第5章 一元一次方程&第6章 数据的收集与整理（专题专练）-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

知能检测 知能检测 (1)根据题意知，B=2x2一3x-3- 1.4a-8b (3x2-x+2)=2x2-3x-3-3x2+2.(1)2[(a+c)+(a-c)]=2(a+c x-2=-x2-2x-5,则A-B= +a-c)=4a(m). (3x2-x+2)-（-x2-2x-5)= (2)2[(a+a+c)+(a+a-c)]= 3x2-x+2+x2+2x+5=4x2+x 2(a+a+c+a+a-c)=8a(m). +7 (3)当a=25,c=10时，长为2a十 (2)由题意，得x=一1，则原式=4 c=60(m),宽为2a-c=40(m), ×(-1)2-1+7=4-1+7=10. 所以面积=60×40=2400(m2). 专练14整式的加减（二） 专练17 整式加减的综合应用 与整式有关的说理题 典例导练 典例导练 (1)由题意得：到甲图书店购买的费 (1)35+53=88,88÷11=8 用为：0.7×(100×15+8x)=(5.6x (2)10a+ba+10b10a+b+a+ 十1050)元；到乙图书店购买的费用 10b=11a+11b,(11a+11b)÷11= 为：100×15+8(x-50)-200=(8x a+b +900)元. (3)能 (2)还需要科学类图书：1500×1.5 知能检测 一2000=250（本），则增订国学类图 1.375 书100本，科学类图书150本，即x 2.(1)由已知得所挡住的式子为： =150.到甲图书店购买的费用为： 3(x-2)-(x2+9x-7)=3x-6 5.6×150+1050=1890<2000,到 -x2一9x+7=一x2一6.x+1,即 乙图书店购买的费用为：8×150十 所捂的二次三项式是一x2一6x 900=2100>2000,所以这批经费 够，应在甲书店采购. +1. 专练18 利用代数式揭示规律 (2)当x= 号时，-6+1 典例导练 示范题1 A =-（- 2 6×（- 2 ）+1示范题2 D 3 3 知能检测 = 41 1.A 9 2.212-192=441-361=80=8×10 专练15整式的加减（三） (2m+1)2-(2n-1)2=8m 绝对值的化简 第四章基本平面图形 典例导练 专练19线段、射线、直线的计数问题 (1)< 典例导练 (2)原式=b-c+2c+2-a-c=b n(n-1) a+2. 15 2 知能检测 知能检测 1.(1)> 1. (1)10 (2)55 (2):a<-1,0b<1,∴.a+1< 0,-b+1>0,b-a>0, (3)n+1)(n+2) 2 a+1|-|-b+1|+|b-a|= 2.该条线路上需要制定的不同的票 1-a-(-b+1)+b-a=2b-2a -2. 价的总数为：X-10种 2.(1)5 如果车票上起点不同为一种票 (2)令x一5=0，x十2=0，解得x =5,x=-2,①当x<-2时，|x 面，那么这趟客运线路有45×2 2 -5|+|x+2|=-x+5-x-2 =20种不同的车票 =一2x十3；②一2≤x5时，x 专练20分步计算求线段的长 -5|+|x+2|=-x+5+x+2 典例导练 =7;③x>5时，|x-5|+|x+2 x-5+x+2=2x-3; AB-20,BC-AB,DA-AB, 所以x一5+|x+21 .BC=10,DA=30,AC=30, f-2x十3(x<-2) ,M是DA中点，N是AC中点， =7(-2≤x≤5) 2x-3(x>5) ∴MA=号DA=15,NA=7AC=15, 专练16整式加减的实际应用 .MN=MA+NA,.'.MN=30. 典例导练 知能检测 (1)房的地面总面积为：(14一1一4) x+(4+1)(x-2)+4(y+2)+3 1.AD=子AC,DC=号AC, =9x+5x-10+4y+8+3y=(14x 而C是线段AB的中点，.AC +7y-2)(m). (2)当x=4,y=3时，14x+7y-2 2AB,DC=号XAB- =14×4+7×3-2=56+21-2= 75(m2),80×75=6000(元)，即铺地 吉AB, 砖的总费用是6000元. 64 又CE=DE-DC,六CE三号AB BE+(AD+DE)+AE+BD= AE+AE+AE+BD=12+12+ -号AB=行AB=号×24=8，故2.点E、F分别是AC、BD的中 12+5=41. 线段CE的长为8cm 2..AC:BC=3:2,AC+BC-AB, 点，∴CE=2AC,DF=BD, AC-3AB, AB=m,CD=n,∴.AC+BD= E为AC的中点，∴AE=CE= m-n,∴.CE+DF= 2（m-n), 合AC=8AB, ,EF=CE十DF十CD,.EF= 点D为AB的中点，AD= 合(m-0+a-合(m十. B, 1 专练23 分步计算求角度 典例导练 .'ED=5,..ED-AD-AE= 因为∠BOD=90°，∠COD=25°，所 2AB-8AB=吉ABAB=25 以∠BOC=65°，因为OC平分 ∠BOE,所以∠COE=∠BOC= 专练21 线段计算中的数学思想（一） 65°，因为∠COD=25°，所以∠DOE 分类讨论思想 =40°，所以∠AOD=180°-∠DOE 典例导练 =180°-40°=140° :AM=6cm,点M是线段AC的中 知能检测 点，.AC=12cm, 1.121°30 ①当C在线段AB上时，AC=AB一 2.(1).∠BOC=100°，.∠AOC= BC=号AB号AB=12,AB=15: 180°-100°=80°，.OM平分 1 ②当C在线段AB的延长线上时， ∠AOC,∴.∠COM= 2∠AOC= AC-AB+BC=号AB∴号AB= 40°，∠COD=90°，∴.∠MOD= 90°-∠C0M=50°. 12,.AB=10 (2)∠BOP与∠AOM互余， 综上，AB=10cm或15cm. ∠BOP+∠AOM=90°，. 知能检测 ∠AOB=180°，.∠MOP=180% (1)6 一90°=90°，.OM平分∠AOC, (2)分两种情况：当点P在线段AB 1 上时，如图1： ∠C0M=乞∠A0C=40, AP .'PA=2cm,AB=30cm,.'BP= ∠COP=∠MOP-∠COM=90 AB-AP=30-2=28cm,,点Q为 -40°=50°. BP的中点， 专练24 角度计算中的数学思想（一） 分类讨论思想 .QB BP 14cm,BN= 典例导练 9cm,,',QN=QB-BN=5cm: 24°或36°或48 当P在袋段A的廷长袋上时，知能被 pP032cm. :2.(1)9060100 (2)20° 点Q为BP的中点，QB=2BP 如图，当射线OE在∠AOB内部 =16cm,'.BN=9cm,.QN=QB 时，∠BOE=∠AOB-∠AOE= -BN=7cm. 60°-40°=20° 综上所述：QN的长度为5cm 专练25角度计算中的数学思想（二） 或7cm. 整体思想 专练22线段计算中的数学思想（二） 典例导练 整体思想 ∠MON=∠MOC- ∠CON= 典例导练 ,M是AB的中点，N是CB的中 2(∠BOC-∠AOC)=5∠AOB 点BM=2AB,BN=号CB,: =45° 知能检测 AC=m,∴MN=BM-BN=2AB 1.∠AOB=180°，∠COD=90°， ·∠AOC+∠BOD=90°， -号BC=(AB-BC)= 2AC= 1 .OE平分∠AOC,OF平分 ∠BOD,∠COE=2∠A0C, 2m. 知能检测 ∠DOF=1 ∠BOD,N∠EOF= 1.因为AE=12,BD=5, ∠COE+∠COD+∠DOF, 所以所有线段的和为AB十AD十 AE+BD+BE+DE=(AB+ ·∠E0F=2∠A0C+90+ 65 3∠BOD= 1 X(∠A0C+(5)28 3 ∠BOD)+90°= 1 ×90°+90° 专练29列方程的基本方法（一） 2 部分量之和等于总和 =135° 典例导练 2.(1)6 设每辆A型汽车的售价为x万元， (2).∠COD=m°，∠AOB=n° 则每辆B型汽车的售价为(x十8)万 .∠AOC+∠AOD+ ∠AOB+ 元，依题意，得：x十3(x十8)=96，解 ∠COD+ ∠COB+ ∠DOB 得：x=18,,.x+8=26. (∠AOC+∠COB)+(∠AOD+ 答：每辆A型汽车的售价为18万 ∠DOB)+∠AOB+∠COD= 元，每辆B型汽车的售价为26 ∠AOB+ AOB+ ∠AOB+ 万元 ∠COD=3∠AOB+∠COD=3n° 知能检测 +m. 1.设严重缺水城市有x座，依题意 第五章 一元一次方程 得：(3x+52)+x+2x=664 专练26运用方程的解求字母系数 解得：x=102 典例导练 答：严重缺水城市有102座 示范题1 2.设一个水杯x元，则一个暖瓶(22 设■为a,将x=一3代入原方程得： 一x)元，根据题意得：3x十2(22一 2-[a-(-3)]=-2,a+3=4,a x)=46, =1, 解得：x=2,则22一x=20. .“■”处被墨盖住的数为1. 答：一个暖瓶20元，一个水杯 示范题2 2元. 将x=一1代入方程得：一8一4一k 专练30列方程的基本方法（二） 十9=0，解得：k=一3， 不同的式子表示同一个量 当k=-3时，3k2-15k-95=27+ 典例导练 45-95=-23 (x+8)×54%=40%x+6 知能检测 知能检测 1.C2.C 1.设长木长x尺，则绳子长为(x+ 3.x=3不是方程2ax一5=3x一4a 4.5)尺，根据题意，得.+4.5+1 的解，理由为： 2 把x=2代入得：2a-4=0,解得： =x, a=2,将a=2代入方程2ax -5 解得x=6.5. =3x-4a,得4x-5=3x-8,将 答：木长为6.5尺 x=3代入该方程左边，则左边= 2.设租45座的客车x辆，则60座 7,代入右边，则右边=1，左边≠ 的客车为(x-3)辆，45x十25=60 右边，所以x=3不是方程4x一5 (x-3)-20,解得x=15,45x十 =3x一8的解. 25=45×15+25=700. 专练27 等式的性质及其运用 答：共有700人秋游. 典例导练 专练31一元一次方程的实际 示范题1 应用（一）行程与工程问题 由题意，可得4a一2b十1=6，∴.4a一 典例导练 2b=5,.∴.-8a+4b=-2(4a-2b) 设听到回响的时候，汽车离山谷的 =-2×5=-10. 距离是xm, 示范题2 由题意得2x+6×30=6×340,解 当x=0时，y=3,即c=3,当x= 得x=930 一1时，y=5,即-a-b十c=5,得答：这时汽车离山谷为930m. a十b=一2；当x=1时，y=a十b十 知能检测 c=-2+3=1.答：当x=1时，y的1.280 值是1. 2.(1)设甲、乙两车合作还需要x天 知能检测 运完垃圾，依题意，得： 1.S=(a+b)h 2 十3+=1，解得：x=8 15 2S=(a+b)h,∴h=2S 答：甲、乙两车合作还需要8天运 a+b' 完垃圾 2.根据等式性质1，等式两边都减 (2)设乙车每天的租金为y元，则 去式子3a-2b+1,得5b-5a 甲车每天的租金为(y十100)元， 三 依题意，得：(8+3)(y+100)+8y 根据等式性质2，等式两边都除 =3950, 以5，得b-a=5>0,…b>a. 解得：y=150,.y十100=250. 答：甲车每天的租金为250元，乙 专练28解方程之易错点 车每天的租金为150元. 知能检测 专练32 一元一次方程的实际 (1)一2 (3) 应用（二）调配与配套问题 (2)2. 4 (4)2, 典例导练 设安排x人编织花心，则(30一x)人 66 编织花瓣，根据题意得，5x×8=:(2)设三月份用水xm3,则四月份 20(30一x),解得x=10,则30一x 用水(15一x)m3.①四月份用水超 30一10=20（人）： 过6m3不超出10m3.2x+6×2+4 答：安排10人编织花心，20人编织 (15-x-6)=44.解得：x=2.,∴.15 花瓣，才能使一节课编织出来的花 一x=13(不符合题意，舍去)；②四 心和花瓣刚好配套， 月份用水超过10m3.2x+6×2+4 知能检测 ×4+(15-x-10)×8=44.解得：x 1.设调往羽毛球赛场的有x人，则： =4..15-x=11. 210+(10-x)]=16+x, 综上：三月份用水4m3,则四月份用 解得：x=8,.10一x=2. 水11m3 答：调往羽毛球赛场的有8人，乒 答：三月份用水4m3,则四月份用 乓球赛场的有2人 水11m3 2.设裁剪侧面的学生有x人，则裁 知能检测 剪底面的学生有(45一x)人， (1)224(2)440 根据题意列方程得，2×60x=3 (3)设稿费为x元，由题意得：14% 50×(45-x), (x-800)=420,解得：x=3800. 解得x=25,45-x=45-25 答：这笔稿费为3800元 =20. 专练36 一元一次方程的实际 答：裁剪侧面的学生有25人，裁 应用（六）方案选择问题 剪底面的学生有20人. 典例导练 专练33一元一次方程的实际 (1)设每个篮球的定价是x元，则每 应用（三）打折销售问题 套队服是(x十80)元，根据题意得 典例导练 2(x十80)=6x,解得x=40,x+ 设这批服装每件的标价为x元，由 80=120. 题意，得进价为(0.6x十60)元， 答：每套队服120元，每个篮球 则0.8x一(0.6x+60)=20,解得x 40元. =400,0.6×400+60=300(元). (2)在乙商场购买比较合算，理由 答：这批服装每件的标价为400元 如下： 进价为300元 甲方案：100×120+(120一10)×40 知能检测 =16400(元)，乙方案：0.8×40× (1)设3D钥匙扣、毛绒公仔两种商 120+12000=15840(元)，因为 品的每个进价分别是x元和(30十 16400>15840,所以在乙商场购买 x)元 比较合算. 4(30十x)+5x=570,解得x=50, 知能检测 答：毛绒公仔、3D钥匙扣两种商品 (1)设他们一共去了x名老师，(16 的每个进价分别是80和50元. x)名学生，根据题意，得40x十 (2)设毛绒公仔买了x个，80x十 20(16一x)=400,解得x=4,则 50(60一x)=4200,解得x=40,设3D 16-4=12(名).答：他们一共去了 钥匙扣的每个售价为y元，由题意 4名老师，12名学生 得：(100-80)×40+20(y-50)= (2)方案一：分别购买，费用为 4200×25%,解得y=62.5. 400元； 答：每个3D钥匙扣的售价为62.5元 方案二：按团体票购买，费用为16 专练34一元一次方程的实际 ×40×0.6=384(元)； 应用（四）几何图形问题 方案三：4名学生分别买，剩余的老 典例导练 师和学生按团体买，费用为4×20 设计的长边不符合实际情况，理由 +12×40×0.6=368(元). 如下：设篱笆的长为x米，宽为(x ,368<384<400,.方案三最省 5)m,由题意得，x+2(x-5)=35 钱，即4名学生分别买，剩余的老师 解得x=15,.15>14,∴.设计的长 和学生按团体买，费用为368元. 边不符合实际情况. 专练37 一元一次方程的实际 知能检测 应用（七） 其他类型 (1)2 3x cm 5 3x+ 典例导练 (1)52(2)D 100cm 知能检测 1.83 、 (2)由题意可得：3x+100=4×(2 2.(1)x+215(x+21-1) (2)5(x+21-1)=5.5(x-1),解 ×日x+27）, 得：x=211.答：x的值为211. (3)5×(211+21-1)=1155 解得x=24. (m),答：这段路的长度1155m. 答：天头长为24cm 第六章数据的收集与整理 专练35一元一次方程的实际 专练38 数据的收集与整理 应用（五）分段计费问题 典例导练 典例导练 (1)B (1)48 (2)本次调查的样本容量是：(8+5) 67 ÷13%100,B等级的女生人数(4)2000×42=120（人）. 为：100×71%一32=39（人），补全 100 条形统计图略， (3360×9 =36° 《学情监测》参考答案 学情监测（一） 11.312.-513.-1或5 1.B2.A3.A4.D5.B 14.115.74 6.D7.C8.D9.B10.B 16.(1)5-2.512.5-4 11.四棱锥12.712 74 (2)-4<-2.5<12.5<5. 13.1314.12 15.6 16. 17.(1)-32;(2)-18;(3)-9 6· 18.佳佳的解题过程不正确，计算 从正面看从左面看从上面看 如下：50÷(g号+) 17.(1)侧面有5个，底面有2个， 日 共有5十2=7个面； =50÷(告+品》 侧面积：2×4×5=40(cm2). (2)顶点共10个，棱共有 =50÷日 15条； =50×6 (3)n棱柱的顶点数2n;面数n =300. +2;棱的条数3n. 19.由题意，得x=3,y=-3或x 18.图略. =一3，y=1, 19.(1)侧面积：S=2πrh=2×3.14 x十y=0或x十y=-2. ×2×5=6.28×2×5=62.8(平20.(1)10月2日人数最多；10月 方分米)， 6日人数最少； 底面积：S=πr2=3.14×22= 它们相差：0.78一（一1.6）= 12.56(平方分米)， 2.38(万人) 62.8+12.56=75.36(平方分 答：游客最多的人数与最少的 米) 人数的差是2.38万人； 答：做这个油桶要用75.36平 (2)1.9×7+0.78+0.18 方分米的铁皮。 0.06-0.1-1.61.15= (2)V=Sh=12.56×5=62.8 11.35(万人). (立方分米)=62.8（升）. 答：来贵州乌江源百里画廊景 62.8×0.8=50.24(千克) 区旅游的游客共有11.35 答：这个油桶能装油50.24 万人 千克. 21.(1)+15+(-2)+5+(-1) 20.从正面、左面看得到的几何体 +(-10)+(-3)+(-2)+ 的形状图如下： 12+4+(-5)+6=19(km), 答：检修小组在A地东边，距 A地19千米； (2)(+15+1-2|+5+|-1 +-10+|一3+-2+ 从正面看 从左面看 12+4+-5+6)×3=65× 21.(10+8+9)×2×(1×1)=54 3=195(升)， (平方厘米)， .195>180, 答：这个立体图形的表面积是 ∴.收工前需要中途加油，195 54平方厘米 -180=15(升)， 22.(1)宽为：(14-2×2)÷2=5 答：应加15升. (cm), 22.(1)1-3+5-7+9-11+13 长为：5+3=8(cm); -15+17-19+21-23= (2)8×5×2=80(cm3). -12 23.由图可知黄紫相对，绿红相 (2)-8091-4046 对，白蓝相对， (3)原式=10×(1-3)+9× ,.长方体的下底面数字和为5 (5-7)+8×(9-11)+7× +2+6+4=17. (13-15)+…+2×(33-35) 答：长方体的下底面数字和 +37 为17. =-2×10-2×9-2X8-2 学情监测（二） ×7+…一2×2+37 1.A2.D3.C4.C5.C =-2×(10+9+8+…+2) 6.B7.C8.B9.C10.C +37 68 =-2×9×(2+10)+37 款，50×30+3000=4500 2 (元)， =-108+37=-71. 方案二需付款，45×30+3600 23.(1)2 =4950(元)， (2)若一1表示的点与3表示 因为4500<4950， 的点重合，则折痕为一1十3 所以方案一更划算、 2 23.甲同学方法：设A=x,则B= =1, x+1,C=x+8,D=x+15,E ①5表示的点与一3表示的点 =x+16, 重合； 所以A+B+C+D十E=x+ ②设折痕为点C,则AC=BC x+1+x+8+x+15+x+16 =6, =5x+40=5(x+8), .点A表示的数为1一6= 所以5x+40能被5整除， 一5， 故这五个数的和能被5整除； 点B表示的数为1十6=7. 乙同学方法：设C=x,则D= 学情监测（三） x十7，E=x十8，B=x-7,A 1.C2.D3.C4.B5.D =x一8， 6.B7.B8.C9.B10.D 所以A十B+C+D+E=x-8 11.-x3y-3x2+2xy2-112.1 +x-7+x+x+7+x+8 13.1814.0.12a15.7 =5x, 16.(1)4x-2y.(2)-2a2+b2. 所以这五个数的和能被5 17.原式=-2mn2; 整除； 由(m-3)2+|n十1|=0，解得 代数式A-2B+3C+4D-6E m=3,n=-1, 的值是定值，理由如下：设C= 当m=3,n=一1时，原式= x,则D=x十7，E=x十8，B= -6. x-7,A=x-8, 18.2x2+my-12-（nx2-3y+ 所以A-2B十3C+4D-6E= 6)=(2-n)x2+(m+3)y x-8-2(x-7)+3x+4(x+ -18, 7)-6(x+8)=x-8-2x+14 由题意，得2-n=0,m十3= +3x+4x+28-6x-48=x+ 0,解得n=2,m=一3， m+n+mn=2+(-3)+2× 4x+3.x-2.x-6x+14+28- 48-8=-14, (-3)=-7. 故代数式A-2B+3C+4D- 19.2 6E的值是定值，为-14. 学情监测（四） 20.(1)地面总面积=3X4+2y十 1.C2.B3.D4.C5.C 3×2+6x=(18+6x+ 6.D7.C8.A9.B10.B 2y)m; 11.-212.8 (2)铺1m2地砖的平均费用为 13.圆柱棱柱圆锥 80元，当x=4,y=1.5, 铺地砖总费用=(18十6×4+ 14.4a一8b15.一1或7 2×1.5)×80 =(18+24+3)×80 16.101:2)8,(3)-4. =3600(元) 17.如图所示： 答：铺地砖的总费用为3600元 21.(1)410 ■■■ ▣ ■■■■■ (2)x2 (3)理由如下： 18.原武5r2十x牛6 从正面看 从上面看 当输入数据为x时，将进行以 4x2=x2-xy+6, 下计算， 当x=一2，y= 号[6(-)+3(x2+2)] 行时，原式=4 +1+6=11. 19.(1)二去括号时，括号前是 —1（—6x+3x2+6x) “一”，括号里后一项没有改变 =x2」 符号 22.(1)根据题意可得，方案一需 (2)A-C 付款为20×200+(x-20)× =4ab-5+b2-(-2b2-mba 50=(50x+3000)元； +3) (2)根据题意可得，方案二需 =4ab-5+b2+2b2+mba-3 付款为20×200×0.9+x×50 =(4+m)ab+3b2-8, ×0.9=(45.x+3600)元； 由题意，得4十m=0, (3)当x=30时，方案一需付 解得：m=一4. 6926 第五章一元一次方程 专练26运用方程的解求字母系数 【方法规律】根据方程的解的定义，将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的方 程，从而求出字母系数的值. ③典例导练 示范题1嘉琪在做课本上的随堂练习解方程：2一（■一x)=一2时，不小心将墨迹 盖住了一个数字，跟同桌交流后得知该方程的解为x=一3，“■”处被墨盖住的数应该是 多少？ 【思路点拨】将x=一3代入原方程得关于■的方程，解方程解答即可. 【自主解答】 示范题2已知x=一1是关于x的方程8x3一4x2十kx十9=0的一个解，求3k2 15k-95的值. 【思路点拨】将x=一1代入方程求出的值，代入所求式子中计算即可 【自主解答】 知能检测 1.已知x=4是关于x的方程ax一2=a十10的解，则a的值为 A.2 B.-3 C.4 D.-4 2.已知关于x的方程2x一3=+x的解满足x=1,则m的值是 3 A.-6 B.-12 C.-6或-12 D.6或12 3.已知x=2是方程ax-4=0的解，检验x=3是不是方程2a.x-5=3x-4a的解. (27 专练27等式的性质及其运用 【方法规律】先根据等式的性质，得到某个代数式整体的值，然后整体代入到要求的 代数式中进行求值 )典例导练 示范题1已知当x=一2时，代数式ax2+bx+1的值为6，利用等式的性质求代数 式-8a+4b的值. 【思路点拨】首先根据当x=一2时，代数式ax2+bx+1的值为6，可得4a一2b+1= 6,据此求出4a一2b的值；再求代数式一8a十4b的值. 【自主解答】 示范题2等式y=ax3十bx十c中，当x=0时，y=3;当x=一1时，y=5;求当x=1 时，y的值， 【思路点拨】分别将x=0时，y=3;当x=一1时，y=5代入等式中，求得c、a十b的 值，然后将x=1代入等式求解即可. 【自主解答】 &知能检测 1,已知梯形的面积公式为S=（a+)h,将公式变形成已知S,a,b,求h的公式. 2 2.已知3b一2a-1=3a-2b,利用等式的性质试比较a与b的大小. 28) 专练28解方程之易错点 【方法规律】 (1)移项与多项式项的移动的根本区别：移项时移动的项要跨越等号，并且一定要记 住移项要变号. (2)去括号解方程时，用括号外的因式去乘括号内的每一项，千万不要漏乘某一项. 若括号外的因式是负数，去括号后，每一项都要变号. (3)①去分母时注意不要漏乘没有分母的项；②若分子是多项式，则去分母后，分子 需要加上括号 知能检测 解方程： (1)4-3(2-x)=7x. 21-1-。2 (3)2x+151=-1. 4 6 (402[x-2(x+2)]=5(x-2) (5)2x0.83x-1.5_0.3-x 0.5 0.2-0.1 6)[(x-)-号]=2. (29 专练29 列方程的基本方法（一）部分量之和等于总和 【方法规律】列方程解应用题的关键是找到符合题意的相等关系.经常利用部分量之 和等于总量列方程 )典例导练 示范题为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源 汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销 售总额为96万元.求每辆A型车和B型车的售价 【思路点拨】设每辆A型汽车的售价为x万元，则每辆B型汽车的售价为(x十8)万 元，根据本周售出1辆A型车和3辆B型车且销售总额为96万元，即可得出关于x的一 元一次方程 【自主解答】 心知能检测 1.统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一 般缺水城市和严重缺水城市.其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的3倍多52 座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍.严重缺水城市有多少座？ 2.请根据图中提供的信息，请计算一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ 凸e06m 22元 46元 30 专练30列方程的基本方法（二） 不同的式子表示同一个量 【方法规律】当问题情境中没有明显的语句或关键词反映相等关系，又不能用部分量 之和等于总量来列方程时，经常用两个不同的式子表示同一个量来列方程 典例导练 示范题河南男篮为了冲击决赛，正努力提高自己的胜率（胜率=胜利场数÷已参 与场数).现在他们的胜率为40%，在接下来的8场客场比赛中，若能取得6场胜利，则可 以将队伍的胜率提升到54%.设河南男篮本赛季已进行了x场比赛，则x应满足的关系 式是 【思路点拨】用代数式40%x+6和(x+8)×54%这两个不同的式子表示胜利的场 数，列出一元一次方程即可 知能检测 1.《孙子算经》是一本十分著名的中国古代数学典籍，其中有这样一道题，原文如下：今有 木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，间：木长几何？大意为： 用一根绳子去量根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， 问：木长多少尺？请用方程（组）解答上述问题. 2.秋天是一个丰收、美丽和温馨的季节，为了让学生更好的接触自然、增强身体素质，某 校计划组织七年级学生开展一次“徒步赏秋”的秋游活动，去时步行，返回时坐车.小明 发现：若租用45座的客车若干辆，则有25人没有座位；若租用60座的客车，则可以少 租3辆，且有一辆空了20个座位.求此次秋游的人数 31 专练31一元一次方程的实际应用（一） 行程与工程问题 【方法规律】 1.基本关系式：工作量=工作效率×工作时间. 2.当题目工作量没有具体给出来时，可以把工作量看作整体1. 心典例子练 示范题汽车以30m/s的速度在高速公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下 喇叭，6s后听到回响，已知空气中声音的传播速度为340m/s.这时汽车离山谷多远？（列 一元一次方程解应用题) 【思路点拨】设听到回响时，汽车离山谷x米，首先理解题意找出题中存在的等量关 系：汽车离山谷距离的2倍十汽车前进的距离=声音传播的距离，根据等量关系列方程， 求解即可. 【自主解答】 心知能检测 1.某校七年级学生远足活动期间，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走 4.5km.一列火车以每小时120km的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到 车尾与队末学生相遇，共经过12s,如果队伍长135m,那么火车长 m. 2.某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要15天，乙车 单独运完需要30天.甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾， (1)甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950 元.则甲、乙车每天的租金分别为多少元？ 32 专练32一元一次方程的实际应用（二） 调配与配套问题 【方法规律】 (1)“甲与乙的数量比为a比b才配套”，就是“甲的数量的b倍等于乙的数量的a 倍” (2)调配问题中注意调配后两方数据的增减. 心)典例导练 示范题学校手工艺社团编织的手工花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已 知手工艺社团有30人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或20个花瓣.安排多 少人编织花心，多少人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套？ 【思路点拨】设安排x人编织花心，则(30一x)人编织花瓣，根据一朵花由1个花心和 8个花瓣构成列出方程求解即可. 【自主解答】 知能检测 1.某高校响应亚运会组委会号召组织学生志愿者参加志愿者活动.第一批志愿者共26 人，其中去乒乓球赛场的有10人，去羽毛球赛场的有16人.现再调10人去支援，使在 羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，问应分别调往两个赛场各多少人？ 2.美术老师组织七(5)班的学生用硬纸板制作如图所示的正三棱柱盒子.七(5)班共有学 生45人，每名学生每小时可以裁剪侧面60个或底面50个.已知一个三棱柱盒子由3 个侧面和2个底面组成，为了使每小时裁剪出的侧面与底面刚好配套，应如何分配全 班学生？ 33 专练33一元一次方程的实际应用（三）打折销售问题 【方法规律】 (1)利润=售价一进价=进价×利润率， (2)售价=进价十利润=进价×(1十利润率)=标价X折扣. 典例导练 示范题小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时 积压了一批服装.为了缓解资金压力，小张决定将这批服装打折出售，若这批服装每件按 标价的六折出售将亏60元，按标价的八折出售将赚20元，则这批服装每件的标价和进 价各是多少元？ 【思路点拨】设这批服装每件的标价为x元，由服装每件按标价的六折出售将亏60 元，得进价为(0.6x十60)元，根据按标价的八折出售将赚20元，列出方程即可解决问题. 【自主解答】 知能检测 第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，吉祥物“蓉宝”深受大家的喜爱.某商场从 厂家购进了成都大运会吉祥物蓉宝毛绒公仔和3D钥匙扣两种商品，每个毛绒公仔的 进价比每个3D钥匙扣的进价多30元.若购进毛绒公仔4个，3D钥匙扣5个，共需要 570元. (1)毛绒公仔、3D钥匙扣两种商品的每个进价分别是多少元？ (2)该商场从厂家购进成都大运会吉祥物蓉宝毛绒公仔和3D钥匙扣两种商品共60 个，所用资金恰好为4200元.在销售时，每个毛绒公仔的售价为100元，要使得这60 个商品卖出后获利25%，则每个3D钥匙扣的售价应定为多少元？ 34 专练34一元一次方程的实际应用（四）几何图形问题 【方法规律】理解题意，合理设未知数，找准等量关系是解题的关键 典例导练 示范题如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长14m,其他 三边用竹篱笆围成，现有长35的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多 5,你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由， 【思路点拨】设篱笆的长为xm,宽为(x一5)m,根据“竹篱笆的长为35m”列出方程 求出长边，通过与墙长14m比较，进而得到结果. 【自主解答】 心知能检测 对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地 头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相 等，均为天头长与地头长的和的0某人要装裱一副对联，对联的长为100cm,宽 为27cm. (1)设天头长为xcm,则地头长为 ,左边的宽为 ,装裱后的长为 (均用含x的式子表示) 装裱后的宽 天头 (2)若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求天头长 100cm 装裱后 边 边 地头长 27cm 边的宽地头 35 专练35一元一次方程的实际应用（五）分段计费问题 【方法规律】理清每段收费的条件是解决此类问题的关键，每段收费的计算式是重点： 典例导练 示范题为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达 到节水的目的，该市自来水收费价格见表： 情况 每月用水量 单价 ① 不超出6m的部分 2元/m ② 超出6m3不超出10m3的部分 4元/m3 ③ 超出10m3的部分 8元/m3 请根据上面的表格回答下列问题， (1)若某户居民一月份用水12.5m3,则水费为 元 (2)若该用户三、四月份共用水15m3(3月份用水量不超过6m3),水费共为44元，则 该用户三、四月份各用水多少？各月的水费为多少？ 【思路点拨】(1)水费=6m3的水费十4m3的水费十超过10m3部分的水费，把相关数 值代入计算即可；(2)设三月份用水xm3,则四月份用水(15一x)m3,可根据四月份用水量 超过6m3不超出10m3和超过10m3两种情况解答. 【自主解答】 之知能检测 根据有关规定：个人发表文章或出版图书所获得的稿费超过一定范围，必须按要求上 缴一定的税费，具体上缴税费的计算方法如下表： 获得的稿费情况 上缴税费情况 1.获得稿费不高于800元 不需要上缴税费 2.获得稿费高于800元，但低于4000元 应上缴超过800元的那部分稿费的14%的税费 3.获得稿费高于4000元（含4000元） 应上缴全部稿费的11%的税费 (1)若某人获得的稿费为2400元，则应上缴税费 元 (2)若某人获得的稿费为4000元，则应上缴税费 元 (3)若某人获得稿费后上缴税费420元，这笔稿费是多少元？ 36 专练36一元一次方程的实际应用（六） 方案选择问题 【方法规律】设计或选择最优方案时，先计算出不同方案的具体值，后得出最优方案， ③典例导练 示范题为发展校园篮球运动，我市城区三校决定联合购买一批篮球运动装备，市 场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服 比每个篮球多80元，两套队服与6个篮球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购 买十套队服送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买篮球打八折， (1)求每套队服和每个篮球的价格是多少？ (2)若我市城区三校联合购买100套队服和120个篮球，你认为到哪家商场购买比 较合算？ 【思路点拨】(1)设每个篮球的定价是x元，则每套队服是(x十80)元，根据“两套队服 与6个篮球的费用相等”列出方程，解方程即可；(2)分别求得在两个商场购买所需要的 费用，然后通过比较得到结论. 【自主解答】 知能检测 在暑假期间，某中学七年级(1)班几名老师决定带领本班部分学生共16人去某革命胜地 参观研学，下面是购买门票时的相关信息，试根据下面的信息和对话，解答下列问题： 售票须知：成年票：每张40元；学生票：每张20元. 团体票：团体12人以上（含12人）每人按照成人票价的六折优惠. 售票员：你们分别购票的话，一共正好是400元，建议你们购买团体票. (1)他们一共去了几名老师？几个学生？ (2)请你为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用. 37 专练37一元一次方程的实际应用（七） 其他类型 【方法规律】理解题意，读懂图表提供的信息是解题的关键 典例导练 示范题某校组织学生参加2024春季健康教育知识问答，问答活动共设有20道选 择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分.如表中记录了A、B、C三名学生的 得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： (1)本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分 (2)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分： (填写选项). A.75 B.63 C.56 D.44 【思路点拨】(1)由答对20道题得分100知答对一道的加分，由答对18道题答错两 道题得分86可得答错一道的减分；（2)设小刚同学答对了x道题，则答错了(20一x)道 题，由(1)知他的得分，再逐项列方程即可得到答案. 知能检测 1.一个两位数，个位上的数字为3，交换这个两位数个位和十位的数字后，得到新的两位 数比原来的两位数小45，则这个两位数是 2.现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的 间隔相等。 方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵； 方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好用完. 设原有树苗x棵，请根据题意，解答下列问题： (1)完成表格： 方案 间隔长 应植树数 路长 方案一 5 (2)求x的值. (3)求这段路的长度 38 第六章 数据的收集与整理 专练38 数据的收集与整理 【方法规律】观察统计图，找出数据，根据各数量间的关系列式计算是解题的关键 典例导练 示范题青少年体重指数(BMI)是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式.其 中体重指数BMI计算公式：BM-(kg/m),其中G示体重(kg),h表示身高(m.《国 家学生体质健康标准》将学生体重指数(BMI)分成四个等级（如表），为了解学校学生体 重指数分布情况，八年级某数学综合实践小组开展了一次调查： 等级 偏瘦(A) 标准(B) 超重(C) 肥胖(D) 男 BM1≤15.7 15.7<BM1≤22.5 22.5<BMI≤25.4 BM1>25.4 女 BM1≤15.4 15.4<BM122.2 22.2<BMI≤24.8 BMI>24.8 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据， 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图， 【问题解决】根据以上信息，解决下列↑人数 ▣男 50 口女 问题： 40 32 (1)若一位男生的身高为1.6m,体重为30 71% A B D 20 51.2kg,则他的体重指数(BMI)属于 等 3% 级；（选填“A”、“B”、“C”或“D”) A BCD等级 (2)求本次调查的总人数，并补全条形统计图； (3)求扇形统计图中表示体重指数(BMI)“A”等级的扇形的圆心角的度数； (4)若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？ 【思路点拨】(1)根据体重指数(BMI)公式计算即可判断出答案； (2)用C等级的人数除以13%可得总人数，用总人数乘71%，再减去B等级的男生 人数，进而得出B等级的女生人数，再补全条形统计图即可； (3)用360°乘A等级所占的百分比即可； (4)利用样本估计总体，可估计出全校体重指标为“肥胖”的学生人数 【自主解答】