29.1 圆的有关概念 课后同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦圆的有关概念，通过基础辨析、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆的基本概念、点与圆位置关系|概念辨析（如单选3直径与弦关系），夯实抽象能力| |中档|三角形外接圆、简单计算|推理应用（如解答18全等证明），发展运算能力| |提升|综合情境、跨知识应用|创新问题（如单选10矩形中圆上点最值），培养模型意识|

29.1 圆的有关概念 课后同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 3．以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 4．有一个半径为10cm的半圆形铁皮，半圆的周长是(   )cm． A．5π B．5π+5 C．51.4 D．10π+5 5．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（   ）． A．三角形的外心在三角形外 B．三角形的外心到三边的距离相等 C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．等腰三角形的外心在三角形内 6．点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 7．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 8．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 9．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 二、填空题 11．经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 12．已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径为_____． 13．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 14．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中___________． 15．如图正方形的边长为1，分别以正方形的两个相对顶点为圆心，以1为半径画弧，则图中阴影部分的面积是______（用含有的式子表示）． 三、解答题 16．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 17．某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 18．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 19．已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的? 20．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点O为位似中心，在x轴下方画出与位似的，使它与的相似比为； (2)点为内的一点，则点P在内部的对应点的坐标为_______； (3)外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C C B D D B B 1．【答案】D 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在内，点P到圆心O的距离为5， ∴． 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】判断确定圆的条件 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】首先理解半圆周长的意义，半圆的周长是圆周长的一半加上它的直径，根据圆的周长公式：C＝2πr，再根据直径是半径的2倍，求出圆的周长的一半加上直径即可． 【详解】解：2×3.14×10÷2＋2×10 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 故选：C． 【点睛】本题考查半圆的周长的意义，掌握求半圆的周长的方法，半圆的周长是圆周长的一半加上它的直径． 5．【答案】C 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心的性质逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的外心的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、三角形的外心可能在三角形内部，也可能在三角形外部，还可能在斜边上，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故原说法错误，不符合题意； C、三角形的外心到三个顶点的距离相等，故原说法正确，符合题意； D、等腰钝角三角形的外心在三角形外部，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形的性质．先计算点A到坐标原点O的距离，再将该距离与的半径比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论 【详解】∵点的坐标为，为坐标原点， ∴， 又∵的半径， ∴， ∴点在上， 故选：B 7．【答案】D 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求三角形外心坐标 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 8．【答案】D 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 9．【答案】B 【知识点】求能确定的圆的个数 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 10．【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长、点与圆上一点的最值问题、四边形中的线段最值问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 11．【答案】 无数 直径 【知识点】求过圆内一点的最长弦、求圆中弦的条数 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． 12．【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，三角形外接圆，掌握相关知识是解决问题的关键．的两直角边的长分别为和，由勾股定理可求斜边长，由圆周角定理知，的圆周角所对的弦是直径，所以半径即为此直角三角形斜边的一半． 【详解】解：∵的两直角边的长分别为和， 则斜边长为， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴此直角三角形外接圆的直径为， 则外接圆的半径为． 故答案为：． 13．【答案】16 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、已知外心的位置判断三角形的形状 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 14．【答案】至少有两个内角为钝角 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】根据反证法的定义，证明命题时需先假设命题结论不成立，只需找出原结论的反面即可. 【详解】解：原命题的结论为“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，“至多有一个”的反面为“至少有两个”，因此用反证法证明时，应假设这个三角形中至少有两个内角为钝角. 15．【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积）、圆的周长和面积问题 【分析】利用两个圆的面积减去一个正方形的面积求解即可． 【详解】解：如图所示 S阴影=-S正方形=-12=． 故答案为：． 【点睛】本题考查阴影面积的求解，利用S阴影=-S正方形进行求解是解决本题的关键． 16．【答案】(1) 如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； (2) 如图所示，连接，线段即为所求； (3) 如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【知识点】求过圆内一点的最长弦、圆的基本概念辨析 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 17．【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可． 【详解】解： ； . 答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键． 18．【答案】(1) 证明：的半径为， ， ，， ； (2) 【知识点】圆的基本概念辨析、用SSS证明三角形全等（SSS）、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 19．【答案】PD＝4cm，点P在⊙O上．QD＞4cm，点Q在⊙O外．RD＜4cm，点R在⊙O内． 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小． 【详解】解：连接PO，QO，RO． ∵  PD＝4cm，OD＝3cm， ∴  PO＝． ∴  点P在⊙O上． ， ∴  点Q在⊙O外． ， ∴  点R在⊙O内． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 20．【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) (3)， 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、求三角形外心坐标 【分析】本题主要考查位似、勾股定理及三角形外接圆，熟练掌握位似、勾股定理及三角形外接圆是解题的关键； （1）根据位似变换的性质作图； （2）根据与的相似比为即可求解； （3）分别作，的垂直平分线相交于点D，则点D即为所求，写出点D的坐标，连接，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：为内的一点，则点P在内部的对应点的坐标为； 故答案为：； （3）解：如图所示， 点D即为的圆心，坐标为，外接圆的半径； 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $