第3章 4.2 相似三角形的周长比、面积比的性质 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“基础巩固-能力提升-综合拓展”分层设计，覆盖相似三角形及多边形周长比、面积比性质，通过从单一知识点到综合应用的进阶路径，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|相似三角形（多边形）周长比、面积比性质|直接应用性质的选择、填空题，如已知相似比求周长/面积| |能力提升|面积比与对应高关系、性质综合计算|结合图形的中档解答题，如利用面积比求高或边长| |综合拓展|相似变换缩放规律（长度/面积/体积）|规律探究题，如“速叠杯”问题中缩放规律的实际应用|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第三章 图形的相似 4 相似三角形的性质 第2课时 相似三角形的周长比、面积比的性质 ▌课时目标 1. 理解并掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的性质，明晰其演绎推理过程，体会从“线段比”到“面积比”的进阶逻辑。 2. 能将相似三角形周长、面积的性质推广到相似多边形，并运用相关性质解决几何计算问题，准确区分“周长比”与“面积比”的不同规律。 3. 初步理解相似变换中的缩放规律，能利用面积比与对应高的关系解决简单的综合问题，提升逻辑推理与运算能力。 ▌课时目录 知识点01：相似三角形周长的比等于相似比 知识点02：相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点03：相似多边形周长比与相似比的关系 知识点04：相似多边形面积比与相似比平方的关系 知识点05：利用周长比、面积比性质进行计算 知识点06：相似三角形的面积比与对应高的关系 知识点07：相似变换中的缩放规律（长度、面积、体积） ▌知识点01：相似三角形周长的比等于相似比 性质：相似三角形周长的比等于相似比。 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，即。 求证：（其中C表示周长）。 证明：，。 由，得。 故。 核心：周长是线段长度的和，因此周长比与边长比一致。 1．（2026·贵州六盘水·二模）如图，在中，，．若的周长为6，则的周长是（     ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据，得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为6， ∴． 2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为，设的周长为， ， 即， 解得， 即的周长为12． 3．（24-25九年级上·上海松江·期中）如果两个相似三角形的对应高的比为，且它们的周长差为15厘米，则周长较小的三角形的周长为______厘米． 【答案】30 【分析】本题考查了相似三角形性质．根据相似三角形的周长比等于相似比解题． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应高的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴设较大三角形的周长是，较小三角形的周长是，则， 解得， 那么较小三角形的周长是（厘米）， 故答案为：30． 4．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段检测）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 【答案】这两个三角形的周长为和 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应角的角平分线的比等于相似比求解即可． 【详解】解：设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的周长比为，     ∴， 解得，则， 故这两个三角形的周长为和． ▌知识点02：相似三角形面积的比等于相似比的平方 性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别为BC、B'C'边上的高。 求证：（其中S表示面积）。 证明：。 由相似性质得（对应高的比等于相似比）。 故。 关键：面积是二维度量，涉及两个长度的乘积，因此比例需相乘，即。 5．（2026·上海黄浦·一模）已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 【答案】81 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】∵与的相似比为， ∴面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：81． 6．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，D，E分别是的边，上的点，且，若四边形的面积是的面积的8倍，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 证明，根据面积比等于相似比的平方求出相似比即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形的面积是的面积的8倍， ∴的面积是的面积的9倍， 即， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·福建泉州·期中）与相似，且与的相似比是，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】20 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】∵，且相似比为， ∴与的面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·湖北十堰·期中）若，，若的面积是5，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质得到，再由，即可得到的面积． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ▌知识点03：相似多边形周长比与相似比的关系 性质：相似多边形周长的比等于相似比。 推导：相似多边形定义为对应角相等、对应边成比例的多边形。设多边形A1与A2相似，相似比为k，则其所有对应边之比均为k。 周长是所有边长之和，因此周长比等于各边长度之和的比，即。 示例：两个相似五边形，相似比为3:5，则它们的周长比也为3:5。此性质是相似三角形周长比性质的推广。 9．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】利用相似多边形周长比等于相似比得到两个多边形的周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为， 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为， 故选：A． 10．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知矩形矩形，且矩形与矩形的相似比为，若矩形的周长为4，则矩形的周长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 根据相似图形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】∵矩形矩形，且矩形与矩形的相似比为， ∴周长比也为 ． ∵ 矩形的周长为 4， ∴矩形的周长为 ． 故选B． 11．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为4，则四边形的周长为______． 【答案】20 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形，且， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为4， ∴四边形的周长为20； 故答案为：20 12．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）如图，已知五边形五边形，且五边形与五边形的面积比为，若五边形的周长为，则五边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据面积比求出相似比，再根据周长比等于相似比列出比例式解答即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设五边形的周长为， ∵五边形与五边形的面积比为， ∴相似比为， ∴五边形与五边形的周长比为， 即， 解得， ∴五边形的周长为， 故答案为：． ▌知识点04：相似多边形面积比与相似比平方的关系 性质：相似多边形面积的比等于相似比的平方。 推导：任何相似多边形都可分割为若干个相似的三角形（例如，连接多边形的一条对角线，可将其分为三角形）。由于这些对应三角形均相似，且相似比均为k，则每个对应三角形的面积比均为。因此，整个多边形的面积比（各部分面积之和的比）也为。 示例：两个相似六边形，相似比为2:3，则它们的面积比为4:9。此性质是相似三角形面积比性质的推广。 13．（2024·浙江·一模）如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（    ） A．矩形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形对应边成比例是解题关键．根据矩形相似，得出，再结合三角形面积公式，即可得到答案． 【详解】解：矩形矩形， ， ， ， 知道的面积，即可求出的面积， 故选：D． 14．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图所示，若四边形四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是___________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似多边形面积的比等于相似比的平方，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键． 由，可得四边形与四边形的面积比等于，已知四边形的面积是，代入即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴， 故答案为：18． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）两个相似五边形，一组对应边的长分别为和，若它们的面积之和为，则较小五边形的面积是__． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质．掌握相似多边形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决． 【详解】解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是 ，． 则，因而． 根据面积之和是，得到， 解得：， 则． 即较小五边形的面积分别是． 故答案为：． 16．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，正方形相似性质，规律探索，找到规律是解决问题的关键． （1）根据勾股定理可知，所求为以为边长的正方形面积，因为正方形皆相似，利用等腰面积为求出以为边长的正方形面积，再根据已知得到，即可求解． （2）利用（1）的方法求解即可； （3）利用（1）的方法找到规律求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰， ， ∴以为边长的正方形面积为1， ∵， ， ∵正方形皆相似， ∴， ∴以为边长的正方形面积为4， 由勾股定理得； 故答案为：4； （2）同（1）得： ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ； 故答案为：16； （3）同上所得：， ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ． 故答案为：． ▌知识点05：利用周长比、面积比性质进行计算 解题步骤： 1. 判定图形相似，确定相似比k； 2. 若求周长相关量，直接用； 3. 若求面积相关量，直接用； 注意单位统一，若已知面积比求相似比，需对面积比开平方。 示例：已知△ABC∽△DEF，面积比为9:16，则相似比为，周长比也为3:4。 17．（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 18．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质． 利用相似多边形面积比与相似比的关系求出周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为． ∵相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为． 故选：A． 19．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如果两个相似多边形的面积比为，那么这两个相似多边形对应边的比是 ________ ． 【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质，面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴这两个相似多边形对应边的比是． 故答案为：． 20．（2025·陕西渭南·一模）已知四边形四边形，若，，则四边形与四边形的面积比为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，根据对应边和的长度求出相似比，再计算面积比 【详解】解：∵四边形四边形，，， ∴相似比， ∴面积比． 故答案为． ▌知识点06：相似三角形的面积比与对应高的关系 由面积比公式及高之比，可推导出： 若两个三角形面积比为m:n，则它们对应高的比为（当底相等时）。反之亦然。 示例：两个相似三角形，对应高的比为2:3，则面积比为4:9。 若两个三角形底相等，且高的比为2:3，则面积比也为2:3（此为非相似情况下的特例，需与相似情况区分）。 应用：在已知面积比求高，或已知高求面积时，可结合相似比进行快速计算。 21．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，在中，如果，，，，则下面四个结论：    （1）；（2）的边上的高与的边上的高之比为； （3）；（4）的面积与面积之比为． 其中正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先证明可得，故可判断（1）；再证明可得（3）正确，再根据相似三角形的性质可判断（2），（4） 【详解】解：∵，，，， ∴ ∴， ∴， ∴，故（1）正确； ∴，故（3）正确， ∴的边上的高与的边上的高之比为，故（2）错误； ∴的面积与面积之比为，故（4）错误． 故选：B 22．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）已知在中，，是边上的高，如果，，那么面积与的面积的比值是____________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 只要证明，由，根据面积比是相似比的平方作答即可． 【详解】解：如图, 是边上的高， ， ， ， ， ， ， ∴面积与的面积的比值是． 故答案为：． 23．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，在锐角中，，，为高，连接，与四边形的面积比是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及含30度直角三角形的性质．根据已知条件利用含30度直角三角形的性质得到，再证明，然后利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”这一性质求出面积比，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与四边形的面积比是， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在四边形中，点在上，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)设的边上的高为，的边上的高为．若的面积9，的面积为4，求的值及的面积． 【答案】(1)相似 (2)， 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． （1）利用平行可得到，，可证明； （2）利用面积可求得相似比，再利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比可求得，再根据和同底，可知其面积比等于，可求得的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． ▌知识点07：相似变换中的缩放规律（长度、面积、体积） 相似变换中，图形的线性尺寸（长度、周长、直径等）按相似比k缩放；面积（表面积）按相似比的平方缩放；体积按相似比的立方缩放。 规律总结： 1. 一维量（长度、周长）：k 2. 二维量（面积、表面积）： 3. 三维量（体积）： 示例：将一个正方体的棱长扩大为原来的2倍，则表面积扩大为原来的22＝4倍，体积扩大为原来的23＝8倍。 25．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，中，，，，以C为顶点作第1个正方形，使点E在斜边上，依此规律分别作出第2个，…第n个正方形，则第2026个正方形的边长是______． 【答案】 【分析】本题考查了利用相似去求线段长，并根据所计算的结果寻求规律解决问题．利用相似可依次求出图中第1、2、3个正方形的边长，从而根据边长存在的规律，得出第2026个正方形的边长． 【详解】解：令第1个正方形的边长为，则由可得， ，即，解得 令第2，3，4……个正方形的边长分别记为：…… 同理可得，， ， ， …… 观察发现，后一个正方形的边长是前一个正方形的倍， 则有． 所以第2026个正方形的边长为：． 故答案为：． 26．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．若点按下列规律跳动：第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，第次由点向左上方跳动至点，第次由点向右跳动至点，． 根据上述规律，解答下列问题 (1)写出点的坐标：__________； (2)第次跳动后，点的坐标为__________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）由已知点坐标可得点的坐标为，据此即可求解； （）由已知点坐标可得点，据此即可求解； （）根据由（）、（）所得规律可得，，，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； 本题考查了点的坐标规律变化问题，坐标与图形，由已知点的坐标找到变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴第次向右跳动至点，点的坐标为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴点， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：由（）、（）可得，，，， ∴， ∵点到线段的距离为， ∴三角形的面积． 27．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）观察下面的四个图形，并根据图中规律回答相关问题． 如图1，在中，是边的二等分点，图2中的是边的三等分点，图3中的是边的四等分点．……图4中的是边的等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得 ①当是边的二等分点：； ②当，是边的三等分点：； ③当是边的四等分点：； …… 按照以上规律，解决下列问题． (1)当是边的五等分点：____． (2)请你猜想出的结果（用含的式子表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 图4中，是边的n等分点，过各等分点的线段分别与底边平行， 则从上到下各三角形的相似比为：， 面积比为：， ． 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． （1）仿照上式即可写出； （2）先仿照上式写出，根据面积比为相似比的平方证明即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 类比可得，当是边的五等分点：， 故答案为：； （2）略 28．（2026·广东汕头·一模）综合与实践 有趣的“速叠杯” “速叠杯”是一项好玩的手部运动．它的叠放方式如图1：从下往上，最底层摆若干个杯子，每往上一层减少1个杯子，直到顶层只有1个杯子，形成一个“塔”形． 小丽在活动中记录了不同叠放情况下杯子的总数： 最底层杯子数 x 1 2 3 4 5 杯子总数 y 1 3 6 10 15 (1)观察表格，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是_ 个． (2)通过观察杯子的摆放规律，用an表示图n的杯子数，其中，2，3，…，小丽发现 当塔有1层时，杯子总数：个杯子 当塔有2层时，杯子总数：个杯子 当塔有3层时，杯子总数：个杯子 当塔有4层时，杯子总数：个杯子 … 根据以上规律： ①当塔有100层时，杯子总数是_个； ②要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要_个杯子（用含n的式子表示）； ③若现有120个杯子，按照这种叠放方式，能恰好叠放成一个完整的“速叠杯”塔，_ ． (3)杯子的侧面展开图如图2所示，，分别为上、下底面圆的半径，，所对的圆心角，，．将这样足够数量的杯子按图1中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数． 【答案】(1)21 (2)①5050；②；③15 (3)最大高度为，杯子的总数为45个 【分析】（1）观察表格规律进行计算即可； （2）①根据摆放规律填写即可； ②根据摆放规律可得要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要个杯子； ③根据题意得，求出即可； （3）求出，设第一层杯子的个数为x个，则，即可求出第一层杯子的数量、杯子的层数、杯子的总数；证明，得，由勾股定理求出，进而可得，，从而可求杯子叠放达到的最大高度． 【详解】（1）解：观察表格规律，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是（个）， 故答案为：21； （2）解：①当塔有1层时，杯子总数：个杯子， 当塔有2层时，杯子总数：个杯子， 当塔有3层时，杯子总数：个杯子， 当塔有4层时，杯子总数：个杯子， … 当塔有100层时，杯子总数是（个）； ②由规律得，要摆一个n层的“速叠杯”塔，一共需要个杯子（用含n的式子表示）； ③令， 整理得， 由， 得； （3）解：∵，， 解得：， ∵第一层摆放杯子的总长度不超过， 设第一层杯子的个数为x个，则， 解得：， x取最大值为9， 即第一层摆放杯子9个，杯子的层数也是9， ∴杯子的总数为（个）； 在图2中，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴最大高度为：． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解答． 【详解】解：点D，E分别是，的中点， ，， ， ． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，，，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形是正方形，延长到点E，使得，连接，，交于点F．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出，再证得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．（25-26八年级下·山东威海·期末）小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1．8米，其影长为2米，小强的身高为1．6米，则小强的影长为________米． 【答案】/ 【分析】同一时刻阳光下的平行投影中，物体高度与影长成比例，据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设小强的影长为米，根据题意得 解得 经检验是原方程的解. ∴小强的影长为米． 6．（2026·广东清远·一模）相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴ 相似三角形的对应周长之比为． 7．（25-26九年级下·辽宁盘锦·阶段检测）如图，，且与的面积之比是，若，则的长为_________． 【答案】2 【分析】由相似三角形面积的比等于相似比的平方求出，进而求出即可． 【详解】解：， ， 与的面积之比是， ， ， ， ． 8．（25-26九年级上·广西百色·期末）已知，且，则它们的面积比__________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据面积比等于相似比的平方即可求解. 【详解】解：∵，且，即相似比为， ∴． 故答案为：. 三、解答题 9．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 10．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知：中，，F、G为、边上的点，且，． (1)求证：； (2)，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵中，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用垂直的定义得出，由同角的余角相等得出，即可证明． （2）设，，由含30度直角三角形的性质以及勾股定理分别得出，，，由相似三角形的性质得出，然后代入即可求出x的值． 【详解】（1）证明：略； （2）解：设，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，即， 解得∶． 即． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第三章图形的相似 4相似三角形的性质 第2课时相似三角形的周长比、面积比的性质 课时目标 理解并掌握相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比平方的性质，明晰其演 绎推理过程，体会从“线段比”到“面积比”的进阶逻辑。 2. 能将相似三角形周长、面积的性质推广到相似多边形，并运用相关性质解决几何计算 问题，准确区分“周长比”与“面积比”的不同规律。 3. 初步理解相似变换中的缩放规律，能利用面积比与对应高的关系解决简单的综合问题， 提升逻辑推理与运算能力。 课时目逯 知识点01：相似三角形周长的比等于相似比 知识点02：相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点03：相似多边形周长比与相似比的关系 知识点04：相似多边形面积比与相似比平方的关系 1/14 知识点05：利用周长比、面积比性质进行计算 知识点06：相似三角形的面积比与对应高的关系 知识点07：相似变换中的缩放规律（长度、面积、体积) 知识点01：相似三鱼形周长的比等于相似比 性质：相似三角形周长的比等于相似比。 2知：△ABC-ABC,相似比为k,即4 AC-BC=k C△ABc=k 求证： C△4gc(其中C表示周长)。 证明：Caac=AB+BC+AC,C△ABC=AB+B'C+A'C'。 AB AC BC 雨BACB'C气，得AB=k~ABAC=k~ACBC=k:B'C, C(BBCAC)k 故CABC A'B+B'C+A'C 核心：周长是线段长度的和，因此周长比与边长比一致。 BD 1 1.(2026贵州六盘水：二模)如图，在△ABC中，DE∥BC,AD2·若。4DE的周长为6，则△ABC 的周长是() E B A.6 B.9 C.12 D.18 2.(25-26八年级下·上海青浦期中)己知△ABC∽△DEF,相似比为2：3，若△ABC的周长为8，则 △DEF的周长为() A.12 B.16 C.18 D.24 2/14 3.(2425九年级上·上海松江期中)如果两个相似三角形的对应高的比为2：3，且它们的周长差为15厘 米，则周长较小的三角形的周长为厘米。 4.(24-25九年级上·陕西榆林阶段检测)两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为2：3，其中一个三 角形的周长比另一个三角形的周长小4Cm,求这两个三角形的周长. 知识点02：相似三鱼形面积的比等于相似处比的平方 性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 己知：△ABC一△AB'C',相似比为k,AD、AD分别为BC、B'C边上的高。 S△ABC=k2 求证：Sa4"Bc (其中S表示面积)。 S△ABc= AD:BC.SAASC=D.B'C 证明： BC AD 水 由相似性质得B'C'A'D (对应高的比等于相似比)。 1 AD:BC SAABC= AD BC AABC 1 年 4'D:B'C ADB'C:=kk=k2 2 关键：面积是二维度量，涉及两个长度的乘积，因此比例需相乘，即kk=k。 5.(2026上海黄浦一模)已知。ABC与ADEF相似，相似比为2，如果ADEF的面积是36，那么A4BC 的面积是 6.(25-26九年级上湖北襄阳期末)如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，且DE∥AC,若 DE 四边形BCED的面积是AADE的面积的8倍，则BC的值为 D 7.(25-26九年级上福建泉州期中)△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比是1：2，若△ABC 的面积是5，则△DEF的面积是 3/14 AB 1 8.(25-26九年级上~湖北十堰期中)若△ABC∽△DEF,DE2,若AABC的面积是5，则ADEF的面 积是 知识点03：相似多边形周长比与相似比的送系 性质：相似多边形周长的比等于相似比。 推导：相似多边形定义为对应角相等、对应边成比例的多边形。设多边形A1与A2相似， 相似比为k,则其所有对应边之比均为k。 CA=k 周长是所有边长之和，因此周长比等于各边长度之和的比，即C。 示例：两个相似五边形，相似比为3：5，则它们的周长比也为3：5。此性质是相似三角形周 长比性质的推广。 9.(25-26八年级下·黑龙江大庆期中)两个相似多边形的相似比为2：3，且它们的周长之差为20，则较 大多边形的周长为() A.60 B.40 C.36 D.16 ABCD,∽ ABCD ABCD ABCD 10.(25-26九年级上：陕西榆林期中)己知矩形 矩形 ,且矩形 与矩形 的 相似比为3：2，若矩形1BCD的周长为4，则矩形 ABC D 的周长是() A.4 B.6 C.8 D.12 11.(25-26九年级上陕西榆林期末)已知四边形ABCD∽四边形AB'CD',且AB.A'B'=5,若四边形 ABCD的周长为4，则四边形A'B'CD'的周长为 12.(25-26九年级上·甘肃天水期末)如图，已知五边形ABCDE∽五边形A'B'CD'E',且五边形ABCDE 与五边形AB'CD'E'的面积比为9：1I6,若五边形ABCDE的周长为l2,则五边形A'B'CD'E'的周长为 4/14 知识点04：相似多边形面积比与相似以比平方的送系 性质：相似多边形面积的比等于相似比的平方。 推导：任何相似多边形都可分割为若干个相似的三角形（例如，连接多边形的一条对角 线，可将其分为三角形)。由于这些对应三角形均相似，且相似比均为k,则每个对应三 角形的面积比均为k。因此，整个多边形的面积比（各部分面积之和的比）也为k2。 示例：两个相似六边形，相似比为2：3，则它们的面积比为4：9。此性质是相似三角形面积 比性质的推广。 13.(2024浙江·一模)如图，矩形ABCD∽矩形DEFG,连接AF、CG、DF,要求出aCDG的面积， 只需要知道下面哪个图形的面积() A.矩形ABCD的面积 B.四边形ABCG的面积 C.△DEF的面积 D.△ADF的面积 14.(25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测)如图所示，若四边形EFGH∽四边形ABCD,BC=3, 9 FG=6,四边形ABCD的面积是2，则四边形EFGH的面积是 公 G 15.(23-24九年级上：浙江杭州期中)两个相似五边形，一组对应边的长分别为2Cm和3Cm,若它们的面 积之和为65cm,则较小五边形的面积是一. 16.(2025山东青岛模拟预测)如图①，等腰Rt△ABC面积为2. 5/14 B B B Sa SB. Sa B A CC C A CC 图① 图② 图③ B 1)如图②，延长1B到A,使 延长4C到,使 B=BA CC=CA BA ,以“为边长在AB的左侧作正 方形，其面积记作 ,以8C为边长在8G右上方作正方形，其面积记作5。，则5。 Q如图③，延长B到 .B2 B2B=BA ,使 1,延长4C到9，使CG-2C1以8,4 A,以64为边长在1B的左侧作 正方形，其面积记作 ,以BG为边长在B,C右上方作正方形，其面积记作5。，则8。-S。= ⊙E长到8，使B,R1,延米4C到S,使9 C.C-=nCA B,A ,以5,4为边长在1B的左侧作正方 形，其面积记作 .C为边长在 ,以 ，C右上方作正方形，其面积记作5。，则。-5 知识点05：利用周长比。面积比性质进计算 解题步骤： 判定图形相似，确定相似比k: C=k 若求周长相关量，直接用C,: S=k2 若求面积相关量，直接用⊙； 注意单位统一，若已知面积比求相似比，需对面积比开平方。 6/14 示例：已知△ABC一△DEF,面积比为9：16，则相似比为V9:16=3:4,周长比也为3：4。 17.(2026广东云浮一模)如图，四边形ABCD∽四边形EFGH.若AB=5,EF=3,则它们的面积之 比为() D A.5:3 B.3:5 C.25:9 D.无法确定 18.(25-26九年级上·安徽安庆期末)两个相似多边形的面积之比为4：9，且它们的周长之差为20，则较 大多边形的周长为() A.60 B.40 C.36 D.16 19.(25-26九年级上湖南娄底·期中)如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么这两个相似多边形对应 边的比是 20.(2025陕西得南一模)已知四边形48CD四边形48C0,若B=3,48-5, 则四边形ABCD ABC D 与四边形 的面积比为 知识点06：相似三鱼形的面积比与对应高的送系 SL=k2 h二k 由面积比公式S,”及高之比h,可推导出： 若两个三角形面积比为m,则它们对应高的比为Vm:Vn(当底相等时)。反之亦然。 示例：两个相似三角形，对应高的比为2：3，则面积比为4：9。 若两个三角形底相等，且高的比为2：3，则面积比也为23（此为非相似情况下的特例，需 与相似情况区分)。 应用：在己知面积比求高，或己知高求面积时，可结合相似比进行快速计算。 21.(23-24九年级上湖南常德期中)如图，在△ABC中，如果AD=4,BD=8，AE=3,CE=6,则 下面四个结论： 7/14 (1)DE∥BC:(2)△ABC的BC边上的高与△ADE的DE边上的高之比为1：2： (3)△ADE~△ABC;(4)△ADE的面积与△ABC面积之比为1：4. 其中正确的有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 22.(25-26九年级上·上海黄浦期中)已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果AC=4, CD=3,那么△ACD面积与△CBD的面积的比值是 23.(25-26九年级上江苏无锡期末)如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，BD,CE为高，连接DE, △ADE与四边形BCDE的面积比是 24.(24-25九年级上江苏泰州阶段检测)如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，EC∥AB, EB∥DC. (I)△ABE与△ECD相似吗？为什么？ 2)设△ABE的边BE上的高为”， 为么.△CDE的边CD上的高为.若△ABE的面积9，△CDE的面积为 h 4,求h的值及△BCE的面积. 8/14 知识点07：相似变换中的缩放规律（长度面积体积） 相似变换中，图形的线性尺寸（长度、周长、直径等）按相似比k缩放；面积（表面积） 按相似比的平方k缩放；体积按相似比的立方k缩放。 规律总结： 一维量（长度、周长）：k 二维量（面积、表面积）：2 三维量（体积）：k3 示例：将一个正方体的棱长扩大为原来的2倍，则表面积扩大为原来的2=4倍，体积扩 大为原来的23=8倍。 25.(25-26九年级上四川内江期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=2,以C为顶点作 第1个正方形CDEF,使点E在斜边AB上，依此规律分别作出第2个，…第n个正方形，则第2026 个正方形的边长是一 D 2 31 26.(24-25七年级下·安徽阜阳期中)如图，在平面直角坐标系中，己知点A的坐标为(，0).若点A按下 列规律跳动：第'次由点1向左上方跳动至点4(-)，多 2 A A(2,1) .3 ,第次由点向右跳动至点，第次由 点向左上方跳动至 4-2,2),第4次由点4向右跳动至点 (3,2). 9/14 5 A1 -A6 43 A >A2 下A 5-43-2-02345衣 根据上述规律，解答下列问题 (1)写出点的坐标： ②第2025次跳动后，点 2025 的坐标为 3)求三角形 204142 的面积。 27.(25-26九年级上·安徽阜阳·期末)观察下面的四个图形，并根据图中规律回答相关问题. D△ S2 E S G S4 C B4 图1 图2 图3 图4 如图1，在△ABC中，D是边AB的二等分点，图2中的D,E是边AB的三等分点，图3中的D,E,F是 边AB的四等分点.…图4中的D,E,F,G是边AB的n等分点，过各等分点的线段分别与底边BC平 行.设△1BC的面积为5，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为 ,S2,S3…Sn 由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得 ①当0是适份的二等分点：-： ②当D:E是边4B的三等分点：S-S 9 g当D,EF是边B的明学分点：S6 10114 按照以上规律，解决下列问题. D,E,F,G 是边B的五等分点： Ss= (1)当 (2)请你猜想出◇“的结果（用含”的式子表示），并说明理由。 28.(2026广东汕头一模)综合与实践 有趣的“速叠杯” “速叠杯”是一项好玩的手部运动.它的叠放方式如图1：从下往上，最底层摆若干个杯子，每往上 一层减少1个杯子，直到顶层只有1个杯子，形成一个“塔”形. 小丽在活动中记录了不同叠放情况下杯子的总数： 最底层杯 1 2 3 5 子数 杯子总数 1 3 10 15 D 图1 图2 (1)观察表格，当最底层有6个杯子时，杯子的总数是-个. (2)通过观察杯子的摆放规律，用a表示图n的杯子数，其中n=1,2,3,…,小丽发现 当塔有1层时，杯子总数：口=1=12 2个杯子 当塔有2层时，杯子总数：4，=1+2=3=2×3 2个杯子 当塔有3层时，杯子总数：4，=1+2+3=6=3×4 2个杯子 当塔有4层时，杯子总数：a,=1+2+3+4=10=4×5 2个杯子 … 根据以上规律： ①当塔有100层时，杯子总数是个： 11/14 ②要摆一个层的“速叠杯”塔，一共需要_个杯子（用含n的式子表示）； ③若现有120个杯子，按照这种叠放方式，能恰好叠放成一个完整的“速叠杯”塔，=-： )杯子的侧面展开图如图2所示，ND,MA分别为上、下底面圆的半径，ND∥MA,AB所对的圆 心角∠AOB=120°，OA=18cm,OD=8cm.将这样足够数量的杯子按图1中的方式叠放，但受桌面 长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过108cm,求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数. 课时训练 一、选择题 1.(2026贵州中考真题)如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m,测得 AE=6m BE=18m BC ,则旗杆的高度是() D 63m A6mE 18m B A.9m B.12m C.18m D.24m 2.(206云南照通模拟预测)如图，△1C中，点D,:分别是4B,4C的中点， S.ADE S.Ac分别表 SADE 示△ADE,△ABC的面积，则SABC() D C A. 1 B.3 c. 2 D.3 3.(2026吉林长春模拟预测)如图，∠ACB=∠CBD=90°，AC=9,CB=6.若△ACB~aCBD,则BD 的长是() 12/14 A 7 A.2 B.3 C.4 D.2 4.(2026陕西咸阳·模拟预测)如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E,使得CE=CD,连接AE, DE,AE交DC于点F.若AB=2,则AF的长为() D A B.2V5 C v5 D.25 二、填空题 5.(25-26八年级下·山东威海·期末)小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8 米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为 米。 6.(2026广东清远一模)相似三角形的对应高之比为1：2，那么对应周长之比为一· 7.(25-26九年级下·辽宁盘锦阶段检测)如图，AB川CD,且△OAB与△OCD的面积之比是1：4，若 OA=2,则AC的长为 D AB 1 8.(25-26九年级上广西百色期末)己知△ABCn△DEF,且DE-2,则它们的面积比S△Mc:SAD 三、解答题 9.(25-26九年级下·山东淄博期末)如图，在△ABC中，AB=AC,E,F分别是边AB,BC上的点， 连接CE,AF,相交于点D,已知BF=CF,∠B+∠EDF=18O°. 13/14 D B F C (I)求证：△ABF∽△CBE: (②)若BC=6,AF=6,求△BCE的面积. 10.(25-26八年级下黑龙江大庆期末)已知：Rt△ABC中，∠C=90°，F、G为AC、BC边上的点， 且DF⊥AB,EG⊥AB, C G B (I)求证：△ADF∽aGEB: 2)LB=30°，AB=6,DE=2,△ADFOAGCF,求AD的长. 14/14