29.1.2过三点的圆同步训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 同步练聚焦九年级数学“过三点的圆”，以基础概念为起点，通过分层设计实现从单一知识点到综合应用的进阶，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|外心定义、外接圆基本性质|选择1直接考查外心定义，填空9、10强化概念应用，夯实基础| |中档|坐标系应用、尺规作图、简单计算|选择6结合坐标系求外心坐标，解答14、15综合垂径定理与勾股定理，提升应用能力| |提升|反证法、分类讨论、复杂推理|选择2、3训练反证法思维，解答18通过多情况讨论培养批判性思维，发展创新意识|

29.1.2过三点的圆同步训练人教版2026一2027学年九年级数学上册 姓名： 一班级： 学号： 学校： 一、选择题 1.三角形的外心是() A.三角形三条中线的交点 B,三角形三条高的交点 C.三角形三边垂直平分线的交点 D.三角形三个内角平分线的交点 2.用反证法证明命题：“在△ABC中，若AB=AC,则∠B<90°.”时，第一步应先假设 () A.∠B>90° B.∠B≥90° C.∠B<90° D.∠B≠90° 3.对于命题“若a2>b2,则a>b”,能说明它是假命题的反例是() A.a=5,b=4 B.a=4,b=0 C.a=-4,b=-1 D.a=3,b=-2 4.如图，OO是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC，,OF⊥AC,垂足分别 为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为20，则EF的长为 () A.8 B.4 C.3 D.3.5 5.根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC的外心的是() 6.如图，在平面直角坐标系x0中，点 A(0,3)B(2,1)C(2,-3 ,则△ABC的外心坐标 是() A.(-2,-2) B.(2,-) c.(1-2) D.（1-) 7.己知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,则△ABC的外接圆直径为() A.5 B.12 C.13 D.6.5 8.对于题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC=120°，求∠A的度数.”小亮的解 答：画出△ABC以及它的外接圆⊙0，连接OB,OC,如图，由∠BOC=2∠A=120°，得 ∠A=60°.下列判断正确的是(） A.小亮的求解不正确，∠A=60°或120° B.小亮的求解正确 C.小亮的求解不正确，∠A应该等于65 D.小亮的求解不正确，∠A的度数不固定 二、填空题 9.如图，O是△ABC的外心，则∠I+∠2+∠3= 10.已知一个三角形的三边长分别为5、5、8，则其外接圆的半径为， 11.如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠0CB=35°，则∠A的度数等于 B 12.如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A,B,C,其中点A的坐标为 0,4) 44) (6,2) 、点B的坐标为 、点C的坐标为 ，那么该圆弧所在的圆心坐标为 三、解答题 13.如图，平面直角坐标系中有一个△ABC, 珠 6 5 B 3 CV 123456x (I)利用网格，只用无刻度的直尺作出△ABC的外接圆的圆心点O; (2)△ABC的外接圆的圆心坐标是一；外接圆半径为一； (3)该圆圆心到弦AC的距离为」 14.如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图.弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交 弦AB于点D,连接AC. T 10 C B ()请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O:(保留作图痕迹，不写作法) (2)若AB=12,CD=3,求残片所在圆的半径. 15.(1)尺规作图，作出△ABC的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； (2)若∠B=45°，AC=10,求△ABC外接圆的直径长. 16.如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC边上的中线AD=12」 (I)请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△ABC的外接圆的半径 17.如图，在△ABC中，∠BAC=70°，AB=AC,O为△ABC的外心，△OCP为等边三角 形，OP与AC相交于D点，连接OA. B4 (1)求∠OAC的度数； (2)求∠AOP的度数. 18.如图1，△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB,D、E分别在AC、AB上(D、E不 与A重合)、BD、CE交于点O. D B 图1 图2 图3 备用图 (I)若BD=CE,则BE与CD一定相等吗？若不一定，在图2中举出反例，并简单说明（不 写作法，保留痕迹)， (2)如图3，若OD=OE,则B0与OC一定相等吗？试用反证法给出证明， (3)若△BCE中有两角相等，△COD中有两角相等，△BCD中有两角相等，直接写出∠ABC 度数、∠BEC度数和∠BDC度数之和. 参考答案 1.C 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A 9.90°/90度 10.6 11.55°155度 12.(2,0) 13.【详解】(1)解：如图，点O即为所求： 珠 6 5 B 3 2 123456x 5,2) (2)解：观察(1)中的图，得出点O的坐标为 外接圆的半径 0A=V22+42=25, 故答案为： (5,2)25 (3)解：取AC的中点H,连接OH, .OA=OC,AH=CH, :OH⊥AC 六该圆圆心到弦1C的距离为OH=P+3=V而 √10 故答案为： 14.(1)解：如图，点O即为所求： B (2)解：如图，连接OA, 设圆的半径为r,则OA=P,OD=r-3, ,CD⊥AB,AB=12, :048=6 t△AOD,AD2+QD2=OA2 在 中， :62+6-3y= 解得：r=7.5, 即圆的半径为7.5 15.(1)如图所示，⊙0即为所求： M B XO (2)如图，连接并延长AO交⊙O于点D,连接CD, /M O B 则∠D=∠B=45°， :AD是⊙O的直径， .∠ACD=90° ∴.△ACD为等腰直角三角形， ..CD=AC=10 :D=VAC+CD-V02+10=10N5 .ABC 0W2 外接圆的直径长为 16.(1)如图所示，⊙0即为所求： D (2)解：如图，连接OB :AB=AC,AD是BC边上的中线， .AD⊥BC .∠ADB=90° :BD=VAB2-AD=132-12=5 设OA=OB=x,则OD=12-x, 在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2, :02-x2+52=x2 :t16g 24, 169 即。ABC的外接圆的半径为24： 17.【详解】(1)解：连接OB, O为△ABC的外心， ..OB=OC=0A. .AB=AC,OA=OA ∴.△ABO≌△ACO(SSS) .∠BAO=∠CAO ∠0AC=1∠BAC=1x70°=35° 1 2 2 (2)解：：由(1)得，A0=C0, .∠0AC=∠0CA=35°， .∠AOC=110° :△OCP为正三角形， ∴.∠P0C=60° .∠AOP=∠AOC-∠POC=50° 18.(I)解：若BD=CE,则BE与CD不一定相等，如图： E D D B (2) 解：若OD=OE,则BO与OC一定相等， 证明：假设OB≠OC,这里不妨设OB>OC, .∠OCB>∠OBC ·∠ABC=∠ACB .∠ABC-∠OBC>∠ACB-∠OCB, .∠EBF>∠DCO. 在OB上截取OF=OC,连接EF, .OD=OE,∠EOF=∠DOC :.△EOF≌△D0CSAS) ∴.∠EFO=∠DCO. :.∠EBF>∠EFO 与∠EFO>∠EBF(三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角)矛盾， 故假设不成立， ∴.OB=OC: 若假设OB<OC时，同理与三角形的外角性质矛盾， ..OB=OC; (3)解：①当∠BEC=∠BCE,∠BDC-=∠BCD,∠COD=∠CD0时， E .∠ABC=∠ACB ∴.∠ABC=∠BDC=∠BCD=∠COD 设∠ABC=∠BDC=∠BCD=LCOD=y,∠OCD=x 则在△COD中，由三角形内角和定理可得x+2y=180° :.∠BCE=∠ACB-∠OCD=y-x=∠BEC 在△BBC中，由三角形内角和定理可得'+2(y-)=180°」 [180° X= 7 .x+2y=180 ·解得 540°， y+2(y-x)=180° 7 ∠ABC+∠BEC+∠BDC=540+540°-180）+540°_1440 7 （7 7 7 7： ②当∠BEC=∠BCE,∠BDC=∠BCD,∠DOC-=∠DCO时， E '∠ABC=∠ACB ∴.∠ABC=∠BDC=∠BCD 设∠DOC=LDCO=x,∠BCE=∠BEC=y ∠ABC=∠BDC=∠BCD=x+y 2x+x+y=180° 在△DOC和△BEC中，由三角形内角和定理可得x+y+2y=180° [x=45° 解得y=45°， 此时∠ABC=x+y=90°=∠ABC,不符合题意： ③当∠BEC=∠BCE,∠BDC=∠BCD,∠ODC=∠OCD时，此时O,B,E重合，不符合题意： ④当∠CBE=∠CEB,∠BDC=∠BCD,LCD0=∠COD时， E D ∠ABC=∠ACB, :.∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDO=∠COD 设∠DCO=x,∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDO=∠COD=y 则在△CD0中，由三角形内角和定理得x+2y=180°，则x=180°-2y △BDC,△CBE ∠DBC=∠BCE=180°-2y 在 中，由三角形内角和定理可得 .∠DBC=∠BCE=x, :∠DOC=∠DBC+∠BCE=2x, ..y=2x x+2y=180° .y=2x [x=36° 解得y=72° .∠ABC+∠BEC+∠BDC=72°+72°+72°=216°： ⑤当∠CBE=∠CEB,∠BDC=∠BCD,∠DOC=∠DCO时， E D :∠ABC=∠ACB .∠ABC=LACB=LBEC=∠CDO,设∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠CDO=y, △DOC=∠DCO=x 则在aDC0中，由三角形内角和定理可得2x+y=180°， △BEC,△BDC 在 中，由三角形内角和定理可得∠0BC=∠0CB :∠OBC+∠OCB=∠DOC=x, 、∠0BC=∠0CB=2, 在ABCD中，由三角形内角和定理可得2x+2y=180°， 2x+y=180° 1 2x+2y=1800 [x-360 7 解得 540° y= 7 :∠ABC+∠BEC+∠BDC=540°+540°540°16200 7 7 7 7 ⑥当∠CBE=∠CEB,∠BDC=∠BCD,∠ODC=∠OCD时，此时O,B,E重合，不符合题意： ⑦当∠CBE=∠CEB,∠CBD=∠CDB,LODC=∠OCD时， D B ·∠ABC=∠ACB ∴∠ABC=∠ACB=∠CEB 设∠ODC=∠OCD=∠CBD=x,∠BCE=y :.∠DOC=∠OBC+∠OCB=x+y.,∠ACB=∠ABC=∠BEC=x+y 在△DC0中，由三角形内角和定理可得x+y+x+x=180° 在△CBE中，由三角形内角和定理可得’+x+)+(v+)=180° x+y+x+x=180° ∴.y+(x+y)+(y+x)=180 「360° x=- 7 解得 180° y= ∠ABC+∠BEC+∠BDC= 360°，180° ×2+360°-14400 7 7 7 ⑧当∠BEC=∠CBE,∠CBD=∠CDB,∠DOC=∠DCO时， D B 设∠CBD=∠CDB=x,∠DOC=∠DC0=y,则△CDO中，由三角形内角和定理可得 x+2y=180° ∠BCE=∠DOC-∠CBD=y-x :∠ABC=∠ACB=180°-∠CBD-∠CDB=180°-2x ∴.∠CEB=∠CBE=180°-2x, 在△CBE中，由三角形内角和定理可得180°-2x+180°-2x+y-x=180° x+2y=180° .180°-2x+180°-2x+y-x=180° 540° 11 解得 720° y= 11 ∠ABC+∠BEC+∠BDC= 180°-2x540 ×2+540°2340 11 1111 ⑨∠BEC=∠CBE,∠CBD=∠CDB,∠COD=∠CDO时，此时B,O,E三点重合，不符合题 意， 2340°1440° 1620° 综上：∠ABC度数、∠BEC度数和∠BDC度数之和为11或7或216°或7·