第二章一元二次方程学情自测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 第二章一元二次方程单元复习卷，全面覆盖定义、解法、根的判别式等核心知识，结合查干湖客流量、机车销售等现实情境，适配学情自测与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|一元二次方程定义、根的判别式|第9题结合等腰三角形性质，考查分类讨论思维| |填空题|6/18|方程根的应用、实际问题建模|第16题以班级组队为背景，体现模型意识| |解答题|8/72|解方程、根与系数关系、实际应用|21题查干湖客流量增长率问题，培养数据观念与应用意识；24题手办销售利润问题，发展运算能力与推理能力|

第二章一元二次方程学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 3．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 4．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义，只需将代入方程中得到关于m的方程，然后解方程，结合一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，且， 整理，得且， 解得． 5．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，完全平方公式的应用， 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定参数a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵ ∴ 即， 与比较，得, ， ∴． 故选：C． 6．关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若是方程的一个根，则是方程的一个根；④若是方程的一个根，则．正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断①正确；先求出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断②正确；先根据一元二次方程根的定义可得，再将将代入可得，由此即可判断③正确；根据一元二次方程根的定义可得，则可得或，说法④错误；由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程一定有两个不相等的实数根；说法①正确； ∵， ∴， ∴这个方程根的判别式为， ∴若，则方程没有实数根；说法②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 将代入得：， ∴是方程的一个根；说法③正确； ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，则说法④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：B． 7．已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 8．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 9．等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 10．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 12．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【详解】解：关于的方程是一元二次方程 未知数的最高次数为，可得 解得，此时二次项系数为，符合一元二次方程的定义． 13．若代数式与的值互为相反数，则的值为________． 【答案】3或 【分析】本题考查了相反数的定义和配方法解一元二次方程，解题的关键在于根据题意列出方程并利用配方法求解． 根据相反数的定义： 互为相反数的两数之和为可列方程，再用配方法解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 即， 移项，得， 两边同除以，得， 配方，得 ， 解得． 故答案为：或 14．若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由题意可得，，即得，进而得到，再代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．某校建设校园农场．如图，该矩形农场长，宽，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为，若设道路的宽为，那么可列方程为______（化为一般形式）． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】由题意得， ， 整理得，． 故答案为：． 16．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 三、解答题（每题9分，共72分） 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原方程化为， 开平方，得， ； （2）解：， ， ， 或， ，． 18．已知关于的方程． (1)当时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． (2)当为何值时，此方程是一元一次方程？ 【答案】(1)一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7 (2)当时，此方程是一元一次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义． （1）将代入，得到，进而根据一元二次方程的定义作答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到且，求解即可． 【详解】（1）解：当时，方程为， 即， 此时一元二次方程的二次项系数是16，一次项系数是，常数项是7； （2）解：根据题意，得且， 解得且， 即， 当时，此方程是一元一次方程． 19．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据方程有两个根可得，再结合即可解决问题； （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． （2）解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 21．松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】(1)； (2)万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 22．年月举行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站组别比赛中，中国品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮．某代理商顺势购入一批该品牌机车，具体进货信息见下表： 型号 总费用 单价 数量 万元 每台型机车的进货价比型低万元 型机车数量是型的倍 万元 (1)两种机车的进货价分别是多少？ (2)市场热度远超预期，首批机车迅速售罄．该代理商再次花费万元，购进了若干辆上述两种型号的张雪机车．你能确定型机车购进多少台吗？说明理由． 【答案】(1) 型机车进货价为万元/台，型机车进货价为万元/台 (2) 解：能确定，理由如下： 设购进型机车台，型机车台，其中均为非负整数， 由题意可得：， ∴， ∵均为非负整数， ∴； 故能确定型机车购进台. 【分析】 （1）设出未知数，根据两种型号机车的数量关系列分式方程求解，检验根的有效性即可得到结果； （2）设出两种型号的进货台数，根据总费用列出二元一次方程，结合台数为非负整数的限制，即可求出唯一符合条件的解. 【详解】（1）解：设型机车的进货价为万元/台，则型机车的进货价为万元/台， 由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ， 答：型机车进货价为万元/台，型机车进货价为万元/台； （2）略 23．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 24．某福州文创网店售卖2026闽超联赛吉祥物福小龙纪念手办．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于30元，日销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）之间满足一次函数的关系．销售期间获得部分数据如下表： 销售单价x/元 40 41 42 43 44 45 日销售量y/个 500 490 480 470 460 450 (1)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围； (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8000元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为，的取值范围是 (2)当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出y与x的函数关系式，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出的取值范围； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴y与x的函数关系式为， 由题意可得， 解得， 综上所述，y与x的函数关系式为，的取值范围是； （2）解：由题意可得， 解得，， ∵， ∴， ∴当销售单价为50元时，每日销售利润为8000元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二章一元二次方程学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x+3=4-xB.x2-3x+1=0 C.x2-2y+4=0 D.x2+3=3 2.若关于x的方程m-3x?-x=5 一元二次方程，则实数的值为() A.3 B.-3 C.±3 D.9 3.一元=次方程5r-32x+1=0 的情况为(). A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D,只有一个实数根 4.已知x=0是一元二次方程 m-2)x2+4x+4-m2=0 的一个根，则m的值为() A.-2或2 B.-2 C.2 D.0 5.将一元二次方程-2x-2025=0转化为 (x+a2=b 的形式，则a+b的值为() A.2027 B.2026 C.2025 D.2024 6.关于x的一元二次方程x+mx+n=0,下列说法：①若m-2n=1,则方程一定有两个 不相等的实数根；②老m-2n<0 x=1(t≠0) ，则方程没有实数根：③若 是方程 +m+n=0的一个根，则x=一7是方程2-m+1=0的一个根；④若n是方程 x2+mx+n=0 m+n=-1 的一个根，则 .正确的是() A.①②④ B.①②③ C.②③ D.③④ 7.已知r-2024+(x-20262=34nx-2025 ,则 的值是() A.4 B.8 C.12 D.16 8.若西是一元二次方程-2x-2026=0的两个实数根，则-名+的值是（) 试卷第1页，共3页 A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 9.等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于x的一元二次方程x2-8x+k=0的两实 根，则k的值为() A.12 B.16 C.2或4 D.12或16 10.如图，在长方形ABCD中，AB=6cm,AD=14cm,动点P从D点出发，以1cm/s的 速度沿着DA向A点运动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC向C点运动，若其 中一个动点到达终点，另一动点也同时停止.运动时间为t,将四边形PDCQ以直线PQ为 PD'CO Oc 轴进行翻折，得到四边形 ,射线经过点A时，可以是() D D A.t=3 ® C.1s10 3 D.t=4 二、填空题（每题3分，共18分） 11.已知m是关于x的方程x2+2x-3=0的一个根，则2m2+4m+5= 12.若关于x的方程xm1-2x-5=0是一元二次方程，则m= 13.若代数式2x2-5x与-2x+3的值互为相反数，则x的值为 14,若“是方程-x-2025=06 a,B a2+B 的两个实数根，则 的值为 15.某校建设校园农场.如图，该矩形农场长32m,宽20m,要求在农场内修筑同样宽的 道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为540，若设道路的 宽为m,那么可列方程为一（化为一般形式）· 试卷第2页，共3页 32 20 16.某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有 的不同组合，共有45种组队可能.如果设该班级参加活动的学生有x人，根据题意列方程 并化为一般形式： 、 三、解答题（每题9分，共72分） 17.解下列方程： x2-2x+1=0 (1) 2(x-2)=x-2 18.已知关于x的方程(m-)r+m-3)x+7=0 (1)当m=-5时，写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 (2)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ 19,已知a是方程：-2026x+1=0的一个根，试求-2025a 2+1 2026的值. mx2+2(m+1)x+m-1=0 20.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围： (②)若该方程的两个实数根分别为、。，且+号=- ,且 ,求m的值。 21.松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现 在已成为网红打卡地.据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次， 第三天客流量达到2.5万人次 (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率： (2)若保持(1)中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 22.2026年3月举行的世界超级摩托车锦标赛(WSBK)葡萄牙站SSP组别比赛中，中国 品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮.某代理商顺势购入一批该品牌机 车，具体进货信息见下表： 试卷第3页，共3页 总费 型号 单价 数量 用 60万 500RR 500RR型机车数量是820RR型 元 每台5O0RR型机车的进货价比82ORR型 的2倍 43万 低1.3万元 820RR 元 (1)两种机车的进货价分别是多少？ (2)市场热度远超预期，首批机车迅速售罄.该代理商再次花费200万元，购进了若干辆上 述两种型号的张雪机车.你能确定500RR型机车购进多少台吗？说明理由. x-1)(x-2)=m2 23.已知关于x的方程 (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根： 2)若5古】 是方程的两根， ⑦当 时，求m的值： ②直接写出代数式：-11- 的最小值 24.某福州文创网店售卖2026闽超联赛吉祥物福小龙纪念手办.进价为30元/个，规定单 个销售利润不低于10元，且不高于30元，日销售量y(单位：个)与销售单价x(单位： 元)之间满足一次函数的关系. 销售期间获得部分数据如下表： 销售单价x/元 40 41 42 43 44 45 48 日销售量/个 500 490 470 460 450 0 (1I)请求出y与x的函数关系式及x的取值范围： (2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8000元？ 试卷第4页，共3页