5.3 一元一次方程的应用 预习 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦一元一次方程的应用，系统梳理列方程解应用题的“审设列解验答”步骤，递进呈现等积变形（体积/面积/周长不变）、盈不足（同一量两种表示）、行程问题（追及路程差、相遇路程和、环形跑道圈数关系）等核心知识点，构建从一般方法到具体问题的学习支架。 资料以两日分段预习任务为框架，通过表格分析法、画图直观建模等教学方法，结合《九章算术》盈不足问题等实例，培养学生抽象能力与模型意识。课中辅助教师高效授课，课后易错点汇总与真题训练助力学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

北师大版七年级上册预习 第五章 一元一次方程 第 3 节 一元一次方程的应用 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 30min・等积变形与盈不足模块）】 ✅ 达成目标：掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤，能解决等积变形问题和盈不足问题 通读课本 P147-P150 等积变形和盈不足内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 掌握列方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答），能利用表格分析法寻找等量关系，解决等积变形和盈不足问题。 完成基础训练选择题第1-5题、填空题第1-3题，对照答案订正错题。 打卡自检：能说出列方程解应用题的一般步骤，能独立解决等积变形和盈不足问题。 【Day2 预习任务（建议 35min・行程问题与综合应用模块）】 ✅ 达成目标：能解决行程问题（追及、相遇、环形跑道），能综合运用一元一次方程解决实际问题 通读课本 P151-P152 行程问题内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握画图分析法寻找等量关系，能解决追及问题、相遇问题、环形跑道问题等行程问题。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题第4-6题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能熟练解决追及、相遇、环形跑道等行程问题，能规范书写解题过程。 一、核心知识点梳理 知识点 1：列一元一次方程解应用题的一般步骤 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，分析题意，找出已知量和未知量，明确各量之间的关系； （2）设：设未知数，一般设所求的量为x，也可以设间接未知数； （3）列：根据等量关系列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义； （6）答：写出答案（包括单位名称）。 用流程图表示：实际问题 → 抽象（寻找等量关系）→ 数学问题（一元一次方程）→ 解方程 → 数学问题的解 → 验证 → 实际问题的解 → 解释 → 实际问题。 💡重要结论：列方程解应用题的关键是寻找等量关系。寻找等量关系的常用方法有：①抓住关键语句；②利用公式（如周长、面积、体积、路程=速度×时间等）；③利用表格分析；④利用画图分析。 知识点 2：等积变形问题 等积变形问题是指物体的形状发生变化，但体积（或面积、周长）保持不变的问题。 常见的等积变形问题： （1）圆柱形容积不变：如易拉罐底面直径变化，容积不变，求高度变化。等量关系：旧容积=新容积，即πr₁²h₁=πr₂²h₂。 （2）铁丝围图形：如用一根固定长度的铁丝围成长方形、正方形等。等量关系：周长不变，即长方形周长=正方形周长=铁丝长度。 （3）水的体积不变：如把水从一个容器倒入另一个容器，水的体积不变。 解决等积变形问题的关键是抓住"形变积不变"这一等量关系。 ⚠️易错提醒：等积变形问题中，要注意是体积不变、面积不变还是周长不变，不能混淆。圆柱的体积公式是V=πr²h，其中r是底面半径，h是高，不要把直径当成半径。 知识点 3：盈不足问题 盈不足问题是我国古代数学中的经典问题，出自《九章算术》，其特点是：同一批物品，按两种不同的分配方式，一次有剩余（盈），一次不足（亏），求人数和物品数。 基本等量关系：物品的总数（或总价）不变。 例如：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？ 分析：设人数为x。 每人出8钱，多出3钱，所以物价=8x-3； 每人出7钱，少4钱，所以物价=7x+4。 因为物价不变，所以8x-3=7x+4，解得x=7，物价=8×7-3=53（钱）。 解决盈不足问题的关键是用两种不同的方式表示同一个量（如物价、物品总数），然后根据这个量相等列出方程。 💡重要结论：盈不足问题的核心是"同一个量的两种不同表示"。通过表格分析，可以清晰地梳理已知量和未知量之间的关系，从而找到等量关系。 知识点 4：追及问题 追及问题是行程问题中的一种，其特点是：两人（或两车）同向运动，慢者在前，快者在后，快者追赶慢者。 基本等量关系：快者行驶的路程=慢者行驶的路程+两人初始的距离（或快者比慢者多走的路程=两人初始的距离）。 例如：小明以80m/min的速度出发，5min后爸爸以180m/min的速度去追，爸爸追上小明用了多长时间？ 分析：设爸爸追上小明用了x min。 爸爸行驶的路程=180x m； 小明行驶的总路程=80×5+80x m（小明先走了5min）。 追上时两人路程相等，所以180x=80×5+80x，解得x=4。 解决追及问题的关键是画出线段图，分析两人行驶的路程关系。 ⚠️易错提醒：追及问题中，要注意两人是否同时出发。如果慢者先出发，要把慢者先走的路程加上；如果同时出发，两人行驶时间相同。 知识点 5：相遇问题 相遇问题是行程问题中的一种，其特点是：两人（或两车）相向运动，从两地出发，在途中相遇。 基本等量关系：甲行驶的路程+乙行驶的路程=两地之间的总路程。 例如：甲、乙两人从相距400m的两地同时出发，相向而行，甲的速度为260m/min，乙的速度为300m/min，多长时间后两人相遇？ 分析：设x min后两人相遇。 甲行驶的路程=260x m，乙行驶的路程=300x m。 相遇时两人路程之和等于总路程，所以260x+300x=400，解得x=400/560=5/7。 解决相遇问题的关键也是画出线段图，分析两人行驶的路程之和等于总路程。 💡重要结论：行程问题的基本公式是"路程=速度×时间"。追及问题看路程差，相遇问题看路程和。画图分析是解决行程问题的有效方法。 知识点 6：环形跑道问题 环形跑道问题是行程问题在环形跑道上的应用，分为同向运动和反向运动两种情况。 （1）同向运动（追及）：两人同时同地同向出发，快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑了一圈。 等量关系：快者行驶的路程-慢者行驶的路程=跑道一圈的长度。 （2）反向运动（相遇）：两人同时同地反向出发，第一次相遇时，两人行驶的路程之和等于一圈的长度。 等量关系：甲行驶的路程+乙行驶的路程=跑道一圈的长度。 例如：小明和小华在400m的环形跑道上跑步，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m。 若两人同时同地同向出发，小华第一次追上小明时，小华比小明多跑400m，即300x-260x=400； 若两人同时同地反向出发，第一次相遇时，两人路程之和为400m，即260x+300x=400。 ⚠️易错提醒：环形跑道问题中，同向运动第一次相遇时，快者比慢者多跑一圈，不是半圈；反向运动第一次相遇时，两人路程之和等于一圈，不是两圈。要注意两人是否同时出发、是否同地出发。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：设未知数时不写单位。设未知数时要写明单位名称，如"设爸爸追上小明用了x min"，不能只写"设x"。 易错点2：等积变形中直径和半径混淆。圆柱体积公式V=πr²h中r是半径，如果题目给的是直径，要先除以2得到半径。 易错点3：盈不足问题中"盈"和"不足"的处理错误。"盈"是多出，所以总数=每人出的钱数×人数-盈；"不足"是少，所以总数=每人出的钱数×人数+不足。 易错点4：追及问题中忘记慢者先走的路程。如果慢者先出发，快者出发时慢者已经走了一段路程，追及时快者的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程。 易错点5：环形跑道同向追及时路程差错误。同向运动第一次追上时，快者比慢者多跑一圈，不是两人路程相等。 易错点6：解完方程后不检验、不写答。应用题要检验解是否符合实际意义，并写出完整的答案（包括单位）。 二、基本概念定义 列方程解应用题的一般步骤：____、____、列、解、____、答。 等积变形问题：物体的形状发生变化，但__体积__（或面积、周长）保持不变的问题。 盈不足问题：同一批物品按两种不同方式分配，一次有____（盈），一次____（亏），求人数和物品数的问题。 追及问题：两人同向运动，快者追上慢者时，快者行驶的路程=慢者行驶的路程+两人初始的____。 环形跑道同向追及：快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑了____圈；反向相遇：两人路程之和等于____圈。 三、数学思想方法 1. 数学建模思想 列一元一次方程解应用题的过程，就是把实际问题转化为数学问题（一元一次方程），通过解方程解决实际问题的过程。这种从实际问题中抽象出数学模型，再用数学方法解决问题的思想方法，就是数学建模思想。数学建模思想是数学应用的核心思想，体现了数学与实际生活的紧密联系。 2. 方程思想 方程思想是指通过设未知数，根据等量关系列出方程，再解方程来解决问题的思想方法。在解决实际问题时，当直接用算术方法比较困难时，用方程的方法往往更简单、更直接。方程思想是代数中最重要的思想方法之一，贯穿于整个初中数学的学习。 3. 数形结合思想 在解决行程问题时，我们通过画线段图来直观地表示两人行驶的路程关系，从而找到等量关系。这种把抽象的数量关系用直观的图形表示出来，借助图形来分析和解决问题的思想方法，就是数形结合思想。数形结合思想使复杂的问题变得直观、易懂，是数学学习中的重要思想方法。 4. 转化思想 列方程解应用题的过程，就是把实际问题转化为数学问题，把未知转化为已知的过程。通过设未知数，我们把未知量用字母表示，参与运算，从而把实际问题转化为解方程的问题。这种把未知转化为已知、把复杂转化为简单的思想方法，就是转化思想。 5. 分类讨论思想 在环形跑道问题中，需要分同向运动和反向运动两种情况进行讨论；在行程问题中，需要区分追及问题和相遇问题。这种根据问题的不同情况分别进行讨论和解决的思想方法，就是分类讨论思想。分类讨论思想使我们能够全面、有条理地考虑问题，避免遗漏和重复。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·北师大版同步）用一根长为10m的铁丝围成一个长方形，若该长方形的长比宽多1.4m，则长方形的长为（　　　） A. 1.8m B. 3.2m C. 3.6m D. 6.4m 2.（2025-2026学年·湖南永州冷水滩期末）几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗。设共有x人，根据题意可列方程为（　　　） A. 10x-6=12x+6 B. 10x+6=12x-6 C. 10x+6=12x+6 D. 10x-6=12x-6 3.（2024-2025学年·吉林吉林龙潭期末）《九章算术》中有这样一个问题：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为（　　　） A. 240x=150x+12 B. 240x=150(x-12) C. 240x=150(x+12) D. 240x+150x=12 4.（2025-2026学年·北京八一学校期末）甲、乙两人在400m的环形跑道上练习跑步，甲的速度为6m/s，乙的速度为4m/s。若两人同时同地同向出发，经过多长时间甲第一次追上乙？（　　　） A. 100s B. 200s C. 300s D. 400s 5.（2024-2025学年·浙江慈溪期末）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏，若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个，则多2个杏。设有x个牧童，根据题意可列方程为（　　　） A. 5x+10=8x+2 B. 5x-10=8x-2 C. x+10=2x+2 D. x-10=2x-2 6.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为10cm，里面装满水。将水倒入底面半径为5cm的圆柱形容器中，水的高度为（　　　） A. 6.4cm B. 8cm C. 12.5cm D. 15.625cm 7.（2024-2025学年·黑龙江哈尔滨阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h。已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度。设船在静水中的平均速度为x km/h，根据题意可列方程为（　　　） A. 2(x+3)=2.5(x-3) B. 2(x-3)=2.5(x+3) C. 2x=2.5x+3 D. 2(x+3)=2.5x 8.（2025-2026学年·湖北武汉硚口期末）小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？（　　　） A. 2min B. 3min C. 4min D. 5min 9.（2024-2025学年·北京专用期中）几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱。设买鸡的人数为x，根据题意可列方程为（　　　） A. 9x-11=6x+16 B. 9x+11=6x-16 C. 9x-11=6x-16 D. 9x+11=6x+16 10.（2025-2026学年·北师大版同步）甲、乙两人在400m的环形跑道上练习跑步，甲每分钟跑260m，乙每分钟跑300m。若两人同时同地反向出发，经过多长时间两人首次相遇？（　　　） A. min B. min C. 1 min D. min 二、填空题 11.（2024-2025学年·北师大版同步）用一根长为10m的铁丝围成一个正方形，则正方形的边长为______m。 12.（2025-2026学年·人教版同步）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。则人数为______，物价为______钱。 13.（2024-2025学年·重庆北碚西南大学附中期末）甲、乙两人分别从相距30km的A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为4km/h，乙的速度为6km/h，则经过______h两人相遇。 14.（2025-2026学年·广东佛山禅城期末）一个梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面积为88cm²，则这个梯形的上底为_____cm。 15.（2024-2025学年·甘肃兰州十九中期末）小明和小刚在400m的环形跑道上练习跑步，小明的速度为5m/s，小刚的速度为3m/s。若两人同时同地同向出发，经过______s小明第一次追上小刚。 16.（2025-2026学年·北师大版同步）今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。则人数为______，金价为_____钱。 三、解答题 17.（2024-2025学年·北师大版同步）某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm、12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm，在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ 18.（2025-2026学年·北京八一学校期末）小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。 （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 19.（2024-2025学年·浙江慈溪期末）在《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤。问：人、银各几何？（注：半斤=8两） 20.（2025-2026学年·北师大版同步）小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 21.（2024-2025学年·黑龙江哈尔滨阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h。已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度和甲、乙两码头之间的距离。 22.（2025-2026学年·人教版同步）用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？ （2）如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时长方形的面积与（1）中长方形的面积相比有什么变化？ （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册预习 第五章 一元一次方程 第 3 节 一元一次方程的应用 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 30min・等积变形与盈不足模块）】 ✅ 达成目标：掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤，能解决等积变形问题和盈不足问题 通读课本 P147-P150 等积变形和盈不足内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 掌握列方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答），能利用表格分析法寻找等量关系，解决等积变形和盈不足问题。 完成基础训练选择题第1-5题、填空题第1-3题，对照答案订正错题。 打卡自检：能说出列方程解应用题的一般步骤，能独立解决等积变形和盈不足问题。 【Day2 预习任务（建议 35min・行程问题与综合应用模块）】 ✅ 达成目标：能解决行程问题（追及、相遇、环形跑道），能综合运用一元一次方程解决实际问题 通读课本 P151-P152 行程问题内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握画图分析法寻找等量关系，能解决追及问题、相遇问题、环形跑道问题等行程问题。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题第4-6题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能熟练解决追及、相遇、环形跑道等行程问题，能规范书写解题过程。 一、核心知识点梳理 知识点 1：列一元一次方程解应用题的一般步骤 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，分析题意，找出已知量和未知量，明确各量之间的关系； （2）设：设未知数，一般设所求的量为x，也可以设间接未知数； （3）列：根据等量关系列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义； （6）答：写出答案（包括单位名称）。 用流程图表示：实际问题 → 抽象（寻找等量关系）→ 数学问题（一元一次方程）→ 解方程 → 数学问题的解 → 验证 → 实际问题的解 → 解释 → 实际问题。 💡重要结论：列方程解应用题的关键是寻找等量关系。寻找等量关系的常用方法有：①抓住关键语句；②利用公式（如周长、面积、体积、路程=速度×时间等）；③利用表格分析；④利用画图分析。 知识点 2：等积变形问题 等积变形问题是指物体的形状发生变化，但体积（或面积、周长）保持不变的问题。 常见的等积变形问题： （1）圆柱形容积不变：如易拉罐底面直径变化，容积不变，求高度变化。等量关系：旧容积=新容积，即πr₁²h₁=πr₂²h₂。 （2）铁丝围图形：如用一根固定长度的铁丝围成长方形、正方形等。等量关系：周长不变，即长方形周长=正方形周长=铁丝长度。 （3）水的体积不变：如把水从一个容器倒入另一个容器，水的体积不变。 解决等积变形问题的关键是抓住"形变积不变"这一等量关系。 ⚠️易错提醒：等积变形问题中，要注意是体积不变、面积不变还是周长不变，不能混淆。圆柱的体积公式是V=πr²h，其中r是底面半径，h是高，不要把直径当成半径。 知识点 3：盈不足问题 盈不足问题是我国古代数学中的经典问题，出自《九章算术》，其特点是：同一批物品，按两种不同的分配方式，一次有剩余（盈），一次不足（亏），求人数和物品数。 基本等量关系：物品的总数（或总价）不变。 例如：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？ 分析：设人数为x。 每人出8钱，多出3钱，所以物价=8x-3； 每人出7钱，少4钱，所以物价=7x+4。 因为物价不变，所以8x-3=7x+4，解得x=7，物价=8×7-3=53（钱）。 解决盈不足问题的关键是用两种不同的方式表示同一个量（如物价、物品总数），然后根据这个量相等列出方程。 💡重要结论：盈不足问题的核心是"同一个量的两种不同表示"。通过表格分析，可以清晰地梳理已知量和未知量之间的关系，从而找到等量关系。 知识点 4：追及问题 追及问题是行程问题中的一种，其特点是：两人（或两车）同向运动，慢者在前，快者在后，快者追赶慢者。 基本等量关系：快者行驶的路程=慢者行驶的路程+两人初始的距离（或快者比慢者多走的路程=两人初始的距离）。 例如：小明以80m/min的速度出发，5min后爸爸以180m/min的速度去追，爸爸追上小明用了多长时间？ 分析：设爸爸追上小明用了x min。 爸爸行驶的路程=180x m； 小明行驶的总路程=80×5+80x m（小明先走了5min）。 追上时两人路程相等，所以180x=80×5+80x，解得x=4。 解决追及问题的关键是画出线段图，分析两人行驶的路程关系。 ⚠️易错提醒：追及问题中，要注意两人是否同时出发。如果慢者先出发，要把慢者先走的路程加上；如果同时出发，两人行驶时间相同。 知识点 5：相遇问题 相遇问题是行程问题中的一种，其特点是：两人（或两车）相向运动，从两地出发，在途中相遇。 基本等量关系：甲行驶的路程+乙行驶的路程=两地之间的总路程。 例如：甲、乙两人从相距400m的两地同时出发，相向而行，甲的速度为260m/min，乙的速度为300m/min，多长时间后两人相遇？ 分析：设x min后两人相遇。 甲行驶的路程=260x m，乙行驶的路程=300x m。 相遇时两人路程之和等于总路程，所以260x+300x=400，解得x=400/560=5/7。 解决相遇问题的关键也是画出线段图，分析两人行驶的路程之和等于总路程。 💡重要结论：行程问题的基本公式是"路程=速度×时间"。追及问题看路程差，相遇问题看路程和。画图分析是解决行程问题的有效方法。 知识点 6：环形跑道问题 环形跑道问题是行程问题在环形跑道上的应用，分为同向运动和反向运动两种情况。 （1）同向运动（追及）：两人同时同地同向出发，快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑了一圈。 等量关系：快者行驶的路程-慢者行驶的路程=跑道一圈的长度。 （2）反向运动（相遇）：两人同时同地反向出发，第一次相遇时，两人行驶的路程之和等于一圈的长度。 等量关系：甲行驶的路程+乙行驶的路程=跑道一圈的长度。 例如：小明和小华在400m的环形跑道上跑步，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m。 若两人同时同地同向出发，小华第一次追上小明时，小华比小明多跑400m，即300x-260x=400； 若两人同时同地反向出发，第一次相遇时，两人路程之和为400m，即260x+300x=400。 ⚠️易错提醒：环形跑道问题中，同向运动第一次相遇时，快者比慢者多跑一圈，不是半圈；反向运动第一次相遇时，两人路程之和等于一圈，不是两圈。要注意两人是否同时出发、是否同地出发。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：设未知数时不写单位。设未知数时要写明单位名称，如"设爸爸追上小明用了x min"，不能只写"设x"。 易错点2：等积变形中直径和半径混淆。圆柱体积公式V=πr²h中r是半径，如果题目给的是直径，要先除以2得到半径。 易错点3：盈不足问题中"盈"和"不足"的处理错误。"盈"是多出，所以总数=每人出的钱数×人数-盈；"不足"是少，所以总数=每人出的钱数×人数+不足。 易错点4：追及问题中忘记慢者先走的路程。如果慢者先出发，快者出发时慢者已经走了一段路程，追及时快者的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程。 易错点5：环形跑道同向追及时路程差错误。同向运动第一次追上时，快者比慢者多跑一圈，不是两人路程相等。 易错点6：解完方程后不检验、不写答。应用题要检验解是否符合实际意义，并写出完整的答案（包括单位）。 二、基本概念定义 列方程解应用题的一般步骤：__审__、__设__、列、解、__验__、答。 等积变形问题：物体的形状发生变化，但__体积__（或面积、周长）保持不变的问题。 盈不足问题：同一批物品按两种不同方式分配，一次有__剩余__（盈），一次__不足__（亏），求人数和物品数的问题。 追及问题：两人同向运动，快者追上慢者时，快者行驶的路程=慢者行驶的路程+两人初始的__距离__。 环形跑道同向追及：快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑了__一__圈；反向相遇：两人路程之和等于__一__圈。 三、数学思想方法 1. 数学建模思想 列一元一次方程解应用题的过程，就是把实际问题转化为数学问题（一元一次方程），通过解方程解决实际问题的过程。这种从实际问题中抽象出数学模型，再用数学方法解决问题的思想方法，就是数学建模思想。数学建模思想是数学应用的核心思想，体现了数学与实际生活的紧密联系。 2. 方程思想 方程思想是指通过设未知数，根据等量关系列出方程，再解方程来解决问题的思想方法。在解决实际问题时，当直接用算术方法比较困难时，用方程的方法往往更简单、更直接。方程思想是代数中最重要的思想方法之一，贯穿于整个初中数学的学习。 3. 数形结合思想 在解决行程问题时，我们通过画线段图来直观地表示两人行驶的路程关系，从而找到等量关系。这种把抽象的数量关系用直观的图形表示出来，借助图形来分析和解决问题的思想方法，就是数形结合思想。数形结合思想使复杂的问题变得直观、易懂，是数学学习中的重要思想方法。 4. 转化思想 列方程解应用题的过程，就是把实际问题转化为数学问题，把未知转化为已知的过程。通过设未知数，我们把未知量用字母表示，参与运算，从而把实际问题转化为解方程的问题。这种把未知转化为已知、把复杂转化为简单的思想方法，就是转化思想。 5. 分类讨论思想 在环形跑道问题中，需要分同向运动和反向运动两种情况进行讨论；在行程问题中，需要区分追及问题和相遇问题。这种根据问题的不同情况分别进行讨论和解决的思想方法，就是分类讨论思想。分类讨论思想使我们能够全面、有条理地考虑问题，避免遗漏和重复。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·北师大版同步）用一根长为10m的铁丝围成一个长方形，若该长方形的长比宽多1.4m，则长方形的长为（　　　） A. 1.8m B. 3.2m C. 3.6m D. 6.4m 【答案】 B 【解析】 本题考查等积变形（等长变形）问题。设宽为x m，则长为(x+1.4)m，根据周长公式列方程。 【解答】 解：设长方形的宽为x m，则长为(x+1.4)m。 根据题意，得2(x+1.4)+2x=10， 去括号，得2x+2.8+2x=10， 移项、合并同类项，得4x=7.2， 系数化为1，得x=1.8。 所以长为x+1.4=1.8+1.4=3.2（m）。 故选：B。 2.（2025-2026学年·湖南永州冷水滩期末）几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗。设共有x人，根据题意可列方程为（　　　） A. 10x-6=12x+6 B. 10x+6=12x-6 C. 10x+6=12x+6 D. 10x-6=12x-6 【答案】 B 【解析】 本题考查盈不足问题。树苗总数不变，每人种10棵剩6棵，树苗总数=10x+6；每人种12棵缺6棵，树苗总数=12x-6。 【解答】 解：设共有x人。 每人种10棵，剩下6棵，所以树苗总数为10x+6； 每人种12棵，缺6棵，所以树苗总数为12x-6。 因为树苗总数不变，所以10x+6=12x-6。 故选：B。 3.（2024-2025学年·吉林吉林龙潭期末）《九章算术》中有这样一个问题：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为（　　　） A. 240x=150x+12 B. 240x=150(x-12) C. 240x=150(x+12) D. 240x+150x=12 【答案】 C 【解析】 本题考查追及问题。快马x天走的路程=慢马(x+12)天走的路程（慢马先走12天）。 【解答】 解：设快马x天可以追上慢马。 快马x天走的路程为240x里； 慢马先走12天，再走x天，一共走了(x+12)天，路程为150(x+12)里。 追上时两马路程相等，所以240x=150(x+12)。 故选：C。 4.（2025-2026学年·北京八一学校期末）甲、乙两人在400m的环形跑道上练习跑步，甲的速度为6m/s，乙的速度为4m/s。若两人同时同地同向出发，经过多长时间甲第一次追上乙？（　　　） A. 100s B. 200s C. 300s D. 400s 【答案】 B 【解析】 本题考查环形跑道同向追及问题。甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了一圈（400m）。 【解答】 解：设经过x s甲第一次追上乙。 甲跑的路程为6x m，乙跑的路程为4x m。 甲第一次追上乙时，甲比乙多跑一圈，即6x-4x=400， 合并同类项，得2x=400， 系数化为1，得x=200。 所以经过200s甲第一次追上乙。 故选：B。 5.（2024-2025学年·浙江慈溪期末）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏，若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个，则多2个杏。设有x个牧童，根据题意可列方程为（　　　） A. 5x+10=8x+2 B. 5x-10=8x-2 C. x+10=2x+2 D. x-10=2x-2 【答案】 C 【解析】 本题考查盈不足问题。杏的总数不变。3人一组每组5个，即每人分5/3个，多10个，杏总数=(5/3)x+10；4人一组每组8个，即每人分2个，多2个，杏总数=2x+2。 【解答】 解：设有x个牧童。 3人一组，每组5个杏，即每人分个杏，多10个，所以杏总数为x+10； 4人一组，每组8个杏，即每人分2个杏，多2个，所以杏总数为2x+2。 因为杏总数不变，所以x+10=2x+2。 故选：C。 6.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为10cm，里面装满水。将水倒入底面半径为5cm的圆柱形容器中，水的高度为（　　　） A. 6.4cm B. 8cm C. 12.5cm D. 15.625cm 【答案】 A 【解析】 本题考查等积变形问题。水的体积不变，即旧容器中水的体积=新容器中水的体积。 【解答】 解：设水的高度为x cm。 旧容器中水的体积为π×4²×10=160π（cm³）； 新容器中水的体积为π×5²×x=25πx（cm³）。 因为水的体积不变，所以25πx=160π， 两边都除以π，得25x=160， 系数化为1，得x=6.4。 所以水的高度为6.4cm。 故选：A。 7.（2024-2025学年·黑龙江哈尔滨阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h。已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度。设船在静水中的平均速度为x km/h，根据题意可列方程为（　　　） A. 2(x+3)=2.5(x-3) B. 2(x-3)=2.5(x+3) C. 2x=2.5x+3 D. 2(x+3)=2.5x 【答案】 A 【解析】 本题考查行程问题（流水行船）。顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。甲、乙两码头之间的距离不变。 【解答】 解：设船在静水中的平均速度为x km/h。 顺水速度为(x+3)km/h，顺水行驶2h的路程为2(x+3)km； 逆水速度为(x-3)km/h，逆水行驶2.5h的路程为2.5(x-3)km。 因为甲、乙两码头之间的距离不变，所以2(x+3)=2.5(x-3)。 故选：A。 8.（2025-2026学年·湖北武汉硚口期末）小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？（　　　） A. 2min B. 3min C. 4min D. 5min 【答案】 C 【解析】 本题考查追及问题。爸爸追上小明时，两人行驶的路程相等。小明先走了5min。 【解答】 解：设爸爸追上小明用了x min。 爸爸行驶的路程为180x m； 小明先走5min，再走x min，一共走了(x+5)min，路程为80(x+5)m。 追上时两人路程相等，所以180x=80(x+5)， 去括号，得180x=80x+400， 移项、合并同类项，得100x=400， 系数化为1，得x=4。 所以爸爸追上小明用了4min。 故选：C。 9.（2024-2025学年·北京专用期中）几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱。设买鸡的人数为x，根据题意可列方程为（　　　） A. 9x-11=6x+16 B. 9x+11=6x-16 C. 9x-11=6x-16 D. 9x+11=6x+16 【答案】 A 【解析】 本题考查盈不足问题。鸡的价格不变。每人出9钱多11钱，鸡价=9x-11；每人出6钱差16钱，鸡价=6x+16。 【解答】 解：设买鸡的人数为x。 每人出9钱，多出11钱，所以鸡价为9x-11； 每人出6钱，还差16钱，所以鸡价为6x+16。 因为鸡价不变，所以9x-11=6x+16。 故选：A。 10.（2025-2026学年·北师大版同步）甲、乙两人在400m的环形跑道上练习跑步，甲每分钟跑260m，乙每分钟跑300m。若两人同时同地反向出发，经过多长时间两人首次相遇？（　　　） A. min B. min C. 1 min D. min 【答案】 B 【解析】 本题考查环形跑道反向相遇问题。两人首次相遇时，两人行驶的路程之和等于一圈的长度（400m）。 【解答】 解：设经过x min两人首次相遇。 甲跑的路程为260x m，乙跑的路程为300x m。 反向出发首次相遇时，两人路程之和等于一圈，即260x+300x=400， 合并同类项，得560x=400， 系数化为1，得x==。 所以经过 min两人首次相遇。 故选：B。 二、填空题 11.（2024-2025学年·北师大版同步）用一根长为10m的铁丝围成一个正方形，则正方形的边长为__2.5____m。 【答案】 2.5 【解析】 本题考查等长变形问题。正方形周长=边长×4，铁丝长度就是正方形的周长。 【解答】 解：设正方形的边长为x m。 根据题意，得4x=10， 系数化为1，得x=2.5。 所以正方形的边长为2.5m。 故答案为：2.5。 12.（2025-2026学年·人教版同步）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。则人数为___7___，物价为___53___钱。 【答案】 7；53 【解析】 本题考查盈不足问题。设人数为x，根据物价不变列方程。 【解答】 解：设人数为x。 每人出8钱，多出3钱，物价为8x-3； 每人出7钱，少4钱，物价为7x+4。 因为物价不变，所以8x-3=7x+4， 解得x=7。 物价为8×7-3=53（钱）。 故答案为：7；53。 13.（2024-2025学年·重庆北碚西南大学附中期末）甲、乙两人分别从相距30km的A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为4km/h，乙的速度为6km/h，则经过___3___h两人相遇。 【答案】 3 【解析】 本题考查相遇问题。两人相向而行，相遇时两人路程之和等于总路程。 【解答】 解：设经过x h两人相遇。 甲行驶的路程为4x km，乙行驶的路程为6x km。 相遇时两人路程之和等于总路程，即4x+6x=30， 合并同类项，得10x=30， 系数化为1，得x=3。 所以经过3h两人相遇。 故答案为：3。 14.（2025-2026学年·广东佛山禅城期末）一个梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面积为88cm²，则这个梯形的上底为___8___cm。 【答案】 8 【解析】 本题考查等积变形（面积）问题。梯形面积公式：S=(上底+下底)×高÷2。 【解答】 解：设梯形的上底为x cm，则下底为(x+6)cm。 根据梯形面积公式，得(1/2)(x+x+6)×8=88， 化简，得4(2x+6)=88， 去括号，得8x+24=88， 移项、合并同类项，得8x=64， 系数化为1，得x=8。 所以梯形的上底为8cm。 故答案为：8。 15.（2024-2025学年·甘肃兰州十九中期末）小明和小刚在400m的环形跑道上练习跑步，小明的速度为5m/s，小刚的速度为3m/s。若两人同时同地同向出发，经过__200____s小明第一次追上小刚。 【答案】 200 【解析】 本题考查环形跑道同向追及问题。小明第一次追上小刚时，小明比小刚多跑一圈（400m）。 【解答】 解：设经过x s小明第一次追上小刚。 小明跑的路程为5x m，小刚跑的路程为3x m。 同向出发第一次追上时，小明比小刚多跑一圈，即5x-3x=400， 合并同类项，得2x=400， 系数化为1，得x=200。 所以经过200s小明第一次追上小刚。 故答案为：200。 16.（2025-2026学年·北师大版同步）今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。则人数为__33____，金价为__9800____钱。 【答案】 33；9800 【解析】 本题考查盈不足问题（两盈）。设人数为x，根据金价不变列方程。 【解答】 解：设合伙人数为x。 每人出400钱，多出3400钱，金价为400x-3400； 每人出300钱，多出100钱，金价为300x-100。 因为金价不变，所以400x-3400=300x-100， 移项、合并同类项，得100x=3300， 系数化为1，得x=33。 金价为400×33-3400=13200-3400=9800（钱）。 故答案为：33；9800。 三、解答题 17.（2024-2025学年·北师大版同步）某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm、12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm，在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ 【答案】 14.52cm 【解析】 本题考查等积变形问题。圆柱形容积不变，即旧容积=新容积。圆柱体积公式V=πr²h，注意半径=直径÷2。 【解答】 解：设新包装的高度为x cm。 旧包装底面半径为6.6÷2=3.3cm，容积为π×3.3²×12； 新包装底面半径为6÷2=3cm，容积为π×3²×x。 根据容积不变，得π×3.3²×12=π×3²×x， 两边都除以π，得10.89×12=9x， 即130.68=9x， 系数化为1，得x=14.52。 答：易拉罐的高度将变为14.52cm。 18.（2025-2026学年·北京八一学校期末）小明每天早上要到距家1000m的学校上学。一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。 （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ 【答案】 （1）4min；（2）280m。 【解析】 本题考查追及问题。（1）爸爸追上小明时两人路程相等；（2）用总路程减去爸爸走的路程就是距离学校的距离。 【解答】 解：（1）设爸爸追上小明用了x min。 爸爸行驶的路程为180x m； 小明先走5min，再走x min，一共走了(x+5)min，路程为80(x+5)m。 根据题意，得180x=80(x+5)， 去括号，得180x=80x+400， 移项、合并同类项，得100x=400， 系数化为1，得x=4。 答：爸爸追上小明用了4min。 （2）爸爸行驶的路程为180×4=720（m）， 距离学校还有1000-720=280（m）。 答：追上小明时，距离学校还有280m。 19.（2024-2025学年·浙江慈溪期末）在《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤。问：人、银各几何？（注：半斤=8两） 【答案】 6人，46两银子。 【解析】 本题考查盈不足问题。设人数为x，根据银子总数不变列方程。注意半斤=8两。 【解答】 解：设有x个人。 每人分7两，多4两，银子总数为7x+4； 每人分9两，少半斤（即8两），银子总数为9x-8。 因为银子总数不变，所以7x+4=9x-8， 移项，得4+8=9x-7x， 合并同类项，得12=2x， 系数化为1，得x=6。 银子总数为7×6+4=42+4=46（两）。 答：有6个人，46两银子。 20.（2025-2026学年·北师大版同步）小明和小华两人在400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260m，小华每分钟跑300m，两人起跑时站在跑道同一位置。 （1）如果小明起跑后1min小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 【答案】 （1）6.5min；（2）0.25min。 【解析】 本题考查环形跑道问题。（1）同向追及，小华追上小明时两人路程相等（小明先跑1min）；（2）反向相遇，两人路程之和等于跑道一圈减去小明先跑的路程。 【解答】 解：（1）设小华用x min追上小明。 小华跑的路程为300x m； 小明先跑1min，再跑x min，一共跑了(x+1)min，路程为260(x+1)m。 追上时两人路程相等，所以300x=260(x+1)， 去括号，得300x=260x+260， 移项、合并同类项，得40x=260， 系数化为1，得x=6.5。 答：小华用6.5min能追上小明。 （2）设小华起跑后x min两人首次相遇。 小明先跑1min，跑了260×1=260m， 小华反向跑x min，跑了300x m，小明又跑了260x m。 反向出发首次相遇时，两人路程之和等于一圈，即260+260x+300x=400， 合并同类项，得260+560x=400， 移项，得560x=140， 系数化为1，得x=0.25。 答：小华起跑后0.25min两人首次相遇。 21.（2024-2025学年·黑龙江哈尔滨阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了2.5h。已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度和甲、乙两码头之间的距离。 【答案】 船在静水中的平均速度为27km/h，甲、乙两码头之间的距离为60km。 【解析】 本题考查流水行船问题。顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。甲、乙两码头之间的距离不变。 【解答】 解：设船在静水中的平均速度为x km/h。 顺水速度为(x+3)km/h，甲、乙两码头之间的距离为2(x+3)km； 逆水速度为(x-3)km/h，甲、乙两码头之间的距离为2.5(x-3)km。 根据距离不变，得2(x+3)=2.5(x-3)， 去括号，得2x+6=2.5x-7.5， 移项，得6+7.5=2.5x-2x， 合并同类项，得13.5=0.5x， 系数化为1，得x=27。 甲、乙两码头之间的距离为2×(27+3)=2×30=60（km）。 答：船在静水中的平均速度为27km/h，甲、乙两码头之间的距离为60km。 22.（2025-2026学年·人教版同步）用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？ （2）如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时长方形的面积与（1）中长方形的面积相比有什么变化？ （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？ 【答案】 （1）长3.2m，宽1.8m；（2）长2.9m，宽2.1m，面积增大0.33m²；（3）边长2.5m，面积增大0.16m²。 【解析】 本题考查等长变形问题。铁丝长度就是长方形（正方形）的周长，周长不变。根据周长公式列方程求解，再计算面积进行比较。 【解答】 解：（1）设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4)m。 根据题意，得2(x+1.4)+2x=10， 解得x=1.8。 长为1.8+1.4=3.2（m）。 答：此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m。 （2）设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)m。 根据题意，得2(x+0.8)+2x=10， 解得x=2.1。 长为2.1+0.8=2.9（m），面积为2.9×2.1=6.09（m²）。 （1）中长方形的面积为3.2×1.8=5.76（m²）。 面积增大6.09-5.76=0.33（m²）。 答：此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积比（1）中增大0.33m²。 （3）设正方形的边长为x m。 根据题意，得4x=10， 解得x=2.5。 正方形的面积为2.5×2.5=6.25（m²）。 比（2）中长方形的面积增大6.25-6.09=0.16（m²）。 答：正方形的边长为2.5m，面积比（2）中增大0.16m²。 学科网（北京）股份有限公司 $