28.1 锐角三角函数（题型专练）数学人教版九年级下册

28.1 锐角三角函数 题型一 求角的正弦值 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，则 ． 2．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，的值为 ． 3．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，，，则 ． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在中，，是斜边上的中线，，，则 ． 题型二 已知正弦值求边长 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 3．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 题型三 求角的余弦值 1．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在中，，，，则 ． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，则的值是 ． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则 ． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，，于点，则的值为 ． 题型四 已知余弦值求边长 1．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，的余弦值是，，那么的长为 ． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 3．（25-26九年级上·上海·期中）已知等腰中，，，则 ； 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 题型五 求角的正切值 1．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，若，则 ． 题型六 已知正切值求边长 1．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，是边上的高，那么的长是 ． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，点，，，在上，若，，，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）在中，，若，，则 ． 题型七 特殊角三角函数值的混合运算 1．（25-26九年级上·山东济宁·期中）（1）计算： （2）计算： 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型一 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如果中，，那么是 三角形． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 3．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 4．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 题型二 根据特殊角三角函数值求角的度数 1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）在中，，，则的度数是 ． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则 °． 4．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，已知．则 ． 题型三 利用同角三角函数关系求值 1．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 2．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C匀速运动（P不与A、C重合），连结，过点C作射线于点Q．设点P的运动时间为t． (1) ______（用含t的代数式表示）； (2)当点Q在内部时，求t的取值范围； (3)连结，则的最小值为______； (4)当时，直接写出t的值． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 4．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在的边上取点O，以为半径作与边切于点C，交于点B．请用无刻度直尺和圆规在直线的上方作点E，使得，射线与射线交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） (1)完成作图，并判定是否为的切线，说明理由； (2)若，求的长． 题型四 三角函数综合应用 1．（2025·西藏日喀则·一模）如图，内接于，，过点作，交的直径的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 2．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，在中，，为上的一点，以为直径作交于点，上的点为弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 3．（2024·云南·模拟预测）如图，上有A，B，C三点，是直径，点D是的中点，连接交于点E，点F在的延长线上，且． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，设，求k的值． 4．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知四边形内接于，连接． (1)如图，线段绕点顺时针旋转得到线段，当，求证：直线与相切； (2)如图，点为上一点，于点，的半径为， ①求；②若，过点作，垂足为，交于点，连接，补全图形，探究和之间的数量关系，并说明理由． 2．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，，点在的延长线上，且，过点作交于点． (1)求证：； (2)如果，求的值． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如果定义等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对，如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解决下列问题： (1)______． (2)若，则的正对值的取值范围是____． (3)如图②，已知中，，，求的值． 4．（24-25九年级下·山东青岛·开学考试）如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，同时动直线从开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交于D、E两点．当点P运动到点A时，直线也停止运动． (1)当点P在上运动时， ①求的值； ②把绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点落在上时，的对应线段恰好与垂直，求此时t的值． (2)当点P关于直线的对称点为F时，四边形能否成为菱形？若能，请求出t的值，若不能．请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 锐角三角函数 题型一 求角的正弦值 1．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键． 直接利用锐角三角函数关系得出的值． 【详解】解：如图， 在中，， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）如图，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求角的正弦值，勾股定理，利用网格求三角形面积．先用勾股定理求出和，作于点D，利用网格求，进而求出，最后根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：由勾股定理得： ，， 如图，作于点D，则， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2025九年级上·上海·专题练习）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义．根据勾股定理求出斜边的长，再根据三角函数的定义求解． 【详解】解：由勾股定理知，． ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建漳州·期末）在中，，是斜边上的中线，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、求正弦值等知识点，掌握正弦的定义成为解题的关键． 如图：根据直角三角形的性质可得，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：∵在中，，是斜边上的中线，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二 已知正弦值求边长 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了利用正弦函数求线段长，掌握正弦的定义是解题的关键． 根据三角函数正弦函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故答案为5． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，，，，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了正弦的定义，根据正弦的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：12 3．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正弦三角函数的定义，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它所对的直角边与斜边的比，利用定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 6． 4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三 求角的余弦值 1．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在中，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理及余弦的定义，关键是求出直角三角形中的邻边的值． 先利用勾股定理求出的值，然后利用余弦的定义进行计算． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）中，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理、余弦值的求解．根据勾股定理求出斜边，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， 故答案为：． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格中利用勾股定理求线段长度，结合直角三角形的余弦定义计算角度的余弦值． 根据网格的特征，连接构造，利用勾股定理计算线段和的长度，再通过中，求得的值即可． 【详解】解：连接，由题可知，此时， 在网格中，由勾股定理可得：，， ∴在中，． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，，，于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数． 首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值． 【详解】解：在中， ，，， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 题型四 已知余弦值求边长 1．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，的余弦值是，，那么的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查余弦定义，熟知在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比是解答的关键．根据余弦的定义得到，代入已知值求解即可． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：16． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 3．（25-26九年级上·上海·期中）已知等腰中，，，则 ； 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数，过点作于点，根据锐角三角函数和等腰三角形的性质得，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ，， ∴， 故答案为：6． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 求角的正切值 1．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中锐角的正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 根据题意构造直角三角形如图所示，点D在格点上，从而可以求出的值． 【详解】解：构造直角三角形如图所示，点D在格点上， 由图可得， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理求出的三边的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点和勾股定理可得， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，，，则的正切值的倒数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义． 直接根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴的正切值的倒数为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求正切，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，根据等腰三角形的性质，可得，再由，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 题型六 已知正切值求边长 1．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，，，是边上的高，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切的含义是解题关键．根据题意设，，由勾股定理得，从而求出，，再利用三角形面积公式，通过面积相等列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，， 设，， 由勾股定理得， ， ， ，， ， ， 故答案为：．    2．（2024·广东·模拟预测）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数；能熟练，勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．结合矩形的性质和折叠的性质，由正切函数得，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，， 四边形为矩形， ，，， ， ， 由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， 在中，（）； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，点，，，在上，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，连接，由圆周角定理可得，即得，即得到，代入已知计算即可求解，掌握圆周角定理和锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）在中，，若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义，得出，根据，计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 题型七 特殊角三角函数值的混合运算 1．（25-26九年级上·山东济宁·期中）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）0；（2）3 【分析】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数，实数的运算．解决问题的关键是熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，实数混合运算的顺序，二次根式的性质． 【详解】（1）解： ；       （2）解： . 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解： （2）解： ． 3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键． （1）代入特殊角的三角函数值，计算即可； （2）代入特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 4．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键：． （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可． （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型一 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 1．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）如果中，，那么是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据三角函数值确定角A和角B的度数，结合三角形内角和定理以及等腰三角形的判定定理确定三角形形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，满足：，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 3．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 4．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 题型二 根据特殊角三角函数值求角的度数 1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）在中，，，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查特殊角的三角函数、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．先利用特殊角的三角函数值求得、的度数，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 【答案】． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 据题目所给的等式求出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键在于熟记特殊角的正切值．根据已知正切值直接确定对应的角度． 【详解】解：， ． 故答案为：． 4．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，已知．则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查的是已知锐角的正弦求解锐角的大小，先求解，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 利用同角三角函数关系求值 1．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C匀速运动（P不与A、C重合），连结，过点C作射线于点Q．设点P的运动时间为t． (1) ______（用含t的代数式表示）； (2)当点Q在内部时，求t的取值范围； (3)连结，则的最小值为______； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由题意可得出答案； （2）当点Q在上时，与点P重合，此时，求出，则可得出答案； （3）取的中点O，连接交半圆于点Q，此时最小，由勾股定理可得出答案； （4）分两种情况，当点Q在三角形内部时，当点Q在三角形外部时，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C匀速运动（P不与A、C重合）， ∴， 故答案为：； （2）当点Q在上时，与点P重合，此时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点Q在内部时，t的取值范围是； （3）∵， ∴点Q在以为直径的半圆上运动， 取的中点O，连接交半圆于点Q，此时最小， ∵， ∴． ∴的最小值为； 故答案为：； （4）当点Q在三角形内部时， 过点A作于点D， 则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在三角形外部时， 过点A作于点N，同理可得， ∴． 综上所述，t的值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、以及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握以上知识． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 4．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在的边上取点O，以为半径作与边切于点C，交于点B．请用无刻度直尺和圆规在直线的上方作点E，使得，射线与射线交于点E．（不写作法，保留作图痕迹） (1)完成作图，并判定是否为的切线，说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)图见解析，是的切线，理由见解析 (2)6 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法，作即可；根据为直径，得出，即，根据，得出， 即，即可证明结论． （2）连接．根据勾股定理求出，根据，得出，求出． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求． 为的切线．理由： 为直径， ， 即， 又， ， 即． 是的半径， 为的切线． （2）解：如图，连接． ， ， ， 即， 解得：，负值舍去． 在与中，， ， 解得． 答：的长为6． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形的相关计算，尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型四 三角函数综合应用 1．（2025·西藏日喀则·一模）如图，内接于，，过点作，交的直径的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，利用线段的垂直平分线性质，结合切线的判定定理证明即可； （2）连接，根据圆周角定理，得，求得圆的半径，再利用勾股定理两次表示，求得的长，利用三角形中位线定理求的长即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接， ，， 故直线垂直平分线段， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， 由（1）得，， 设， ，， 解得，即， ． 【点睛】本题考查了切线判定，圆周角定理，线段的垂直平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，正切函数的应用，熟练掌握判定和函数的应用是解题的关键． 2．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，在中，，为上的一点，以为直径作交于点，上的点为弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由点为弧的中点，可得，推出，进 而 得 到，推出，可得，即 可 证 明 ； （2）连接，得到，由可得，再 根 据 勾 股 定 理 求 出 ，得 到 ，证明，得 到 ，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点为弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：（不合题意，舍去），， ． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关的知识． 3．（2024·云南·模拟预测）如图，上有A，B，C三点，是直径，点D是的中点，连接交于点E，点F在的延长线上，且． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，设，求k的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理得到，进而推出，根据题意得到，利用同弧所对的圆周角相等得到，即可解题； （2）利用等腰三角形性质得到，根据，，推出，即可证明是的切线； （3）连接，根据题意得到，设，则，利用勾股定理得到，进而得到，，，，，证明，利用相似三角形性质求出，即可解题． 【详解】（1）解：是直径， ， ， ， 点D是的中点， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 是直径，且， 是的切线； （3）解：连接， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形性质，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 4．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知四边形内接于，连接． (1)如图，线段绕点顺时针旋转得到线段，当，求证：直线与相切； (2)如图，点为上一点，于点，的半径为， ①求；②若，过点作，垂足为，交于点，连接，补全图形，探究和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②；理由见解析. 【分析】（1）由可得为直径，由得，即可证明与相切； （2）①证明，从而有，从而可得的长等于半圆的周长，根据弧长公式即可求得答案； ②连接交于，连接，证明四边形是平行四边形，得到，结合有来求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴为直径，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：①连接，，，，如下图， ∵， ∴为直径， ∴在一条直线上. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②. 理由如下： 连接交于，连接， ∵， ∴. ∵， ∴ ∴. ∵, ∴四边形是平行四边形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了切线的判定，弧长公式，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数等知识，本题的关键是通过角度的转换找到等量关系，从而证明结论. 2．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，，点在的延长线上，且，过点作交于点． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法与性质，熟知锐角三角函数的定义． （1）由可得，从而得到，再根据即可求证； （2）由可得，设，，由可得，由勾股定理可得，得到，由（1）可得，即，再求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在中，，， 则， 设，， ∵， ∴， 由勾股定理可得， 则， 由（1）可得，即， 由题意可得， ∴， 则． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）如果定义等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对，如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解决下列问题： (1)______． (2)若，则的正对值的取值范围是____． (3)如图②，已知中，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． （1）由正对的定义即可求解； （2）由正对的定义即可求解； （3）中，，，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，表示出的长，再计算出，最后由正对的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ， ∵， ∴. （2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的； 当点A远离时，减小，逐渐接近，由（1）知，； ∴ （3）解：如图： 在中，，，则， ∴，， 在上取点，使，连接，作，为垂足， ∴，， ， ∴， ． 4．（24-25九年级下·山东青岛·开学考试）如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿方向绕行一周，同时动直线从开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交于D、E两点．当点P运动到点A时，直线也停止运动． (1)当点P在上运动时， ①求的值； ②把绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点落在上时，的对应线段恰好与垂直，求此时t的值． (2)当点P关于直线的对称点为F时，四边形能否成为菱形？若能，请求出t的值，若不能．请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)能，当t为或时，四边形为菱形． 【分析】①当点P在上运动时，设运动时间为，则有，由平行线的性质得，过点D作于点G，则四边形是矩形，得，再由锐角三角函数定义求出，即可求解； ②证出，再证，得，即可求解； 当也垂直平分时，四边形为菱形．证，得，求出，解答即可． 本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、锐角三角函数定义、勾股定理、分类讨论等知识；熟练掌握菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①当点P在上运动时，设运动时间为，则有， 直线， ， 如图1，过点D作于点G，则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即； ②， ， ， ， 直线， 直线， ， 由旋转的性质，得：， ， ， 又， ， ， 即， 解得：； （2）解：四边形能成为菱形，理由如下： 点F是点P关于直线的对称点， 垂直平分， 当也垂直平分时，四边形为菱形． 直线， ， ， 即， ， ①当点P在上时，连接，如图2所示： 若垂直平分，则有， ， 解得： ②当点P在上时，P、F、E三点都在轴上，构不成四边形； ③当点P在上时， 若点P在直线的右侧，连接，如图3所示： 类比①可得：， 解得：， 若点P在直线的左侧，P、E、F、D四点构不成凸四边形； 综上所述，当t为或时，四边形为菱形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $