专题1.9 空间向量与立体几何常考几何模型专训讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过11大题型系统构建空间向量与立体几何知识体系，从空间向量加减、数乘、数量积等基础运算，到用基底表示向量、基本定理应用，再到空间位置关系证明及夹角、距离计算，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于“题型专训+拓展培优”的练习设计，如异面直线夹角、点到平面距离等题型，通过经典例题示范向量法解题步骤，15道拓展题强化综合应用，培养数学思维与空间观念。基础题巩固方法，培优题提升能力，助力教师实施分层教学，学生自主复习更具靶向性。

专题1.9空间向量与立体几何常考几何模型专训 (11大题型+15道拓展培优题) 题型预览 题型一空间向量加减运算的几何表示 题型二空间向量数乘运算的几何表示 题型三空间向量数量积的应用 题型四用空间基底表示向量 题型五空间向量基本定理及其应用 题型六空间位置关系的向量证明 题型七异面直线夹角的向量求法 题型八线面角的向量求法 题型九面面角的向量求法 题型十点到平面距离的向量求法 题型十一异面直线距离的向量求法 ©经典例题 g 【经典例题一空间向量加减运算的几何表示】 【例1】如图E,F分别是长方体ABCD-A'B'C"D'的棱AB,CD的中点，化简下列表达式： D' C B B (44-CB (②AA+AB+BrC (3)4B-AD+BD (④AB+CF 见变式训练 1.如图.在棱长为4的正四面体BCD中，E是4D的中点，F=3C,记F=D1+DB+:DC F B (①)求x+y+z的值： (2)求EF.DF 2.如图，己知平行六面体ABCD-AB'C"D',化简下列各式： D B D (4B+4D+ DD-B+B ABCD-ABCD 3.如图，已知长方体 ，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量 )瓜-D,A6+A D B ②B+D-0AB+D+D B D 【经典例题二空间向量数乘运算的几何表示】 【例】如图，点MV分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点，求证：M=(AD+BC) 马变式训练 1.如图，已知M:N分别是空间四边形ABCD的对角线AC和BD的中点，求证：MN=B+CD) D N A ----B 2.如图所示，在三棱 ABC-ABG中，M是 BB 中点，化简下列各式： C1 AB+BA (1) (2) AB+BC+CC (34+-仙 3.如图，设A是ABCD所在平面外的一点，G是BCD的重心求证：AG=(B+AC+AD) 【经典例题三空间向量数量积的应用】 【例3】如图，在空间四边形ABCD中，AB=3,BC=4,AD=5,∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC. D B BA·BC (1)求 (2)求CD的长. 口 变式训练 1.如图，棱长为1的正四面体OABC中， OA=a,OB=b,OC= ,点M满足OM=2M,点N为BC中点。 M bc MN (1)用 表示 求W ABCD-ABCD 0 2.如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为 0°.记 AB=a AD=b AA=c C A B D B BD (1)求的长 与AC (2)求 夹角的余弦值。 4C-A8G中，M,N分别是4B,4G上的点，且 2BM =AM,CN=2AN 3.如图，在三棱柱 ,设 AB=a AC=6 AA=c ()试用a6,c 表示向量M】 因活c则，4-∠C4-W,8=4C=M=2.米线资w 的长 【经典例题四用空间基底表示向量】 【例】如图，在空间四边形01BC中，点D、B分别为BC、AD的中点，设OA=ā，0丽=6，OC=c D B ①试用向量a,6,无表示向量0元， ②若OM=0C=4,OB=2,∠40C=∠B0C=∠40B=60°，求OE-01的值. 求 变式训练 1.如图，已知棱长为1的正四面体OABC,E,F分别是AB,OC的中点. (用0A.0B0 表示向量所，并求F 的模长； (2)求证：EF⊥AB,EF⊥OC: (3)求OE与BF所成角的余弦值. ∠ABC=60°，AB=2,BC=CC=1 2.如图所示，已知直三棱柱 1BC-4BG中，D为4G的中点， A D B (1)用 ,BC,丽表示狐，CD 2)求1g·cD 3.刻图，在空间四边形0AC中，点D为BC的中点，正-写D,设OA=aOB=6OC-G 3 0 A D B ①试用向量a,瓜， 表示向量OD而 (2)若 A=0B=0C=2,∠A0C=∠B0C=∠40B=90,求OE-0D的值 【经典例题五空间向量基本定理及其应用】 【例】如图，在直三棱柱ABC-ABG中，4B=AC=4=3,∠B1C-于，BD=写BA. D外 (1)用 ,4C,M表示CD, AC (②求直线CD与直线AC所成角的余弦值 只变式训练 CA,AB 1.如图，在直三棱柱 BC-4BG中，MB11C,B=4C=24=-3.E,F分 分别为 的中点 E B (1)若 F=BG+yBA+BB,求x+y+”的值， (2求EF.RC 2.如图，四面体OABC的所有棱长都为l,D,E分别是OA,BC的中点，连接DE. D B (1)求DE的长： (2)求点D到平面ABC的距离. 3.如图，在正四面体ABCD中，点N是面ABC的中心. D E (1)在此四面体的棱所对应的向量中找出两组各三个不共面的向量，并把其他棱对应的向量分别表示成这两 组向量的线性组合（互为负向量的不必另行表示），要求第一组三个向量所在的棱有公共点，第二组三个 向量所在的棱没有公共点： (2)把DW也分别表示为这两组向量的线性组合. 【经典例题六空间位置关系的向量证明】 【例6】如图，在正方体ABCDA'B'CD'中，E,F,E',F分别是棱AB,AD,B′C,CD 的中点.求证：四边形EFF'E为平行四边形. D B' D B 只变式训练 1.如图，在直三棱柱 BC-4BG中.M=2B=21C,∠BAC=0,D,B,P分别是 AC CG AB 的中点，点G在楼BB上，且 BG=3BG ·证明：DF LEG D B G H E-A AB,BC 2.如图所示，在棱长为4的正方体 OMBC-0ABG中，E,F 分别是棱 上的动点，且AE=BF=x 其中0≤x≤4，以O为原点建立空间直角坐标系O-2 C B A Q ..- E AF⊥CE (1)求证： (②若x=2,求os(EF,EA)的值 ABCD-ABCD AA=4 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ,且 A 3.如图，已知四棱台 广底 面ABCD. 满足0=30C,点P是校D0上的一个点（包括端点）.求证： 点P满足 BD /IBD A D 【经典例题七异面直线夹角的向量求法】 ABCD-ABCD 【例7】如图，已知正方体 的棱长为4，P、2分别是棱BC、BC 的中点 C C B (1)求证： AC上平面 DDB (2)求异面直 DP与40 所成角的余弦值. 冥变式训练 1.如图，在长方 ABCD-ABCD由，AD=MM=l,AB=2,E为MB的中点. 中， D A D E (①)求点E到面 DA 的距离： DE (2)求直线 与直线1C夹角的余弦值。 ABCD-ABCB 1,E CD 2.如图，已知正方体 的棱长为”为的中点 D B A AC (①求点E到直线AC的距离： (2)求直线 D与直线4C夹角的余弦值 ABCD-ABCD E,F AB,BC AE BF 3.已知正方体 的楼长为2，B,F分别为 的中点，求异面直线与 所成角的 余弦值 D C B A iD F E 的 【经典例题八线面角的向量求法】 【例8】如图，己知四边形ABCD是直角梯形，AD‖BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD, SA=AB=BC=2AD,E是CS的中点： S D (I)证明：DE⊥SB (2)求直线AB与平面SCD所成角的正弦值 习变式训练 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，E为棱PC的中点 P D (I)证明：PAII平面BDE; (2)若PD⊥底面ABCD,且PD=AD,求直线PB与平面BDE所成角的正弦值 2.如图，在直三棱柱 BC-A8C中，4CL平面4G,M=BC 平面 C A -B1 B,C⊥AC (1)证明： (2②)若直线BC与平面AB,C所成角为6，求： 3.如图，已知△ABC是等边三角形，AB=BD=2CE=2,CE∥BD,BD⊥平面ABC,点F为AD的中 点 E B A (I)证明：EF⊥平面ABD: (2)求直线AC与平面ADE夹角的正弦值. 【经典例题九面面角的向量求法】 【例9】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD, AB=PD=2,E,F分别为棱PA,AB的中点. D B (I)求异面直线BD与CE所成角的余弦值： (2)求平面CEF与平面PCD夹角的余弦值. 变式训练 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是 PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F (I)求证：PA/1平面EDB: (2)求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值. 2.如图，在正方 ABCD-ABCD中棱长为 ,M,N, DD,BD 分别是 的中点，点P在线段4B上《包括两 P AB 个端点)运动，当为线段的中点时 A D B P M PN⊥AD (1)求证： (2)求平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值： ABCD-ABCD 3.如图，平行六面体 中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点， CC=2∠CCB=∠CCD=60° D C0 (1)证明： 平面ABCD B-AA-D (2)求二面角 的正弦值， 【经典例题十点到平面距离的向量求法】 ABCD-AB CD AB=4,BC=3,CC=2,E 【例10】如图，在长方体 中， 是AB的中点： D A BC ECA (1)求证： 平面 ②求点9到平面 CA 的距离。 奥 变式训练 1.如图，在正三棱柱 6C-4BC中，各楼长均为4，N是CC的中点 A C B B Q)求点到平面4B C 的距离； N-AB-B (2)求二面角 的夹角的大小 C-A8G中，∠BCA=90,M,N分别是48,4G的中点， BC=CA=CC=2 2.如图，直三棱柱 C B M ! (I)求异面直线BM与AN所成角的余弦值； (2)求点A到平面BCM的距离 3.如图，在四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD,ADIIBC,∠ABC=90°，AD=2,AB=BC=1, EA=1. E 4 D C (I)求点D到平面EAC的距离： (②)求平面ABE与平面CDE所成角的余弦值， 【经典例题十一异面直线距离的向量求法：】 【例1山如图，在三棱能S-ABC中，SM=S8=BC=4C=5,5C=B=2,E,F分别为4B,SCE 的中点， B (I)求直线BF与平面ABC所成角的正弦值： (②)求异面直线SE,BF的距离d, 变式训练 1.如图，在四面体D-ABC中，AB=BC=CD=DA=5,AC=6,BD=4」 D (I)求二面角B-AC-D的平面角的大小： (2)求异面直线AB与CD间的距离. 