2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两条直线平行和垂直的判定，通过探究倾斜角与斜率关系、方向向量垂直等问题，衔接倾斜角和斜率概念，引导学生从已有知识过渡到判定条件，构建知识支架。 以探究活动驱动数学思维，结合典例分析和分层练习，培养学生用数学语言表达判定逻辑的能力，温馨提示和判断正误环节强化严谨性，适合自主学习与课堂教学，提升解决几何问题的应用意识。

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例理解直线平行或垂直的判定条件. 2.会利用斜率解决与两条直线平行或垂直相关的问题. 3.会用斜率判定两条直线的位置关系，能利用斜率解决相关的问题. 一、两条直线平行的判定 探究1　我们知道，平面中不重合的两条直线有两种位置关系：相交、平行.当直线l1与直线l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？ 探究2　当α1＝α2＝90°时，直线l1与直线l2的斜率均不存在，两直线的位置关系是什么？ 探究3　由正切函数的单调性，我们知道当k1＝k2时有α1＝α2，那么是否意味着k1＝k2时，一定有l1∥l2？反过来呢？ ★梳理教材 两条直线（不重合）平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔ l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 ★温馨提示　（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. （2）若直线l1，l2重合，此时仍有k1＝k2或斜率不存在.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.（ 　） （2）若l1∥l2，则k1＝k2.（ 　） （3）若两条直线的斜率都不存在且两条直线不重合，则这两条直线平行.（ 　） 【典例1】　（1）经过点C（3，1），D（－2，0）的直线l1与经过点M（1，－4）且斜率为的直线l2的位置关系为（ 　） A.平行 B.垂直 C.重合 D.无法确定 （2）已知A（－2，m），B（m，4），M（m＋2，3），N（1，1），若AB∥MN，则m的值为 . ★解题感悟 　　1.判断两条不重合的直线是否平行的方法 2.直线平行关系的应用 已知平行关系可得出斜率相等或都不存在，表示斜率时要考虑斜率不存在的情况是否符合题意，如果符合应单独讨论. 【练习1】　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： （1）l1经过点A（－1，－2），B（2，1），l2经过点M（3，4），N（－1，－1）； （2）l1的斜率为1，l2经过点A（1，1），B（2，2）； （3）l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点M（－1，3），N（2，0）； （4）l1经过点A（－3，2），B（－3，10），l2经过点M（5，－2），N（5，5）. 二、两条直线垂直的判定 探究4　平面中，设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝（1，k1），b＝（1，k2），当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 探究5　当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？ ★梳理教材 两条直线垂直的判定 对应 关系 l1⊥l2（两直线的斜率都存在）⇔ l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔ 图示 ★温馨提示　（1）l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提是两条直线的斜率都存在. （2）当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴，而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若两条直线互相垂直，则此两条直线斜率之积为－1.（ 　） （2）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直.（ 　） （3）若l1⊥l2，且l1，l2的倾斜角分别为α，β，则α－β＝90°. （ 　） 【典例2】　已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（－1，1），C（0，2），求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角. ★解题感悟 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 （1）一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等；若不相等，则进行第二步. （2）二代：就是将点的坐标代入斜率公式. （3）三求：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论. 【练习2】　若直线l经过点（a－2，－1）和（－a－2，1），且与经过点（－2，1），斜率为－的直线垂直，则实数a的值为（ 　） A.－ B.－ C. D. 三、垂直与平行的综合应用 探究6　平面中的几何图形常含有平行或垂直关系，我们可以借助这种关系确定多边形的形状.思考一下，用平行或垂直可以判定哪些平面几何图形的形状？ 【典例3】　已知A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状. 【变式探究1】　已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则D点的坐标为（ 　） A.（－1，0） B.（0，－1） C.（1，0） D.（0，1） 【变式探究2】　已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（1，0），C（3，2），则D点的坐标为 . ★解题感悟 利用两条直线平行或垂直判断图形形状的步骤 【练习3】　已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列). ★课堂达标 1.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0（m∈R）的两个根，则l1与l2的位置关系是（ 　） A.平行 B.垂直 C.可能重合 D.无法确定 2.若过点A（2，－2），B（5，0）的直线与过点P（2m，1），Q（－1，m）的直线平行，则m的值为（ 　） A.－1 B. C.2 D. 3.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P（－2，－1），Q（3，－6），则直线l1与l2的位置关系是 . 4.已知直线l1经过点A（3，a），B（a－1，2），直线l2经过点C（1，2），D（－2，a＋2）. （1）若l1∥l2，求实数a的值； （2）若l1⊥l2，求实数a的值. 解析版 ★学习目标　1.结合教材实例理解直线平行或垂直的判定条件. 2.会利用斜率解决与两条直线平行或垂直相关的问题. 3.会用斜率判定两条直线的位置关系，能利用斜率解决相关的问题. 一、两条直线平行的判定 探究1　我们知道，平面中不重合的两条直线有两种位置关系：相交、平行.当直线l1与直线l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？ 提示：如图，若l1∥l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等， 由α1＝α2，可得tan α1＝tan α2，即k1＝k2. 因此，若l1∥l2，则k1＝k2. 反之，当k1＝k2时，tan α1＝tan α2， 由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，α1＝α2，因此l1∥l2. 于是，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 探究2　当α1＝α2＝90°时，直线l1与直线l2的斜率均不存在，两直线的位置关系是什么？ 提示：当α1＝α2＝90°时，显然直线的斜率不存在，此时l1∥l2. 探究3　由正切函数的单调性，我们知道当k1＝k2时有α1＝α2，那么是否意味着k1＝k2时，一定有l1∥l2？反过来呢？ 提示：当k1＝k2时，倾斜角α1＝α2，两直线平行；而当两直线平行时，不一定有k1＝k2，因为α1＝α2＝90°时，斜率不存在. ★梳理教材 两条直线（不重合）平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔　k1＝k2　 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 ★温馨提示　（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. （2）若直线l1，l2重合，此时仍有k1＝k2或斜率不存在.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.　　　（　✕　） （2）若l1∥l2，则k1＝k2.（　✕　） （3）若两条直线的斜率都不存在且两条直线不重合，则这两条直线平行.（　√　） 【典例1】　（1）经过点C（3，1），D（－2，0）的直线l1与经过点M（1，－4）且斜率为的直线l2的位置关系为（　A　） A.平行 B.垂直 C.重合 D.无法确定 解析：（1）直线l1的斜率为k1＝＝＝k2，直线CM的斜率为kMC＝＝≠k1，所以点M不在直线l1上，所以l1∥l2，故选A. （2）已知A（－2，m），B（m，4），M（m＋2，3），N（1，1），若AB∥MN，则m的值为　0或1　. [解析]（2）当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，此时MN与AB不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，此时MN与AB不平行，不合题意； 综上，m≠－2，且m≠－1， kAB＝＝，kMN＝＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，经检验，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. ★解题感悟 　　1.判断两条不重合的直线是否平行的方法 2.直线平行关系的应用 已知平行关系可得出斜率相等或都不存在，表示斜率时要考虑斜率不存在的情况是否符合题意，如果符合应单独讨论. 【练习1】　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： （1）l1经过点A（－1，－2），B（2，1），l2经过点M（3，4），N（－1，－1）； （2）l1的斜率为1，l2经过点A（1，1），B（2，2）； （3）l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点M（－1，3），N（2，0）； （4）l1经过点A（－3，2），B（－3，10），l2经过点M（5，－2），N（5，5）. 解：设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2. （1）k1＝＝1， k2＝＝， k1≠k2，l1与l2不平行. （2）k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合. （3）k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2. 连接AM（图略），又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M不共线.故l1∥l2. （4）由已知点的坐标，得l1，l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 二、两条直线垂直的判定 探究4　平面中，设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝（1，k1），b＝（1，k2），当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔k1·k2＝－1. 探究5　当直线l1的倾斜角为0°时，若直线l1⊥l2，则l2的斜率应满足什么条件？ 提示：直线l2的倾斜角为90°，斜率不存在. ★梳理教材 两条直线垂直的判定 对应 关系 l1⊥l2（两直线的斜率都存在）⇔　k1k2＝－1　 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔　l1⊥l2　 图示 ★温馨提示　（1）l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提是两条直线的斜率都存在. （2）当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴，而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若两条直线互相垂直，则此两条直线斜率之积为－1.（　✕　） （2）若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直.（　✕　） （3）若l1⊥l2，且l1，l2的倾斜角分别为α，β，则α－β＝90°. （　✕　） 【典例2】　已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（－1，1），C（0，2），求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角. 解：设BC边上的高所在直线的斜率为k，则有k·kBC＝－1. ∵kBC＝＝1，∴k＝－1. ∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°. ★解题感悟 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 （1）一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等；若不相等，则进行第二步. （2）二代：就是将点的坐标代入斜率公式. （3）三求：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论. 【练习2】　若直线l经过点（a－2，－1）和（－a－2，1），且与经过点（－2，1），斜率为－的直线垂直，则实数a的值为（　A　） A.－ B.－ C. D. 解析：易知a＝0不符合题意.当a≠0时，直线l的斜率k＝＝－，由－·（－）＝－1，得a＝－. 三、垂直与平行的综合应用 探究6　平面中的几何图形常含有平行或垂直关系，我们可以借助这种关系确定多边形的形状.思考一下，用平行或垂直可以判定哪些平面几何图形的形状？ 提示：直角三角形、梯形、平行四边形、直角梯形、矩形等. 【典例3】　已知A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状. 解：由题意知，A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图所示， 由斜率公式可得，AB边所在直线的斜率kAB＝，CD边所在直线的斜率kCD＝，AD边所在直线的斜率kAD＝－3，BC边所在直线的斜率kBC＝－. 因为kAB＝kCD，且由图可知，AB与CD不重合， 所以AB∥CD. 因为kAD≠kBC， 所以AD与BC不平行. 又因为kAB·kAD＝×（－3）＝－1， 所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形. 【变式探究1】　已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则D点的坐标为（　D　） A.（－1，0） B.（0，－1） C.（1，0） D.（0，1） 解析：设D（x，y），由题意得 得即D（0，1）. 【变式探究2】　已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（1，0），C（3，2），则D点的坐标为　（2，3）　. 解析：设D点的坐标为（x，y）. ∵kBC＝＝1， ∴得 ∴D（2，3）. ★解题感悟 利用两条直线平行或垂直判断图形形状的步骤 【练习3】　已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列). 解：设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示， 由于kAB＝3，kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． ①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC，∴＝0，即y＝3， 此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3). ②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝，kCD＝， ∴ 解得x＝，y＝， ∴点D的坐标为(，). 综上，点D的坐标为(3，3)或(，). ★课堂达标 1.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0（m∈R）的两个根，则l1与l2的位置关系是（　B　） A.平行 B.垂直 C.可能重合 D.无法确定 解析：由3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×（－3）＝m2＋36＞0恒成立. 故方程有两个相异实数根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设方程两根为x1，x2，x1≠x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2. 2.若过点A（2，－2），B（5，0）的直线与过点P（2m，1），Q（－1，m）的直线平行，则m的值为（　B　） A.－1 B. C.2 D. 解析：由斜率公式得kAB＝＝.因为直线AB平行于直线PQ，所以直线PQ的斜率存在，且kPQ＝kAB.因为kPQ＝，所以＝，解得m＝，当m＝时，经验证可得两直线不重合. 3.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P（－2，－1），Q（3，－6），则直线l1与l2的位置关系是　平行或重合　. 4.已知直线l1经过点A（3，a），B（a－1，2），直线l2经过点C（1，2），D（－2，a＋2）. （1）若l1∥l2，求实数a的值； （2）若l1⊥l2，求实数a的值. 解：易知直线l2的斜率存在，设为k2， 则k2＝＝－. （1）由l2的斜率存在及l1∥l2，得a≠4，直线l1的斜率k1存在，所以k1＝－. 又k1＝，则＝－，解得a＝1或a＝6. 经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2. （2）若l1⊥l2， ①当k2＝0时，a＝0，此时k1＝－，不符合题意； ②当k2≠0时，l1的斜率存在，则a≠4，此时k1＝. 由k2k1＝－1，即·（－）＝－1，解得a＝3或a＝－4. 页 学科网（北京）股份有限公司 $