专题3.4 函数的应用（一）（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数模型的应用，系统梳理从实际问题建模步骤（审题、建模、求解、还原）到一次函数、二次函数、幂函数等七类模型的应用，构建从理论到实践的学习支架，覆盖各类函数在实际问题中的具体运用。 以真实情境问题为载体，通过例题与变式题递进设计，培养学生用数学眼光观察现实（如销售利润、水资源收费）、用数学思维分析问题（函数建模与最值求解），课中辅助分层教学，课后助力学生巩固模型应用，有效查漏补缺。

专题3.4 函数的应用（一）（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 一次函数模型的应用】 1 【题型2 二次函数模型的应用】 4 【题型3 幂函数模型的应用】 6 【题型4 分段函数模型的应用】 8 【题型5 分式型函数模型的应用】 11 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 15 【题型7 函数模型的选择问题】 19 考点1 一次函数、二次函数模型的应用 知识点1 一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（25-26高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【解答过程】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）如图（1）是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示. 则下列说法中，正确的是（    ） A．图（2）的建议是：提高成本，并保持票价不变 B．图（2）的建议是：提高成本，并提高票价 C．图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变 D．图（3）的建议是：提高票价，并降低成本 【答案】C 【解题思路】根据题意和图②知，此建议是降低成本而保持票价不变，由图③可以看出，此建议是提高票价而保持成本不变. 【解答过程】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价不变，故AB不正确； 由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票价而保持成本不变，故C正确D不正确. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精． 【解答过程】第次时共倒出了纯酒精升， 第次倒出后容器中含纯酒精为升 第次倒出的纯酒精是升 所以倒出第次时，共倒出了纯酒精 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一·全国·课堂例题）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法： （1）买一个茶壶赠送一个茶杯． （2）按购买总价的92%付款． 某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法． 【答案】优惠办法（1）： ，优惠办法（2）： ；选择优惠办法（2）. 【解题思路】根据已知条件写出两种优惠办法对应解析式，再将代入解析式求，比较不同优惠下的大小，选择优惠办法． 【解答过程】由优惠办法（1）可得函数解析式为 ； 由优惠办法（2）可得函数解析式为 ． 当该顾客买茶杯40个时，采用（1）应付款（元）；采用（2）应付款（元）． 由于，故选择优惠办法（2）． 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【解题思路】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【解答过程】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【解题思路】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 【解答过程】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【答案】(1) (2)，元 【解题思路】（1）根据利润表达式列出方程，解之即可； （2）解法一：构造利润函数，根据二次函数的性质求解出最大值；解法二：构造利润函数，采用换元法并结合二次函数的性质求解出最大值. 【解答过程】（1）由得，解得或. 因为，所以. （2）解法一：生产该产品所需时间为h， 所以生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 所以当时，取得最大值，利润最大值为 ， 故该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 解法二：生产该产品获得的利润为元，. 令，则. 令， 则当时，取得最大值，此时. 因为， 所以该厂以的速度生产该产品时，利润取得最大值，最大值为元. 【变式2-3】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）某商场经营一批进价为50元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）满足关系式． (1)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式； (2)求经营此商品的日销售利润的最大值； (3)若要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，求此商品销售单价的取值范围． 【答案】(1) (2)1250元 (3) 【解题思路】（1）根据已知应用利润等于销售额减去成本得出函数解析式； （2）应用二次函数性质得出最大值； （3）解一元二次不等式即可求出参数范围. 【解答过程】（1）由题可知． 因为， 所以关于的函数解析式为． （2）由（1）可知， 当时，取得最大值1250， 故经营此商品的日销售利润的最大值为1250元． （3）令， 整理得， 解得， 故要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，此商品销售单价的取值范围为． 考点2 幂函数模型的应用 知识点2 幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【题型3 幂函数模型的应用】 【例3】（2026·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【解答过程】设初始状态为，则，， 又，，即 ， ，，，，． 故选：D． 【变式3-1】（25-26高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设某地的耕地面积每年减少,依题列出方程，再进行整体代入，即得2029年的耕地面积. 【解答过程】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了，则有， 故， 由题意，2029年的耕地面积为，即. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【解题思路】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【解答过程】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 【变式3-3】（25-26高一上·广东深圳·期末）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【解题思路】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得. 【解答过程】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D. 考点3 分段函数模型的应用 知识点3 分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断. 【解答过程】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·河北邢台·期中）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．8小时 C．16小时 D．18小时 【答案】D 【解题思路】当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动；即小于或等于200时适合开展户外活动，根据分段函数的解析式，分情况讨论求出不等式解集，再求出区间长度即可. 【解答过程】由AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动， 得当小于或等于200时，可开展户外活动，即， 因为 所以当时，，解得， 当时，，解得． 综上，可开展户外活动的时长至多为小时． 故选:D. 【变式4-2】（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)45万件；2600万元. 【解题思路】（1）先根据题意求出的值，然后根据利润=销售收入-成本求出年利润与年产量的关系式. （2）先求出时年利润的最大值，再求出时利润的最大值，最后比较大小可得公司所获年利润最大. 【解答过程】（1）当时，，解得.                            由题意可知， 当时，， 当时，. 所以年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时， 开口向下，所以当时，. 当时， . 当且仅当，即时，等号成立，此时， ，所以该组件的年产量为45万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2600万元. 【变式4-3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【答案】(1)； (2)年产量百台时利润最大，最大利润为万元. 【解题思路】（1）根据给定的函数表达式结合年利润的求法即可得到函数关系； （2）分和两段函数，再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较可得最大值. 【解答过程】（1）每百台高级设备售价为万元，年产量（百台）时销售收入为万元， 总成本为万元，年利润万元. 当时， ； 当时， . 所以年利润. （2）由（1）当时， ， 故当（百台）时，（万元）， 当时， 当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元）， 因为,所以年产量百台时利润最大，最大利润为万元. 【题型5 分式型函数模型的应用】 【例5】（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【解题思路】（1）根据题目中的等量关系列出函数关系式； （2）对函数关系式变形，利用基本不等式求解最值. 【解答过程】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 【变式5-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【答案】(1)； (2)污水处理池长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【解题思路】（1）污水处理池长为米，可得其宽为米，由其长、宽都不超过米可求得的取值范围，根据题意可得出函数的表达式； （2）利用基本不等式可求得函数的最小值，利用等号成立的条件可求得水池的长与宽，进而得解. 【解答过程】（1）依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【变式5-2】（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 【答案】(1) (2)的最大值为，此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【解题思路】（1）根据题意列式化简即可； （2）将函数配凑为，利用基本不等式即可求得最大值，并根据取等条件得到两个项目分配的资金. 【解答过程】（1）分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，则分配给电商服务站搭建项目的资金为万元， . （2）由（1） ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为. 此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【变式5-3】（25-26高一上·北京·期中）某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. (1)求的值； (2)试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 【答案】(1) (2) (3)万元 【解题思路】（1）根据题中所给的条件直接可得； （2）分别计算生产投入费用、维护投入费用、广告费用即可得年总成本； （3）根据基本不等式可得利润最高值. 【解答过程】（1）由题意，当时，，解得. （2）由题意，设生产（万件）产品的广告费用x（万元），维护投入费用万元，生产投入费用万元. 所以该厂家的年总成本y（万元）与广告费用x（万元）之间的函数关系式为： ，； （3）设年利润为万元， 则 ， 因为，所以， 当且仅当即时，取最大值， 所以广告费用为万元时，厂家的年利润最高. 考点4 “对勾”函数模型的应用 知识点4 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 【例6】（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)写出关于的表达式； (2)当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 【答案】(1) (2)当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元 【解题思路】（1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用； （2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解. 【解答过程】（1）依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为元，维修旧墙费用为元， 因此， 所以修建此矩形场地的总费用. （2）由（1）知， 当时，， 当且仅当，即时，， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 【变式6-1】（25-26高一上·吉林·阶段检测）为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.    (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； (2)若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意，表示出绿洲的长宽，得到规划区域面积，利用基本不等式求最值得解； （2）由题意铺设管道长度等于绿洲部分的周长，据此列出方程求解即可. 【解答过程】（1）设矩形绿洲的长为，则宽为， 由绿洲区域面积为，可知，故， 因为存在设备通道，故规划区域的宽为， 长为， 故， 由基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立，故此时. （2）因为，所以. 由（1）知铺设管道长度等于绿洲部分的周长， 故总共需要铺设的管道长度为，则， 又因为，整理得一元二次方程，解得. 因为，所以. 【变式6-2】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1) ； (2)，且时元. 【解题思路】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【解答过程】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以 . （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 【变式6-3】（25-26高一上·云南昆明·期末）某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为米． (1)当屋子的左右侧面长为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？ (2)现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求的最大整数． 【答案】(1)屋子的左右侧面长5米时，屋子的建造总价最小，最小为元； (2)6 【解题思路】（1）由题意可得屋子的建造总价，利用基本不等式求解即可； （2）由题意可得在上恒成立，当时成立，当时，可得，结合换元及基本不等式求得，可得结果. 【解答过程】（1）因为底面积为20平方米，屋子的左右侧面均为米， 所以屋子的前面长为米， 可得屋子的建造总价 ； 当且仅当，即时，等号成立； 所以屋子的左右侧面长5米时，屋子的建造总价最小，最小为元； （2）因为无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司， 所以在上恒成立， 化简可得在上恒成立， 当时，显然成立， 当时，则有， 令，则， 所以， 由对勾函数性质可知， 即，所以， 又因为， 所以的最大整数为6. 【题型7 函数模型的选择问题】 【例7】（25-26高一上·陕西渭南·期末）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【答案】(1) (2)模型②最符合题意， (3)在第8天最低，最低为5000元 【解题思路】（1）由题意分别求出舰艇模型第天的销售单价和销售量，根据销售收入列出方程，求解可得的值； （2）根据销售量的增长速度可知函数模型②更适合，选取和代入模型②，求出函数解析式，并利用和检验，确定函数解析式； （3）利用（1）和（2）的结果，列出销售收入对应的函数解析式，并利用基本不等式求得其最小值. 【解答过程】（1）由题意得，舰艇模型第天的销售单价； 第天的销售量，依题意，解得. （2）模型②最符合题意，理由如下： 因为每增长10，需要的天数越来越多，可知不是匀速增长，而是增长速度越来越慢，故排除模型①，选择模型②. 将，分别代入函数模型②，可得，解得. 所以， 经验证，，均满足该函数解析式. 故函数解析式为. （3）由（1）知，由（2）知， 则 . 当且仅当，即时，等号成立. 所以日销售收入在第8天最低，最低收入为5000元. 【变式7-1】（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1) (2)且定义域为 (3)441元. 【解题思路】（1）根据可求的值，从而可求； （2）根据表格中数据的增减性可选择，代入后可求的值，从而可求及其定义域. （3）根据可得分段函数的解析式，结合基本不等式和单调性可求其最小值. 【解答过程】（1）由题意，，可得， 则. （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①不符合， 所以，选②， 则，可得，即， 综上，且定义域为 （3）由题意 所以 当， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元. 当在上单调递减， 此时最小值为元, 综上，的最小值是441元. 【变式7-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（的下列数据： v 40 60 90 100 120 5.2 6 8.325 10 15.6 百公里耗油量（单位：） 13 9.25 为了描述汽车每小时耗油量（单位：）与速度的关系，现有以下三种模型供选择：. (1)请填写表格空白处数据，并通过分析数据选出你认为最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式； (2)从甲地到乙地如果全程走高速公路，已知高速公路共有三个车道，分别是最右侧车道（慢车道）､中间车道（行车道）和最左侧车道（超车道），车速范围分别是（单位：）.假设这辆汽车依次在这三个车道匀速行驶且不变道，求它分别以什么速度行驶才能使百公里耗油量最少. 【答案】(1) 填表如下： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 百公里油耗量 13 10 9.25 10 13 ； (2)分别以速度行驶，百公里耗油量最少 【解题思路】（1）根据分析可得出第三种模型最符合实际，代入三组值即可求出解析式； （2）可得，根据二次函数性质可求出最值. 【解答过程】（1）填表如下： v 40 60 90 100 120 Q 5.2 6 8.325 10 15.6 百公里油耗量 13 10 9.25 10 13 由题可得符合的函数模型需满足在时都可取，三种模型都满足， 若，该函数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合， 若，若选择第二种模型，则，也不符； 若， 经观察，第三种函数模型最符合实际， 代入， 则，解得， ，所以； （2）， 当时，取得最小值为9，单调递减；单调递增； 结合二次函数单调性，这辆汽车依次在这三个车道匀速行驶且不变道，分别以速度行驶，百公里耗油量最少. 【变式7-3】（25-26高一上·重庆·期末）航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：在某月（按30天计算）内特价航模的日销售价格（元/个）与时间（某月的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 （百个） 4 5 6 7 已知某月内第8天该专卖店特价航模的销售收入为300百元. (1)给出以下三种函数模型：①；②；③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由； (2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模的日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模的日销售收入在一个月内的第几天最低？ 【答案】(1)选择模型③，理由见解析； (2)第29天. 【解题思路】（1）根据变化速度排除模型①，根据不对称性排除模型②，代入数据计算，满足条件，得到答案. （2）确定，，利用均值不等式计算最值得到答案. 【解答过程】（1）选择模型③，理由如下： 表格中对应的数据从小到大按1递增，是匀速递增的，对应的数据从小到大， 相邻两个大数减去小数依次为，不是匀速递增的，模型①不满足题意； 表格中数据满足，而模型②满足，模型②不满足题意； 对于模型③，将，代入模型③，有，解得， 此时，显然都满足，因此模型③满足题意， 所以选择模型③. （2）由（1）知，，则， 由，得，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第29天最低. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 函数的应用（一）（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 一次函数模型的应用】 1 【题型2 二次函数模型的应用】 3 【题型3 幂函数模型的应用】 4 【题型4 分段函数模型的应用】 5 【题型5 分式型函数模型的应用】 6 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 8 【题型7 函数模型的选择问题】 10 考点1 一次函数、二次函数模型的应用 知识点1 一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（25-26高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·湖南衡阳·期中）如图（1）是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示. 则下列说法中，正确的是（    ） A．图（2）的建议是：提高成本，并保持票价不变 B．图（2）的建议是：提高成本，并提高票价 C．图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变 D．图（3）的建议是：提高票价，并降低成本 【变式1-2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一·全国·课堂例题）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法： （1）买一个茶壶赠送一个茶杯． （2）按购买总价的92%付款． 某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法． 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【变式2-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【变式2-2】（25-26高一上·河南洛阳·阶段检测）某厂以的速度匀速生产某种产品，生产条件要求，每小时可获得的利润是元. (1)要使生产该产品获得的利润为元，求. (2)要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值. 【变式2-3】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）某商场经营一批进价为50元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）满足关系式． (1)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式； (2)求经营此商品的日销售利润的最大值； (3)若要使得商场经营此商品的日销售利润不低于1050元，求此商品销售单价的取值范围． 考点2 幂函数模型的应用 知识点2 幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【题型3 幂函数模型的应用】 【例3】（2026·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【变式3-3】（25-26高一上·广东深圳·期末）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 考点3 分段函数模型的应用 知识点3 分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（25-26高一上·安徽安庆·期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【变式4-1】（25-26高一上·河北邢台·期中）“空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（   ） A．6小时 B．8小时 C．16小时 D．18小时 【变式4-2】（25-26高一上·福建泉州·期中）近年来，在国家政策的推动下，新能源汽车行业蓬勃发展．某新能源汽车配件公司为适应市场需求，计划扩大生产并改进技术，以生产某种新型组件．据测算，生产该组件的年固定成本为2300万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且 ，已知当年产量为10万件时，需另投入可变成本为16600万元．由市场调研知，该组件每件的售价为2000元，且假定全年产量可当年全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该组件的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式4-3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）年月日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交万颗低轨卫星频轨资源申请，年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且 ，.每百台高级设备售价为万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为台. (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润. 【题型5 分式型函数模型的应用】 【例5】（25-26高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【变式5-1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【变式5-2】（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 【变式5-3】（25-26高一上·北京·期中）某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. (1)求的值； (2)试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 考点4 “对勾”函数模型的应用 知识点4 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：(a>0,b>0)，当x>0时，在上递减，在上递增.另外，还要注意换元法的运用. 2．“对勾”函数模型的求解方法 (1)利用“对勾”函数的单调性求解； (2)利用基本不等式求解. 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 【例6】（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)写出关于的表达式； (2)当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 【变式6-1】（25-26高一上·吉林·阶段检测）为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.    (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； (2)若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 【变式6-2】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【变式6-3】（25-26高一上·云南昆明·期末）某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为米． (1)当屋子的左右侧面长为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？ (2)现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求的最大整数． 【题型7 函数模型的选择问题】 【例7】（25-26高一上·陕西渭南·期末）2025年9月22日，歼-15T、歼-35及空警-600三型舰载机在福建舰上完成电磁弹射起飞与着舰训练，这进一步引发了军迷对中国海军舰艇的关注，对某海军舰艇模型专卖店过去一个月（按30天计）的销售情况进行调查后发现：舰艇模型第天的销售单价 （元）的解析式为 （为常数），第天的销售量（个）的部分数据如下表所示： 3 8 15 24 40 50 60 70 已知第15天该专卖店的销售收入为5100元.（销售收入=销售量×销售单价） (1)求实数的值； (2)根据表格判断①，②这两个函数模型中哪个模型最符合题意，并求出的函数解析式； (3)根据（2）中选择的模型，预估该专卖店的日销售收入（元）在哪一天最低，最低收入是多少元? 【变式7-1】（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【变式7-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：）与速度（单位：）（的下列数据： v 40 60 90 100 120 5.2 6 8.325 10 15.6 百公里耗油量（单位：） 13 9.25 为了描述汽车每小时耗油量（单位：）与速度的关系，现有以下三种模型供选择：. (1)请填写表格空白处数据，并通过分析数据选出你认为最符合实际的函数模型，求出相应的函数解析式； (2)从甲地到乙地如果全程走高速公路，已知高速公路共有三个车道，分别是最右侧车道（慢车道）､中间车道（行车道）和最左侧车道（超车道），车速范围分别是（单位：）.假设这辆汽车依次在这三个车道匀速行驶且不变道，求它分别以什么速度行驶才能使百公里耗油量最少. 【变式7-3】（25-26高一上·重庆·期末）航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：在某月（按30天计算）内特价航模的日销售价格（元/个）与时间（某月的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 （百个） 4 5 6 7 已知某月内第8天该专卖店特价航模的销售收入为300百元. (1)给出以下三种函数模型：①；②；③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由； (2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模的日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模的日销售收入在一个月内的第几天最低？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $