第3章 章末复习课 函数的概念与性质（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学讲义通过梳理函数的定义域值域、图象、性质及应用四大模块构建知识体系，以“反思感悟”总结求定义域类型、作图象方法等要点，呈现各知识点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于例题与跟踪训练结合，如通过证明函数单调性培养逻辑推理素养，借助图象分析提升直观想象能力，结合工厂利润问题渗透数学建模思想。分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

一、求函数的定义域、值域 1.求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等；由几个式子构成的函数，其定义域是使各式子有意义的集合的交集；函数的值域是在函数的定义域下函数值的取值范围，一般是利用函数的图象或函数的单调性求值域. 2.掌握基本集合的交、并、补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养. 例1　(1)函数f(x)=+(2x-1)0的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知 解得x<1且x≠ 即f(x)的定义域是. (2)已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1，2]，则y=f(1-3x)的定义域为(　　) A. B. C.[0，1] D. 答案　C 解析　由y=f(x-1)的定义域是[-1，2]， 得x-1∈[-2，1]， 即f(x)的定义域是[-2，1]， 令-2≤1-3x≤1，解得0≤x≤1， 即y=f(1-3x)的定义域为[0，1]. (3)函数f(x)=的最大值和最小值分别为　　　　，　　　　　. 答案　2　- 解析　作出f(x)的图象，如图. 由图象可知，当x=2时，f(x)取得最大值2； 当x=时，f(x)取得最小值-. 所以f(x)的最大值为2，最小值为-. 反思感悟　求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)常见求定义域的形式：根式，根号下非负；分式，分母不为0；0次幂，底数不为0. (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域. 注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围. 跟踪训练1　(1)若函数f(x)的定义域为[-2，4]，则函数g(x)=f(-x)+的定义域为　　　　. 答案　[1，2] 解析　由题意可知 即解得1≤x≤2， 故函数g(x)的定义域为[1，2]. (2)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 (　　) A.[1，+∞) B.[0，2] C.(-∞，2] D.[1，2] 答案　D 解析　f(x)=(x-1)2+2， ∵当x∈[0，m]时，f(x)min=2，f(x)max=3， 且f(1)=2，f(0)=f(2)=3， ∴1≤m≤2. 二、函数的图象 1.会根据函数的解析式及性质判断函数的图象，利用函数的图象可以直观的观察函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点的是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象. 2.掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养. 例2　已知函数f(x)=|-x2+2x+3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实数根}. 解　(1)当-x2+2x+3≥0， 即-1≤x≤3时， 函数f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， 当-x2+2x+3<0， 即x<-1或x>3时， 函数f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4， 即f(x)=的图象如图所示，单调递增区间为[-1，1]和[3，+∞)，单调递减区间为(-∞，-1)和(1，3). (2)由题意可知，函数y=f(x)与y=m的图象有四个不同的交点， 则0<m<4. 故集合M={m|0<m<4}. 反思感悟　作函数图象的方法 (1)描点法. (2)变换法. 跟踪训练2　已知函数f(x)= 方程[f(x)]2-bf(x)=0，b∈(0，1)，则方程的根的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　D 解析　因为[f(x)]2-bf(x)=0，所以f(x)=0或f(x)=b，作函数f(x)=的图象如图， 结合图象可知，f(x)=0有2个不同的根，f(x)=b(0<b<1)有3个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5. 三、函数的性质 1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响. 2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 例3　已知函数f(x)=. (1)判断f(x)的奇偶性并证明； (2)当x∈(1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明； (3)在(2)的条件下，若实数m满足f(3m)>f(5-2m)，求m的取值范围. 解　(1)函数f(x)是奇函数. 证明：函数f(x)的定义域为 (-∞，0)∪(0，+∞)， 因为f(-x)==-=-f(x)， 所以函数f(x)是奇函数. (2) 函数f(x)在(1，+∞)上单调递增. 证明：任取x1，x2∈(1，+∞)且x1>x2，则 f(x1)-f(x2)= = = = 因为x1>x2>1， 所以x1-x2>0，x1x2-1>0，x1x2>0， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增. (3)由(2)知函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以3m>5-2m>1，解得1<m<2， 所以m的取值范围为(1，2). 反思感悟　(1)解决有关函数性质的综合应用问题的方法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值. (2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值. 跟踪训练3　已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)=0，若∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2满足>0，则不等式<0的解集为(　　) A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(0，3) C.(-3，0)∪(3，+∞) D.(-∞，-3)∪(0，3) 答案　A 解析　因为∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2满足>0， 则f(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)=0， 则f(-3)=0，f(x)在(-∞，0)上单调递增， 由<0，得xf(x)>0， 当x>0时，由f(x)>0=f(3)，得x>3， 当x<0时，由f(x)<0=f(-3)，得x<-3， 所以原不等式的解集为(-∞，-3)∪(3，+∞). 四、函数的应用 1.以现实生活为背景，解决生活中的成本最少、利润最高等问题，一般是通过构造一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等数学模型，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.能将实际问题转化为熟悉的数学模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题. 2.通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养. 例4　一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件.当0<x≤20时，年销售总收入为(33x-x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资) (1)求y(万元)与x(件)的函数关系式； (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？ 解　(1)由题意得，当0<x≤20时，y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100， 当x>20时，y=260-100-x=160-x， 故y=(x∈N*). (2)当0<x≤20时，y=-x2+32x-100 =-(x-16)2+156， 当x=16时，ymax=156， 而当x>20时，160-x<140， 故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元. 反思感悟　能够将实际问题转化为熟悉的函数模型，特别注意实际问题与自变量取值范围的联系. 跟踪训练4　某村充分利用自身资源，大力发展养殖业以增加收入.计划共投入80万元，全部用于甲、乙两个项目，要求每个项目至少要投入20万元.在对市场进行调研时，发现甲项目的收益y1与投入x(单位：万元)满足y1=乙项目的收益y2与投入x(单位：万元)满足y2=x+20. (1)当甲项目的投入为25万元时，求甲、乙两个项目的总收益； (2)问甲、乙两个项目各投入多少万元时，总收益最大？ 解　(1)当甲投入25万元时，乙投入55万元， 甲、乙两个项目的总收益为 (5+20)+=92.5， 故甲、乙两个项目的总收益为92.5万元. (2)设甲投入x万元，则乙投入(80-x)万元， 由解得20≤x≤60. 甲项目的收益为乙项目的收益为(80-x)+20=60-x， ∴甲、乙两个项目的总收益为f(x)= 当20≤x<36时，f(x)=--5)2+92.5， ∴当=5，即x=25时，f(x)的最大值为92.5； 当36≤x≤60时，f(x)=110-x单调递减， ∴当x=36时，f(x)的最大值为92， 综上，当x=25时，f(x)的最大值为92.5， 故甲、乙两个项目分别投入25万元、55万元时，总收益最大. 学科网（北京）股份有限公司 $