22.6 相似三角形的应用（分层作业练题型）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础应用到综合拓展，覆盖相似三角形8类实际问题，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|求高、影长、河宽等单一应用|题型分类明确，结合《周髀算经》等古文情境，培养数学眼光观察现实世界| |B组能力进阶|复杂影子、杠杆多情境综合|含解答题，需多步推理，发展运算能力与推理意识| |C组思维拔高|跨学科（光学、动态问题）探究|设计开放性问题，如路灯影子台阶模型，提升创新意识| |拓展链接中考|中考真题演练|匹配中考命题趋势，强化模型观念与应用意识|

分层作业 22.6 相似三角形的应用 参考答案 ( 题型0 1 )利用三角形相似求建筑物高问题 1．C 【分析】先证明，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴（米）． 2． 【分析】根据题意可得，，从而证得，进而得到，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知 ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 3．渭华起义纪念塔的高度为19.2米 【分析】设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米．先证，从而得到，即；再证，从而得到，即，将代入消元，即可解得x的值，从而求得渭华起义纪念塔的高度． 【详解】解：设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米． ∵，， ∴， 由光的反射定律可得：， ∴， ∴， 即， 化简得：． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 得：， 解得：， 答：渭华起义纪念塔的高度为19.2米． ( 题型0 2 )利用三角形相似求影长问题 4．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质的应用， 根据同一时刻物体高度与影长成比例建立方程即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：B． 5．24 【分析】本题考查平行投影以及相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 由，，得∽，知，故尺，即第二时刻的影长为24尺． 【详解】解：，， ， ， ， 根据题意得：尺，尺， （尺）， 第二时刻的影长为24尺. 故答案为： 6．(1) (2)旗杆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据此时测得高的杆在地上的影长为，并结合小明的身高计算即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵此时测得高的杆在地上的影长为． ∴小明的影长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴，即， ∴米， 即旗杆的高度为米． ( 题型0 3 )利用三角形相似求河宽问题 7．C 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，由相似三角形的对应边成比例求得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米． 故选：C． 8． 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 9．河宽的长是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由，，得，进而得出，所以，构建方程即可解决问题． 【详解】解： ，， ， ， ， 即， （米）． 答：河宽的长是米． ( 题型0 4 )利用三角形相似求树高问题 10．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 树的高度为． 故选D． 11． 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 12．河的宽度为20米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 过点P作l的垂线，与的延长线交于点F，与的延长线交于点E，证明，，得出对应边成比例，然后进行求解即可． 【详解】解：过点P作l的垂线，与的延长线交于点F，与的延长线交于点E， ∵南岸与北岸相互平行， ∴，， ∴，， ∴， 由题意得米，米，米， ∴， 解得， ∴河的宽度为20米． ( 题型0 5 )利用三角形相似求杠杆问题 13．B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 14． 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴至少要将杠杆的点向下压， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键． 15．支点P到地面的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 证明，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据题意得，， ， ， ， ， 解得． 答：支点P到地面的距离为． ( 题型0 6 )利用三角形相似求镜面问题 16．D 【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【详解】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 17． 【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，   ， ， ， 又， ， ， 米，米，米 ， 米． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 18．(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米． （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米． ( 题型0 7 )利用三角形相似求古文问题 19．C 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ， 可知， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 20．45 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列方程求解即可． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺，根据题意得： ,即，解得． 故答案为45． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答本题的关键． 21．(1) (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和在“同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决，掌握相似三角形的判定和性质定理是解答本题的关键． （1）利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列方程即可解答； （2）设古塔的高度为米，影长为米，先利用“同一时刻物高与影长的比相等”列方程得，即，所以，再证明得到，即，然后解方程组求出即可． 【详解】（1）解：根据题意知在“同一时刻物高与影长的比相等”， ， 故答案为：； （2）解：设古塔的高度为米，影长为米， 根据题意得：，即， ， ，， ， ， ，即， ， 解得：， 经检验，为原方程的解， 古塔的高度为米． ( 题型0 8 )利用三角形相似求现实生活相关问题 22．A 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由，可得出，进而得出，解出即可得出结论．熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， 即 解得． 故选：A． 23．30 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：30． 24．(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 一、单选题 1． 【答案】B 【分析】根据小孔成像的规律，像的高度与物高之比等于像距与物距之比. 【详解】解：在小孔成像中，物距（u）为10cm，像距（v）为15cm，像的高度（h'）为6cm.根据比例关系: 代入已知数据： 因此，蜡烛火焰的高度为4cm，对应选项B. 2． 【答案】D 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 3． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 根据，结合，证明，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选B． 4． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ，， ， ， 由题意得∽， ，即， ， ， 故选：． 5． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，通过已知的边长比例关系求解未知距离，熟练运用相关知识点是正确解答此题的关键． 由正方形中，，证明，得，即，求出进而得解． 【详解】解：， ， 正方形中，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：C． 二、填空题 6． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，首先根据证明，根据相似三角形对应边成比例可得，根据可求的长度． 【详解】∵， ∴， 又 又 故答案为：9． 7． 【答案】24 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．核心是利用相似三角形对应边成比例的性质，将实际问题中的长度测量转化为数学中的比例计算． 根据题意证明，再通过对应边成比例来计算建筑物的高度即可． 【详解】∵，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24． 8． 【答案】 【分析】设该城堡的边长为x步，判定，推出，得到，求出，即可得到答案． 本题考查相似三角形的应用，关键是判定，推出． 【详解】解：设该城堡的边长为x步，则步， 由题意得：步，步， ， ， ， ∴， ∴ ∴ 舍去负值， 该城堡的边长为步． 故答案为： 9． 【答案】 【分析】本题考查视点、视角和盲区以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．如图，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质以及，设辅助未知数可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， 故答案为：． 10． 【答案】7.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 三、解答题 11． 【答案】两岸之间的大致距离是 150 米 【分析】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 先证明，然后利用相似比计算的长． 【详解】解：， ∴， ， ， 即， 米， 答：两岸之间的大致距离是 150 米． 12． 【答案】(1)见解析 (2)小红的连衣裙会碰到地面，说明见解析 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 13． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 14． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过相似三角形的性质求相应未知量是解题的关键． （1）过点作于点，则，根据等腰三角形的性质得，进而根据勾股定理求出，，根据相似三角形的性质求出即可； （2）由（1）知，每相邻两层之间的高度为，可得的最大值为5． 【详解】（1）解：过点作于点，则， ，， ， 在中，根据勾股定理得， ， 每相邻两层之间的高度为， ， ， ， ， 即， 解得， 即第一层货架与第二层之间的隔板的长度为； （2）解：设第层时，隔板的长度为，则， 解得， 第层仍能设计出长方形隔间， ， 即， 解得， 为整数， 最大值为， 故答案为：． 15． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 16． 【答案】12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，求出（米），（米）， （米），进而求出（米），再证明得到，据此求出（米），进而可得到（米）；若选择方案二：如图，过点作，垂足为，交于点，则，证明，得到，即，可得（米）． 【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，（米），（米）， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为12米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得：（厘米）（米），（厘米）（米），（米）， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为12米． 17． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （）设米，得米，由得，即得，由得，即得，进而即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∴ 设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 1．D 【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则， ∴， ∴， ， 由题意地面知， ，即， ． 2．D 【分析】利用相似三角形的性质即可求解，注意，正确找出对应边． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴，即， 解得：． 3．A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 4．C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 5．C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．6 【分析】如图，先证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图： 由题意知：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴树的高度． 7．3 【分析】由可判定，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 解得． 8． 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得到，进而证明，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 即塔的高度为． 9． 【分析】设尺，可得尺，尺，再由和可得，即得，得到，最后代入解答即可求解． 【详解】解：由题意可得，尺，， 设尺， ∵尺，尺， ∴尺，尺， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 10． 【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得，即，，根据线段成比例关系得出方程，求解即可． 【详解】解：对图中各点进行标注，如下图所示： ∵甲、乙两人和木杆依次直立， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 11． 【分析】延长，交的延长线于点，延长交于点，则四边形、、都是矩形，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ． 如图，延长，交的延长线于点，延长交于点，则四边形、、都是矩形， ，，． ，，． ，， ． ， 即， ∴， ． 12．(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 13．(1)能，灯杆的高度为 (2)存在， 【分析】（1）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：存在，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 15．(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 1．B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 2． 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 3．10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 4．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 22.6 相似三角形的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用三角形相似求建筑物高问题 题型02 利用三角形相似求影长问题 题型03 利用三角形相似求河宽问题 题型04 利用三角形相似求树高问题 题型05 利用三角形相似求杠杆问题 题型06 利用三角形相似求镜面问题 题型07 利用三角形相似求古文问题 题型08 利用三角形相似求现实生活相关问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用三角形相似求建筑物高问题 1．（2026·贵州遵义·一模）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴（米）． 2．（2026·江西宜春·二模）大雁塔是西安的标志性古建筑，世界文化遗产．小明学习了《周髀算经》中的“偃矩以望高”，想用直角曲尺测量大雁塔高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，交于点．测得，，，则大雁塔的高度为__________． 【答案】 【分析】根据题意可得，，从而证得，进而得到，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知 ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）渭华起义纪念馆是融合红色旅游、思政教育与红色文化的研学阵地，获评国保单位、全国爱国主义教育及中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，小王和小李两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，小王在点E处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点C处时，眼睛位于点D处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶A的像，小王拿来一根标杆立于点C处，小李发现地面上的点G、标杆顶端F和塔的顶端A恰好在一条直线上，已知点B、E、C、G在一条水平直线上，点C、D、F在一条直线上，，，经测量，米，米，小王的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助小王和小李计算渭华起义纪念塔的高度． 【答案】渭华起义纪念塔的高度为19.2米 【分析】设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米．先证，从而得到，即；再证，从而得到，即，将代入消元，即可解得x的值，从而求得渭华起义纪念塔的高度． 【详解】解：设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米． ∵，， ∴， 由光的反射定律可得：， ∴， ∴， 即， 化简得：． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 得：， 解得：， 答：渭华起义纪念塔的高度为19.2米． ( 题型0 2 )利用三角形相似求影长问题 4．（24-25九年级下·河南南阳·期中）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸．问竿的长度是多少？（1丈尺，1尺寸）设竿的长度为尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质的应用， 根据同一时刻物体高度与影长成比例建立方程即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：B． 5．（25-26九年级上·福建泉州·期中）土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为______尺． 【答案】24 【分析】本题考查平行投影以及相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 由，，得∽，知，故尺，即第二时刻的影长为24尺． 【详解】解：，， ， ， ， 根据题意得：尺，尺， （尺）， 第二时刻的影长为24尺. 故答案为： 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：    (1)小明的影长 (2)旗杆的高度． 【答案】(1) (2)旗杆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据此时测得高的杆在地上的影长为，并结合小明的身高计算即可得解； （2）证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵此时测得高的杆在地上的影长为． ∴小明的影长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴，即， ∴米， 即旗杆的高度为米． ( 题型0 3 )利用三角形相似求河宽问题 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（　　）米． A．24 B．30 C．32 D．40 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，由相似三角形的对应边成比例求得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米． 故选：C． 8．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 9．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）某数学兴趣小组的同学想用所学的知识测量一小河某一处的河宽，测量时，他们选择河对岸边的一棵树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点、、在同一条直线上，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽． 【答案】河宽的长是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由，，得，进而得出，所以，构建方程即可解决问题． 【详解】解： ，， ， ， ， 即， （米）． 答：河宽的长是米． ( 题型0 4 )利用三角形相似求树高问题 10．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 树的高度为． 故选D． 11．（25-26八年级下·山东威海·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 12．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，河的南北两岸有一段为平行直线，北岸每隔4米有一棵树，为了测量河的宽度，在南岸l上取一点P，从南岸一侧离l垂直距离为10米的点A处朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树C，沿与l平行的直线前进4米至点B，再次朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树D，树C与树D之间还有1棵树，求河的宽度． 【答案】河的宽度为20米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 过点P作l的垂线，与的延长线交于点F，与的延长线交于点E，证明，，得出对应边成比例，然后进行求解即可． 【详解】解：过点P作l的垂线，与的延长线交于点F，与的延长线交于点E， ∵南岸与北岸相互平行， ∴，， ∴，， ∴， 由题意得米，米，米， ∴， 解得， ∴河的宽度为20米． ( 题型0 5 )利用三角形相似求杠杆问题 13．（25-26九年级上·山西临汾·期中）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理—通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如题图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如题图②所示，的距离为，动力臂，阻力臂，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 14．（2023·吉林白城·三模）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压______．    【答案】 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴至少要将杠杆的点向下压， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键． 15．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为90，求支点到地面的距离． ． 【答案】支点P到地面的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 证明，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据题意得，， ， ， ， ， 解得． 答：支点P到地面的距离为． ( 题型0 6 )利用三角形相似求镜面问题 16．（24-25九年级下·福建漳州·期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【详解】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 17．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为______米．    【答案】 【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，   ， ， ， 又， ， ， 米，米，米 ， 米． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 18．（2026·广东汕头·三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米． （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米． ( 题型0 7 )利用三角形相似求古文问题 19．（2026·河南平顶山·二模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（    ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．13尺 【答案】C 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ， 可知， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 20．（22-23九年级上·江西上饶·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中一题大意为：如图，有一根直立的竹竿AB，量出它在太阳下的影长尺，同时立一根长尺的小标杆，它的影长尺，则竹竿的长为______尺．    【答案】45 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列方程求解即可． 【详解】解：设竹竿的长度为x尺，根据题意得： ,即，解得． 故答案为45． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答本题的关键． 21．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）数学思考 (1)我国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意如下：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳底下的影长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：丈尺，尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长尺．则可列方程： _________． 解决问题 (2)数学兴趣小组的同学对某古塔进行了测量，测量方法如下：如图，甲同学在古塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长米，然后，乙同学在的延长线上找出一点，使得，，三点在同一直线上，并测得米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒米，，，根据以上测量数据，求古塔的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和在“同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决，掌握相似三角形的判定和性质定理是解答本题的关键． （1）利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列方程即可解答； （2）设古塔的高度为米，影长为米，先利用“同一时刻物高与影长的比相等”列方程得，即，所以，再证明得到，即，然后解方程组求出即可． 【详解】（1）解：根据题意知在“同一时刻物高与影长的比相等”， ， 故答案为：； （2）解：设古塔的高度为米，影长为米， 根据题意得：，即， ， ，， ， ， ，即， ， 解得：， 经检验，为原方程的解， 古塔的高度为米． ( 题型0 8 )利用三角形相似求现实生活相关问题 22．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图①，是一款不锈钢晾衣架实物图，图②是其侧面示意图，已知与相交于点，，根据图②中的数据可得的值为（    ） A．0.9 B．1 C．1.1 D．1.2 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由，可得出，进而得出，解出即可得出结论．熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， 即 解得． 故选：A． 23．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为__________． 【答案】30 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：30． 24．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 一、单选题 1．在小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据小孔成像的规律，像的高度与物高之比等于像距与物距之比. 【详解】解：在小孔成像中，物距（u）为10cm，像距（v）为15cm，像的高度（h'）为6cm.根据比例关系: 代入已知数据： 因此，蜡烛火焰的高度为4cm，对应选项B. 2．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 3．如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测量棕色细口瓶的内径，亮亮找来一个交叉卡钳（），放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度．若，且测量得，则细口瓶的内径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 根据，结合，证明，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵相交于点O， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选B． 4．如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ，， ， ， 由题意得∽， ，即， ， ， 故选：． 5．四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代．如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1 米的正方形的一个顶点处安装一根方向杆．若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物 E，在四分仪上读出的长度为20厘米，已知点 B，C，E在同一条直线上，则目标物 E 与点 B 之间的距离为（    ） A．1米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，通过已知的边长比例关系求解未知距离，熟练运用相关知识点是正确解答此题的关键． 由正方形中，，证明，得，即，求出进而得解． 【详解】解：， ， 正方形中，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：C． 二、填空题 6．小明用两根小木棍自制成一个如图所示的“X形”测量工具，与交于点O，，，．现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，首先根据证明，根据相似三角形对应边成比例可得，根据可求的长度． 【详解】∵， ∴， 又 又 故答案为：9． 7．如图，某人与一座建筑物的距离，他站在A处，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，若此时眼睛到食指的距离约为，食指的长约，则该建筑物的高度约是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用．核心是利用相似三角形对应边成比例的性质，将实际问题中的长度测量转化为数学中的比例计算． 根据题意证明，再通过对应边成比例来计算建筑物的高度即可． 【详解】∵，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24． 8．小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 步． 【答案】 【分析】设该城堡的边长为x步，判定，推出，得到，求出，即可得到答案． 本题考查相似三角形的应用，关键是判定，推出． 【详解】解：设该城堡的边长为x步，则步， 由题意得：步，步， ， ， ， ∴， ∴ ∴ 舍去负值， 该城堡的边长为步． 故答案为： 9．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查视点、视角和盲区以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．如图，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质以及，设辅助未知数可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， 故答案为：． 10．一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 【答案】7.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 三、解答题 11．如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点为A，再在河的这一边选点B和C，使，然而再选点E，使，确定与的交点为D，测得，，，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 【答案】两岸之间的大致距离是 150 米 【分析】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 先证明，然后利用相似比计算的长． 【详解】解：， ∴， ， ， 即， 米， 答：两岸之间的大致距离是 150 米． 12．小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2)小红的连衣裙会碰到地面，说明见解析 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 13．汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 14．一多层等腰三角形货架的截面图如图所示，，，每相邻两层之间的高度为，且每层货架中间部分被设计出截面为正方形的小长方体隔间． (1)求第一层货架与第二层之间的隔板的长度； (2)若第层仍能设计出长方体隔间，则的最大值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过相似三角形的性质求相应未知量是解题的关键． （1）过点作于点，则，根据等腰三角形的性质得，进而根据勾股定理求出，，根据相似三角形的性质求出即可； （2）由（1）知，每相邻两层之间的高度为，可得的最大值为5． 【详解】（1）解：过点作于点，则， ，， ， 在中，根据勾股定理得， ， 每相邻两层之间的高度为， ， ， ， ， 即， 解得， 即第一层货架与第二层之间的隔板的长度为； （2）解：设第层时，隔板的长度为，则， 解得， 第层仍能设计出长方形隔间， ， 即， 解得， 为整数， 最大值为， 故答案为：． 15．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 16．如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，求出（米），（米）， （米），进而求出（米），再证明得到，据此求出（米），进而可得到（米）；若选择方案二：如图，过点作，垂足为，交于点，则，证明，得到，即，可得（米）． 【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，（米），（米）， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为12米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得：（厘米）（米），（厘米）（米），（米）， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为12米． 17．综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为2米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤2：小明从点出发沿着方向前进9米，到达点： 步骤3：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为1.5米，米． 【问题解决】已知点与旗杆的底端在同一直线上，， ，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （）设米，得米，由得，即得，由得，即得，进而即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∴ 设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 一、单选题 1．（2026·广东深圳·三模）如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则， ∴， ∴， ， 由题意地面知， ，即， ． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】利用相似三角形的性质即可求解，注意，正确找出对应边． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴，即， 解得：． 3．（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 由题意得为的边上高，则为的边上高，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 5．（25-26八年级下·山东淄博·期末）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 【答案】6 【分析】如图，先证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图： 由题意知：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴树的高度． 7．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，，与相交于点．测得，则树高为______m． 【答案】3 【分析】由可判定，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， 解得． 8．（2026·吉林辽源·一模）广胜寺坐落在山西省临汾市洪洞县，其上寺的十三层宝塔名曰飞虹塔，是我国现存历史最久远、建筑最高大的七彩琉璃塔，某项目学习小组的同学要测量飞虹塔的高度，如图，塔的顶端为点，为塔高（），在地面上一点处竖直放一根标杆，，，测得该塔底部点到点的距离为，在的延长线上找一点，使三点在同一直线上，三点在同一水平线上，测得，由测量数据求出塔的高度为_____． 【答案】 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得到，进而证明，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 即塔的高度为． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 【答案】 【分析】设尺，可得尺，尺，再由和可得，即得，得到，最后代入解答即可求解． 【详解】解：由题意可得，尺，， 设尺， ∵尺，尺， ∴尺，尺， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 10．（2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚．已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为和，则木杆高为__________． 【答案】 【分析】对各点进行标注，由甲、乙两人和木杆依次直立，得，即，，根据线段成比例关系得出方程，求解即可． 【详解】解：对图中各点进行标注，如下图所示： ∵甲、乙两人和木杆依次直立， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 三、解答题 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）学习了相似和投影后，茗茗晚上利用灯光下的影子测量路灯到地面的距离．如图，在该路灯灯光下，小树的影子一部分落在台阶上的处，一部分落在台阶下的处，用皮尺测得，，，．已知，，，点、、在一条水平线上，，图中所有点均在同一平面内，求路灯到地面的距离． 【答案】 【分析】延长，交的延长线于点，延长交于点，则四边形、、都是矩形，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ． 如图，延长，交的延长线于点，延长交于点，则四边形、、都是矩形， ，，． ，，． ，， ． ， 即， ∴， ． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)能，灯杆的高度为 (2)存在， 【分析】（1）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：存在，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 15．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 1．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 4．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 22.6 相似三角形的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用三角形相似求建筑物高问题 题型02 利用三角形相似求影长问题 题型03 利用三角形相似求河宽问题 题型04 利用三角形相似求树高问题 题型05 利用三角形相似求杠杆问题 题型06 利用三角形相似求镜面问题 题型07 利用三角形相似求古文问题 题型08 利用三角形相似求现实生活相关问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用三角形相似求建筑物高问题 1．（2026·贵州遵义·一模）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西宜春·二模）大雁塔是西安的标志性古建筑，世界文化遗产．小明学习了《周髀算经》中的“偃矩以望高”，想用直角曲尺测量大雁塔高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，交于点．测得，，，则大雁塔的高度为__________． 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）渭华起义纪念馆是融合红色旅游、思政教育与红色文化的研学阵地，获评国保单位、全国爱国主义教育及中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，小王和小李两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，小王在点E处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点C处时，眼睛位于点D处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶A的像，小王拿来一根标杆立于点C处，小李发现地面上的点G、标杆顶端F和塔的顶端A恰好在一条直线上，已知点B、E、C、G在一条水平直线上，点C、D、F在一条直线上，，，经测量，米，米，小王的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助小王和小李计算渭华起义纪念塔的高度． ( 题型0 2 )利用三角形相似求影长问题 4．（24-25九年级下·河南南阳·期中）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸．问竿的长度是多少？（1丈尺，1尺寸）设竿的长度为尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·福建泉州·期中）土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为______尺． 6．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高，影长为．若小明距旗杆底部的距离，且此时测得高的杆在地上的影长为．求：    (1)小明的影长 (2)旗杆的高度． ( 题型0 3 )利用三角形相似求河宽问题 7．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（　　）米． A．24 B．30 C．32 D．40 8．（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 9．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）某数学兴趣小组的同学想用所学的知识测量一小河某一处的河宽，测量时，他们选择河对岸边的一棵树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点、、在同一条直线上，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽． ( 题型0 4 )利用三角形相似求树高问题 10．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·山东威海·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 12．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，河的南北两岸有一段为平行直线，北岸每隔4米有一棵树，为了测量河的宽度，在南岸l上取一点P，从南岸一侧离l垂直距离为10米的点A处朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树C，沿与l平行的直线前进4米至点B，再次朝P点看去，视线延长后恰好看到北岸的树D，树C与树D之间还有1棵树，求河的宽度． ( 题型0 5 )利用三角形相似求杠杆问题 13．（25-26九年级上·山西临汾·期中）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理—通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如题图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如题图②所示，的距离为，动力臂，阻力臂，则的长度为（    ） A． B． C． D． 14．（2023·吉林白城·三模）如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压______．    15．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为90，求支点到地面的距离． ． ( 题型0 6 )利用三角形相似求镜面问题 16．（24-25九年级下·福建漳州·期中）在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为______米．    18．（2026·广东汕头·三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． ( 题型0 7 )利用三角形相似求古文问题 19．（2026·河南平顶山·二模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（    ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．13尺 20．（22-23九年级上·江西上饶·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中一题大意为：如图，有一根直立的竹竿AB，量出它在太阳下的影长尺，同时立一根长尺的小标杆，它的影长尺，则竹竿的长为______尺．    21．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）数学思考 (1)我国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意如下：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳底下的影长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：丈尺，尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长尺．则可列方程： _________． 解决问题 (2)数学兴趣小组的同学对某古塔进行了测量，测量方法如下：如图，甲同学在古塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长米，然后，乙同学在的延长线上找出一点，使得，，三点在同一直线上，并测得米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒米，，，根据以上测量数据，求古塔的高度． ( 题型0 8 )利用三角形相似求现实生活相关问题 22．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图①，是一款不锈钢晾衣架实物图，图②是其侧面示意图，已知与相交于点，，根据图②中的数据可得的值为（    ） A．0.9 B．1 C．1.1 D．1.2 23．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图是某款折叠凳的侧面示意图，凳面地面，经过点O，且垂直于．若，，，则的长为__________． 24．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 一、单选题 1．在小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 3．如图是一个棕色细口瓶的截面示意图，为测量棕色细口瓶的内径，亮亮找来一个交叉卡钳（），放进未使用过的棕色细口瓶内，缓缓张到最大的角度．若，且测量得，则细口瓶的内径为（   ） A． B． C． D． 4．如图，一棵树的顶梢点的影子落在台阶的点处若台阶，，台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则这棵树的高度为（  ） A． B． C． D． 5．四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代．如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1 米的正方形的一个顶点处安装一根方向杆．若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物 E，在四分仪上读出的长度为20厘米，已知点 B，C，E在同一条直线上，则目标物 E 与点 B 之间的距离为（    ） A．1米 B．4米 C．5米 D．6米 二、填空题 6．小明用两根小木棍自制成一个如图所示的“X形”测量工具，与交于点O，，，．现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为 ． 7．如图，某人与一座建筑物的距离，他站在A处，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，若此时眼睛到食指的距离约为，食指的长约，则该建筑物的高度约是 ． 8．小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 步． 9．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 10．一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程 米． 三、解答题 11．如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点为A，再在河的这一边选点B和C，使，然而再选点E，使，确定与的交点为D，测得，，，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 12．小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆相交于点O，B、D两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且，过点O作于点G，交于点H，经测量与比对，有，，，，． (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上后是否会碰到地面？请通过计算说明． 13．汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 14．一多层等腰三角形货架的截面图如图所示，，，每相邻两层之间的高度为，且每层货架中间部分被设计出截面为正方形的小长方体隔间． (1)求第一层货架与第二层之间的隔板的长度； (2)若第层仍能设计出长方体隔间，则的最大值为______． 15．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 16．如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 17．综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为2米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤2：小明从点出发沿着方向前进9米，到达点： 步骤3：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为1.5米，米． 【问题解决】已知点与旗杆的底端在同一直线上，， ，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． (1)求证：； (2)求该旗杆的高度． 一、单选题 1．（2026·广东深圳·三模）如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）为了测量某条河流的宽度，小佳分别在河岸两边选定点，并且分别在的延长线上取点，使得，经测量，，，且点到河岸的距离为，则河宽为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东淄博·期末）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 7．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，，与相交于点．测得，则树高为______m． 8．（2026·吉林辽源·一模）广胜寺坐落在山西省临汾市洪洞县，其上寺的十三层宝塔名曰飞虹塔，是我国现存历史最久远、建筑最高大的七彩琉璃塔，某项目学习小组的同学要测量飞虹塔的高度，如图，塔的顶端为点，为塔高（），在地面上一点处竖直放一根标杆，，，测得该塔底部点到点的距离为，在的延长线上找一点，使三点在同一直线上，三点在同一水平线上，测得，由测量数据求出塔的高度为_____． 9．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 10．（2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙两人和木杆依次直立在同一条直线上，甲、乙的视线恰好越过木杆的顶端看到对方的脚．已知甲、乙的眼睛距离地面高度分别为和，则木杆高为__________． 三、解答题 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）学习了相似和投影后，茗茗晚上利用灯光下的影子测量路灯到地面的距离．如图，在该路灯灯光下，小树的影子一部分落在台阶上的处，一部分落在台阶下的处，用皮尺测得，，，．已知，，，点、、在一条水平线上，，图中所有点均在同一平面内，求路灯到地面的距离． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 14．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 15．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 1．（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 4．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $