩形中，点为上一点，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的周长为__________． 三、解答题 19．如图，矩形内接于，分别以，， ， 为直径向外作半圆． 若，，求阴影部分的面积是多少． 20．如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数． 21．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其工作原理是利用水流冲击水轮使其旋转，将水从低处提升到高处．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，筒车的中心轴为点，水轮边缘上的盛水筒、、均在上．已知为的直径，点在上方，连接、、．如图1过点作于点，连接，已知，，按照下图解决问题． (1)求的长； (2)求的值． 22．足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图1是一次足球比赛的奖杯，图2是从奖杯抽象出来的平面示意图，图中，是圆的切线，，为切点．我们可以用无刻度的直尺和圆规作出平面示意图中圆的圆心．作法如下： ①连接，作的垂直平分线； ②在圆上任意再取一点，连接，作的垂直平分线，的垂直平分线与的垂直平分线的交点，即圆心． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将圆的圆心作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若该圆的半径是，，求的长． 23．如图1，数学探究：中，，，D是边的中点，是线段上的动点（不与点、点重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当为等腰直角三角形时，求的大小． (2)如图2，延长，交射线于点． ①试探究的大小是否变化？如果不变，请求出的大小；如果变化，请说明理由．②若，则的面积最大为__________，此时__________． 24．剪纸是中国民间广为流传的非遗艺术，“风车”剪纸寓意“一帆风顺、四季平安”．下图为某同学设计的“吉祥风车”剪纸图案，风车的叶片由等腰直角三角形与半圆组合而成，半圆的直径为小的等腰直角三角形的直角边，如图，点的坐标为，点的坐标为，且点、分别为大的等腰直角三角形的斜边的中点，点为风车的中心． 请回答下列问题： (1)在图中画出平面直角坐标系，并写出风车上点的坐标； (2)求风车图案中半圆的总周长； (3)记在第一象限的风车叶片为第一片叶片，请描述风车的其他三片叶片可以由第一片叶片经过怎样的图形变化得到． 25．【问题提出】 （1）如图①，内接于，过点作的切线，在上任取一点（不与点重合）连接、，则___________（填“>”“<”或“=”）； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点为边上一点，当最大时，求的值； 【问题解决】 （3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大，已知：米，米，问在OD边上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $