第22课 相似三角形的性质及其应用-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第22课 相似三角形的性质及其应用 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握相似三角形的对应角相等,对应边成比例的性质. 2.掌握相似三角形的性质:相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 3.会用上述性质解决有关几何论证和计算问题. 4.了解三角形的重心的概念和重心分每一条中线成1:2的两条线段的性质. 5.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，进一步体验数学的应用价值. ( 知识精讲 ) 知识点01 相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 2.相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比都等于相似比. 3.相似三角形的周长之比等于相似比. 4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 知识点02 三角形的重心 1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 2.三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段 ( 能力拓展 )考点01 相似三角形的性质 【典例1】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若AB＝15，求线段BD的长． （2）若△ADE的面积为3，求平行四边形BFED的面积． 【即学即练1】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且． （1）若AC＝25，求线段AE，GF的长． （2）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积． 考点02 三角形的重心的应用 【典例2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠ADE＝∠C，AF平分∠BAC交DE于点G，交BC于点F． （1）求证：． （2）若点G是△ABC的重心，AE＝6，求AB的长． 【即学即练2】已知点G是△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，那么的值是 　　． 考点03 相似三角形的应用 【典例3】杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝5米，GC＝60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB． 【即学即练3】小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一只铅笔MN，边移动边观察（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到点D处时，眼睛C与铅笔顶端M、旗杆的顶端A三点共线，此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，求旗杆AB的高度． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．关于相似三角形的性质，下列说法正确的是（　　） A．相似三角形的对应角相等 B．相似三角形的对应边相等 C．相似三角形周长的比等于相似比的平方 D．相似三角形面积的比等于相似比 2．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 3．两个相似三角形的对应边上的中线比为1：，则它们面积比的为（　　） A．2：1 B．1：2 C．1： D．：1 4．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大三角形的面积为（　　） A．6 B．18 C．54 D．108 5．如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝（　　） A． B． C． D． 6．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜的中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 7．如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（　　） A．8米 B．10米 C．18米 D．20米 8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是重心，如果CG＝3，那么AB＝ 　　． 9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 　　． 10．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A、镜子O、树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为　　． 11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，＝． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的周长为20，求△BCE的周长． 12．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度AG＝1.2m，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF＝1.8m，灯泡到木板的水平距离AC＝6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中A，B，C，D在同一条直线上． （1）求AB的长； （2）求点E到地面的高度DE． 题组B 能力提升练 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 14．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，在▱ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是（　　） A． B． C． D． 16．△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝63cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是从下往上数第　　张． 17．张师傅有一块如△ABC的锐角三角形木料，其中BC＝120mm，高AD＝80mm，张师傅想把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PQ与AD交于点H． （1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝　　； （2）当四边形PQMN为正方形时，求出这个零件的边长； （3）若这个零件的边PN：PQ＝1：2．则这个零件的长、宽各是多少？ 18．已知：如图，点P是△ABC的重心，过P作AC的平行线，分别交AB，BC于点D，E，作DF∥EC，交AC于点F，若△ABC的面积为18cm2，求四边形ECFD的面积． 题组C 培优拔尖练 19．如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，点G是线段DE上一点，EG＝2DG，点H是线段CF上一点，CH＝2HF，连接AG，AH，GH，HE．若已知△AGH的面积，则一定能求出（　　） A．△ABC的面积 B．△ADE的面积 C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积 20．如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连结CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，AE＝1，则BC的值为（　　） A． B． C． D． 21．如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为　　． 22．我国是最早了解勾股定理的国家之一．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，即可证明勾股定理．连接CG交AB于点M，连接CE，CH，若CH＝2CE，则的值为 　　． 23．在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD•DC，则∠BCA的度数为　 　． 24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连结CG，DG，∠AGD＝60°． （1）求∠FGC的度数． （2）求证：AG•CF＝CG•CD． （3）令，若AB＝4，，求k的值． ( 42 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22课 相似三角形的性质及其应用 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握相似三角形的对应角相等,对应边成比例的性质. 2.掌握相似三角形的性质:相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 3.会用上述性质解决有关几何论证和计算问题. 4.了解三角形的重心的概念和重心分每一条中线成1:2的两条线段的性质. 5.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，进一步体验数学的应用价值. ( 知识精讲 ) 知识点01 相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 2.相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比都等于相似比. 3.相似三角形的周长之比等于相似比. 4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 知识点02 三角形的重心 1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 2.三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段 ( 能力拓展 )考点01 相似三角形的性质 【典例1】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若AB＝15，求线段BD的长． （2）若△ADE的面积为3，求平行四边形BFED的面积． 【思路点拨】（1）通过证明△ADE∽△ABC，可得，即可求解； （2）由相似三角形的性质分别求出△ABC和△EFC的面积，即可求解． 【解析】解：（1）∵四边形DEFB是平行四边形， ∴DE∥BF， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵，AB＝15， ∴AB＝3， ∴BD＝12； （2）∵＝， ∴， ∵四边形DEFB是平行四边形， ∴DE∥BF，BD∥EF， ∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△EFC， ∴＝（）2＝， ∵△ADE的面积为3， ∴S△EFC＝48， ∵△ADE∽△ABC， ∴＝（）2＝， ∴S△ABC＝75， ∴平行四边形BFED的面积＝75﹣48﹣3＝24． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【即学即练1】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连结DE，DF，BE，DF与BE交于点G．已知四边形DFCE是平行四边形，且． （1）若AC＝25，求线段AE，GF的长． （2）若四边形GFCE的面积为48，求△ABC的面积． 【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质求出DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，即可判定△ADE∽△ABC，△BFG∽△BCE，根据相似三角形的性质及比例的性质求解即可； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”及比例的性质求出S△BCE＝75，再结合比例的性质、三角形面积公式求解即可． 【解析】解：（1）∵四边形DFCE是平行四边形， ∴DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∵AC＝25， ∴AE＝10， ∴CE＝25﹣10＝15， ∵＝＝， ∴＝， ∵DF∥AC， ∴△BFG∽△BCE， ∴＝＝， ∴GF＝9； （2）∵△BFG∽△BCE，＝， ∴＝＝， ∵S△BFG+S四边形GFCE＝S△BCE， ∴＝＝， ∵四边形GFCE的面积为48， ∴S△BCE＝75， ∵＝，AE+CE＝AC， ∴＝， ∴＝， ∴S△ABC＝125． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 考点02 三角形的重心的应用 【典例2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠ADE＝∠C，AF平分∠BAC交DE于点G，交BC于点F． （1）求证：． （2）若点G是△ABC的重心，AE＝6，求AB的长． 【思路点拨】（1）根据∠ADE＝∠C，由角平分线的定义得到∠DAG＝∠CAF，根据相似三角形的判定定理得出△ADG∽△ACF，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论； （2）根据三角形重心的性质得出＝．由（1）得出＝．证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例得出＝＝，将AE＝6代入，即可求出AB的长． 【解析】（1）证明：∵AF平分∠BAC， ∴∠DAG＝∠CAF， ∵∠ADE＝∠C， ∴△ADG∽△ACF， ∴； （2）解：∵点G是△ABC的重心， ∴AG＝2GF， ∴＝． 由（1）可知，＝． 在△ADE和△ACB中， ∵∠DAE＝∠CAB，∠ADE＝∠C， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝＝， ∴AB＝＝＝9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形重心的性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【即学即练2】已知点G是△ABC的重心，过点G作DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，那么的值是 　　． 【思路点拨】连接AG并延长交BC于H．由点G是△ABC的重心，推出AG：GH＝2：1，则AG：AH＝2：3，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，，可得，得到，，即可解决问题． 【解析】解：如图，连接AG交延长交BC于H． ∵点G是△ABC的重心， ∴AG：GH＝2：1， ∴AG：AH＝2：3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 考点03 相似三角形的应用 【典例3】杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝3米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝5米，GC＝60米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度AB． 【思路点拨】先证明△EDC∽△EBA，利用相似比得到＝①，再证明△FHG∽△FBA，利用相似比得到＝②，由①②得＝，解得CA＝90（米），然后把CA＝90代入①可求出AB的长． 【解析】解：根据题意得CD＝GH＝2米，EC＝3米，FG＝5米，GC＝60米， ∵CD∥AB， ∵△EDC∽△EBA， ∴＝，即＝①， ∵HG∥AB， ∴△FHG∽△FBA， ∴＝，即＝②， 由①②得＝，解得CA＝90（米）， 把CA＝90代入①得＝，解得AB＝62（米）， 答：雷峰塔的高度AB为62米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 【即学即练3】小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一只铅笔MN，边移动边观察（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到点D处时，眼睛C与铅笔顶端M、旗杆的顶端A三点共线，此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，求旗杆AB的高度． 【思路点拨】过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E，再根据MN∥AB可得出△CMN∽△CAB，由相似三角形的对应边成比例即可求出AB的长． 【解析】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E． 则CF＝DB＝50，CE＝0.6， ∵MN∥AB， ∴△CMN∽△CAB． ∴＝， ∴AB＝＝＝． 答：旗杆AB的高度约为米． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．关于相似三角形的性质，下列说法正确的是（　　） A．相似三角形的对应角相等 B．相似三角形的对应边相等 C．相似三角形周长的比等于相似比的平方 D．相似三角形面积的比等于相似比 【思路点拨】根据相似三角形的性质，即可判断． 【解析】解：A、相似三角形的对应角相等，故此选项正确； B、相似三角形的对应边成比例，故此选项错误； C、相似三角形周长的比等于相似比，故此选项错误； D、相似三角形面积的比等于相似比的平方，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 2．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 【思路点拨】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解． 【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，、 ∴△ABC与△A′B′C′的面积的比1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 3．两个相似三角形的对应边上的中线比为1：，则它们面积比的为（　　） A．2：1 B．1：2 C．1： D．：1 【思路点拨】三角形的面积比等于其相似比平方比，而对应中线的比即为其相似比，进而可求解结论． 【解析】解：∵相似三角形对应边上的中线的比为1：，即相似比为1：， 而相似三角形的面积比等于其相似比的平方比， ∴其面积比为1：2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质问题，重在考查其面积比与对应边的比之间的关系，应熟练掌握． 4．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，与其相似的三角形的最长边为15，则较大三角形的面积为（　　） A．6 B．18 C．54 D．108 【思路点拨】先根据一个三角形的三边长分别为3，4，5，可判定此三角形为直角三角形，进而求出其面积，与其相似的三角形的最长的边为15求出其相似比，再由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得较大的三角形的面积． 【解析】解：∵32+42＝52， ∴三边长为3，4，5的三角形是直角三角形，面积＝×3×4＝6， 两个三角形的相似比为＝3， 则两个三角形的面积比为＝， ∴较大的三角形的面积为6×9＝54， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和勾股定理的逆定理的应用，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形的重心的概念得到＝，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，根据三角形的中线的概念计算即可． 【解析】解：∵点G是△ABC的重心， ∴＝， ∵GF∥AB， ∴＝＝， ∵AE是BC边上的中线， ∴EB＝EC， ∴＝． 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念、平行线分线段成比例定理，掌握重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 6．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜的中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先证出四边形OBCG为矩形，得到OB＝CG，再根据△AHF1∽△BOF1，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【解析】解：∵BC∥l，CG⊥l，BO⊥l， ∴四边形OBCG为矩形， ∴OB＝CG， ∵AH⊥HO，BO⊥HO， ∴△AHF1∽△BOF1， ∴， ∴， ∴物体被缩小到原来的． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关链． 7．如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（　　） A．8米 B．10米 C．18米 D．20米 【思路点拨】如图，CD＝2m，BD＝12m，根据“在同一时刻物高与影长的比相等”得到，则可计算出DE，然后再利用可计算出AB． 【解析】解：如图，CD＝2m，BD＝12m， ∵， ∴DE＝1.5CD＝3， ∵， ∴AB＝＝10． ∴旗杆的高度为10m． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是重心，如果CG＝3，那么AB＝ 　9　． 【思路点拨】如图，延长CG交AB于点D，可知：CD为斜边上的中线，根据重心的性质得到DG＝CG，则CD＝4.5，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到AB的长． 【解析】解：如图，延长CG交AB于点D， ∵点G是Rt△ABC的重心， ∴CG：GD＝2：1， ∴DG＝CG＝×3＝， ∴CD＝3+＝4.5， ∴AB＝2CD＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质． 9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 　9：16　． 【思路点拨】可证明△DEF∽△BAF，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案． 【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∵DE：EC＝3：1， ∴DE：DC＝3：4， ∴DE：AB＝3：4， ∴S△DEF：S△BAF＝9：16． 故答案为：9：16． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 10．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A、镜子O、树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米，则树高为　4米　． 【思路点拨】点O作镜面的法线FO，由入射角等于反射角可知∠COF＝∠DOF，进而可得出∠COA＝∠DOB，由相似三角形的判定定理可得出△ACO∽△BDO，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长． 【解析】解：点O作镜面的法线FO，由入射角等于反射角可知∠COF＝∠DOF， ∵∠COA＝90°﹣∠COF， ∠DOB＝90°﹣∠DOF， ∴∠COA＝∠DOB， 又∵∠CAO＝∠OBD＝90°， ∴△ACO∽△BDO， ∴＝， ∵AC＝1.6米，OA＝2.4米，OB＝6米 ∴＝， ∴BD＝4米， 答：树高为4米， 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 11．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，＝． （1）求证：△ABC∽△AFD； （2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的周长为20，求△BCE的周长． 【思路点拨】（1）由∠BAF＝∠DBC得∠BAF+∠ABD＝∠DBC+∠ABD，则∠ABC＝∠AFD，而＝，即可根据“两边成比例有夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AFD； （2）由△ABC∽△AFD得∠BCE＝∠ADE，可证明△BCE∽△ADE，再根据“相似三角形周长的比等于相似比”求出△BCE的周长即可． 【解析】（1）证明：∵∠BAF＝∠DBC， ∴∠BAF+∠ABD＝∠DBC+∠ABD， ∵∠ABC＝∠DBC+∠ABD，∠AFD＝∠BAF+∠ABD， ∴∠ABC＝∠AFD， ∵＝， ∴△ABC∽△AFD． （2）解：∵△ABC∽△AFD， ∴∠BCE＝∠ADE， ∵∠BEC＝∠AED， ∴△BCE∽△ADE， ∵AD＝2，BC＝5， ∴＝＝， ∵△ADE的周长为20， ∴△BCE的周长＝×20＝50， ∴△BCE的周长为50． 【点睛】此题重点考查三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明∠ABC＝∠AFD是解题的关键． 12．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度AG＝1.2m，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF＝1.8m，灯泡到木板的水平距离AC＝6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中A，B，C，D在同一条直线上． （1）求AB的长； （2）求点E到地面的高度DE． 【思路点拨】（1）证明△FCB∽△GAB，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明△EDB∽△GAB，利用相似三角形的性质求解即可． 【解析】解：（1）根据题意，∠CBF＝∠ABG，∠FCB＝∠GAB， ∴△FCB∽△GAB， ∴， ∵灯泡到地面的高度AG＝1.2m，点F到地面的高度CF＝1.8m，灯泡到木板的水平距离AC＝6m， ∴， 解得AB＝2.4m， 经检验，符合题意； （2）由题意，∠GAB＝∠EDB，∠GBA＝∠EBD， ∴△EDB∽△GAB， ∴， ∴， ∴DE＝3.8m． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 题组B 能力提升练 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 【思路点拨】在△ABC中，依据三角形外角及已知可得∠BAD＝∠CDE，结合等腰三角形易证△ABD∽△DCE；结合AD＝DE，易证△ABD≌△DCE，得到BD＝CE；当DE⊥AC时，结合已知求得∠EDC＝50°，易证AD⊥BC，依据等腰三角形“三线合一”得BD＝CD． 【解析】解：在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝40°， ∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， 甲同学正确； ∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE， ∴△ABD≌△DCE， ∴BD＝CE， 乙同学正确； 当DE⊥AC时， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， D为BC的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相应的判定和性质是解题关键． 14．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解析】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x， 当△PAE∽△PBC时，＝，即＝， 解得，x＝， 当△PAE∽△CBP时，＝，即＝， 解得，x＝2或6， 可得：满足条件的点P的个数有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用． 15．如图，在▱ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据平行四边形的性质，得到两组相似三角形，根据边的比例得出面积之比，从而得出的值． 【解析】解：∵AG平分∠BAD， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADF∽△GBF，△ABG∽△ECG， ∴， ∴， 设AD＝BC＝3a，则AB＝2a，GB＝2a， ∴CG＝a， ∴， ∴S△ABG＝4S2， 设S△GBF＝4S，则S△ADF＝9S， ∴S△ABF＝6S， ∴S△ABG＝S△GBF+S△ABF＝10S， ∴4S2＝10S， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 16．△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝63cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是从下往上数第　10　张． 【思路点拨】先求出△ABC的高，再根据截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解． 【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝63cm， ∴AD＝BD＝BC＝×63＝cm． 设这张正方形纸条是从下往上数第n张， ∵则Bn∁n∥BC， ∴△ABnCn∽△ABC， ∴＝，即＝，解得n＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 17．张师傅有一块如△ABC的锐角三角形木料，其中BC＝120mm，高AD＝80mm，张师傅想把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，PQ与AD交于点H． （1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝　60　； （2）当四边形PQMN为正方形时，求出这个零件的边长； （3）若这个零件的边PN：PQ＝1：2．则这个零件的长、宽各是多少？ 【思路点拨】（1）根据PQ∥BC，得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为a mm，根据PQ∥BC，得到△APQ∽△ABC，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）设矩形的宽为x，则长为2x，然后根据相似三角形，列出比例关系式求解． 【解析】解：（1）∵四边形PQMN为矩形， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， ∵P为AB中点， ∴， ， ∴PQ＝60（mm）； 故答案为：60； （2）∵四边形PQMN为正方形， ∴PQ∥BC，PQ＝PN＝HD， 设正方形的边长为a mm，则PQ＝PN＝HD＝a mm， ∵PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， ∴， 解得a＝48， 答：这个零件的边长为48mm； （3）设矩形宽为x mm，则长为2x mm， 同理△APQ∽△ABC， ∴， ∴， 解得，， 故矩形的长为，宽为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 18．已知：如图，点P是△ABC的重心，过P作AC的平行线，分别交AB，BC于点D，E，作DF∥EC，交AC于点F，若△ABC的面积为18cm2，求四边形ECFD的面积． 【思路点拨】连接BP并延长交AC于G．由重心的性质得，BP：PG＝2：1．由DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得BD：DA＝BP：PG＝2：1，于是BD：BA＝2：3，AD：AB＝1：3．再由DE∥AC，DF∥BC，得出△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC，根据相似三角形的性质得出S△BDE：S△BAC＝4：9，S△ADF：S△ABC＝1：9，求出 S△BDE＝×S△BAC＝8cm2，S△ADF＝×S△BAC＝2cm2，进而求出四边形ECFD的面积． 【解析】解：连接BP并延长交AC于G．由重心的性质得，BP：PG＝2：1． ∵DE∥AC， ∴BD：DA＝BP：PG＝2：1， ∴BD：BA＝2：3，AD：AB＝1：3． ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC， ∴S△BDE：S△BAC＝4：9，S△ADF：S△ABC＝1：9， ∴S△BDE＝×S△BAC＝8cm2，S△ADF＝×S△BAC＝2cm2， ∴四边形ECFD的面积＝18﹣8﹣2＝8（cm2）． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 19．如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，点G是线段DE上一点，EG＝2DG，点H是线段CF上一点，CH＝2HF，连接AG，AH，GH，HE．若已知△AGH的面积，则一定能求出（　　） A．△ABC的面积 B．△ADE的面积 C．四边形DBFE的面积 D．△EFC的面积 【思路点拨】利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用已知条件和相似三角形的判定与性质得到∠DAG＝∠FEH，利用平行线的判定定理得到AG∥EH，利用同底等高的三角形的面积相等的性质和等高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可得出结论． 【解析】解：∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B， ∵EF∥AB， ∴∠B＝∠EFC， ∴∠ADE＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC， ∴． ∵EG＝2DG，CH＝2HF， ∴DG＝DE，FH＝FC， ∴， ∴， ∵∠ADE＝∠EFC， ∴△ADG∽△EFH， ∴∠DAG＝∠FEH， ∵EF∥AB， ∴∠DAE＝∠FEC， ∴∠DAE﹣∠DAG＝∠FEC﹣∠FEH， 即∠GAE＝∠HEC， ∴AG∥EH， ∴S△AGH＝S△AGE． ∵EG＝2DG， ∴ ∴＝， ∴， ∴． ∴已知△AGH的面积，则一定能求出△ADE的面积． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 20．如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连结CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，AE＝1，则BC的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】连结OD，由OB＝OC，得∠OCB＝∠B，由折叠得∠OCD＝∠OCB，由AD＝ED，得∠A＝∠AED，推导出∠BCE＝∠BEC＝2∠OCB＝2∠B，求得∠ADE＝∠B＝36°，再证明∠EDO＝∠EOD＝36°，则AD＝ED＝EO，而AE＝1，则OA＝1+EO，再证明△AED∽△ADO，得＝，于是得EO2＝1+EO，求得EO＝，则BC＝BE＝2+，于是得到问题的答案． 【解析】解：连结OD，则OD＝OA＝OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B， 由折叠得∠OCD＝∠OCB， ∵AD＝ED， ∴∠A＝∠AED， ∵∠A＝∠BCE，∠AED＝∠BEC， ∴∠BCE＝∠BEC＝2∠OCB＝2∠B， ∴BC＝BE，2∠B+2∠B+∠B＝180°， ∴∠ADE＝∠B＝36°， ∴∠A＝∠AED＝∠BEC＝2×36°＝72°， ∴∠ADO＝∠A＝72°， ∴∠EDO＝∠ADO﹣∠ADE＝72°﹣36°＝36°，∠EOD＝∠AED﹣∠EDO＝72°﹣36°＝36°， ∴∠EDO＝∠EOD， ∴AD＝ED＝EO， ∵AE＝1， ∴OA＝AE+EO＝1+EO， ∵∠AED＝∠ADO，∠A＝∠A， ∴△AED∽△ADO， ∴＝， ∴AD2＝AE•OA， ∴EO2＝1+EO， 解得EO＝或EO＝（不符合题意，舍去）， ∴BC＝BE＝EO+OB＝EO+OA＝+1+＝2+， 故选：B． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 21．如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为　10.5　． 【思路点拨】已知△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A2B2：A3B3＝1：2，由于△A2B2A3与△B2A3B3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A3B2B3的面积为4，可求出△A2B2A3的面积，同理可求出△A3B3A4和△A1B1A2的面积．即可求出阴影部分的面积． 【解析】解：△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4， 又∵A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2， ∴∠OB2A2＝∠OB3A3，∠A2B1B2＝∠A3B2B3， ∴△B1B2A2∽△B2B3A3， ∴＝， ∴． ∵＝，△A3B2B3的面积是4， ∴△A2B2A3的面积为＝×S△A3B2B3＝×4＝2（等高的三角形的面积的比等于底边的比）． 同理可得：△A3B3A4的面积＝2×S△A3B2B3＝2×4＝8； △A1B1A2的面积＝S△A2B1B2＝×1＝0.5． ∴三个阴影面积之和＝0.5+2+8＝10.5． 故答案为：10.5． 【点睛】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积． 22．我国是最早了解勾股定理的国家之一．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，即可证明勾股定理．连接CG交AB于点M，连接CE，CH，若CH＝2CE，则的值为 　　． 【思路点拨】过C作CN⊥AB于N，判定△ACE∽△BCH，即可得到＝＝；设AC＝a，再根据勾股定理以及面积法即可得到AB与CN的长，进而得出AN的长；再根据△CNM∽△GBM，即可得到MN和BM的长，进而得到的值． 【解析】解：如图所示，过C作CN⊥AB于N， 由题可得，∠CAE＝∠CBH＝90°，∠ACE＝∠BCH＝45°， ∴△ACE∽△BCH， ∴＝＝， 设AC＝a，则BC＝2a，AB＝a，CN＝＝a， Rt△ACN中，AN＝＝a， ∴BN＝a﹣a＝a， ∵∠CNM＝∠GBM＝90°，∠CMN＝∠GMB， ∴△CNM∽△GBM， ∴＝＝＝， ∴MN＝BN＝a，BM＝NB＝a， ∴AM＝AN+MN＝a， ∴＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，利用勾股定理或相似三角形的对应边成比例进行计算． 23．在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD•DC，则∠BCA的度数为　65°或115°　． 【思路点拨】根据已知可得到△BDA∽△ADC，注意∠C可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定∠BCA度数． 【解析】解：（1）当∠C为锐角时， ∵AD2＝BD•DC，AD是BC边上的高得， ∴＝，∵∠ADC＝∠ADB， ∴△BDA∽△ADC， ∴∠CAD＝∠B＝25°， ∴∠BCA＝65°； （2）当∠C为钝角时， 同理可得，△BDA∽△ADC ∴∠BCA＝25°+90°＝115°． 故答案为：65°或115°． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，分类讨论思想，知道分类讨论是解题的关键． 24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连结CG，DG，∠AGD＝60°． （1）求∠FGC的度数． （2）求证：AG•CF＝CG•CD． （3）令，若AB＝4，，求k的值． 【思路点拨】（1）连结AD，AC，首先推导出＝，∠ADC＝60°．进而利用∠ADC+∠AGC＝180°，∠FGC+∠AGC＝180°，得到∠FGC＝∠ADC＝60°； （2）连结AC，首先推导出△AGD∽△CGF，进而得到＝，即＝，进一步得证； （3）首先推导出△GCF∽△DAF，进而得到＝＝＝＝2；令CF＝2m，AF＝4m，则GF＝＝m+，AG＝3m﹣，由△AGD∽△CGF得到＝，即＝，解得m＝，推导出CF＝2m＝，进而得到k＝＝． 【解析】（1）解：连结AD，AC，如图， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴＝， ∵∠AGD＝60°， ∴∠ADC＝60°． ∵∠ADC+∠AGC＝180°，∠FGC+∠AGC＝180°， ∴∠FGC＝∠ADC＝60°； （2）证明：连结AC，如图． 由（1）可得：△ADC是等边三角形， ∴AD＝CD， ∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠FCG+∠DCG＝180°， ∴∠DAG＝∠FCG． 又∵∠AGD＝∠FGC＝60°， ∴△AGD∽△CGF， ∴＝，即＝， ∴AG•CF＝CG•CD； （3）解：∵AB＝4，AO＝2， ∵△ADC是等边三角形， ∴AD＝DC＝2， ∵∠DAG＝∠FCG，∠F＝∠F， ∴△GCF∽△DAF， ∴＝＝＝＝2， 令CF＝2m，AF＝4m，则GF＝＝m+， ∴AG＝3m﹣， ∵△AGD∽△CGF， ∴＝，即＝， ∴m＝（舍去）m＝， ∴CF＝2m＝， ∴k＝＝． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解答本题的关键是作出适当的辅助线，构造相似三角形． ( 42 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$