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形， ∠ABC=∠BAD=7PA=3,AD=2AB=BC=I, A D (①)线段PB上是否存在一点使得C⊥CD,若存在，求出B0的长，若不存在，说明理由： (2)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，求异面直线 PB与CD之间的距离. 3.如图①菱形ABCD,∠B=60°，BE=EC=1.沿着AE将△BAE折起到△B'AE,使得∠DAB'=90°，如图 ②所示. A A B E 图① 图② (I)求异面直线AB与CD所成的角的余弦值： (2)求异面直线AB与CD之间的距离， 空提优训练 1.如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中∠BAA=∠DAA'=120°，∠BAD=90°，AB=AD=2,AM'=4 点M为DD'的中点 D' B M B (I)求BM的长； (②)已知E为CC上的动点，若AE⊥BM,求CE的长 2.在平行六面体ABCD-4BCD中，AB=AD=4:A4=5,∠BMD=∠B14=∠D14-子，M为B的 中点，V为CG的三等分点且靠近点C,记B=石，D=6,M=C D B M 用，6. 表示向量 ·并求W 的长度： BDD (2)求平面 的法向量示（用a,6,c 表示). 3.如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AB=AD=3,AAM=2,∠BAD=90°， ∠BAA'=∠DAA'=60° D' C' A D A (1)以 AB,AD,AA' 为基底向量，表示向量BD,AC」 (2)求证：BD1AC': (3)求AC的长 4.如图，在直三棱柱 8C-ABG中，C1=CB=∠BC1=90,棱M=2.M, 分别为44 “的中点. B M B (①)求BN的长： (②求BM与C8夹角的余弦值： BN是平面 CMN (3)求证： 的一个法向量. 5.如图，已知空间几何体P-ABCD的底面ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD=90°，AD/BC, BA=BC=aAD=2aPA⊥ 30° ,日1 底面ABCD,PD与底面成角. B D (1)若 BC.PD=8 求该几何体的体积： (2)若AE垂直PD于E,证明：BE⊥PD; (3)在(2)的条件下，PB上是否存在点F,使得EF∥BD,若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明 理由 ABCD-ABCD 中，已知D=B=2,41,点C在平面 AB D 6.在长方体 上的射影为H。 A D ①设B丽=1+yBD,求，'的值： ②记知BP=BD,B0=ABA,其中0<<1.若C丽∥平面CP吧，求2的值. 7.如图，在平行六面体 BCD-ABCD中，AB=AD=AM=2,∠BAM=∠DMM=∠BMD=60 P 0 ①用(MD4)表示AC,并求4G的长： (2)求证： 4C平面 BDD B 8.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB=4,SA=SD,SA.CD=0,SM=tMD」 B (1)求证：平面SAB⊥平面SAD: (2)若异面直线SD与BC所成角为45°，SB11平面AMC,求二面角A-CM-S的正弦值. ABCD-ABCD BC,CD 9.已知正方体 的棱长为2，E,F 分别为正方体的棱 的中点 D B E (1)求证： EFI平面 ACD (2)求线段EF到平面 ACD 的距离 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F,G分别是AB,CD,PD的中点，底面ABCD是边长为4的正方形. (1)证明：平面EFG∥平面PBC, (2)若PA=2,PA⊥底面ABCD,求平面EFG与平面PBC之间的距离. 11.如图，在棱长为2的正方体 BCD-4BGD中，E,F分别为线段AB, B,C的中点· D B D ()求证： DF⊥CE (②求F点到直线4C的距离： 8求平面4BC与平面BCC, 所成角的余弦值。 12.在三棱锥P-ABC中，PAL平面MBC,∠BAC=90,D,E 分别是棱AB,BC,CP的中点， AB=AC=2,PA=3 11111111 D.7 B E (I)求点P到直线EF的距离： (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值： 13.如图，在棱长为2的正方体MBCD-4B,GD中，E是M4的中点 A D B C E D B C ()求点D到面 BEC 的距离； (2)求点D到直线BE的距离： ③)求直线4AB与而BEC所成的角的正弦值， 14.如图，在长方 ABCD-A4BCD中，AD=AM=1,AB=2,E为AB的中点. D A B ()求点E到面 DA “的距离： (2)求点E到 ACD的距离· 15.如图，在三棱锥P-ABC中，AP⊥平面ABC,D,M分别是BC,PB的中点，AP=AC=2, AB=22,AD=V5延长AD至点E,使得4E=2MD,连接Mc D M (I)证明：ME⊥BC: (2)求二面角B-AM-E的余弦值： (3)若点N,分别是直线AE,PC上的动点，求N№的最小值专题1.9空间向量与立体几何常考几何模型专训 (11大题型+15道拓展培优题) 题型预览 题型一空间向量加减运算的几何表示 题型二空间向量数乘运算的几何表示 题型三空间向量数量积的应用 题型四用空间基底表示向量 题型五空间向量基本定理及其应用 题型六空间位置关系的向量证明 题型七异面直线夹角的向量求法 题型八线面角的向量求法 题型九面面角的向量求法 题型十点到平面距离的向量求法 题型十一异面直线距离的向量求法 ©经典例题 g 【经典例题一空间向量加减运算的几何表示】 【例1】如图E,F分别是长方体ABCD-A'B'C"D'的棱AB,CD的中点，化简下列表达式： D' C B B (44-CB (②AA+AB+BrC (3)4B-AD+BD (④AB+CF 【答案】(I)AD: ③@ 4 【分析】(1)(2)(3)(4)根据空间向量的线性运算，结合长方体性质可得. 【详解】(1) AA-CB=AA+BC=AA'+A'D'=AD (2) AA'+AB+B'C=AB+B'Ci=ACi D >c (3) AB-AD+B'D'=DB+B'D'=DB+BD=0 (4)因为E,F分别是棱AB,CD的中点， AB+CF=AB+BE=AE 所以 冥变式训练 1.如图，在棱长为4的正四面体MBCD中，E是MD的中点，F=3C,记F=DA+DB+:DC E B (1)求x+y+z的值： (2)求EF.DF 【答案】(I)x+y+z= ②乐.DF=9 【分析】(1)利用空间向量的线性运算和向量基本定理求解； (2)利用空间向量的线性运算和向量数量积求解 【详解】（山因为E是4D的中点，那=3，所以所=F-DE=DB+DC-DA, 又EF=xDi+DB+DC,所以x=-)y=,2 3 2y 42= 4 1 则x+y+z= 2 3 (2)因为DF=DB+DC 4 4 所以 乐.际-(n+s+]0+=a.丽0ic+2丽+gsc+2c 由正四面体ABCD的棱长为4， 可得DA.DB=DA-DC=DB-DC=4x4x)=8,Di2-DC2=16, 故 2.如图，已知平行六面体ABCD-ABCD,化简下列各式： D C B D )B+D+ (②DD-AB+BC 【答案】)B+AD+Af=AC (②DD-AB+BC=BD 【分析】根据空间向量线性运算求得正确答案. AD=BC AA=CC 【详解】(1)因为 所以MB+AD+A=B+BC+CC=AC (②)因为MB=DC,所以DD-B+BC =DD-DC+BC=CD+BC=BD D A ABCD-ABCD 3.如图，已知长方体 ,试在图中画出下列向量表达式所表示的向量。 ①)AB-ADAB+AD D C A B D ②孤+D-A瓜B+AD+D D B 【答案】DB,AC 图见解析 (②Dc.AC 图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可 AB-AD =D B 【详解】(1)如图所示， 将长方体 BCD-4GD延CC方向进行填补，使符CG=CG,则孤=BG 所以M狐+A0=A瓜+BC=AC D B (2)如图所示， AB+AD-AD =AC-AD =DC 将长方体1BCD-48GD延BG方向进行填补，使得BG=CG,则丽=CC 所以 B+AD+AD=AC+CC=AC 【经典例题二空间向量数乘运算的几何表示】 【例2】如图，点M,N分别是四面体ABCD的棱AB和CD的中点，求证MN=(AD+BC) N 【答案】详见解析 【分取D的中点p:连接MPN:由D-D,N-号C,-师4N即可求正 2 2 【详解】取BD的中点P,连接PM,PN, y M s= B p--2 D N C 在HBD中，-而，在BCD中，Pm=C, 2 所以m=MF+PN-4D+号Bc-aD+8C) 变式训练 1.如图，已知M:N分别是空间四边形ABCD的对角线AC和BD的中点，求证：M=B+CD) D ! N M A B 【答案】证明见解析 【分折】取C的中点p连接pM,PW,由F-号服，Pm=号D,W=师+PN即可求证 【详解】取BC的中点P,连接PM,PN, 在AMBC中，MF=号，在BCD中，N=0D, 所以=M+p网-+号0而-+c可) M B 2.如图所示，在三棱柱 BC-ABG中，M是中点，化简下列各式： BB y C (1) AB+BA (2) AB+BC+CC ()号4+B- 【答案】4)4M,(2)4C,(3)0 【分析】根据三棱柱的几何特征，结合空间向量加减、数乘的几何意义化简各式， AB+BA=AA 【详解】(1)由空间向量加法的几何意义知： ②：BG=BC,则4B+8G=B+BC=AC,又M=CC AB+BC+CC-AC+CC-AC-CC-AC--C (34=BB=2BM.+B=AB+BM-AM 号4+-=--0 3.如图，设A是ABCD所在平面外的一点，G是ABCD的重心求证：AG=(AB+AC+AD) G 【答案】 连接BG,延长后交CD于点E,连接AE,， B∈ G 由G为4BC 的重心，可得CE=DE.BG-2GE 则4G-B=2(E-4G) 则4G子征+}B,又-aC+0).， 测6-34c+号0写6-+c+ 【分析】连接BG,延长后交CD于点E,利用G是△BC 的重心即可得到AG与8,4C,D 之间的关系 【详解】略 【经典例题三空间向量数量积的应用】 【例3】如图，在空间四边形ABCD中，AB=3,BC=4,AD=5,∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC. D a BA-BC (1)求 (2)求CD的长 【答案】(1)-6 ②V7 【分析】(1)根据数量积的定义直接求解即可： CD=CB+BA+AD (2)先利用加法法则表示 然后利用数量积的运算律求解即可， 【详解】(1)因为AB=3,BC=4,∠ABC=120°， 所以BA:BC=cos BA,BC=3×4xos120P=-6 CD=CB+BA+AD (2)因为 CD=CB+B4+AD)-CB+BD+2(CB.BA+BAD+CB.AD) =16+9+25+2(4×3×c0s60°+3×5×c0s60°+4×5×c0s90)=77 所以CD=CD=V7 奥 变式训练 1,如图，枝长为1的正四面体OABC中， 1=a05=五0C=C,点M猜足OM=2☑，点N为BC中点， M MN (1)用 abc 表示 e求a 1 【答案】()MN-= 12 b 21 +20-3 l-i 【分析】(1)根据空间向量线性运算求解即可. 11-2- (2)根据=26+20-专0，再平方求解即可 【详解】(1)连接ON,如图所示： M N 因为0M=2M01=a,0B=6,0c=c 所um-0N-0w-oi+o列-ai-+-a 3 (2)因为正四面体的棱长为1，所以a-b=ac=bc=} 2, 6+2+212 a+b.c 2 3062、 MN2=1+1+4+1_1119 一十一 44943336 所以例= 6 ABCD-ABCD 60° 2.如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为.记 AB=a AD=b AA=c D BD (1)求的长： @求D与4 夹角的余弦值. 【答案】0v2 6 (2)6 【分析】（山表达出BD=-a+c+6,平方后，结合数量积运算法则计算出BD=2,求出丽的长为 √2 (2)计算出 C=5,BD·AC=1,从而利用向量的夹角余弦公式求出答案 【详解】c4由题意知：同-闪=月=l,<a,b><,c><Ga>-60. .a.B-B-c=c-a-IxIxcos60=I 2 又，BD=Bi+A4+A0=-a+c+6 Bn2=(6+c-a°=-6+e2+a+2b.c-2b.a-2ca=1+1+1-1=2 :B0=5.即0的张为2， (2):AC=Ai+D=a+6 Ac2-(a+=d+2a-6+6-1+2x+1=3, :aC-5 BD.AC=(B+c-a)(a+B)=a-B+a.c-a+B+B-c-a.b=1 cos<C BD·AC 1 _V6 BD4CV2×36, √6 即BD与AC夹角的余弦值为6· 3.如图，在三棱柱 4C-4公G中，M,N分别是4B,4G上的点，且 2BM=4M,CN=2AN,i设 AB=a AC=b AA=c ()试用a6,c 表示向量M, (②若∠B1C=0,∠BM4=∠CM4=60AB=AC=A4= ,求线段MW的长 【第100+号 2万 (2)3. 【分析】(1)根据题意，结合空间向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解： (②)根据题意，求得a-6=0g-c=ac=2 0且 ,结合空间向量的数量积和模的运算，即可求解。 2BM=AM,CN=2AN 【详解】(1)解：因为 根据空间向显的运算法则，可得M=4N-4M={4C-名(B-4) =-B+4+2M=-2a+6+2 3 30+3b+2c 3 31 (2)解：因为<BMC=90,∠B14=∠CM4=60AB=AC=A4=2 可得0-6=0月6c=ac=2 期-（号a++-4d++4e-4-6+46-0 3 =)06+4+16-0+8-16=28w=27 9,所以 3, 2v7 即线段MN的长3. 【经典例题四用空间基底表示向量】 OA=a OB=b OC=c 【例4】如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设 ○ B ①试用向量a,6,C表示向量0 OE ②若0A=0C=4,0B=2,∠40C=∠B0C=∠40B=60°，求0E-0 的值. 【答案】(1)OE= 06+ 4 (2)11 【分析】(I)运用向量加法的线性运算及中点向量公式，通过两次中点(D为BC中点，E为AD中点) 逐步将所求向量用已知基底表示： (2)利用向量模长与夹角余弦值求各基底向量间的数量积，再代入第一问结果进行向量数量积的分配律 展开并求值： 【样1山出是时得向量o所-a+0-oo+*0+ .a=2×4c0s60°=4a.c=4×4c0s60°=8 (2)由题 由(1)得0E= 0E.0A= 所以 a++a-16+4xx8-n 2 44 奥 变式训练 1.如图，己知棱长为1的正四面体OABC,E,F分别是AB,OC的中点. ④用oi.oi0 表示向量所，并求F 的模长； (2)求证：EF⊥AB,EF⊥OC: (3)求OE与BF所成角的余弦值 【答案1oF=oc-o1-06,号 (2) 证明：F.4B=OC-0A-0B)(oB-0同=0，所以EF1AB同理可证 EF.oc=0c-0A-0B)oc=0,所以：EF10C 3)3 【分析】()利用向量的三角形法即可表示出向量EF,两边同时平方即可求得结果 (2)利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明 (3)利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果， 【详解14F-0F-0=0c-0i-0丽.㎡-(0c-01-0- 2 2 所以 2. (2)略 OE.BF )c-o) (3)设为异面直线与 所成的角，cos0= -2 OE BF OE BF 3 3 9 OE BF 4 2.如图所示，已知直三棱 ABC-ABG中，D AC的中点， ∠ABC=60°，AB=2,BC=CC1=1 A D B (1)用 M,C,弧表示M瓜，CD (2)求1B·cD 【答案】0)AB=-BA+BB,CD=BB+2(B1-BC: 1 ②2 【分析】(1)根据空间向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可： (2)根据数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】(1) AB =AB+BB =-BA+BB CD-CC+CD=CC+1G4-+C-BB+(BA-BC) (2)由题意可知， BA-2,BC=BB=1,<BA,BC>=60°」 <BB,BA>=<BB,BC>=90° ABC=2x1×cos60°=1，BB,.BA=BB.BC=0 所以 AB·CD=(BA+BB7 所 (B-BC) =-A,B胍BA-BA+M,c+丽-B服+服BA-弧-ac 2x4+2x1+1=2 1 1 2 2 3.如图，在空间四边形O1BC中，点D为C的中点，正-号4D,设OA=a.OB=6,OC-c 0 A B 0)试用向量a6,c 表示向量ODD OA=OB=OC=2,∠AOC=∠BOC=∠AOB=90°OE.OD (2)若 ,求 的值 【答案】)0D=6+c),D=(-2a+b+d a 【分析】(1)利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果 〔②利用=角形头则得0-号知+名+言，又由（山)的结论0D-6+.丙个向量求数列积即可 【详解】（山0D-o+oC)=6+d). D=)(aB+AC)=)oB-0A+0c-0A(-2a+6+d) (②)因为0M=0C=2,0B=2,∠A0C=∠B0C=∠M0B=90 所以a,6）=6,c=(a,c)=2a=6==2, 所以a-6=dc=6.c=0 0呢=0i+亚-0i+0=0i+o0-0网列-0i+o0-号a+5+若， 6 69 所以0E.0D (a++6+6+ac+r+5e+5e+ 1212 12 3 【经典例题五空间向量基本定理及其应用】 【例】如图，在直三棱柱ABC-4BG中，AB=4C=4=3,∠BAC-号，BD-}BA, Dr- 0用4.4C,4表示D, AC (②求直线C”与直线AC所成角的余弦值， 【省案】0西-号-4c+号4 3 (2)4· 【分折】（山利用空间向量基本定理得到西-号伍-4C+}瓜。 3 3 2⑦-号-4C+4两边平方，求出C0-8:得到C0=22,并求出 D4G-气瓜-4C+兮瓜4C+网)-3.aG-35,利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案 【详解1山D-4。 CD-CB+BD-CB 号-c+ (2由4)知，D子-4C+4,两边平方得 0-0-c+4j 号+4C+写号4c-号M4C+号 ABC-AB,G为直三棱柱， AB=AC=AA=3 因为三棱 所uB14,41AC,故B=杯4C=0 B-4C-4Ccos子3x3cas号号 32· 所以CD=4+9+1-4×9 ×-=8 32 故C0=2v2 因为4G=4C+cC=35,故AG=35 AC 设直线C”与直线4C所成角为. 而aG-（号丽-c+号4c+网 号C+号4-C-cA+c+ 29 三一X -9+3=-3 32 CD·AC 3 1 所以c0sB= CD AC 22×3√24， 1 所以直线CD与直线AC所成角的余弦值为4 变式训练 1.如图，在直三棱柱 BC-4BG中，BL4C,4B=AC=2M=3.E,F分别 CA,AB 分别为 的中点 B E B (四 EF=xBC+yBA+zBB ,求x+y+的值： (2②求乐.BC 【答案】()0 (2)2 【分析】(1)根据向量的运算法则，化简得到 -AB-C,结合F=C+v8+8,即可 2 2 求解； (2)可得 C=BC+BB ,结合数量积运算求解即可 【详解】(4)由向量的线性运算法则可得F=正-正=)46-(4+AC) =4+a-C列8+0-88-aG. 1 又因为EF=xBC+yB4+zBB,则x=2y=0,2=2, 所以x+y+z=0 (2)由题意可知： BC =212,BB=3 又因为RC=BC+B店 所以F.BC-aB-AC)aC+g-B店-AG）9-8- 2.如图，四面体OABC的所有棱长都为l,D,E分别是OA,BC的中点，连接DE. D (1)求DE的长： (2)求点D到平面ABC的距离. 【g类1®号 √6 (2)6 OA,OB,OC 【分析】(1)利用基底 表示出向量DE ，再根据向量数量积求长度的方法即可求出： (2)由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为△ABC的中心，即可求出. 【详解】(1)因为四面体OABC的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体， DE-DA+0+0B-0+(OC-0B)--104+0B+OC mn01.0=0B.0c=01.0c= 所以lDd=oi-0B-oc=46-1)=2 即D-2 √5 2,所以DE的长为2. (2)因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影O'为△ABC的中心， 11-3 △ABC的外接圆半径为sin60°"23， 所以点。到平面 ABC 的距离为d 3 哈 由于D点为线段OA的中点，所以点D到平面ABC的距离为6， D A E 3.如图，在正四面体ABCD中，点N是面ABC的中心. D E (1)在此四面体的棱所对应的向量中找出两组各三个不共面的向量，并把其他棱对应的向量分别表示成这两 组向量的线性组合（互为负向量的不必另行表示)，要求第一组三个向量所在的棱有公共点，第二组三个 向量所在的棱没有公共点； (2)把DN也分别表示为这两组向量的线性组合. 【答案】(I) 第一组向量可 D1=d,D所=b与DC=c,则=Di-DA=6-d BC=DC-DB=c-b CA=DA-DC=a-c 第二组向量可 DA=d,D丽=b与Bc=d.则4i=6-a,Dc=D+BC=b+d CA=DA-DC=DA-(DB+BC=a-6-d ②DN=a+6+c与DN=a+26+a 333 333· 【分析】(1)利用图形性质用空间向量的基本定理表示即可： (2)利用图形性质用空间向量的基本定理表示即可： 【详解】(1)略 (2) D E 如图取点E为AB的中点， 由三角形的性质可知：点N在CE上，且 (C4.CB) 所以DN=DC+CN-Dc+(CM+CB), 分别代入（山的结果，化衡每DN=0C+号O1-DC+号o8-DC)-0++与 与N-c+Di+n丽=Di+n丽+os+网)-a+5+d 3 【经典例题六空间位置关系的向量证明】 【例6】如图，在正方体ABCDA'B'C'D'中，E,F,E',F分别是棱AB,AD,B'C,CD 的中点.求证：四边形EFF'E为平行四边形 D' B D B 【答案】证明见解析 【分析】连接BD,BD',利用对边平行且相等得到四边形BBD'D为平行四边形，进一步可证 【详解】证明：连接BD'BD,因为E,F分别为B4D的中点，所以EBD且EF=BD D' F E D 同理EF1BD且EF-号8D,在正方体ARCDARCD中，四边形BBDD为平行四边形， 所以BDIIB'D'且BD=B'D,所以EFIIE'F',且EF=EF', 故四边形EFFE'为平行四边形. 冥变式训练 1.如图，在直三枝挂BC4BC中，M=2B=21C,B4C=0,D,日，F分别是楼4C,CC A8的中点，点G在楼BB上，且BG=38C ·证明：DF LEG D B G B C 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得 【详解】由题意可知48,4G,4A两两垂直，则以4为原点，A纸，4G,4 的方向分别为x,y, z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系。设B=2,则M=4 ZA 所uD0,14).F0,0）E02,2),G20,3),则DF=-l-4,BG=(2,-2,) 因为 F.EG=1×2+(-1)×(-2)+(-4)×1=0 所以DF⊥EG,即DF⊥EG. E.F AB,BC 2.如图所示，在棱长为4的正方体 ABC-04BG中， 分别是棱 上的动点，且AE=BF=x 其中0≤x≤4，以0为原点建立空间直角坐标系0-z C B A Q C E AF⊥CE (1)求证： (②若x=2,求os(EF,E4）的值 【答案】(1)证明见解析： V10 (2)10 【分析】()根据给定的空间直角坐标系，求出4F,GE的坐标，计算4F-C 即可得证 EF,EA (2)求出 的坐标，利用向量夹角的坐标表示即可得解 CF=4-xA(4,0,4),F(4-x,4,0),C(0,4,4),E(4,x,0) 【详解】(1)依题意， 则4F=(←x44,GE=(4x-4,于是4F.GE=-4r+4x-+16=0, 所以4F1G ,即4F1CE By E B (2)当=2时，B4,20,F24,044,0,则F=（-2,2.0,EA=0,-240 所以os(EF,EA)= EF.EA-2×0+2×(-2)+0×4 V10 EFEA 2V2×2V5 10 ABCD-ABCD AA=4。AA⊥ 3.如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ,且 底 面4BCD,点P满足0=30C,点P是楼D0上的一个点（包括端点）.求证： BD //BD A D p 【答案】证明见解析 BD=2BD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示即可得出 可得结论 AA⊥ ABCD ABCD 为正方形，且4B、ADC底面 BCD 【详解】因为 底面 且底面 所以AB,ADA4 两两互相垂直， 以4为坐标原点，B,D,从所在直线分别为，’.？销建立空间直角坐标系，如下图所不： ZA 则40,00)，B(4,00）.D(04,0)）B(20,4)D(0,24) 则BD=(44,0）.BD=(-22,0) 有 BD=2ED BD,B.D ，又 不在一条直线上， 所以D1/BD 【经典例题七异面直线夹角的向量求法】 ABCD-ABCD 【例7】如图，已知正方体 的棱长为4，P、 BC BC ”分别是棱心、 的中点 D C A D C ⊙ AC⊥ BDDB (1)求证： 平面 DP AO (2)求异面直线 与所成角的余弦值. 【答案】(1)详见解析： 5 (2)5 B,⊥A 【分析】(1)由 B+平面MBCD得到 C,再由BD14C,利用线面垂直的判定定理证明 (2)建立空同直角坐标系，得到40=(-24,0)，DP=(2,44),设异面直线DP与40所成的角为9， 由cosB=cos(4g,D 八求解 【详解】(1)在正方 ABCD-ABCD中， 因为服土平面4BCD,4Cc平面BCD。 1AC,又BDLAC,且BnBD=B 所以 BB BDDB DDB 平面 BDC平面 所以AC1平面 DDB (2)建立如图所示空间直角坐标系： ZA D C A D 则4(4,04.D(0,04.0(24,4,P2,40) 所以40=(-24,0)，DP=(2,4-4) DP 设异面直线 与所成的角为， A9·DP cos0=lcos(42,DP》 125 则 4@D,71255 只变式训练 1.如图，在长方 ABCD-ABCD由AD=AM=1,AB=2,E为MB的中点. 中， D E 1求点E到面 DA 的距离： DE (2)求直线 AC 与直线“夹角的余弦值. 【答案】(1)1 √5 (2)15 【分析】()利用长方体的性质得到E上平面 DDA 再结合题意求出4E即可 (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线的夹角的余弦值 ADDA 【详解】(1)由长方体的性质可得E上平面 因为AB=2,E为AB的中点，所以AE=1, 则点E到面 DA 的距离为] (②如图建立空间直角坐标系，则10,0)，C(0,20）.E,10)D(00,1) 所以DE=(,1-).4C=(←12,0) DE.AC 1 设直线DE与直线4C的夹角为，则o0 .5 AC DE4C3×V5=15, √15 所以直线DE与直线AC夹角的余弦值为15. ZA D C A B D ABCD-ABCB 2.如图，已知正方体 的棱长为E为CD的中点 D 8 D E B AC (①求点E到直线4C的距离： BD AC (2)求直线 与直线夹角的余弦值 2 【答案】()2 (②3 【分析】(1)通过建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式求解： (2)同样利用向量的点积公式求出两直线方向向量夹角的余弦值，进而得到两直线夹角的余弦值. 【详解】(1)以D为原点，分别以 A,DC,DD 所在直线为之八乙轴，建立空间直角坐标系。 已知正方体棱长为1，E为CD的中点，则各点坐标为：A,0,0),C(0,11),E(0,20), 则4E=0-l20,0-0=(-120),4G=0-,1-0,1-0=110: AE.AC （-)x(-H)+2x1+0x刘 所以E 2√5 AC可AC (-12+12+12 32 所以d=小AE-AE. (2)在D为原点，分别以 DA,DC,DD 所在直线为，儿轴，建立空间直角坐标系中， B1,1,0)D,(0,0,1) D=(0-1,0-1,1-0)=(-1,-1,1) 则 D与直线1C的夹角为9. B 设直线 则cos0= BD·AC (-)×(-1)+(-)x1+1x刘_1 BD AC V(-1)2+(-1+Px5 3 D B D E ABCD-ABCD 的棱长为2， E,F AB,BC AE BF 3.已知正方体 分别为 的中点，求异面直线与 所成角的 余弦值 2 B A D E B 4 【答案】5 【分析】首先将异面直线的方向向量4E,BF 运用向量的线性运算表示出来，然后计算它们的数量积和向 量的模，最后利用异面直线夹角的余弦公式求得答案 【详解】根据题意可知， AE=4A+AE,BF=BB+BE 所以4EBF-(41+A正(BB+BF)）-44BB+4ABF+A花BB+AEBF 因为41BB.41LBF,E⊥BB、AELBF 所以4iBB=4=BB=4,44BF=0,AE8B=0,AE8F=0. 所以AEBF=4 根据勾股定理可得， 4E=V4+1=V5,B,F=V4+1=V5 AE,BF 所以异面直线 所成角的余弦值为： AEBF 44 cos(AE,BF AEBF 5x55 【经典例题八线面角的向量求法】 【例8】如图，己知四边形ABCD是直角梯形，ADI‖BC,∠ABC=90°，SM⊥平面ABCD, SA=AB=BC=2AD,E是CS的中点 (I)证明：DE⊥SB (2)求直线AB与平面SCD所成角的正弦值 【答案】(1) 以A为原点，AD,AB,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨 设4D=a,则SM=4B=Bc=2a,则40.0,0）B(0,2a,0）,C(2a,2a,0)D(a0,0）s0,2a) E(a,a,a) DE=(0,a,a）S8=(0,2a,-2a) DE-8=2a-2a=0,所uDE10 6 (2)6 【分析】(I)建立空间直角坐标系，设AD=a,即可得各点坐标和向量坐标，然后由空间向量的数量积 证明线线垂直： (2)根据线面角的向量求法即可求出， 【详解】(1)略 (2)在平面SCD中，Dc=(a,2a,0),Sc=(2a,2a-2a).B=(0,2a,0) DC=0 设平面sCD的法向量为n=(x,y,z)小，则n-SC=0, ax+2ay=0 [x=-2y 即2ax+2ay-2az=0,所以z=-y, 令y=,则2=l,x=2,所以i=(2-0 AB.n 所成角的正弦值为cos AB,列 -2a√6 故直线与平面 AB 2a×V6 6 AB SCD D 见变式训练 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，E为棱PC的中点 P D B (I)证明：PA/1平面BDE: (2)若PD⊥底面ABCD,且PD=AD,求直线PB与平面BDE所成角的正弦值 【答案】()证明见解析 1 ②3 【分析】(1)根据正方形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可 【详解】(I)连接AC交BD于O, 因为底面ABCD为正方形， 所以点O是BD的中点，又因为E为棱PC的中点， 所以OEIIPA,又因为PAC平面BDE,OEC平面BDE, 所以PAII平面BDE: (2)因为PD⊥底面ABCD,DA,DCC底面ABCD, 所以PD⊥DA,PD⊥DC. 又因为底面ABCD为正方形， 所以DA上DC,于是可以建立如图所示的空间直角坐标系， 设PD=AD=2a, D(0,0,0),P(0,0,2a,B(2a,2a,0),E(0,a,a) 则PB=(2a,2a-2a,Di=(2a2a,0),DE=(0,aa） 设平面BDE的法向量为 =(x,y,z) m.DB=0 2ax+2a0y=0 mDE=0 ay+az=0，故可取m=(（1,-1,1): 设直线PB与平面BDE所成角为B, sin=4, 所以直线PB与平面BDE所成角的正弦值为3 E C 2.如图，在直三棱柱 BC-A8G中，4C1平面MBG,4=ABC 平面 B B BC⊥AC (1)证明： (②)若直线BC与平面AB,C所成角为6，求1 【答案】(1)由 CL半面MBG.BGC平面BC,可得4C1BG 平面 1 ABC-ABC中，CC上平面4BG,BGC平面4BC,则 C⊥BC 在直三棱柱 C∩AC=CCC,ACc 面4C BC⊥ ACC 又 ,所以 平面 ACC ACC BC1⊥AC 又 平面 ,可得 (2)2=1 【分析】(1)由线面垂直分别推得 AC⊥B,CCC⊥BC ,再由线线垂直证明线面垂直，最后利用线面 垂直的性质即可证得： (2)根据(1)的结论，建系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】(1)略 4C1 ABG,AGC平 面BG.可得 AC⊥AC (2)由 平 因四边形4CC是矩形，故四边形14CC是正方形，则4G=4 CC⊥ ABC BC⊥AC 由(1)已得 平面 C CB CA CC 故可以为坐标原点， 所在直线分别为x、少、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz ZA B x 不纺设G=1,则BL0,0),C0,02),40A,0),故C=(-10,), 由题易知平面BG的一个法向量为4C=(0,-元2) 则sm-osc,4- B,C·AC B,C4C√2+12元2， 解得22=1，因2>0，则1=1 3.如图，己知△ABC是等边三角形，AB=BD=2CE=2,CE∥BD,BD⊥平面ABC,点F为AD的中 点. (I)证明：EF⊥平面ABD; (2)求直线AC与平面ADE夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 √2 (2)4 【分析】()根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质 进行证明即可： (2)结合(1)的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可 【详解】(1)证明：如图，取AB的中点O,连接OF,OC, :BD⊥平面ABC,BDC平面ABD .平面ABC⊥平面ABD, △ABC为等边三角形，.CO⊥AB 又平面ABC平面ABD=AB,COc平面ABC, ∴.CO⊥平面ABD :CE//BD,点F为AD中点， 六OF11BD, 0w-0 又CE=BD 2 ∴.OF/1CE,OF=CE ∴四边形OFEC是平行四边形，.CO11EF, ∴.EF⊥平面ABD (2)由(1)可知CO⊥平面ABD,OF⊥平面ABC, ∴.OF,AB,OC两两垂直， 故以O为坐标原点，OA、OC、OF所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B O C 则00,00)，A,00）,B(-10,0),C0,5,0),E0,5,,D(-1,02) .4C=(-1,3,0）.AE=(（-1,5,1.4D=(-2,0,2) 设平面DB的法向量m=(Gy2) mAE=0, -x+V3y+z=0, 则m.AD=0,即-2x+2z=0, 令2=1，则x=1,y=0.m=(1,0) 设直线AC与平面ADE的夹角为B, 则sin8=cos(AC,m AC.m1 2 ACm 12×24, 2 ∴.直线AC与平面ADE夹角的正弦值为4· 【经典例题九面面角的向量求法】 【例9】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD, AB=PD=2,E,F分别为棱PA,AB的中点. B (I)求异面直线BD与CE所成角的余弦值； (②)求平面CEF与平面PCD夹角的余弦值. 5 【答案】(1)6 14 (2)14 【分析】(I)由面面垂直的性质可得PD⊥底面ABCD,建立空间直角坐标系，由异面直线向量法计算即 可： (2)由面面角向量法计算即可 【详解】(I):侧面PCD⊥底面ABCD,侧面PCD∩底面ABCD=CD,PD⊥CD, ∴.PD⊥底面ABCD, ADC底面ABCD,∴.PD⊥AD, 以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， Z D B 则B(22,0).C0,20)E1,01） .DB=(2,2,0）CE=(1,-2,1) DB.CE 2 5 “异面直线，与。所成角的余弦值为DCE 2W2×√6 6. BD CE (2)由(1)得1 F(21,0)CF=(2,-1,0) 设平面CEF 的法向量为 ni=(x,y,z) nCE=x-2y+z=0, 则万-CF=2x-y=0,令x=1,则y=2”z=3' 得平面CEF的法向量为” =(1,2,3) 易得平面PCD的一个法向量为 =(1,0,0) m列_14 ∴平面CEF与平面PCD夹角的余弦值为m11×1414 变式训练 1.如图， 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是 PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F (I)求证：PAII平面EDB; (2)求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值. 【答案】() 连接AC,交BD于O,连接OE,由正方形的性质可知O为AC的中点， 因为E是PC的中点，所以OEIIPA, 因为OEC平面EBD,PA￠平面EBD,所以PAII平面EBD 5 (2)3 【分析】(1)利用三角形中位线得出线线平行，结合线面平行的判定定理可证结论： (②)建立坐标系，利用垂直关系求出P的位置，求法向量，利用法向量求解两平面的夹角 【详解】(1)略 (2)由题意，以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,2轴，建立空间直角坐标系， D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),P(0,0,2）E(01,1)PB=(2,2,-2),DE=(01,1) 设PF=mPB=(2m2m-2m）.则DF=DP+PF=(2m2m,2-2m）】 EF=DF-DE=(2m,2m-1,1-2m) 因为EF⊥PB,所以FPB=0,即2 2×2m+2×(2m-1)-2×(1-2m)=0 224 1m= DF= 解得3，所以 333 DF=2x+2, x 3 320 3少 设平面DEr的一个法向至为后=(ky,2)则n,DE-y+z 令z=-1,符万=(1，），易知平面ABCD的一个法向量为 P=(0,0,2) DP 23 设平面D8F与平面4BCD的夹角为g则os-】 :Dp5×23 √5 即平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为3· F 2.如图，在正方 ABCD-ABCD中棱长为 ，M,N分别是 DD,BD 的中点，点P在线段4B上（包括两 AB 个端点)运动，当P为线段4“的中点时 A B C M D PN⊥AD (1)求证： (2)求平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析 √6 (2)6 【分析】(1) AB,AD,AA 分别为七少2轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标 A-y2,求出 PW,D,由PWD=0 即可证明： (2)求平面PMN与平面ABCD的法向量，由二面角的向量公式求解即可 【详解】(1)以 AB,AD,AA 分别为x少2轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-2 D M t- B 则40,00,4(00,2)，B(20,0).D02,0),D(0,22) 因为M,N分别是楼DD,B 的中点，所以M(0,2N1,0) 当P为线段4B的中点时，则P0,) PN=(0,L-,D=02,2）,所uPN40=0,即PN14D: 因 ②因为PN=(O1,-.W=.-1,-),设平面PMN的-个法向量为i=(), y-z=0 由n1PW,n1M,得x-y-z=0,取y=1,则i=(21,), 又因为 m=(0,0,1) 是平面ABCD的一个法向量， 设平面PMN与平面ABCD所成的二面角的平面角为O, m_1√6 则川=m明-同洞石-8 因为0为锐角，则 0s0=16 6, 6 即平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为6 3.如图，平行六面体 BCD-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点， CC=2∠CCB=∠CCD=60°· D B A C0 (1)证明： 平面ABCD B-AA-D (2)求二面角 的正弦值， 【答案】() D B BC,DC 因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以 BC=DC 连接 又因为∠CCB=∠CCD=60CC,=CD=CB=2 由aCCD△CCB C=BC=2, 和 等，可得 易得点O为线段BD。 CO⊥BD 的中点，所以 且C0=VCB2-0B2-V2-(2=V2 由G0+c02=2+2=4=c ,可得9014C AC∩BD=O,AC,BDC 又因为 平面ABCD C0 故 平面ABCD 2√2 (2)3 BC,DC CO⊥BDCO⊥AC 【分析】(1)连接 ,利用平面几何知识分别证明 和 ,再由线面垂直的判定定 理证明即可； (2)根据题设与(1)的结论建系，写出相关点和相关向量的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间 向量的夹角公式计算即得. 【详解】(1)略 (2) D C B D B 由题知正方形1BCD中4CLBD,CO 平面ABCD 则可以以点O为原点，分别以 A,OB,OC x,y,Z 0-xyz 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 则B0,v2,0.D0,-2,0,42,00,C-20,0,C0.0,2 则4=0C=5.0,2,B=(22.0,0=(2,-2,0 设平面B14的法向量为m=(:y2）,平面DM4的法向量为 =(x2y22)月 A4m=x+2=0 则4Bm=-√2x+V2y=0,故可取m=(,1-) A4·n=V2x2+V2z2=0 4Di=-2x,-2,=0,故可取n=0,-1,-) B-AA-D 设二面角 的平面角为0， 则cos0 -lcos/m,.m非1m:m=11 Imln 3x3 3, 故in0=V-eos20=22 2v2 即二面角B-A4-D的正弦值为3 ZA D 、B1 D B 【经典例题十点到平面距离的向量求法】 【例10】如图，在长方体 BCD-ABCD中，B=4,BC=3,CG=2E AB的中点 D A BC//ECA (1)求证： 平面 ②求点C到平面 CA 的距离。 【答案】(1) 建立如下图所示的空间直角坐标系， B(3,4,0),C(0,4,2),E(3,2,0),C(0,4,0),4(3,0,2） BC=（-3,0,2),E4=(0,-2,2),EC=（-3,2,0) ECA m=(x,y,2) 设平面的法向量为 m·EA=0.「-2y+2z=0 → m·EC=0 -3x+2y=0,取x=2:则y=2=3 所以m=(2,33) 因为BCm=-3×2+0x3+2×3=0 所以BCm=0 ,又因为BCc平面 ECA BC//ECA 所以 平面： ZA D D 3V22 (2)11 【分析】(I)建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即 可； (2)利用空间向量点到面距离公式进行求解即可， 【详解】(1)略 (②)由(1)可知平面BC4的法向量为m=(23,3),CC=(0,02), CC·m 6 3√22 所以点C到平面EC4的距离为m V22+32+32 11 变式训练 1.如图，在正三棱柱 BC-4BC中，各楼长均为4，N是GC 是的中点 B B C (1)求点到平面 ABN 的距离； N-AB-B (2)求二面角 的夹角的大小 【答案105 es O AB 【分析】()取B的中点O, 48的中点D,连接OC、OD,即可证明 D上平面 ABC OC⊥AB 建立空间直角坐标系，求出平面ABN的法向量，利用空间向量法计算可得： ABB A (2)求出平面 的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解。 【详解】（山取AB的中点O,4 4的中点D,连接OC、OD, 因为三棱柱 BC-4BG是正三枝柱，所uoc1A8,ODM.M上平面4BC 所以OD⊥平面ABC, 如图建立空间直角坐标系，则4(-2,00），B(20,0),C0,25.0,G0,23,4.N0,25,2) 所以G=(0,02).4N=(2,23,2.BN=(-2,25,2 设平面1BV的一个法向量为”=(：，少习 AN=2x+2v3y+2z=0 所以n.BN=-2x+23y+2z=0:取i=(0,1,-V3) 所以点C到平面ABN的距离d= C_25-5 2 B 入 (2)因为平面 B84的一个法向量为前=(0L0), N-AB-B 的夹角为，显然二面角 -AB-B 设二面角 为锐二面角， m11 cos0= 0e0,π 所以 2×12,又2，所以3 即二面角N-AB-B的夹角为3 BC-4BC中，∠BC1=90.M,N分别是4级，4C的中点， 的中点， BC=CA=CC=2 2.如图，直三棱柱 C B M C以-------- (I)求异面直线BM与AN所成角的余弦值： (2)求点A到平面BCM的距离. √30 【答案】()10： 45 (2)5 【分析】（①）利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可： (2)利用空间向量法求点到面的距离即可 【详解】(1) B M C ! ABC-ABC 由直三棱柱 中，∠BCA=90 ,可如图建立空间直角坐标系， M,N BC=CA=CC=2 因为分别是 48.4C的中点。 所以12,00，N40,2,B0,20),ML1,2) 即4N=(L0,2),BM=1-1,2) 所以有cos(AN,BM》 (-1,0,2)(1,-1,2) -1+4 V30 (-1,0,21,-1,2 V1+4V1+1+410, √30 即异面直线BM与AN所成角的余弦值I0: (2) C B方 CB=(0,2,0),BM=(1,-1,2),CA=(2,0,0), 设平面BCM的法向量为 n=(x,y,2) .CB=2y=0 则iBM=x-y+2z=0令z=1可得：y=0,x=-2, 所以7=(-20,1) cam_(2,00)(-2,0,_4_45 即点4到平面BCM的距离为i (-2,0,1 55 3.如图，在四棱锥E-ABCD中，EA⊥平面ABCD,ADI/BC,∠ABC=90°，AD=2,AB=BC=1, EA=1. E -------------D C (I)求点D到平面EAC的距离： (2)求平面ABE与平面CDE所成角的余弦值 【答案】0V2 6 (2)6 【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据点到平面距离向量法计算即可求解： (2)根据面面角向量法计算即可求解。 【详解】(1)以A为坐标原点，直线AB,AD,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， ZA B D y 则40,0,0，C,1,0,D0,20,E0,0,）.Ac=(1,0,AE=(0,0,1),AD=(0,2,0) 设平面B1C的一个法向量为”=：，水，2) i·AC=x+%=0 则万AE=2=0,取x=1,则y=-1,2=0: 所以平面B1C的一个法向量可以为”=-，0)， 即点n到平面g4C的随离为2。 (2) CD=(-1,1,0),ED=(0,2,-1) 设平面CDE的一个法向量为m=(5,为，)】 CD.m=-2+y2=0 则EDm=2,-2=0,取乃2=1，则为=1,2，=2： 所以平面CDE的一个法向量可以为所=(11,2)， 显然%=(0,10)是平面4ABE的一个法向量， 设平面ABE与平面CDE的夹角为B, 则cos0=乙， √6 所以平面ABE与平面CDE夹角的余弦值为6· 【经典例题十一异面直线距离的向量求法：】 【例山如图，在三楼键S-A8C巾，S=S8=BC=4C=5.SC=B=2E,F分别为4，SC的中点 (1)求直线BF与平面ABC所成角的正弦值： (②)求异面直线SE,BF的距离d, 5 【答案】(1)4 g1② 【分析】(I)连接EF,EC,由题意可证得AB⊥平面SEC,SC⊥平面ABF,作EG⊥平面ABF,分别 以EB,EF,EG为x,少，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可 (2)利用空间向量求解，先求出异面直线SE，BF的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求 解即可 【详解】(1)连接EF,EC,由题知，SE是等腰三角形SAB底边AB上的中线， ∴·AB⊥SE.同理，AB⊥EC. 因为SE,ECC平面SEC,SE∩EC=E, AB⊥平面SEC,又EFc平面SEC,AB⊥EF. 同理，SC⊥平面ABF 作EG⊥平面ABF,分别以EB,EF,EG为x,y，z轴建立空间直角坐标系， 由题知，SE=2,EF=5,A(-L0,0),B(l,00),C0,v5,-.E00,0).F0,5,0）.S0,V5, 设厅=(：y2)是平面ABC的法向量， n·AB=0 〔2x=0 则.4C=0,即x+V3y-2=0,取i=(0,1l,5): cos(BF,n）= BF.i_5_3 BFm2.24, √5 ∴.直线BF与平面ABC所成角的正弦值为4 m⊥SE (②)设m是异面直线SE'BF的公垂线的方向向量，由m1BF, 同（山可得m=(3,-5) 由都如，异面直线E”B的距离等于历在同方向上的段影长。即d EB.m52团 ∴.异面直线SE,BF的距离”7 B a 变式训练 1.如图，在四面体D-ABC中，AB=BC=CD=DA=5,AC=6,BD=4. (I)求二面角B-AC-D的平面角的大小： (2)求异面直线AB与CD间的距离， 【答案】(1)60° 1213 (2)13 【分析】(I)取AC中点M,由已知可得MB上AC,MD L AC,可得∠DMB为二面角B-AC-D的平面 角，求解即可： (2)以M为坐标原点，MC,MB所在直线为x,y轴，过M作直线M⊥平面ABC, M为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得异面直线AB与CD的公垂线的方向向量，利用向量法可 求异面直线AB与CD间的距离. 【详解】(1)取AC中点M,连接MB,MD, 因为AB=BC=CD=DA=5,所以MB⊥AC,MD⊥AC, 所以∠DMB为二面角B-AC-D的平面角， 又AC=6,所以DM=VDM-AM=VS-3=4,BM=VBA-AM=S-3=4 又BD=4,所以△BMD是等边三角形， 所以∠DMB=60°，所以二面角B-AC-D的平面角的大小为60°： B (2)以M为坐标原点，MC,MB所在直线为x,y轴，过M作直线M⊥平面ABC, Mz为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由(I)可知MB⊥AC,MD⊥AC,又MB∩MD=M,MB,MDc平面MBD, 所以AC⊥平面MBD,又ACC平面ABC, 所以平面ABC⊥平面MBD,所以MZc平面MBD, 则1-3,00，C60,0,B0,40,D0,22V5 则M=B,40,cD=(-3,223),Bc=6,40 设”=，y习，且”LB,n1CD n.AB=3x+4y=0 则方：CD=-3x+2y+232=0,令x=4'则y=-3,z=35, 则”=4，-33⑤) d=In-BC 24 12W13 则异面直线AB与CD间的距离In √16+9+2713 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形， ∠ABC=∠BAD=T,PA=3,AD=2,AB=BC=1. A (1)线段PB上是否存在一点Q使得QC1CD,若存在，求出BQ的长，若不存在，说明理由： (2)定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，求异面直线 PB与CD之间的距离. 【答案】0存在点P,B0=0 3V19 (2)19 【分析】(1)首先以点A为原点建立空间直角坐标系，由 ①CD=0,即可求解点2的位置，并求解 BO (2)由异面直线的距离的定义，结合(1)的结果，转化为求点Q到直线CD的距离，再转化为二次函数 求最值问题 【详解】(1)以{4B,D,P 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Az, 则各点的坐标为 (1,0,0)C(1,1,0）D(0,2,0)P(0,0,3) BP=(-1,0,3) 设O为直线PB上一点，且 0=BP=(←-元，0,3)0(1-元，0,3) c@-(,-l32）,zD=(-l0）, ∴.CQCD=-1=0,=1 所以存在点P,满足OC1CD ,此时B吧=BP=ViO z个 D立 B (2)由(1)可得 D=（-1,1,0) 又Q1-元，0,32)，C9=(-元，-1,32) g性o--网om@oj- CQ.CD 2+1+922- -12 ++ +=V2 + 2 :43© 19 3V19 所以异面直线PB与CD之间的距离为19 3.如图①菱形ABCD,∠B=60,BE=EC=1.沿着AE将△BAE折起到△B'AE,使得LDAB'=90°，如图 ②所示. 图① 图② (I)求异面直线AB与CD所成的角的余弦值： (2)求异面直线AB'与CD之间的距离. 【答案】()4 2v21 (2)7 【分析】(1)根据折叠前后的几何性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得异面直线AB 与CD所成的角的余弦值： (2)根据空间向量求直线AB'与CD公垂线的方向向量，再结合空间向量坐标运算即可得异面直线AB'与 CD之间的距离. 【详解】(1)图O菱形ABCD,∠B=60,BE=EC=1,由余弦定理得 ME=AB+BE-2AB-BE-0s60°=3，所以4E=5 所以BE2+AE2=AB,即AE⊥BC,又AD//BC,所以AE⊥AD, 在图②中，∠DAB'=90°，即AD⊥AB',又AB'∩AE=A,AB,AEC平面ABE 所以AD⊥平面AB'E,即EC⊥平面ABE, 又B'Ec平面AB'E,所以B'E⊥EC,如图，以E为原点，EC,EA,EB分别为x,y,2轴建立空间直角坐标 则E(0,0.0),CL,0o),D25,0B'(0,0l,405,o） 所以-0，D-1v0:检s,D--03+0.-3 AB.CD 2×2 4 3 则异面直线4B与CD所成的角的余弦值为4： (②由4)得4C-化-5.0)，设m=(cy)是异面直线B与CD公垂线的方向向量. AB.m=0「-3y+z=0z=V3y 所以cD.m=0x+3y=0x=-5y令y=1则m=(5,15) AC.m 5-3+02W2i 所以异面直线AB与CD之间的距离为 m 7 个提优训练 1.如图，在平行六面体ABCD-AB'C'D'中∠BAM=∠DAA=120°，∠BAD=90,AB=AD=2,AA'=4, 点M为DD'的中点. D' D (I)求BM的长； (②)已知E为CC'上的动点，若AE⊥BM,求CE的长. 【答案1025 (2)2 【分析】（山根据题意可得B:-+而+什，利用数量积求模长即可： (2)设CE=CC,根据向量垂直结合数量积可得九=2，即可得结果 【详解】(1)由题意可知： 丽=历-2-4.孤而-0. 而=孤=2x4×》4 因为BM=B1+4M=-B+AD+d。 测Bw-（-+0+d -AB+AD+-24B-AD+AD.44-4B-44 =4+4+4-0-4+4=12, 即BM=2W5,所以BM的长为25 (②)设C正=CC,则征=AC+C正=i++i 可得 正丽-（西+而+）丽+而+d 孤+而+号+合而经j丽 =4+4+8-4行+-4}小=8-4 若4B1BM:则花m=8-4-0:解得又 2 所以-20C=2,即cB的长为2 2.在平行六面体ABCD-ACA中，AB=AD=4:M=5,∠B1D=∠B14=∠D14-,M为AB的 中点，N为CG的三等分点且靠近点C.记=0，AD=6,MM=d C D M B 0用,，表示向量 N MN ，并求 的长度： (2)求平面 的法向量i(用a,6,c表示). BDD 【答案】（①） MN-1d+6+16 MN=367 2 3 (②i=5a+56-46 【分析】(1)根据向量的线性运算，利用空间向量的数量积和模长公式计算即可求解： BDD (2)设平面 的法向量 =+)6+心，根据法向量的定义结合向量数量积的运算性质即可求解 【详解】(1)由题意知：M=MB+BC+CN=a+6+ 3 wr-a5+5-++5+a5rac+6e =4+16+3 254x4cosx4x5cosx4x5co367 MN=367 9 33 33 39. : DB.n=0 (：DB=a-6DD=,设平面BDD的法向量万=a+6+c, DD·n=0: 由DB:i=0,得i-b)-(a+b+20=0+a-b+20-c-a-6-62-z6-c xx4+yx4x4cos+zx4x4cos-xx4x4cosyx42-zx4x4cos 3 3 =16x+8y+8z-8x-16y-8z=8x-8y=0 ①： 由DDi=0,得C-(a+6+20=ac+6:G+2c2 =xx4x5xc0s+yx4x5cos+zx510x+10y+25z=0: t5 ，由①②得 y=5z=-4∴.n=5a+5b-4c 3.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=3,AA=2,∠BAD=90°， ∠BA∥=∠DAA=60° D C A D B (y孤，d,d 为基底向量，表示向量BD,AC (2)求证：BD⊥AC: (3)求AC的长. 【答案】BD=-B+AD.AC=AB+AD+A (2)因为AB=AD=3,AA=2,∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA=60°， 所以MB-AD=0,AB.A=d.=3x2xos60°=3 由L)得BD.AC=(4D-AB)(aB+D+列 =AD.AB+AD'+AD.AA-AB-AB.AD-AB.AA =0+32+3-32-0-3=0 所以BD1AC 即BDLAC。 ③3a AB,AD,AA' BD,ACi 【分析】(1)依托空间向量加减法法则，用 线性表示 (2)将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为0，证明向量垂直： AC (3)对心平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度， 【详解】(I)BD=BA+AD=-AB+AD, AC"=AB+BC+CC"=AB+AD+AA' (2)略 AC=AB+AD+AA (3)由(1)得 所以AC=(aB+AD+A =AB'+AD'+A4+2AB.AD+2AB.44+2AD.AA =32+32+22+2×0+2×3+2×3=34 所以aC=V3 ,即AC的长为34 4.如图，在直三棱柱 BC-4BG中，C=CB=l∠BC1=90°，被M=2,M,N分别为444的中点 M (I)求BN的长： ②求BA与CB夹角的余弦值： BN CMN (3)求证： 是平面 的一个法向量 【答案】V5 V30 (2)10 (3)证明见解析 【分析】（山以点C为坐标原点，☑.CB、G的方向分别为、儿、2轴的正方向建立空间直角坐标 系，利用空间向量求BN的长： (2)利用空间向量法可 BM与C8夹角的余弦值： BN⊥CMBN⊥CN (3)利用空间向量法证明出 ,即可证得结论成立 【详解】(1)在直三棱柱 BC-4BG中，CM=CB=1,∠ACB=90,MM=2 以点C为坐标原点， C、C云、CC的方向分别为、’、2轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标 系 A M B B 则@o,402,ca.0),8ol2.Caa2).M(222. N,0). 因为BN=(L,-1),则BN=P+(-+P=5,所以BN的长为5. (2)由(1)可得： BA=(L,-1,2）CB=(0,1,2) 则cosB4,CR BA·CB 3 √30 BA·CB V6x√510， V30 所以BA与CB的夹角余弦值为10 (3)由1)可得： m--.cw-0 CN=(,0,-)」 则BN.CM=11 =220,BN.CN=1-I1=0,可知BN1CM,BN1CN, M∩CW=CCMC,Nc_ MN,则BNL平面9 CMN CMN 因为 平面 所以B CMN 是平面 的一个法向量 5.如图，已知空间几何体P-ABCD的底面ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD=90°，ADIIBC, BA=BC=a,4D=2a,且PH底面ABCD,PD与底面成0角. 30° B BC·PD=8 (1)若 求该几何体的体积： (2)若AE垂直PD于E,证明：BE⊥PD; (3)在(2)的条件下，PB上是否存在点F,使得EFBD,若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明 理由， 85 【答案】(1)3 (2) PD.BE .BE⊥PD,.BE⊥PD (3)存在， F0a3） -a 4’2 理由如下： 3 3 由EFBD,B点的竖坐标为2Q,，:F点的竖坐标为20， 设 0,y, -a 2, F0,a5 B D 【分析】建立空间直角坐标系， BC,PD (1)求出 ,利用BC-PD=2a=8 可得，再求体积即可： (2)求 BE坐标， PD·BE=0 0可得答案： -a (3)由EFBD,求出E点的竖坐标、F点的竖坐标， 设 由FEIBD,得x可得答案. 【】图.建立空间直角标系，则4a0,e0,cea0.Dpa0,Qa2 BC=(a,0,0),PD= 2a,0,- ..BC.PD=2a2=8,..a=2 tr-54+22x45-8 V= 3 (2)略 (3)略 ABCD-ABCD 6.在长方体 中，已知4D=B=2从-，点C在平面40上的射影为”. A D 设i=BA+BD,求，'的值： ②己知BP=BD,B0=R1,其中0<元<1.若CHM平面CP,求之的值. 2 【答案】（四x=3y= 3 1 (②3 【分析】(1)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据题意得到垂直关系，从而得到方程组，求出答 案： (②)求出平面的法向量”，根据平行关系得到 H⊥m ,从而得到方程，结合()中结论得到方程，求 出答案 【详解】山)以A为坐标原点， AD,AB,AA x,y,2 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， A(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),A(0,0,1),B(0,2,1),D(2,0,1),C(2,2,0) 设(a,bc,则CH=(a-2b-2c) 点C在平 面1B0上的射影为”，所以CH上平面1 ABD AB,ADC平面 因 BA,所uCH⊥MB,CH1D, AB=(0,2,1),AD=(2,0,1) Ci.AB=0,CHD=0得 (a-2,b-2,c)(0,2,1)=0,(a-2,b-2,c)(2,0,1)=0 T2b-4+c=0 即2a-4+c=0, BH=(a,b-2,c-1),B,A=(0,-2,-1),BD=(2,-2,0) Bi=x8i+BD得a,b-2,c-)=x0,2,+(2,-2,0) a=2y a=2y -2=-2x-2y,则 故 =2-2x-2y c-1=-x c=1-x 2b-4+c=0 「4-4x-4y-4+1-x=0 将其代入2a-4+c=0中，可得4y-4+1-x=0, x23 1 整理得-5x-4y=-1,解得 2 4y-x=3 y-3 A B D B D 2)B1=(0,-2-,B,0=(2,2,0) i设Pa,4G(4,6,9),BP=(a,4-2,9-1),B0=(a,4-2,6-1) 因为BP=B0.B0=8A,所a,A2G-1)=2-2,0(a4-2,6-l=20,-2-), 所u4=2元4-2=-229-l=0.4=06-2=-2元，6-1=-元 所u4=2a6=2-2%,9=14=0,4=2-2元，5=1-元 所以P2a,2-21,1.0(0,2-221-) 则c乎=(2a-2-21,),c0=(-2,-2,1-) 设平面CP吧的法向量为m=(6,2） m.C=(x,4,)(2元-2，-2,1)=(2-2)x-2九y+名=0 则1m.Cg=(x,4,)小(-2，-2,1-)=-2x-2y+(1-)z=0 令5=，则n=2经，3=-2，共中0<1<1 数-经是- 若CH∥平面CP№，则C7⊥m,即 丽m=a-2a-2c4分2-2小-0 救0-26-2引22-2c=0. [2b-4+c=0 其中2a-4+c=0,故4-2=b-2=5. cc.-2-2c=0, 上式可化简得22入 若c=0,此时a=b=2,故C丽-(Q00,即CH两点重合，不合要求，合去， 1 故c≠0，解得2=3 7.如图，在平行六面体 BCD-ABCD中，B=D=M=2,∠BMM=∠DMA=∠ZBMD=60 D B ①用(D14表示4C,并求4G的长， (2)求证： ACL平面BD,B 【答案】()4C=AB+AD+A4,AG=26 (2) AC-AC-AA=AB+AD-AA BD=AD-AB BB.=A4 所以4CB历=(B+AD-A)(a-B) =AB·AD+AD·AD-AA·AD-AB.AB-AD·AB+AAAB =2x2×2-2x2×号2-2x2×2x2x0, 所U4CLBD,所以AC LBD AC.BB=(AB+AD-AA）AA=AB.AA+ADAA-AA·AA =2x2×2x2x2=0, 2 所以4C1B ,所以4C1BB DOBB=B,BD,BBC平面 BDD B 又 AC⊥BDDB 所 平面 【分析】(1)根据向量的加法可得 C=+D+从，结合向量的数量积及向量的模的计算公式计算即 可 (2)结合向量的数量积得到4CLBD,4CLB丽，可符4C1BD,4C1B服， 再利用线面垂直的判定 定理证明即可。 【详解】（平行六面体BCD-4BCD中，BC=D,CC=A4 AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA AC=(AB+AD+4)-AB+AD++24B.AD+24B.A4+2AD.A4 =AB+AD+AA+2 ABAD cos∠BAD+2 AB4cos∠BAA+2 AD4cos∠DAA =2+2+2+2x2x2x+2x2x2x+2x2x2x24, 所以4C=2v6 (2)略 8.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB=4,SA=SD,SMA.CD=0,SM=tMD B (I)求证：平面SAB⊥平面SAD: (2)若异面直线SD与BC所成角为45，SB/I平面AMC,求二面角A-CM-S的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 √42 (2)7 【分析】(1)由题设条件先证明AB⊥平面SAD,再由面面垂直的判定定理即可得证： (2)由条件先证明SO⊥平面ABCD,建系后利用空间向量法结合SB/I平面AMC求出1=1，再利用空间 向量夹角的公式计算即得 【详解】(I)因为ABCD是矩形，所以AB⊥AD, 又已知SACD=0,所以SA⊥CD, 又AB/ICD,所以AB⊥SA, 因为SAO AD=A,SA,ADc平面SMD, 所以AB⊥平面SAD,而ABC平面SAB, 所以平面SAB⊥平面SAD (2)因为BC1/AD 所以SD与BC所成角的大小等于 ∠SDA=45° 又M=D 所以 ∠SAD=45°，∠ASD=90° 取AD、BC的中点分别为O、N,连SO、ON, SOLAD.ON LAD.SO-1AD-2. 由(I)AB⊥平面SMD,又ABC平面ABCD,则得平面SAD⊥平面ABCD, 又SOC平面SAD,AD为平面SAD和平面ABCD的交线， 所以SO⊥平面ABCD, 故可以O为原点，ON、OD、OS分别为x轴、轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A0,-2,0),B(2,-2,0),C(2,2,0,D(0,2,0),S0,0,2) 因为可得W=本0-02-2)=@有名 2t21 t+1 设平面AMC的法向量为d=(x,,z), a.A4M=4+22 v+- =0 1+t 1+t 则a4C=2x+4y=0 ，故可取a=(2,-1,21+) 因为SB/1平面4MC,所以a1亚，则-丽=0→4+2-2(2+)=0，解得1=l, 所以M是SD的中点，OM是△SAD的中位线，OM IISA,OM⊥SD, 由(I)知OM⊥CD,SDOCD=D.SD,CDc平面SDC,所以OM⊥平面SDC, 故OM=(Q,LD是平面DC的一个法向量，且=亿，-，3) 所以os◆0M,a◆-OMa-一2=5 oMd14.27, in(OM,)=-cosM 所以 7 √42 故二面角A-CM-S的正弦值为7. ABCD-ABCD 9.已知正方体 的棱长为2BF分别为正方体的 BC,CD的中点 D C B D B F∥平面 CD (1)求证： (②求线段F到平面 ACD 的距离 【答案】(I)取AB的中点G,连接EG,FG, D A B D C G 因为点E是BC的中点，所以GEIIAC, 因为GE平面 ACD ACC平面 ACD ,所以GE1平面 ACD 由于G,F分别为正方体 BCD-ABCD 的楼4B,GD的中直点， AG//DF AG=DF=1 AGFD GFIIAD 所以 ,所以四边形 为平行四边形，即 因为GFc平面 ACD,AD,C平面AC ,所以GF/平面C ACD ACD GENGF=G,GEc平面EG,GFc平面BFG,所以平面EFG/平面 ACD 由于 因为BFC平面BFG,所以BF/平面 ACD 5 (2)3 【分析】(1)由面面平行证明线面平行： (2)建立空间直角坐标系进行求解. 【详解】(1)略 (2)如图建立空间直角坐标系， ZA D E B 则12,0.0)、Ca,20）B(0.0,2).F0,12) 所以4C=(-22,0).瓜=(-2,02)CF=(0,-1,2) AC.=0 设平面ACD,的法向量为方=(x,y,z)所以AD万=0， 「-2x+2y=0 所以-2x+2z=0,令x=1,则y=z=1,所以i=(11,1), 设点r到平面4CD,的距离为g,则d= CF13 CD 由(1)知， F∥平面 则线段F到平面 ACD ACD 的距离即为点F到平面4 的距离， 故线段EF到平面ACD的距离为3， 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F,G分别是AB,CD,PD的中点，底面ABCD是边长为4的正方形. D (1)证明：平面EFG∥平面PBC. (2)若PA=2,PA⊥底面ABCD,求平面EFG与平面PBC之间的距离. 【答案】(I)证明：F,G分别是CD,PD的中点，FGIIPC ~FG￠平面PBC,PCC平面PBC,∴.FGII平面PBC ~BEICF且BE=CF,·四边形BCFE是平行四边形，EFIIBC. :EF丈平面PBC,BCC平面PBC,.EF∥平面PBC. 又：EF∩FG=F,EFC平面EFG,FGC平面EFG, .平面EFGl平面PBC. 2W5 (2)5 【分析】(1)直接根据面面平行的判定定理可得： (2)直接用向量方法计算面面间的距离可得 【详解】(1)略 (2)因为PA⊥底面ABCD,AB,ADC底面ABCD,所以PA⊥AB,PA上AD 又因为底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD 故以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，Y轴，2轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA G A. D B/E 则B(40,0),C(440）P002)E(2,00) BP=(-4,0,2)BC=(0,4,0)EB=(2,0,0) 设平面PBC的法向量是 n=(x,y,z) n.BP=-4x+2z=0 「2x-z=0 则n.BC=4y=0 ，y=0 i=(1,0,2） 取x=1,得y=0,z=2,则” EB.元2x1+0+0_25 所以E点到平面PBC的距离为同 V12+0+22 5 2W5 故平面EFG与平面PBC之间的距离为5. 11.如图，在棱长为2的正方体1 BCD-ABCD中，E,F分别为线段AB,BG的中点. D A D B DF⊥CE (1)求证： 2求F点到直线4C的距离： 6)求平面4BC与平面B BCCB所成角的余弦值. 【答案】（①）证明见解析。 ②V2 6 (3)3 【分析】(1)依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可： (2)利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得： 3)利用空间向量夹角公式计算即可： 【详解】(1)以D为原点，分别 DA,DC,DD所在直线为x少轴建立空间直角坐标系如图所示 D C F B D C E 己知正方体棱长为2，则 (0,0,2）.F12,2).C0,2,0).E(21,0) 所以DF=2,0.CE=(2,-.0),国DF.C匠=L2,0-(2-1.0-2-2+0=0. 所以DF1CE (2由题可得42,02)C0,20.F02,2)E(2,10) 4C=(-2,2,-2）CF=(1,0,2)CE=(2,-1,0) ZA D C B D (35 = 则与AC同方向的单位向量为 33-3 设。到4C的为则d-示-c可-+-（23-5 即点F到直线4C的距离为N2 (3)根据正方体性质，可知平 BCCB 法向量可取m=(0,10) 设平面C 的法向量为 i=(x,y,2) nCE=0 2x-y=0 则7.4C=0,即1-2x+2y-2z=0,故可取方=0,2，)： 设平面4BC 与平 BCCB所成角为O, 故c0s0=c0sm,= m才_26 m1xv6 3, vG 即平面4BC与平面BCCB所成角的余弦值为3。 12.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面MBC,∠BAC=90,D,E 分别是棱AB,BC,CP的中点， AB=AC=2,PA=3 E (I)求点P到直线EF的距离： (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值， √286 【答案】(1)13 213 (2)13 【分析】(1)以A为原点，分别以AB,AC,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向 量公式即可求解； (2)求出平面DEF的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】(1)根据题意，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°， 以A为原点，分别以AB,AC,AP为x,y,2轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,03),由中点坐标得 uao).ELuo.r（ou 向 EF--L03) EP=(-1,-1,3), 设点P到直线EF的距离为d, 11 EP.EF √286 则d= 11 2 V13 3 (2)直线PA的方向向量取 =(0,01,设平面DEF的法向量为 n=(x,y,z) i.DE=y=0 3 由n-DF=x+2=0,取2-2得后=(B,02)设直线p4与平面DEr所成角为g 2 DEF 则i咖0 6方 2W13 网1x√32+213· P D B 1B。如图，在枝长为2的正方体1BCD-4BGD中，E是4的中点 A D B E D B (1)求点D到 BG的距离， (2)求点D到直线BE的距离： )求直线4B与面B贴C所成的角的正弦值 【答案】(1)2 230 (2)5 1 (3)3 【分析】(1)建立空间直角坐标系，求平面 BC的法向量，利用点到平面的距离的向量求法求结论： BD.BE )2 BD (2)根据点到直线的距离的向量求法可得点到直线。的距离为1 BE 代入数据即可 BE 求得结论： (3)求直线AB的方向向量，结合向量夹角公式求结论 【详解】(1)以A为原点，分别以 ,4D,AM为七少2轴建立空间直角坐标系， 由正方体棱长为2，可得B(2,0,0),D(0,2,0).E0,0,1)C(22,2) 故BE=(-20,0BC=0,22) 设平面BC的法向至万=（习 n.BE=-2x+z=0 则万.BC=2y+2z=0,令x=1’得z=2,y=-2 即=（化-22列为平面BC的一个法向量，且风-3 BD.n 根据点到平面距离公式点D到面BBC的距离4= 闭，又BD=(-2,2,0): 所以4 1-2x1+2x-2)+0_6-=2 3 所以点D到 BEG的距离为2， D B C E D 卡B BD·BE 2 (2)根据点到直线的向量公式点到直线。的距离4= BD- BE D BE BD=(-2+2+02=8,BDBE=(-2)x(-2)+0+0=4,B距=5 4 所以4=8 24_2W30 V5-5, 2√30 所以点D到直线BE的距离为5： (3)直线AB方向向量 AB=(2,0,0) 设直线AB与面 BEC 所成的角为日， AB.n 则sin0 2×1+0+01 AB同 2×3 3, 1 所以直线AB与面BEC所成的角的正弦值为3 14,如图，在长方体4BCD4BCD中，MD=M-1,AB=2,E为AB的中点 D B ()求点E到面 DA 的距离； (2)求点E到面 ACD 的距离 【答案】(1)1 1 (2)3 【分析】(1)利用长方体性质得到AE1平面4 AADD 再结合题意求出AE即可 (2)法一先计算关键三角形的面积，再利用等体积法建立方程，求解点面距离即可，法二建立空间直角 ACD 坐标系，求平面 的法向量，再利用点到平面距离公式计算即可， AADD 【详解】(1)由长方体性质得AE上平面 因为AB=2,E为AB的中点，所以AE=1, 则点E到面4D4的距离为 (2)法一：设点E到面 ACD 的距离为h, 在△1C0中，由勾股定理得1C=CD=5,4D=V2 如图，连接C0,因为0是仙的中点，所C010.0= 2， D A E B 132 由勾股定理 C0=V5- 22, 22,而 2 2 1 xh:.h=1 3 .VD-ARC= 2 2 3 法二：如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD的方向为x,y,Z轴的正方向， 建立空间直角坐标系， D C h A E B 则E1.0),4,00).C0,2.0)D(0,01 所以1C=（12,0）,0=(-101)E=(0,-10) 设平面 CD的一个法向量为=(：y) AC=0 -x+2y=0 则i.AD=0,即-x+z=0, 令y=1,则x=2,2=2,可得=(21,2) EA.n 1 1 则点E到平面ACD,的距离d= 网22+12+223 15.如图，在三棱锥P-ABC中，AP⊥平面ABC,D,M分别是BC,PB的中点，AP=AC=2, AB=22,MD=V5延长AD至点E,使得4E=2AD,连接M, ------->E D B (I)证明：ME⊥BC: (2)求二面角B-AM-E的余弦值： (3)若点N,旦分别是直线AE,PC上的动点，求N№的最小值 【答案】(1)证明见解析 √10 (2)5 210 3)5 【分折】（四根据题意可得到4B14C,又4P1平面4BC,可以建立空间直角坐标系，利用数最积可得正 (2 求得平面ME的法向量，易得平面4MB的一个法向量是m=(0,L0 ,利用夹角公式求 (3)利用N=kE得点N22k,2k,0,P四=1PC得点Q(0,21,2-2)）,根据两点间距离公式即可求解 【详解)（山因为4C=2,AB=25,D=5,D是BC的中点 所以2AD=B+AC,两边平方，得4⑩=A瓜+AC+2B.4C 即12=8+4+2ABAC,得4B-AC=0 所以AB LAC ZA ○ B文 又AP⊥平面ABC,所以AB,AC,AP两两垂直， 如图，以A为原点，AB,AC,AP所在的直线分别为x轴、y轴、2轴建立空间直角坐标系， 则40,00)，B22,00,c0,20),P00,2,E22,2,0.M(2,0, 所以，BC=(222,0),ME=V2,2-. 所以M-BC=2×-22)+2x2+(-)x0=0, 所以ME⊥BC (2)由题意，知平面AMB的一个法向量是 m=(0,1,0) 易得4E=(22,20,AM=(2,0 [i.AE=0,22x+2y=0, 设平面ME的法向量是i=(xy,z,则n:AM=0,即V2x+z=0, 令x=1,得y=z=一V5,所以平面ME的一个法向量是i=1,-2,-2) -2√10 os(m,n)=- 所以 √10 由图，知二面角B-AM-E为锐角，所以二面角B-AM-E的余弦值为5 (3)因为点N,Q分别是直线AE,PC上的动点， 设AN=kE(keR),N(xww,2w),则x,w)=k22,20,所N22k,2k,0) 设P=ceR）,0(o%o）,则%-2)=@2，-2）.所以(0,2,2-20 所0-(2+2t-2y+(2-2y=12-8+w-&+4=12&-号+(-+9 ks! 3 I= 2W10 所以当5,5时，N吧取得最小值，为5·