第3章 一元一次方程（知识清单）数学沪教版五四制2024六年级上册

第3章 一元一次方程 一、方程与列方程 1. 方程的概念：含有未知数的 叫作方程 2. 方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值 ，那么这个 叫作方程的解. 二、等式的性质 等式性质1    等式两边加（或减） ，等式仍成立.如果a=b,那么a+c=b+c,a−c=b−c. 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以 的数，等式仍成立.如果a=b，那么ac=bc;如果a=c,那么(c≠0). 三、一元一次方程 1. 概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋＝19这样等号两边都是整式，且只含有 ，未知数的 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 四、一元一次方程的解法 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 五、列方程解应用题一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 六、列一元一次方程解应用题的常见题型 1.和差倍分问题 （1）和、差关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现. （2）倍、分关系：通过关键词语“是几倍、增加几倍、增加到几倍、是几分之几. （3）比例问题：全部数量=各种成分的数量之和.此类题目通常把一份设为x. 解题的关键是弄清“倍、分”关系及“和、差”关系. 2.数字问题 （1）多位数的表示方法： ①若一个两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，则这个两位数是10b+a ②若一个三位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数是100c+10b+a ③四、五…位数依此类推。 （2）连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数）或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数）或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 解题的关键是抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 3.行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 解题的关键是抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 4.工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 5.比赛积分问题 关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有: 每队的胜场数+负场数+平场数=这个队比赛场次；得分总数+失分总数=总积分 易错点1：判断一元一次方程失误 1．（24-25六年级上·上海·月考）下列各方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一元一次方程的一次项是 ． 4.（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为 ． 5．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 6．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 7．（24-25六年级上·上海·期末）已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，非零有理数、、、满足、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值． 易错点2：解方程步骤类错误 （1）去分母漏乘（2）去括号符号出错（3）移项忘变号（4）系数化为 1 颠倒被除数与除数 9．（25-26六年级上·上海崇明·期中）解方程：． 10．（25-26六年级上·上海宝山·期中）解方程：． 11．（25-26六年级上·上海宝山·期中）解方程：． 12．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1) (2)． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 14．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：． 15．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 16．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2) 17．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 19．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 易错点3：列方程解应用题实际应用类错误 （1）等量关系建立错误（2）忽略实际意义检验（3）单位不统一 20．（24-25六年级上·上海·阶段练习）某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程 ． 21．（25-26六年级上·上海·月考）将正整数按如下方式排列：    在这个数阵里用长方形框出两行六个数（图中长方形框仅为示意）．如果框出来的六个数的和是432，则框出的六个数中，最小的数是最大的数的 （填几分之几）． 22．（24-25六年级上·上海·阶段练习）参观上海科技馆的成人票、学生票分别为60元、45元．某天科技馆卖出成人票、学生票共1000张，票务收入51000元，问这两种票各卖多少张？ 23．（24-25六年级上·上海·阶段练习）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 24．（24-25六年级上·上海·期末）为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 25．（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 26．（25-26六年级上·上海闵行·期中）开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 27．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 28．（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 29．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如图，数轴的单位长度为1，点A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K中相邻两点的长度都是1个单位长度． (1)如果点D、H表示的数是互为相反数，那么原点是点 ； (2)如果点A、G表示的两个数的绝对值相等，那么点K表示的数是 ； (3)如果点I为原点，数轴上某个点到点D的距离是到点G的距离的2倍，这个点表示的数是 ． 30．（25-26六年级上·上海松江·期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点、、所表示的数分别为1、3、4，则点是点、的“倍距点”，如图所示： (1)在数轴上，若点表示的数为，点表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为、、，则其中是点、的“倍距点”的是______． (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒（）．当点为点、的“倍距点”时，求的值． (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点为数轴上的一个动点，且点在点右侧．若点、、中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点表示的数． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（   ） A．1 B．0 C． D． 3．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若．则 5．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若是方程的解，则 . 7．（24-25六年级上·上海·月考）已知关于的方程无解，则的值为 ． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 9．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 10．（25-26六年级上·上海松江·期中）某校六年级共有学生120人，其中男生占，后来又转来几名女生，这时男生占总人数的，转来的女生有 人． 11．有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲重6千克，乙重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲上切下的部分与乙的剩余部分一起熔炼，再将乙上切下的部分与甲的剩余部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，则从甲、乙两块合金上各切下的重量是 千克． 12．（24-25六年级上·上海·月考）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 13．（25-26六年级上·上海·阶段练习）如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为 ． 三、解答题 14．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）解方程： 15．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程： 16．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：． 17．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程： 18．（25-26六年级上·上海·阶段练习）某数的比还少0.5，求这个数． 19．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 20．（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 21．六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些学生参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组人数的，二班参加天文小组的人数恰好是一班没有参加天文小组人数的．问：六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组的各有多少人？ 22．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 23．（24-25六年级上·上海闵行·期末）数学课上老师提出了这样一个问题： 运动员小丽，小明在400米长的环形跑道上练习长跑，已知小丽的速度为170米/分，小明的速度为250米/分． (1)如果两人同时由同一起点同向出发，求两人第一次相遇的时间． (2)老师对这个问题进一步展开研究，如果两人同时由同一起点同向出发，他认为既然可以算出第一次相遇的时间，那一定可以算出第二次，第三次……第a次（a为正整数）相遇的时间． ①用含有a的代数式表示出两人第a次相遇的时间； ②当两人恰好在起点处相遇，求a满足的条件． (3)小闵认为类比老师的研究方法，如果两人同时由同一起点反向出发，可以得到两人在起点处相遇和两人相遇次数的规律．请你找到这个规律，并说明理由． 24．（25-26六年级上·上海闵行·期中）定义：数轴上两点间的距离是指这两点所对应数的差的绝对值，即如果数m、n在数轴上对应的点分别是M、N，那么点M、N之间的距离． 已知，求的值．为了求出，可以用如下方法： 在数轴上，数对应的点分别是点A、B，数对应点． (1)点A、B之间的距离，当点在线段上时，，即当时，__________（填含的式子）； (2)根据可知，此时点到点A、B的距离之和比线段上的点到A、B的距离之和大，因此点不在线段上，根据上述信息，求点对应的数； (3)已知，求的值． 25．（25-26六年级上·上海·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)如图，折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是___________；如果数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合，那么这两点中折痕左侧的点表示的数是___________． (2)如图，点表示的数分别是，数轴上有一点，使点到点的距离是点到点距离的倍，那么点表示的数是___________． (3)如图，若将此纸条沿、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数是___________． (4)现有一点在数轴上从原点开始，第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位，第次向左平移个单位，第次向右平移个单位，，依此规律平移，当它平移第次后，点表示的数是___________． 26．（24-25六年级上·上海闵行·期中）【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次方程 一、方程与列方程 1. 方程的概念：含有未知数的等式叫作方程 2. 方程的解：如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫作方程的解. 二、等式的性质 等式性质1    等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立.如果a=b,那么a+c=b+c,a−c=b−c. 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.如果a=b，那么ac=bc;如果a=c,那么(c≠0). 三、一元一次方程 1. 概念 像2x＋1＝x＋5 ，x＋＝19这样等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1 的方程，叫作一元一次方程. 2. 一元一次方程的特点 (1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数都是1；(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3. 一元一次方程的标准形式 任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0. 我们把ax＋b＝0(a ≠ 0)叫作一元一次方程的标准形式. 四、一元一次方程的解法 （1）解一元一次方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． （2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号． （3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负． 五、列方程解应用题一般步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 六、列一元一次方程解应用题的常见题型 1.和差倍分问题 （1）和、差关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现. （2）倍、分关系：通过关键词语“是几倍、增加几倍、增加到几倍、是几分之几. （3）比例问题：全部数量=各种成分的数量之和.此类题目通常把一份设为x. 解题的关键是弄清“倍、分”关系及“和、差”关系. 2.数字问题 （1）多位数的表示方法： ①若一个两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，则这个两位数是10b+a ②若一个三位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数是100c+10b+a ③四、五…位数依此类推。 （2）连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数）或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数）或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 解题的关键是抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 3.行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 解题的关键是抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 4.工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 5.比赛积分问题 关键是要了解比赛的积分规则，规则不同，积分方式不同，常见的数量关系有: 每队的胜场数+负场数+平场数=这个队比赛场次；得分总数+失分总数=总积分 易错点1：判断一元一次方程失误 1．（24-25六年级上·上海·月考）下列各方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、未知数最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不合题意； 故选：C． 2．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）一元一次方程的一次项是 ． 【答案】 【详解】解：一元一次方程的一次项是． 故答案为：． 4.（24-25六年级上·上海闵行·期末）关于x的方程是一元一次方程，那么这个方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， ， 代入得，， 解得：． 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：关于x的方程是一元一次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25六年级上·上海·期末）已知是关于的一元一次方程， (1)求出的值； (2)求出方程的解． 【详解】（1）解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）得， ∴方程为， 整理得， 解得． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，非零有理数、、、满足、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，， ∴， ∴方程为， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵、互为相反数，、互为倒数， ∴，，， ∴原式 ． 易错点2：解方程步骤类错误 （1）去分母漏乘（2）去括号符号出错（3）移项忘变号（4）系数化为 1 颠倒被除数与除数 9．（25-26六年级上·上海崇明·期中）解方程：． 【答案】． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 10．（25-26六年级上·上海宝山·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 移项得：， 整理得：， 系数化为1得：． 11．（25-26六年级上·上海宝山·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘以得． 12．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1) (2)． 【详解】（1）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：. （2）解：，即， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：； （2）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：． 14．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 15．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项， 解得． 16．（25-26六年级上·上海·期中）解方程： (1)． (2) 【详解】（1）解：， 方程可化为， 去分母得，， ， ， ， 解得：． （2）解：， 则， ， 解得， 由绝对值的意义可得，或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解． 17．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： 方程整理得：， ， ， ， ， ， 即方程的解为； （4）解： ∴， 当时，，即， ∴或； 当时，，即， ∴或； 即方程的解为或或或． 18．（24-25六年级上·上海普陀·期末）以下是小普同学解方程的过程． 解：根据等式性质2，方程两边同乘以12，得：    ① 去括号，得：            ② 移项，得：            ③ 合并同类项，得：            ④ 解得：.                ⑤ (1)小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是________；他的解答过程从第______步开始出现错误． (2)请完整写出本题你认为正确的解答过程． 【详解】（1）解：小普同学解答过程中的第③步“移项”的依据是等式的性质1； 他的解答过程从第①步开始出现错误，因为右边的1没有乘以12． 故答案为：等式的性质1，① （2）解： 方程两边同乘以12，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 解得：． 19．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 易错点3：列方程解应用题实际应用类错误 （1）等量关系建立错误（2）忽略实际意义检验（3）单位不统一 20．（24-25六年级上·上海·阶段练习）某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 21．（25-26六年级上·上海·月考）将正整数按如下方式排列：    在这个数阵里用长方形框出两行六个数（图中长方形框仅为示意）．如果框出来的六个数的和是432，则框出的六个数中，最小的数是最大的数的 （填几分之几）． 【答案】 【详解】设最小的数为，则这六个数为， ， ， 解得， 所以最小的数为，最大的数为， 则最小的数是最大的数的． 22．（24-25六年级上·上海·阶段练习）参观上海科技馆的成人票、学生票分别为60元、45元．某天科技馆卖出成人票、学生票共1000张，票务收入51000元，问这两种票各卖多少张？ 【详解】解：设成人票卖出张，则学生票卖出张， 由题意可得：， 解得：， ∴， ∴成人票卖出张，学生票卖出张． 23．（24-25六年级上·上海·阶段练习）自上海迪斯尼开园后一直吸引众多游客，某玩具生产商打算生产米老鼠玩具作为旅游纪念品，并为每个米老鼠玩具配一副手套．如果某车间有28名工人，每人一天平均能生产手套24个或米老鼠玩具16个．那么应分配多少名工人生产手套，多少名工人生产玩具，才能使当天生产的手套和玩具刚好配套？ 【详解】解：设应分配x名工人生产手套，则名工人生产玩具， 根据题意得，， 解得， ∴（名）， ∴应分配16名工人生产手套，则12名工人生产玩具． 24．（24-25六年级上·上海·期末）为了迎接亚洲冬季运动会，哈尔滨市现要修建一条公路，每个工程队单独修建需30天完成，现计划先安排若干个工程队修6天，然后增加3个工程队与之前的工程队一起修2天，完成这条公路修建． 请问具体应先安排几个工程队先修6天？ 【详解】解：设应先安排x个工程队单独修6天’ ， 解得：． 答：应先安排3个工程队单独修6天． 25．（24-25六年级上·上海·期末）一次乒乓球比赛上，一天的单打（一对一）比赛和双打（二对二）比赛共举行了68场，参赛运动员共有208人次，每人只参加一场比赛，这一天举行了几场单打比赛、几场双打比赛? 【详解】解：设这一天举行了场单打比赛，则举行了场双打比赛， 根据题意，可得 ， 解得 （场）， 所以 （场）． 答：这一天举行了32场单打比赛、36场双打比赛． 26．（25-26六年级上·上海闵行·期中）开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的买了一支钢笔，接着又用剩下零用钱的买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了多少钱？ 【详解】设乐乐积攒的零用钱为元， 则一支钢笔花了元，全自动削笔机花了元， 又这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元， 所以，解得， 一支钢笔花了元． 答：乐乐购买这支钢笔花了42元钱． 27．（23-24六年级上·上海徐汇·期末）甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 【详解】解：设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里， 则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间为小时；由于甲丙的速度比为，t小时丙行驶了公里，甲丙间相距公里，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇时甲丙路程的比等于速度的比知，甲行驶的路程是丙行驶的路程的3倍，则丙行驶的路程为公里， 所以丙从出发到C点一共行驶的路程为公里，行驶的时间为小时，剩下的路程为甲丙骑车的路程公里，需要的时间为小时； 由于三人同时到达终点B城，则， 解得：， 则乙步行的路程为（公里）； 答：乙步行的路程为40公里． 28．（24-25六年级上·上海松江·期末）某通讯公司开设了两种通话套餐业务，分别是： ①套餐：用户先缴8元月租，然后每分钟本地通话费用0.2元； ②套餐：用户不用缴纳月租费，每分钟本地通话费用0.3元． (1)设一个月内本地通话时间为分钟，这两种套餐用户每月需缴的费用是多少元？（用含的式子表示） (2)一个月内本地通话多少分钟，两种套餐费用相同？ (3)若张阿姨一个月本地通话约120分钟，请你给她提个建议，应选择哪种套餐更合算？请说明理由． 【详解】（1）解：套餐每月需缴的费用：（元）， 套餐每月需缴的费用：（元）； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：一个月内本地通话80分钟，两种套餐费用相同； （3）解：当时，套餐每月需缴的费用为：（元）， 当时，B套餐每月需缴的费用为：（元）， ∵， ∴选择哪种套餐更合算． 29．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如图，数轴的单位长度为1，点A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K中相邻两点的长度都是1个单位长度． (1)如果点D、H表示的数是互为相反数，那么原点是点 ； (2)如果点A、G表示的两个数的绝对值相等，那么点K表示的数是 ； (3)如果点I为原点，数轴上某个点到点D的距离是到点G的距离的2倍，这个点表示的数是 ． 【详解】（1）解：当点D、H表示的数是互为相反数时，则点D、H在原点的两侧，且到原点的距离相等， 故原点为点， 故答案为：； （2）解：∵点A、G表示的两个数的绝对值相等， ∴点为原点， ∵数轴的单位长度为1， ∴点K表示的数是7， 故答案为：． （3）解：设这个点表示的数为， ∵点I为原点， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当该点在点和点之间时，，解得； 当该点在点右侧时，，解得； 综上：这个点表示的数是1或， 故答案为：1或． 30．（25-26六年级上·上海松江·期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点、、所表示的数分别为1、3、4，则点是点、的“倍距点”，如图所示： (1)在数轴上，若点表示的数为，点表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为、、，则其中是点、的“倍距点”的是______． (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒（）．当点为点、的“倍距点”时，求的值． (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点为数轴上的一个动点，且点在点右侧．若点、、中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点表示的数． 【详解】（1）解：，， ，，，， ∴， ∴其中是点、的“倍距点”的是，； （2）解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为， ∴，， 当时，则， ∴或， 解方程得，解方程得； 当时，则， ∴或， 解方程得（舍去），解方程得； 综上所述，或或； （3）解：设点P表示的数为x， 当点A是点B与点P的“倍距点”时，则， ∴， 解得； 当点B是点A与点P的“倍距点”时，则或， ∴或， 解方程得，解方程得； 当点P是点A与点B的“倍距点”时，则， ∴， 解得； 综上所述，点P表示的数为25或35或55． 一、单选题 1．（24-25六年级上·上海·期末）下列方程中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A.方程整理后为，不含未知数，不符合一元一次方程的定义，不符合题意； B. ，方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C. ，未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； D. 是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义与求解是解题的关键．根据一元一次方程的定义，即含有1个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，据此求出的值，然后再求解方程即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，且， 解得：， 原方程为：， 解得：， 故选：D 3．（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．此题属于易错题，学生往往忽略了这一情况．需要对的取值进行分类讨论：和两种情况． 【详解】解：当，时，方程有无数个解； 当，时，方程只有一个解． 综上所述，方程的解只有一个解或无数个解． 故选：C． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若．则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A、根据等式性质2，两边都除以得，，故这个选项不符合题意； B、根据等式性质2，两边都除以得，，故这个选项不符合题意； C、根据等式性质2，两边都乘以得，，故这个选项不符合题意； D、根据等式性质1，两边同时加得，，故这个选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25六年级上·上海普陀·期末）在解方程时，对该方程变形正确的是．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，分数的基本性质．把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案． 【详解】解：根据分数的基本性质，得：， 故选：B． 二、填空题 6．若是方程的解，则 . 【答案】3 【分析】把解代入方程，解方程求得k值即可． 本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：3． 7．（24-25六年级上·上海·月考）已知关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程整理后，由方程无解得到x前的系数为0即可得到关于的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程有无数多个解，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键． 首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且 解得：， 故答案为：，． 9．（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 10．（25-26六年级上·上海松江·期中）某校六年级共有学生120人，其中男生占，后来又转来几名女生，这时男生占总人数的，转来的女生有 人． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出方程是解题的关键． 先求出男生的人数，设转来的女生有人，再根据不变的是男生人数列一元一次方程求解即可． 【详解】解：初始总人数为120人，男生占，故男生人数为人． 设转来的女生有人，则，解得：． 所以转来的女生人数为人． 11．有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲重6千克，乙重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲上切下的部分与乙的剩余部分一起熔炼，再将乙上切下的部分与甲的剩余部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，则从甲、乙两块合金上各切下的重量是 千克． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设从甲、乙两块合金上各切下千克，可得甲剩下千克，乙剩下千克，进一步可得，再解方程即可． 【详解】解：设从甲、乙两块合金上各切下千克， ∴甲剩下千克，乙剩下千克， 将甲上切下的部分与乙的剩余部分一起熔炼，则新合金重量为（千克）， 将乙上切下的部分与甲的剩余部分一起熔炼，则新合金重量为（千克）， ∵两块新合金的含铜率相同， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴从甲、乙两块合金上各切下的重量是千克． 故答案为：． 12．（24-25六年级上·上海·月考）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 13．（25-26六年级上·上海·阶段练习）如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．先设下面长方形每份的面积为未知数，根据两个长方形面积相同及阴影部分面积列出方程，求解后计算整个图形的面积． 【详解】解：设下面长方形每份为，则下面长方形面积为，则上面长方形面积也为， 由于把上面一个长方形平均分成2份，则上面长方形每份为， 由题意得， 解得， 则整个图形的面积为． 故答案为：9． 三、解答题 14．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）解方程： 【答案】． 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 15．（24-25六年级上·上海·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的基本步骤，进行计算即可．解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”． 【详解】解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 16．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 17．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把原方程变形为，再把括号内的式子裂项相消得到，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18．（25-26六年级上·上海·阶段练习）某数的比还少0.5，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意可得数量关系：某数，列方程解答即可． 【详解】解：设这个数是x，根据题意得： ， ， ． 答：这个数是． 19．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，熟知同解方程的定义是解题的关键． 先求出方程的解，再根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，即可求出的值． 【详解】解： ， 由题意，把代入中， ， 答：的值为． 20．（25-26六年级上·上海·期中）（1）当时，求一次式的值． （2）已知关于x的方程与的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的化简求值，解一元一次方程； （1）去括号，合并同类项，将原式化简，再将代入求值即可； （2）先解求出，再代入方程即可求出m的值. 【详解】解：（1） ； 当时，原式． （2）解方程得， 根据同解方程的定义把代入关于x的方程中，得： ， 解得． 21．六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些学生参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组人数的，二班参加天文小组的人数恰好是一班没有参加天文小组人数的．问：六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组的各有多少人？ 【答案】六年级（1）、（2）班没有参加的同学有32人、36人 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．设六年级（1）班没有参加的同学有x人，则（2）班参加的同学有人，（1）班参加的同学有人，（2）班没有参加的同学有人，再根据“1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组人数的”建立一元一次方程求解． 【详解】解： 设六年级（1）班没有参加的同学有x人，则（2）班参加的同学有人， （1）班参加的同学有人，（2）班没有参加的同学有人， 根据题意可得， 解得： ∴， 答：六年级（1）、（2）班没有参加的同学有32人、36人． 22．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图，把四个数按顺序依次填入四个“”内（每个数字只能填一次），相邻两个“”经过第1次“求乘积”运算得到“”，相邻两个“”经过第2次“求和”运算得到“”，相邻两个“”经过第3次“求平均数”运算得到“”． (1)如果将3、2、1、按顺序依次填入“”内，求运算结果“”所代表的数． (2)如果将5、、2、m按顺序依次填入“”内，运算结果“”所代表的数为2，求m所代表的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，计算平均数即可得； （2）先分别求出三个“”所代表的数，再分别求出两个“”所代表的数，然后求出“”所代表的数，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 所以运算结果“”所代表的数为． （2） 解：由题意得：由左往右，三个“”所代表的数依次为、、， 由左往右，两个“”所代表的数依次为、， 则运算结果“”所代表的数为， ∵运算结果“”所代表的数为2， ∴， 解得． 23．（24-25六年级上·上海闵行·期末）数学课上老师提出了这样一个问题： 运动员小丽，小明在400米长的环形跑道上练习长跑，已知小丽的速度为170米/分，小明的速度为250米/分． (1)如果两人同时由同一起点同向出发，求两人第一次相遇的时间． (2)老师对这个问题进一步展开研究，如果两人同时由同一起点同向出发，他认为既然可以算出第一次相遇的时间，那一定可以算出第二次，第三次……第a次（a为正整数）相遇的时间． ①用含有a的代数式表示出两人第a次相遇的时间； ②当两人恰好在起点处相遇，求a满足的条件． (3)小闵认为类比老师的研究方法，如果两人同时由同一起点反向出发，可以得到两人在起点处相遇和两人相遇次数的规律．请你找到这个规律，并说明理由． 【答案】(1)两人第一次相遇的时间为5分钟 (2)①分钟；②a一定要是8的倍数 (3)每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设两人第一次相遇的时间为x分钟，根据两人相遇时，小明比小丽多走400米列出方程求解即可； （2）①根据二人速度不变，可知每次相遇后，下一次相遇的时间都为5分钟，则可求出第a次相遇的时间；②求出第a次相遇时两人的路程，再根据相遇点为起点，则路程一定要是400的倍数，据此求解即可； （3）根据两人相遇时，小明和小丽的路程之和为400米列出方程求出每次相遇后，下一次相遇的时间，进而求出第n次相遇时，两人的路程，再根据相遇点为起点，则路程一定要是400的倍数，据此求解即可． 【详解】（1）解：设两人第一次相遇的时间为x分钟， 由题意得，， 解得， 答：两人第一次相遇的时间为5分钟； （2）解：①由（1）可知出发5分钟时，两人第一次相遇，即出发5分钟小明比小丽多走400米，则第二次相遇时，小明比小丽多走800米，第三次相遇时，小明比小丽多走1200米，……第a次（a为正整数）相遇，小明比小丽多走米， ∴两人第a次相遇的时间分钟； ②由（2）7①可知，两人第a次相遇的时间的时间为分钟， ∴两人第a次相遇的时间为分钟， ∴两人第a次相遇时，小明的路程为米，小丽的路程为米， ∵两人恰好在起点处相遇， ∴小明和小丽所走的路程都要为400的整数倍， ∴都能被400整除， ∵，， ∴和一定要是整数， ∴a一定要是8的倍数； （3）解：每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处，理由如下： 设两人第一次相遇的时间为y分钟， 由题意得，， 解得， ∴两人第一次相遇的时间为分钟； ∵每一次相遇后到下一次相遇，二者的路程之和都为400米， ∴每一次相遇后到下一次相遇的时间都为分钟； ∴第n次相遇的时间为分钟， ∴第n次相遇时，小明的路程为米，小丽的路程为米， ∵两人恰好在起点处相遇， ∴和是400的整倍数， ∵， ∵都是整数， ∴n一定是42的倍数， ∴每经过42次相遇，两人相遇的地点为起点处． 24．（25-26六年级上·上海闵行·期中）定义：数轴上两点间的距离是指这两点所对应数的差的绝对值，即如果数m、n在数轴上对应的点分别是M、N，那么点M、N之间的距离． 已知，求的值．为了求出，可以用如下方法： 在数轴上，数对应的点分别是点A、B，数对应点． (1)点A、B之间的距离，当点在线段上时，，即当时，__________（填含的式子）； (2)根据可知，此时点到点A、B的距离之和比线段上的点到A、B的距离之和大，因此点不在线段上，根据上述信息，求点对应的数； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是绝对值的定义，涉及到数轴、代数式、一元一次方程的应用等知识，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据距离公式可知； （2）根据题意知，点不在线段上，则分和两种情况求解； （3）根据题意知，点不在线段上，则分和两种情况求解； 【详解】（1）当点在线段上时，，即， 所以当时，． 故答案为：． （2）根据题意，点不在线段上， 当时，， 则， 解得； 当时，， 则， 解得； 综上，点对应的数为或； （3）设数对应的点分别是点，， ， 点在线段外， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 综上，或． 25．（25-26六年级上·上海·期中）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)如图，折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是___________；如果数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合，那么这两点中折痕左侧的点表示的数是___________． (2)如图，点表示的数分别是，数轴上有一点，使点到点的距离是点到点距离的倍，那么点表示的数是___________． (3)如图，若将此纸条沿、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，则最左端的折痕与数轴的交点表示的数是___________． (4)现有一点在数轴上从原点开始，第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位，第次向左平移个单位，第次向右平移个单位，，依此规律平移，当它平移第次后，点表示的数是___________． 【答案】(1)，； (2)或； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等知识，正确理解题意是解题的关键． （）折叠纸条使得数轴上表示的点与表示的点重合，那么折痕与数轴的交点即为表示的点与表示的点的中点，据此求解即可；根据折叠后互相重合的点到折叠点的距离相等即可得到答案； （）设点表示的数为，则， ，再根据题意建立方程求解即可； （）对折次相当于把原纸条平均分为份，求出每一份的长度（即相邻2条折痕的距离）即可得到答案； （）根据题意可得从第次平移开始，每相邻的次平移，点M相当于向右平移了个单位，第次向左平移个单位，求出除以的商和余数即可得到答案． 【详解】（1）解：由条件可知折痕与数轴的交点表示的数是， ∵数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合， ∴这两点到表示数的点的距离都为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：设点表示的数为，则， ， ∵点到点的距离是点到点距离的倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：由题意得，对折次后，每相邻的两条折痕间的距离为， ∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数是， 故答案为：； （4）解：∵第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位， ∴第次和次平移完后，点M相当于向右平移了个单位， ∵第次向左平移个单位，第次向右平移个单位， ∴第次和第次平移完后，点M在第次平移完的基础上向右平移了个单位， 以此类推可知，从第次平移开始，每相邻的次平移，点M相当于向右平移了个单位， ∵第次向左平移个单位，紧接着第次向右平移个单位，第次向左平移个单位，第次向右平移个单位， ， ∴第次向左平移个单位， ∵， ∴当它平移次时，落在数轴上的点表示的数是， 故答案为：． 26．（24-25六年级上·上海闵行·期中）【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 【答案】（1）3 （2） （3）；4.5； （4）1.5或9.5 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意， ，点 对应的数为 ，用代数式表示 ，列方程求解即可； ②根据动点从点向左出发，点对应的数为，由、两点之间的距离为8个单位长度，分两种情况：当点在点的右侧时，，当点在点的左侧时，，分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）数2对应的点与数对应的点重合， 对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：； （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， 设点对应的数为，点对应的数为， ， 解得：， 则， 点对应的数为，点对应的数为4.5， 故答案为：，4.5； （4）①根据题意，，点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②动点从点向左出发，点对应的数为， ∵、两点之间的距离为8个单位长度， ∴当点在点的右侧， 解得：； 当点在点的左侧， ， 解得：， 答：t值为1.5或9.5时，、两点之间的距离为8个单位长度． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $