第3章 3.5.2 线段的长短比较&重点强化专题 线段的计算-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

64 3.5.2线段的长短比较 01基础达标 D.CD-3AB 知识点一 线段的长短比较 7.如图，直线1上有A、B、 1.下列图形能比较大小的是 C、D四点，则： A B C D A.直线和直线 B.射线和射线 ①AD=AC+ =AB+ C.直线和射线 D.线段和线段 ②BC=AC =BD- 2.如图，AB=CD,则AC与BD的大小关系是 ③AD=AB+ ( ④BD=BCH -AB. A B C D A.AC>BD B.AC<BD 8.如图，AB=AC,AC=合AD,且BC=2cm, C.AC=BD D.不能确定 求CD的长， 3.如图所示，比较图中AB、AC、BC的长度，可以 AB C 得出AB AC,AC BC,AB+BC AC,AC-AB BC. 知识点二用直尺和圆规画图 4.已知线段a,b,作一条线段CD,使CD=2a+ 02能力提升 b.(要求：不写作法，保留作图痕迹). 9.点E在线段CD上，下面四个等式：①CE= DE,②DE=2CD,③CD=2CE,④CD=号 DE.其中能表示E点是线段CD中点的有 知识点三线段的和差 A.1个 B.2个 5.如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC C.3个 D.4个 的中点，若AB=8cm,MC=3cm,则BC的长 10.线段AB=2cm,延长AB到C,使BC=AB, 是 再延长BA到D,使BD=2AB,则线段DC A M C B 的长为 () A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm A.4cm B.5cm 6.已知C是线段AB的中点，D是线段BC的中 C.6cm D.2cm 点，下列等式不正确的是 ( 11.两根木条，一根长80cm,另一根长40cm,把 A.CD-AC-DB 它们一端重合放在同一直线上，此时两根木 B.CD=AD-BC CD B 条的中点之间的距离是 () C.CD-7AB-BD A.20cm B.40cm C.60cm D.20cm或60cm 65 12.如图，B、C是线段AD上的两点，M是AB的 03 思维拓展 中点，N是CD的中点，MN=a,BC=b,则线 段AD= 15.已知线段AB=12,点C为直线AB上一点， A M B C N D 点M为AC的中点. (1)如图，若点C在线段AB上时，请直接写 13.如图，线段AB,C是线段AB上一点，M是 出2BM-BC=; AB的中点，N是AC的中点 (2)若点C在线段BA的延长线上，其他条件不 (1)若AB=8cm,AC=3.2cm,求线段MN的长； 变，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由. (2)若BC=a,请直接写出线段MN的长（用 A M C B 含a的代数式表示). AN CM A B 备用图 14.如图，线段AB的中点为M,C点将线段MB 分成MC,CB两段，且MC:CB=1:3,若AC =20,求AB的长. M C B 66 重点强化专题 线段的计算 类型一与线段中点有关的计算 类型二与线段分点有关的计算 1.如图，线段AD=6cm,线段AC=BD=4cm, 3.如图，B,C两点把线段AD分成2：4：3三部 E、F分别是线段AB、CD的中点，求线段EF 分，M是AD的中点，CD=6cm,求线段MC 的长。 的长 D 2.画线段AB=3cm,在线段AB上取点K,使 AK=BK,在线段AB的延长线上取一点C,类型三分类讨论思想 使AC=3BC,在线段BA的延长线上取点D,4.如图1，点A,B在直线1上，且线段AB= 使AD-AB. 16cm. (1)求线段BC、DC的长； 16 166 B (2)点K是哪些线段的中点？ 图1 图2 (1)如图2所示，当点C在线段AB上，且BC =6cm,点M是线段AC的中点，则线段AM D B 的长为cm; (2)若点C在直线AB上，且BC=4cm; ①线段AC= cm; ②若点M是线段AC的中点，则线段AM= cm; (3)若点C在直线AB上，且BC=4cm,点M 是线段AC的中点，点N是线段BC的中点， 则线段MN=cm.7a3-6a3b+3a3+6a3b-3a2b10.添加括号后，括号前是“+” 4.-60.5.（1)9;(2)33. -10a3+3a2b 号，括号里各项都不变符号； 6.(1)a-b,b-c,a-c;(2)2a-2c. =(7+3-10)a3+(-6+6) 添加括号后，括号前面是“一” 难点突破专题探索与表达规律 a3b+(-3+3)a2b=0. 号，括号里各项都改变符号. 1.(2n+1)2.-22021x4041 因为合并同类项后的结果为 (1)3x2-6y-21=3(x2-2y) 3.(n+1)2-n2=2n+1 0,与a和b的取值无关，所以 -21=-9. 4.(1)10(2)2n+2 小明的说法正确， (2)-1+a2+b+b 5.-1 1.原式-号a-60-名a-b0 =-(1-b)+(a2+b2) 6.(1)27 =-(-2)+5 (2)设十位数字为a,个位数字 由题意，得a=b-1,则a-b =7. 为b,则琪琪心里想的两位数 9 -1,所以，原式=号×(-1) 2.4.4整式的加减 10a+b,根据题意得：5(2a+3) 1.A2.C3.B4.B 十b=93,整理得：10a十b=78, 8×-10-9 5.-4x2-2.x-4 所以琪琪心里想的两位数为 2.4.3去括号与添括号 6.(1)4;(2)-5x2+3.x+4. 78. 第1课时去括号 7.(4x+6) 7.13(3n-2)8.6067 1.D2.C 8.(8a-5b)-(3a-b)+(3a-0 9.n(n+2) 章末核心考点整合与素养提升 3.(1)x-6y+3x 1.C2.D3.D (2)x-10y+15 4.(0.9a+0.9b)22500 (3)2x-3y+3z 当a=10,b=8时， 5.D6.D7.D8.D9.A 4.B5.C 6.(1)原式=-5b; 原式-号×10-号×8 2 10.(1)8a-5b:(2)-19 41 (2)原式=2x2-2y2. =29(人). 11.15112.D13.(20a+3.6) 7.(1)-3;(2)6. 9.C10.A11.B 14.A15.C16.B17.A 8.b-3a 12.(1)-152;(2)a=-2,b= 18.C 9.(3a-4b) 10.-3. ,多项式化简后为6a2+9ab 1 19.4×6-52=24-25=-1: n(n+2)-(n+1)2=-1 11.由题意可知：做2个(1)型的 +8b,代入a、b得17. 20.(1)当n≤100时，买n本笔记 窗框需要铝合金2(3x十2y); 13.(1)依题意得： 本所需的钱数是：2.3n,当n> 做5个(2)型的窗框需要铝合 2A+B=2(x3-3x2y-2y2) 100时，买n本笔记本所需的 金5(2x+2y); +B=-x3+3x2y-2y2, 钱数是：2.2n; 所以共需铝合金2(3x十2y)十 B=-x3+3x2y-2y2-2(x3 (2)如果需要100本笔记本， 5(2x+2y)=(16.x+14y)m. -3.x2y-2y2) 购买101本笔记本最省钱.可 12.由题意，得a2+2ab-(ab-b) =-x3+3.x2y-2y2-2x3+ 节省的钱数：2.3×100一2.2 =-2-(-4), 6x2y+4y2 ×101=7.8(元). .a2+ab+b2=-2+4=2. =-3.x3+9x2y+2y2 第3章图形的初步认识 第2课时添括号 .B=-3.x3+9.x2y+2y2. 3.1生活中的立体图形 1.C2.D3.B (2)2A-B=2(x3-3.x2y 1.A 4.(1)b2+c2;(2)a-b;(3)a3+ab2 2y2)-(-3.x3+9.x2y+2y) 2.(1)圆柱；(2)五棱柱；(3)四棱 -2a2b;(4)y-2x. =2x3-6.x2y-4y2+3x3 锥；(4)圆锥；(5)球体. 5.(1)400x2;(2)-80xy. 9x2y-2y2 3.与图②有相同特征的图形是 6.D7.D =5.x3-15x2y-6y2. ④、⑦.相同特征是：都是锥体. 8.(1)2x2+(3x-6);(2)2x2- 14.(1)-2x2+6;(2)5. 4.B5.C6.15;107.C8.D (-3.x+6). 方法技巧专题整式化简求值 9.58 9.(1)原式=5a3b+3ab3+(-2ab 的六种类型 10.10cm -2b2);(2)原式=-(-5a3b 2 11.(1)由正方体、圆柱、圆锥组成； 3ab3)-2ab-2b2. 1.3 2.-11.3.12. (2)由圆柱、长方体、三棱柱组成； 43 (3)由五棱柱、球体组成. 13.(1)有圆、正方形、菱形、半圆、三角 3.2立体图形的视图 形、扇形和长方形 点，所以AM=号AB=4m.又因为 3.2.1由立体图形到视图 (2)对于每一列图形，从上到下依 AC=3.2cm,N是AC的中点，所以 1.B2.C3.D4.A5.C 次进行相应对折就可以得到下一 AN=号AC=-1am,所以MN 6.正方形圆7.略. 个图形 8.A9.D10.B (3)补充的图形为： AM-AN=4-1.6=2.4(cm); 11.主视图；左视图 14.略 2MN=含0 12.左面上面前面 15.(1)8:10;2+2; 14.设MC=x, 13.左视图14.略 (2)原正方形能被分割成2020个 .MC:CB=1:3,.BC=3x,MB= 15.（1)图略；(2)1,2,3； 三角形，此时正方形ABCD内部 4x. (3)最多可以再添加4个小正 有1009个点. M为AB的中点，.AM=MB= 方体. 3.5最基本的图形一点和线 4无. 3.2.2由视图到立体图形 3.5.1点和线 ,'.AC=AM+MC=4z十x=20,即x 1.C2.D3.B4.A5.①④ 1.B2.D3.C =4. 6.B7.D8.C9.D 4.(1)A、C:B、D:(2)b,a;(3)a,b. 所以AB=2AM=8x=32. 10.42cm 5.线段：AB、AC、AD、BD、DC、BC: 故AB的长为32. 11.(1)3;(2)3;(3)左侧第一；(4)9. 射线：AG、BG、BE、BF、DE、DF、 15.(1)点M为AC的中点，.AC 12.2213.略 CE、CF; 2AM,'.'BM=AB-AM,BC=AB- 14.(1)2+1.5(x-1)=1.5.x+0.5; 直线：EF. AC,∴.2BM-BC=2(AB-AM (2)由三视图可知共有12个碟 6.略7.B (AB-AC)=AB=12. 子，.叠成一摞的高度为1.5× 8.经过一点可以画无数条直线；两点 故答案为：12； 12+0.5=18.5(cm). 确定一条直线 3.3立体图形的表面展开图 (2)成立.，M是AC的中点，.AC 9.B10.C11.3,6,4 1.（1)六棱柱；(2)五棱锥；(3)三 =2MC,..2BM-BC=2(BC-MC) 12.4,线段AD、AB、AE、AC,2,射线 BC=2BC-2MC-BC=BC-AC 棱柱；(4)三棱柱；(5)四棱锥； AP、AQ (6)圆锥；(7)长方体. =AB=12. 13.图略. 2.D3.A4.A5.D6.-2 故结论仍然成立. 14.(1)10种不同的票价；(2)由于客 7.x=3,y=6. 重点强化专题线段的计算 8.B9.C10.1 车是往返行驶的，所以要准备2XL,因为BC=AC十BD-AD,AD= 10=20种车票. 11.我12.略 6cm,AC=BD=4cm,所以BC=2 15.(1)3条直线相交，最多3个交点， 13.(1)右面；(2)E面；(3)B面 cm,AB=AD-BD=2 cm,CD=AD 最少1个交点，图略； (4)E面；(5)后面. -AC=2cm,因为E、F分别为AB、 (2)四条直线相交，最多6个交点； 14.有4种涂法，如图所示，在① 五条直线相交，最多10个交点：n CD的中点，所以BE=2AB=1cm, ②③④的任一位置补（涂）上 一个正方形都能满足题意.图 条直线相交，提多。个文点 F=CD=1cm所以F=BE+ 略 3.5.2线段的长短比较 BC+CF=4 cm. 方法技巧专题正方体的展开与折叠 1.D2.C 2.(1)图略； 1.C2.C3.D4.1 3.<> BC=1.5 cm,DC=6 cm. 3.4平面图形 4.略5.A6.D (2)点K是线段AB、DC的中点. 1.A2.A 7.①CD,BD:②AB,CD:③BC,CD: 3.设AB=2kcm,则BC=4kcm,CD 3.(1)圆；(2)三角形： ④CD,AD =3k cm,AD=2k+4k+3k=9k (3)长方形： 8.,BC=2cm, (cm),因为CD=6cm,即3k=6,所 (4)五边形： .'.AC=4 cm,AD=12 cm, 以k=2.所以AD=18cm,又因为 (5)六边形. ∴.CD=12-4=8cm. 4.D5.C6.D7.D8.C 9.C10.C11.D M是AD的中点，所以MD-AD 9.B10.C11.C 12.2a-b 12.511 13.(1)因为AB=8cm,M是AB的中 子×18=9(cm,所以MC=MD 45 -CD=9-6=3(cm). (2)OE是∠BOC的平分线.理由： ∠AOD=∠BOC. 4.(1)5:(2)①12或20；②6或10： 因为∠AOC=46°，所以∠BOC= 因为∠AOC+90°+∠BOD+90° (3)8. 134°，因为OD平分∠AOC,所以 =360°， 3.6角 所以∠AOC+∠BOD=180°： 3.6.1角 ∠00=号×46=23.因为 (2)成立.理由： 1.C2.B3.B ∠DOE=90°，所以∠COE=90° 因为∠AOD=90°-∠BOD, 4.略.5.C 23°=67°，所以∠C0E= 2∠B0C, ∠BOC=90°-∠BOD,所以 6.(1)3224'36":(2)5530':(3)5'. ∠AOD=∠BOC. 所以OE是∠BOC的平分线. 7.A 因为∠AOC=90°+∠BOC, 15.(1)∠AOE=∠COE或∠BOD= 8.邮局书店学校 ∠BOC=90°-∠BOD,所以 ∠DOC. 9.B10.D11.D ∠AOC=90°+90°-∠BOD,所以 12.∠B,∠C;6;∠BAE,∠EAD, (2)∠D0E-= 2∠A0B=60 ∠AOC+∠BOD=180. ∠DAC,∠BAD, ∠EAC, 重点强化专题角度的计算 1 ∠BAC. (3)∠DOE的度数为2(a+B)或 1.,∠AOB=43°，∠BOC=8624, 13.巴黎钟表上时针与分针所成的角 ∴.∠A0C=43°+8624'=12924， 的度数是30°，伦敦钟表上的夹角 -a. ,OD平分∠AOC, 度数是0°，北京钟表上的夹角度数 3.6.3余角和补角 ZA0D-号∠A0c-12s2=2- 是120°，东京钟表上的夹角度数是 1.B2.B3.C 90°. 4.(1)14920':(2)54°：36. 64°42，∴.∠BOD=∠AOD 14.略. 5.(1)同角的余角相等：(2)等角的补 ∠AOB=64°42'-43°=2142. 15.图中共有19个角，能用一个字母 角相等 2.:OE,OD分别平分∠AOB,∠BOC 表示的角有1个，即∠O. 6.∠1=90°-∠2=28°，∠BOD= ÷∠BmB=∠A0B=45∠B0D 16.(1)3;2)6:(3)10: ∠BOC-∠1=34°. (4)角的个数为：1+2十3十4+7.B8.A9.C 2<B0C. …+(n+1)=（n+1)(n+2) 10.30°11.①②④ 12.互余的角有：∠AOE与∠COD, ÷∠BOB+∠BOD=号（∠AOB+ (个). ∠AOE与∠BOD,∠COE与 ∠BOC), 3.6.2角的比较和运算 ∠COD,∠COE与∠BOD: 1.D2.(1)=:(2)< 互补的角有：∠AOE与∠BOE, 即∠BOD=号∠A0C,∠AOC- 3.(1)BOC:(2)BOC:(3)COD:(4) ∠AOC与∠BOC,∠AOD与 2/EOD, AOB;(5)AOD,AOB,COD ∠BOD,∠COE与∠BOE,∠COD :∠EOD+∠AOC=210°，. 4.C5.A 与∠AOD. ∠EOD=70°， 6.(1)180°10'14"：(2)19°58'32"：(3) 24937'8":(4)1225'. 1a.:∠0E=∠Bc∠C= 又：∠EOB=45,∠BOD=70°- 45°=25°， 7.15°. ∠B0C.即∠B0C-=号∠BC. 2 .∠BOC=2∠BOD=50°. 8.D9.C10.A 3.(1)当OC在∠AOB内部时， 11.28°或112°12.< ∠AOB=180°-∠BOC,且OD平分 ∠AOB, ∠B0M=160×号 =50°，∠BON 13.设∠AOB和∠AOD分别为 (2x)°，(7x)°， 1 ∴∠BOD=Z∠AOB= =40°X号=20°，∠M0N=30. 由题意得2x十100=7x, (2)当OC在∠AOB外部时， 解得x=20, 3(18n-子∠B0c:∠0E= ∠M0C=10×2+40× 1 所以∠AOB=40°，∠AOD=140°， 72°，.∠BOE+∠BOD=72°，即 2 ∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°， 合∠c+(1sr-号∠c) 70° ∠COD=∠BOD-∠BOC=40°. 综上，∠MON的度数为30°或70， 14.(1)因为∠AOC=46°，OD平分 72°，.∠EOC=72 ∠AOC,所以∠AOD=23°，所以14.(1)因为∠AOD=90°+∠BOD, 41∠A0c-3×60=30, ∠B0D=180°-23°=157°： ∠BOC=90°+∠BOD,所以 (2)∠AOE的度数为120°或60°； 46 (3)90+号或90°-号 ∠BOD=∠AOC=36°， ∠E0F=130°， .∠DOE=∠EOB+∠BOD= ∠AOF=100. 章末核心考点整合与素养提升 72. 16.(1)图略；(2)53(cm). 1.D2.B3.①③4.D 15.(1)因为∠1与∠3为对顶角， 4.1.3同位角、内错角、同旁内角 5.19124 故∠3=∠1=40°， 1.B2.D 6.(1)两点之间，线段最短 因为∠1与∠2，∠1与∠4是邻补3.(1)∠2；(2)∠4；(3)ED,内错； 7.两点确定一条直线 角， (4)AB,AF,同位. 8.67°4 所以∠1+∠2=180°，∠1+∠4=：4.D 9.40 180° 5.80°，80°，100° 10.1或2020 ∠2=∠4=180°-∠1=180°-40°6.(1)∠1与∠4是同位角；∠1与 11.98°40 =140°. ∠2是内错角；∠1与∠5是同旁 12.B13.D14.A15.C16.C (2)因为∠2与∠4为对顶角，故 内角 17.C ∠2=∠4， (2)如果∠1=∠2，那么∠1与 18.(1)若以B为原点，则C表示1，A表 又因为∠2+∠4=280°，所以∠2 ∠4相等，∠1与∠5互补.理由 示-2，∴.p=1十0-2=-1： =∠4=140°，∠1=∠3=180° 如下： 若以C为原点，则A表示一3，B 140°=40°. 因为∠1=∠2，∠2=∠4，∠2十 表示-1， (3)设∠1=2x,∠2=7x,因为∠1十 ∠5=180°， ∴.p=-3-1十0=-4； ∠2=180°， 所以∠1=∠4，∠1+∠5=180°. (2)若原点O在图中数轴上点C 即2x+7x=180°，x=20°. 7.D8.B9.D10.D 的右边，且CO=28,则C表示 所以∠1=∠3=2x=40°，∠2=∠4= 11.∠1与∠5是同位角，∠2与∠4 -28,B表示-29，A表示-31， 7x=140°. 是内错角，∠3与∠4，∠3与 ∴.p=-31-29-28=-88. 16.(1)4,2.(2)12,6.(3)24,12. ∠5，∠4与∠5是同旁内角. 19.(1)135； (4)2m(n-1),n(n-1). 12.∠1和∠2是直线EF、DC被直 (2)112.5°，135： 4.1.2垂线 线AB所截形成的同位角，∠1 (3)∠AOC+∠BOD的度数不发 1.C 和∠3是直线AB、CD被直线 生变化.理由如下： 2.B【变式】同一平面内，过一点有 EF所截形成的同位角. :∠AOC=∠AOB+∠COB, 且只有一条直线与已知直线垂直 13.内错角有4对. ∴.∠AOC+∠BOD=∠AOB+ 3.404.①③ ∠ABC与∠BCD, ∠COB+∠BOD=∠AOB+ 5.B6.B ∠ABC与∠BCF, ∠C0D=90°+45°=135°， 7.6810 ∠EBC与∠BCF, ∴.∠AOC+∠BOD的度数不发生 8.垂直AN ∠EBC与∠BCD. 变化. 9.C10.C11.52° 14.(1)图略； 第4章相交线与平行线 12.OP⊥OQ (2)∠2=72°，∠1=144°. 4.1相交线 13.(1CD<AC<AB: 15.略. 4.1.1对顶角 (2)点C到直线AB的距离为线段 4.2平行线 1.C2.D3.64.B5.10°6.35 CD的长， 4.2.1平行线 7.(1)∠AOE的对顶角为∠BOF, 1.B ∠AOC的对顶角为∠BOD,∠EOC :S△ABC= AC·BC= 2 AB· 2 2.(1)相交；(2)平行. 的对顶角为∠DOF. CD, 3.略 (2)∠BOF=45°，∠EOB=135. 4.B 8.A9.C10.D CD=12 5 5.经过直线外一点，有且只有一条 11.306012.86°13.3 14.由∠EOD+∠DOB=90°， 直线与这条直线平行 14.由∠BOC+∠AOC=180°， ∠EOD:∠DOB=3:1, 6.(1)略； ∠BOC=4∠AOC,得： 可知∠DOE=67.5°， (2)AB∥CD.理由：因为AB∥ ∠AOC=36°， 所以∠C0E=180°-67.5°= EF,CD∥EF,所以AB∥CD. ∠BOC=144°. 112.5. 7.D8.(2)(4) 又∠BOE=∠AOC=36°， 15.∠AOC=40°， :9.EF∥CD平行于同一条直线的 48