专题1.1 正数与负数 知识清单 2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

该初中数学资料系统梳理了正数与负数的知识体系。从现实情境中的相反意义的量入手，明确正数负数的含义及0的特殊性，进而掌握有理数的概念与分类，形成从具体到抽象的学习支架。 知识链路通过气温、海拔等实例抽象相反意义的量，结合概念辨析（如正数与正有理数）和分类训练培养推理意识。题型涵盖判断、实际应用（如微信账单、零件尺寸）等，基础随测与变式题结合，助力学生用数学语言表达现实问题，发展抽象能力与模型意识。

＆1.1 正数与负数 目标 1. 了解一对具有相反意义的量；会表示具有相反意义的量； 2. 知道正数和负数的含义；0的特殊性； 3. 掌握有理数的概念及其不同分类方法； 难点 1.重点 （1）判断一对具有相反意义的量； （2）有理数的有关概念辨析； （3）学会将已知的一组数据进行归类； 2.难点 不同数集之间的联系，如①.正数与正有理数数，②.负数与非负分数等； 知识要点1 正数与负数 1.具有相反意义的量 ①具有相反意义的量 定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 实例1 上海某一天的最高气温是零上5℃,最低气温是零下2℃.零上5℃表示比0℃高5℃,零下2℃表示比0℃低2℃.零上温度和零下温度是具有相反意义的量. 实例2 在地形图上表示某地高度时，需要以海平面为基准.珠穆朗玛峰最高处高于海平面约8848.86 m,吐鲁番盆地最低处低于海平面约154.31m.海平面以上高度和海平面以下高度也是具有相反意义的量. ②表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 特别提醒 用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 2.正数与负数 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7. 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 要点： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略. （2）一般地，我们可以用正数和负数来表示一个问题中出现的具有相反意义的量。但哪种为正可任意选择，我们习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 知识要点2 有理数 1.有理数的概念 ①整数：像8、-12分别是正整数、负整数，它们和零都是整数；我们把正整数、0、负整数统称整数． ②分数：0.25，，，是正分数，，是负分数，正分数和负分数都是分数. ③所有的整数都可以用分数表示：所有的整数都可以写成分母为1的分数，如， ④★有理数：能够写成分数（a，b是整数，a≠0）的数叫有理数。 2.有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　 　　　 　　 按意义分：；按符号分：． 要点： （1）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如． （2）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数； 知识要点3 自然数、整数、有理数的关系 小学学完的自然数是整数的一部分、整数是有理数的一部分，它们之间的关系如图所示： 拓展概念—数集：数集是满足特定性质的数组成的集合。例如，所有有理数组成有理数集合；所有正整数组成正整数集合......... 【基础随测】 1．下列说法错误的是（ ） A．收入200元和支出300元是相反意义的量 B．向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量 C．节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量 D．存款2000元和取款3160元是相反意义的量 2．如果米表示向东走千米，那么米表示（ ） A. 向东走米 B. 向西走米 C. 向东走米 D. 向西走米 3.在、0、、π、、中，有理数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．下列说法正确的是（    ） A．0是最小的整数 B．正整数、0、负整数统称为整数 C．有理数不是正数就是负数 D．是无限不循环小数，所以不是有理数 5．将下列数字填入圈内：25，，，0，，． 6．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合： 　　 ， 负整数集合： 　　 ， 正分数集合： 　　 ， 非负整数集合： 　　 ． 【题型1 具有相反意义的量的表示】 手机移动支付给生活带来便捷．如图是孙老师2026年4月6日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），孙老师当天微信收支的最终结果是　　 A．收入19元 B．支出8元 C．支出5元 D．收入6元 【变式1-1】．小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（　　） A．表示收入1.00元 B．表示支出1.00元 C．表示支出元 D．收支总和为6.20元 【变式1-2】．在人类生活中，早就存在着收入与支出，盈利与亏本等具有相反意义的现象，需要用正负数表示这些相反意义的量．史料证明：追溯到两千多年前，中国人就开始使用负数，且在世界上也是首创．而中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么元表示（   ） A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元 【题型2 判断具有相反意义的量】 下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 【变式2-1】．下列是具有相反意义的量是（　　） A．身高增加1cm和体重减少1kg B．顺时针旋转90°和逆时针旋转45° C．向右走2米和向西走5米 D．购买5本图书和借出4本图书 【变式2-2】．某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 【题型3 正数和负数的区分】 关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是　　 A．，0是整数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【变式3-1】．在，，，，，，，这些数中，正数有 ，负数有 ． 【变式3-2】．在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【题型4 正数和负数的实际应用】 某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 【变式4-1】．一种零件，标明的要求是，这种零件的合格品的最大直径是 ，最小直径是 ，若直径是9.96，此零件为 （选填“合格品”或“不合格品”）． 【变式4-2】．如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上为正）． (1)若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？ (2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？ 【题型5 判断是否属于有理数】 下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】．下列数字中，有理数有　　个． A．6 B．5 C．3 D．7 【变式5-2】．下列各数，，13，0，，，，，正有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型6 带“非”字的有理数】 下列说法正确的是　 ( )　 A．整数就是正整数和负整数 B．负整数的相反数就是非负整数 C．有理数中不是负数就是正数 D．零是自然数，但不是正整数 【变式6-1】．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】．在，，0，，，，，7中，非负数有　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式6-3】．a是最小的正整数，b是最小的非负数，m是最大的负整数，则a+b+m= ． 【题型07 “0”的综合辨析】 下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-1】．下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式7-2】．下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 【题型08 有理数的综合辨析】 下列说法正确的是（   ） A．是最大的负有理数 B．有理数包括整数、分数和零 C．整数只包括正整数和负整数 D．没有最小的有理数 【变式8-1】．下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【变式8-2】．下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型09 有理数的分类】 把下面个各数填入相应的大括号内，5，0，，3.14，，，，． 负数集合： 　 　， 非负数集合： 　　 ， 整数集合： 　　 ， 负分数集合： 　　 ． 【变式9-1】．把下列各数对应的序号分别填入相应的大括号内： ①；②；③；④；⑤；⑥0；⑦；⑧2024；⑨． 整数集合：； 正分数集合：； 非正数集合：； 自然数集合：． 【变式9-2】．如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内：，﹣7，+2.8，﹣900，﹣3，99.9，0，4． 一、单选题 1．最小的自然数是（    ） A．0 B．1 C．没有 D．以上说法都不对 2．在数π，0，，，，25中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数； B．分数包括正分数、负分数和零； C．有理数分为正有理数、负有理数和零； D．整数包括正整数和负整数． 4．在，，，，，，，中，非负整数有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．下列说法中，错误的是（   ） A．0既不是正数也不是负数 B．只要能够写成分数形式（、是整数，）的数都是有理数 C．0是自然数，也是整数，还是有理数 D．有理数可分为正有理数和负有理数 6．下列说法正确的是（   ） A．整数只包括正整数和负整数 B．非负整数是自然数 C．若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除 D．最小的素数是1 二、填空题 7．在，25，0，，中，非负数是 ． 8．能够写成分数（，是整数，）的数叫做 ． 9．在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 10．写出所有比3小的自然数 ． 11．小红在银行存入500元，记为元，那么支出350元，记为 元． 12．如果体重减少2千克记作“千克”，那么“增重2千克”表示 千克 13．如果把盈利50元记作+50元，那么亏损20元记作 元． 14．如果规定向东走为正，那么走表示的意义是 ． 15．如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作 ． 三、解答题 16．把下列各数填在适当的内： 9， 0，， ， ， 26， 17．（1）把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，11，， （2）图中区表示________数，区表示________数． 18．在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差 城市 时差/h 悉尼 2 罗马 伦敦 纽约 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间， (1)若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为___________； (2)从左到右五个时钟对应的城市分别为：①___________  ②___________  ③___________  ④___________  ⑤___________． 19．任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：可以写成可以写成，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数为例，进行探索： 设，① 两边同乘以得： ，② ②-①得： 因此，是有理数． （1）直接用分数表示循环小数 （2）试说明是一个有理数，即能用一个分数表示． 学科网（北京）股份有限公司 $ ＆1.1 正数与负数 目标 1. 了解一对具有相反意义的量；会表示具有相反意义的量； 2. 知道正数和负数的含义；0的特殊性； 3. 掌握有理数的概念及其不同分类方法； 难点 1.重点 （1）判断一对具有相反意义的量； （2）有理数的有关概念辨析； （3）学会将已知的一组数据进行归类； 2.难点 不同数集之间的联系，如①.正数与正有理数数，②.负数与非负分数等； 知识要点1 正数与负数 1.具有相反意义的量 ①具有相反意义的量 定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 实例1 上海某一天的最高气温是零上5℃,最低气温是零下2℃.零上5℃表示比0℃高5℃,零下2℃表示比0℃低2℃.零上温度和零下温度是具有相反意义的量. 实例2 在地形图上表示某地高度时，需要以海平面为基准.珠穆朗玛峰最高处高于海平面约8848.86 m,吐鲁番盆地最低处低于海平面约154.31m.海平面以上高度和海平面以下高度也是具有相反意义的量. ②表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 特别提醒 用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 2.正数与负数 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 要点： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略. （2）一般地，我们可以用正数和负数来表示一个问题中出现的具有相反意义的量。但哪种为正可任意选择，我们习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 知识要点2 有理数 1.有理数的概念 ①整数：像71、-12分别是正整数、负整数，它们和零都是整数；我们把正整数、0、负整数统称整数． ②分数：和是正分数，和是负分数，正分数和负分数都是分数。 ③所有的整数都可以用分数表示：所有的整数都可以写成分母为1的分数，如， ④有理数：能够写成分数（a，b是整数，a≠0）的数叫有理数。 2.有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　 　　　 　　 要点： （1）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如． （2）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数； 知识要点3 自然数、整数、有理数的关系 自然数是整数的一部分、整数是有理数的一部分，它们之间的关系如图所示： 拓展概念—数集：数集是满足特定性质的数组成的集合。例如，所有有理数组成有理数集合；所有正整数组成正整数集合......... 【基础随测】 1．下列说法错误的是（ ） A．收入200元和支出300元是相反意义的量 B．向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量 C．节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量 D．存款2000元和取款3160元是相反意义的量 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的量．根据相反意义的量依次进行判断即可得． 【解析】解：A、收入和支出具有相反意义，该选项正确，不符合题意； B、向北和向南具有相反意义，该选项正确，不符合题意； C、节约粮食和浪费水不具有相反意义，该选项不正确，符合题意； D、存款和取款具有相反意义，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 2. 如果米表示向东走千米，那么米表示（ ） A. 向东走米 B. 向西走米 C. 向东走米 D. 向西走米 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负号表示相反方向的意义，即可求解． 解析】解：米表示向东走千米， 米表示向西走米， 故选：B． 3. 在、0、、π、、中，有理数有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数分为整数和分数进行逐个分析，即可作答． 【解析】解：∵是有限小数，∴是有理数； ∵0是整数，∴0是有理数； ∵是分数，∴是有理数； ∵ π是无限不循环小数，∴π不是有理数； ∵是整数，∴是有理数； ∵是有限小数，∴是有理数，∴有理数有5个， 故选：D 4．下列说法正确的是（    ） A．0是最小的整数 B．正整数、0、负整数统称为整数 C．有理数不是正数就是负数 D．是无限不循环小数，所以不是有理数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，根据有理数的相关知识逐项判断即可． 【解析】解：A、整数分为负整数、0和正整数，故0不是最小的整数，故此选项说法错误，不符合题意； B、正整数、0、负整数统称为整数，故此选项说法正确，符合题意； C、有理数不是正有理数就是负有理数，还包括0，故此选项说法错误，不符合题意； D是无限循环小数，所以是有理数，故此选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 5．将下列数字填入圈内：25，，，0，，． 【分析】根据非正数就是负数和0，非负数就是正数和0，整数包含正整数，负整数和0解决此题． 【解答】解：答案如图所示： 6.请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合： 　1，0.0708，3.14，，　， 负整数集合： 　　， 正分数集合： 　　， 非负整数集合： 　　． 【分析】根据有理数的分类填写即可． 【解答】解：正有理数集合：，0.0708，3.14，，， 负整数集合：，， 正分数集合：，3.14，，， 非负整数集合：，0，． 故答案为：1，0.0708，3.14，；；0.0708，3.14，；1，0． 【题型1 具有相反意义的量的表示】 手机移动支付给生活带来便捷．如图是孙老师2023年4月6日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），孙老师当天微信收支的最终结果是　　 A．收入19元 B．支出8元 C．支出5元 D．收入6元 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则求和即可． 【解答】解：（元， 故选：． 【变式1-1】．小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（　　） A．表示收入1.00元 B．表示支出1.00元 C．表示支出元 D．收支总和为6.20元 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】根据表示收入5.20元，可以得出“收入”用正数表示，从而“支出”就用负数表示，得出答案． 【详解】解：∵表示收入5.20元，“收入”用正数表示， ∴“支出”就用负数表示， ∴表示支出1.00元， 故选：B． 【变式1-2】．在人类生活中，早就存在着收入与支出，盈利与亏本等具有相反意义的现象，需要用正负数表示这些相反意义的量．史料证明：追溯到两千多年前，中国人就开始使用负数，且在世界上也是首创．而中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么元表示（   ） A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【解析】解：“收入100元”记作“元”，那么“元”表示支出60元， 故选：C． 【题型2 判断具有相反意义的量】 下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 【答案】C 【分析】此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量的定义进行判断即可． 【解析】解：A、盈利和亏损元，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； B、浪费水和节约水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； C、进三个球和输三场比赛，不是互为相反意义的量，故选项符合题意； D、上升和下降，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】．下列是具有相反意义的量是（　　） A．身高增加1cm和体重减少1kg B．顺时针旋转90°和逆时针旋转45° C．向右走2米和向西走5米 D．购买5本图书和借出4本图书 【答案】B 【分析】相反意义的量主要记住两个因素，第一，同一属性，第二，意义相反． 【解析】解：A、身高和体重不是相反的量，不符合题意； B、顺时针旋转与逆时针旋转是具有相反意义的量，符合题意； C、向右和向西不是相反的量，不符合题意； D、购买和借出不是相反的量，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查相反意义的量，解题关键：掌握相反意义的量的两个关键因素，必须是同一属性，意义相反． 【变式2-2】．【例1-3】某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 【答案】(1)5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm (2)身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0 【知识点】相反意义的量 【分析】（1）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （2）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （3）根据题意作答即可． 【详解】（1）5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm； （2）身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm； （3）既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0． 【题型3 正数和负数的区分】 关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是　　 A．，0是整数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【分析】根据有理数的分类即可得． 【解答】解：、，0是整数，此结论正确； 、，0.41，3.14是正数，0既不是正数也不是负数，此结论错误； 、，，0.41，，0，3.14是有理数，此结论正确； 、，是负数，此结论正确； 故选：． 【变式3-1】．在，，，，，，，这些数中，正数有 ，负数有 ． 【答案】 ，，， ，， 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数都大于0，负数都小于0即可得解，熟练掌握正负数的定义是解此题的关键． 【解析】解：由题意可得：正数有：，，，；负数有：，，； 故答案为：，，，；，，． 【变式3-2】．在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 【解析】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，； 负数有，； 0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 【题型4 正数和负数的实际应用】 某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 【答案】见详解 【知识点】正负数的实际应用 【分析】根据题意，可得合格范围，根据合格范围，可得答案． 本题主要考查了正数和负数的意义，理解正数和负数的意义是解题的关键． 【详解】解：表示比多，表示比少； 所以产品合格的容量为这个范围内， 所以抽查样品容量，，，，，只有不合格，其它的都合格． 【变式4-1】．一种零件，标明的要求是，这种零件的合格品的最大直径是 ，最小直径是 ，若直径是9.96，此零件为 （选填“合格品”或“不合格品”）． 【答案】 10.04 9.97 不合格品 【知识点】正负数的实际应用 【分析】首先要弄清标明的要求是的含义，根据具体的直径要求不难求得最大直径和最小直径，然后检验直径是9.96是否在要求的范围内，在就是合格，否则不合格． 【详解】解：∵一种零件，标明直径的要求是， ∴这种零件的合格品最大的直径是：10＋0.04＝10.04；最小的直径是：10−0.03＝9.97， ∵9.96＜9.97， ∴直径是9.96，此零件为不合格品， 故答案为：10.04，9.97，不合格品． 【点睛】本题考查实际生活中符号与数学知识的联系，理解“正”和“负”的相对性，确定合格品的直径范围是解决问题的关键． 【变式4-2】．如图，一名跳水运动员参加跳台的跳水比赛（跳台是指跳台离水面的高度为），这名运动员举高手臂时身长为，跳水池池深为（规定向上为正）． (1)若以水面为基准，则这名运动员指尖的高度及池底的深度分别如何表示？ (2)若以跳台为基准，则池底的深度与水面的高度分别如何表示？ 【答案】(1)这名运动员指尖的高度为，池底的深度为； (2)池底的深度为，水面的高度为． 【分析】（1）利用正数和负数的意义来表示； （2）利用正数和负数的意义来表示． 【解析】（1）解：（米） ∴以水面为基准，这名运动员指尖的高度为，池底的深度为； （2）解：（米） ∴以跳台为基准，池底的深度为，水面的高度为． 【点睛】本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【题型5 判断是否属于有理数】 下列各数中，0，，，，有理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，有理数是包括分数、有限小数与无限循环小数；据此判断即可． 【解析】解：，0，，都是有理数； 故选：D． 【变式5-1】．下列数字中，有理数有　　个． A．6 B．5 C．3 D．7 【答案】A 【分析】根据有理数的分类即可得出答案． 【解答】解：有理数有：，1.2，0，3.14，，， 故选：． 【变式5-2】．下列各数，，13，0，，，，，正有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了正有理数“大于0的有理数称为正有理数”，熟记正有理数的定义是解题关键．根据正有理数的定义求解即可得． 【解析】解：13，和都是正有理数，共有3个， 故选：A． 【题型6 带“非”字的有理数】 下列说法正确的是　　 A．整数就是正整数和负整数 B．负整数的相反数就是非负整数 C．有理数中不是负数就是正数 D．零是自然数，但不是正整数 【答案】D 【分析】按照有理数的分类填写： 有理数． 【解答】解：、整数就是正整数和负整数，还有0，故本选项错误； 、负整数的相反数就是正整数，故本选项错误； 、有理数中不是负数就是正数，还有0，故本选项错误； 、零是自然数，但不是正整数，本选项正确； 故选：． 【变式6-1】．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 【解析】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， 故选：B． 【变式6-2】．在，，0，，，，，7中，非负数有　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】根据有理数的分类及定义进行判断即可． 【解答】解：，，0，，7是非负数，共5个， 故选：． 【变式6-3】．a是最小的正整数，b是最小的非负数，m是最大的负整数，则a+b+m= ． 【答案】0． 【分析】a是最小的正整数,则为1，b是最小的非负数则为0，m是最大的负整数，则为-1，代入求值即可. 【解析】解：a是最小的正整数,则为a=1. b是最小的非负数则为b=0. m是最大的负整数，则为c=-1. a+b+m=1+0+(-1)=0   故答案为0. 【点睛】本题考查的知识为整数，非负数的理解，掌握即可. 题型07 “0”的综合辨析 下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确； ②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误， ③可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误； ⑤0是自然数，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共3个， 故选：B． 【变式7-1】．下面关于0的说法： （1）0是最小的正数； （2）0是最小的非负数； （3）0既不是正数也不是负数； （4）0既不是奇数也不是偶数； （5）0是最小的自然数； （6）海拔0m就是没有海拔． 其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】有理数的定义、0的意义 【分析】0既不是正数也不是负数，是最小的非负数，最小的自然数，是偶数，判断即可得到结果． 【详解】解：（1）0是最小的正数，错误，0不是正数也不是负数； （2）0是最小的非负数，正确，非负数即为正数与0； （3）0既不是正数也不是负数，正确； （4）0既不是奇数也不是偶数，错误，0是偶数； （5）0是最小的自然数，正确； （6）海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同； 则正确的说法有3个． 故选：D． 【变式7-2】．下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 【答案】D 【分析】本题考查了0的归类及性质．根据0在有理数中的归类性质，逐项做出判断即可． 【解析】A、0是整数，∴A正确； B、0既不是正数，也不是负数，∴B正确； C、0乘任何有理数仍得0，∴C正确； D、0除以0，没有意义，∴D不正确． 故选：D． 【题型08 有理数的综合辨析】 下列说法正确的是（   ） A．是最大的负有理数 B．有理数包括整数、分数和零 C．整数只包括正整数和负整数 D．没有最小的有理数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的分类和意义，逐一分析即可判断求解，掌握有理数的分类和意义是解题的关键． 【解析】解：A、是最大的负整数，该选项错误，不合题意； B、有理数包括整数和分数，该选项错误，不合题意； C、整数包括了正整数、负整数和，该选项错误，不合题意； D、没有最小的有理数，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式8-1】．下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 【解析】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式8-2】．下列关于有理数的描述：（   ） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键． 【解析】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选C． 【题型09 有理数的分类】 把下面个各数填入相应的大括号内，5，0，，3.14，，，，． 负数集合： 　，，，　， 非负数集合： 　　， 整数集合： 　　， 负分数集合： 　　． 【分析】根据有理数的分类直接得答案． 【解答】解：下列数中：，5，0，，3.14，，，，． ， 负数有：，，，； 非负数有：5，0，3.14，，； 整数有：5，0，，，； 负分数有：，，． 故答案为：，，，；5，0，3.14，，；5，0，，，；，，． 【变式9-1】．把下列各数对应的序号分别填入相应的大括号内： ①；②；③；④；⑤；⑥0；⑦；⑧2024；⑨． 整数集合：； 正分数集合：； 非正数集合：； 自然数集合：． 【答案】①⑥⑧⑨；②④⑤；①③⑥⑦；⑥⑧⑨ 【分析】本题考查有理数的分类．根据有理数的分类即可求出答案． 【解析】解：， 整数集合{①⑥⑧⑨……}； 正分数集合{②④⑤……}； 非正数集合{①③⑥⑦……}； 自然数集合{⑥⑧⑨……}． 【变式9-2】．如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内：，﹣7，+2.8，﹣900，﹣3，99.9，0，4． 【答案】见解析 【分析】根据负数、整数、正数的定义解决此题． 【解析】解：根据负数的定义，负数有、﹣7、﹣900、﹣3； 根据整数的定义，整数有﹣7、﹣900、0、4． 根据正数的定义，正数有+2.8、99.9、4． ∴既是负数又是整数的有﹣7、﹣900；既是整数又是正数的有4． 【点睛】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握负数、整数、正数的定义是解题关键． 可以尝试先求出公共部分，如负数和整数的公共部分就是负整数，剩下的逐一按概念进行判断。 一、单选题 1．最小的自然数是（    ） A．0 B．1 C．没有 D．以上说法都不对 【答案】A 【知识点】有理数的定义 【分析】自然数包括和正整数，最小的自然数是 【详解】根据题意：最小的自然数是， 故选：A 【点睛】本题考查了自然数的定义，掌握自然数的定义是解决问题的关键 2．在数π，0，，，，25中，有理数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】有理数的定义 【分析】根据有理数的概念进行解答． 【详解】解：π不是有理数； 0，25，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，，是有限小数，属于有理数； 故有理数有0，，，，25，共5个． 故选：D． 【点睛】本题考查的是认识有理数问题，关键是能判断一个数是否是有理数． 3．下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数； B．分数包括正分数、负分数和零； C．有理数分为正有理数、负有理数和零； D．整数包括正整数和负整数． 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类．根据有理数的分类“有理数分为正有理数、0和负有理数”进行解答即可． 【详解】解：A、有理数包括正数、负数和0，本选项不符合题意； B、分数包括正分数、负分数，本选项不符合题意； C、有理数分为正有理数、负有理数和零，本选项符合题意； D、整数包括正整数，负整数和零，本选项不符合题意； 故选：C． 4．在，，，，，，，中，非负整数有（       ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的识别，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键． 根据非负整数的定义逐一判断即可． 【详解】解：非负整数为：，； 故选：C． 5．（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．0既不是正数也不是负数 B．只要能够写成分数形式（、是整数，）的数都是有理数 C．0是自然数，也是整数，还是有理数 D．有理数可分为正有理数和负有理数 【答案】D 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是自然数，也是整数，还是有理数，但不是正数也不是负数． 根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，正确，故此选项不符合题意； B、只要能够写成分数形式（、是整数，）的数都是有理数，正确，故此选项不符合题意； C、0是自然数，也是整数，还是有理数，正确，故此选项不符合题意； D、有理数可分为正有理数、0、负有理数，原就法错误，故选项符合题意． 故选：D． 6．下列说法正确的是（   ） A．整数只包括正整数和负整数 B．非负整数是自然数 C．若整数m除以整数n恰好能除尽，则m一定能被n整除 D．最小的素数是1 【答案】B 【知识点】有理数的分类、数的整除、质数与合数 【分析】本题考查了有理数的分类，数的整除及素数的定义，关键分清整数和自然数的区别和联系．根据各选项的说法，挨个判断其正确与否，然后做出判断． 【详解】解：A、因为整数包括正整数、负整数和0，所以原说法错误； B、因为非负整数是和正整数，则非负整数是自然数，所以原说法正确； C、因为若整数m除以整数n恰好能除尽，则m不一定能被n整除，如：，则能除尽，但是10不能被4整除，所以原说法错误； D、最小的素数是2，所以原说法错误； 故选：B． 二、填空题 7．在，25，0，，中，非负数是 ． 【答案】25，0， 【知识点】带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数，利用有理数中非负数的概念解答． 【详解】解：在，25，0，0.02，中，非负数是25，0，0.02． 故答案为：25，0，0.02． 8．能够写成分数（，是整数，）的数叫做 ． 【答案】有理数 【知识点】有理数的分类 【分析】此题主要考查了有理数的概念，有理数分为整数和分数，而整数和分数都可以写出分数（，是整数，）的形式，据此可得答案． 【详解】解：能够写成分数（，是整数，）的数叫做有理数， 故答案为：有理数． 9．在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 【答案】6 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个， 故答案为；6． 10．写出所有比3小的自然数 ． 【答案】2、1、0 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的概念，根据自然数的定义即可求解． 【详解】解：比3小的自然数有2、1、0， 故答案为：2、1、0． 11．小红在银行存入500元，记为元，那么支出350元，记为 元． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：小红在银行存入500元，记为元，那么支出350元，记为元． 故答案为：． 12．如果体重减少2千克记作“千克”，那么“增重2千克”表示 千克 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】根据正负数的意义进行解答即可． 【详解】解：如果体重减少2千克记作“千克”，那么“增重2千克”表示千克． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键是理解题意，掌握具有相反意义的量． 13．如果把盈利50元记作+50元，那么亏损20元记作 元． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】根据相反意义的量的定义即可得． 【详解】解：因为盈利和亏损是一对相反意义的量，所以亏损20元记作 元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反意义的量，会用相反数表示相反意义的量是解题关键． 14．如果规定向东走为正，那么走表示的意义是 ． 【答案】向西走米 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查相反意义的量，根据向东为正，得出向西走即为负是解题的关键．利用相反意义的量可知向东为正，那么向西走即为负，即可得出结论． 【详解】向东走为正， 表示的意义是向西走米， 故答案为：向西走米． 15．如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】此题主要考查了用正负数来表示具有意义相反的两种量：把海平面作为标准，记为米，那么超出的就记为正，不足的就记为负，直接得出结论即可，正确理解正负数来表示具有意义相反的两种量是解题的关键． 【详解】解：如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作， 故答案为：． 三、解答题 16．把下列各数填在适当的内： 9， 0，， ， ， 26， 【答案】正整数：9，26； 负整数：，； 自然数：9，0，26． 【知识点】有理数的定义 【分析】根据正整数、负整数、自然数的定义进行分类即可． 【详解】解：在9， 0，， ，， 26， 中， 其中正整数有：9，26； 负整数有：，； 自然数有：9，0，26． 填数如下图： 【点睛】本题考查了正整数、负整数、自然数的定义，熟练掌握正整数、负整数、自然数的定义是解题的关键． 17．（1）把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，11，， （2）图中区表示________数，区表示________数． 【答案】（1）见解析；（2）正整，负整 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是熟练掌握正数、负数和整数的定义． （1）分别根据正数、负数和整数的定义，把各数填在相应的数集里即可； （2）根据A，B两区填的数进行解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得， （2）图中A区表示正整数，B区表示负整数， 故答案为：正整，负整． 18．在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差 城市 时差/h 悉尼 2 罗马 伦敦 纽约 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间， (1)若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为___________； (2)从左到右五个时钟对应的城市分别为：①___________  ②___________  ③___________  ④___________  ⑤___________． 【答案】(1)11月12日凌晨1点10分 (2)悉尼，北京，纽约，伦敦，罗马 【分析】（1）根据伦敦与北京的时差，确定出伦敦时间即可； （2）根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【解析】（1）解：由伦敦与北京的时差为， ∴北京时间是11月12日上午9点10分，此时伦敦时间为11月12日凌晨1点10分． 故答案为：11月12日凌晨1点10分． （2）解：由第一个时钟与第二个时钟相差2个小时， 所以第一个时钟表示的是悉尼时间，第二个时钟表示的北京时间， 结合表格信息可得：第三个时钟与北京时间相比，早13个小时，所以是纽约时间， 第四个时钟与北京时间相比，早8个小时，所以是伦敦时间， 第五个时钟与北京时间相比，早7个小时，所以是罗马时间， 所以五个城市依次为：悉尼，北京，纽约，伦敦，罗马． 故答案为：悉尼，北京，纽约，伦敦，罗马． 【点睛】本题考查了正数与负数的含义，弄清各城市与北京的时差是解本题的关键． 19．任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：可以写成可以写成，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数为例，进行探索： 设，① 两边同乘以得： ，② ②-①得： 因此，是有理数． （1）直接用分数表示循环小数 （2）试说明是一个有理数，即能用一个分数表示． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）设，两边乘10，仿照例题可解； （2）设，两边乘100，仿照例题可化简求解． 【解析】解：（1）设，① 两边乘10得：，② ②-①得：， ∴， ∴； （2）设，① 两边同乘以得：，② ②-①得： ， 因此是有理数 【点睛】本题需理解题中的例子，将一个循环小数化为分数的方法，需要学生有很好的分析理解能力． 目标与难点 学科网（北京）股份有限公司 $