第二章 一元二次方程 单元检测（基础巩固卷） 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版新教材第二章一元二次方程单元检测基础卷，90分钟100分，覆盖方程定义、解法、根的判别式及应用，梯度合理，注重数学眼光、思维与语言的考查，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|一元二次方程定义、系数、解法、根的判别式、应用（如药品降价）|基础巩固，结合生活情境（第8题药品降价体现数学眼光）| |填空题|6/24|一般形式、根的判别式、解法、应用（直角三角形、多边形对角线）|能力提升，考查抽象能力（第14题直角三角形面积体现数学思维）| |解答题|5/36|解方程、根的判别式证明、利润问题（台灯销售、图书促销）、整数根|创新应用，体现模型意识（第19题台灯利润列方程体现数学语言）| |附加题|1/-|因式分解与根的关系|拓展延伸，培养推理能力|

第二章一元二次方程单元检测 基础卷 考试时间：90分钟　满分：100分　　版本：北师大版新教材 一、选择题（共10题，每题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 2. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A．2，　　B．2，1　　C．，　　D．，1 3. 方程的根是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根　　B．有两个不相等的实数根　　 C．没有实数根　　 D．无法判断 5. 用配方法解方程，配方后正确的是（ ） A．　　B．　　C．　　D． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A．　　B．　　C．且　　D．且 7. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A．3　　B．　　C．4　　D． 8. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（ ） A．10%　　B．15%　　C．20%　　D．25% 9. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 10. 如图，在长，宽的矩形空地中，修建三条等宽的道路，剩余部分种植草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽为，则所列方程正确的是（ ） A．　　 B．　　 C．　　 D． 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. 把一元二次方程化成一般形式是__________。 12. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则=__________。 13. 一元二次方程的两个根为__________。 14. 已知一个直角三角形的两条直角边的长的和为，面积为，则这个直角三角形的斜边长为__________。 15. 已知关于的一元二次方程，若其中一个根是，则另一个根是__________。 16. 一个凸多边形共有9条对角线，则这个凸多边形的边数为__________。 三、解答题（共5题，共36分） 17. 用适当的方法解下列一元二次方程（每题3分，共6分） （1）　　（2） 18. （6分）已知关于的一元二次方程。求证：无论取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根。 19. （8分）某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出60个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少2个，若该商场想要实现每月1008元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 20. （8分）为响应“全民阅读”号召，某书店计划对一款进价为20元的图书开展促销活动。经市场调研发现，当售价为30元时，平均每天可售出100本；若售价每降低1元，日均销量可增加20本。设每本图书降价元（为非负整数）。 （1）当为何值时，该图书单日销售利润恰好为1120元？（5分） （2）该书店希望单日销售利润达到1200元，请问这个目标是否能够实现？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由。（3分） 21. （8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根。 （1）求的取值范围；（3分） （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值。（5分） 四、附加题 已知关于的方程（）的两根为，，二次三项式分解因式后结果是什么？请推导验证你的结论。 1页 学科网（北京）股份有限公司 第二章一元二次方程单元检测 基础卷 参考答案 一、选择题 1. C　　2. A　　3. C　　4. B　　5. A　　6. C　　7. A　　8. A　　9. A　　10. A 二、填空题 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17. 解： （1）分解因式得：（2分）可得或，解得；（1分） （2）这里， 判别式（1分）所以，即（2分） 18. 证明： 对于一元二次方程，这里（2分） 判别式（2分） 因为无论取任何实数值，恒大于0（1分） 所以方程总有两个不相等的实数根。（1分） 19. 解：设这种台灯的售价上涨了元，则售价为元，每月销售量为个。（1分） 根据题意列方程： （3分） 整理得：，解得（2分） 当时，售价为元，进货量为个； 当时，售价为元，进货量为个。（1分） 答：这种台灯的售价应定为44元时，应进台灯52个；售价定为52元时，应进台灯36个。（1分） 20. 解：（1）由题意得：每本图书的利润为(30 - 20 - ) = (10 - )元，日均销量为(100 + 20)本（1分） 根据总利润=单本利润×销量，列方程：(10 - )(100 + 20) = 1120（2分） 整理得：x² - 5+ 6 = 0，解得₁=2，₂=3，均符合≥0的条件（2分） 答：当降价2元或3元时，单日销售利润为1120元。 （2）若利润为1200元，可列方程：(10 -)(100 + 20) = 1200（1分） 整理得：² - 5 + 10 = 0，判别式Δ = (-5)² - 4×1×10 = 25 - 40 = -15 < 0（1分） 因此该方程无实数根， 所以单日利润1200元的目标无法实现。（1分） 21. 解： （1）因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式（1分） ，解得（2分） （2）因为为正整数，所以或（1分） 当时，方程为，解得，根不是整数，不符合题意，舍去；（2分） 当时，方程为，解得，两个根都是整数，符合题意；（1分） 所以（1分） 四、附加题参考答案 解：二次三项式分解因式结果为，推导如下： 对于一元二次方程，已知两根为，，根据因式分解法的原理，对于一元二次方程，若两根为、，则。 代入，可得： 。 验证：将右侧展开： ，对应方程，提取公因式得，即，根恰好为和，符合题意。 5页 学科网（北京）股份有限公司 $